课时检测训练36 等比数列-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版2019）

课时检测训练36 等比数列 对应答案P516 应A级·基础巩固 7.(2023·陕西宝鸡·二模)已知数列{a.}是等比 1.(2024·苏州模拟)已知各项均为正数的等比数 数列，若2a1=asa,且a5是a,与2的等差中项， 列{an}的前4项和为15，且a5-3a,十4a1,则a 则q的值是 8.设各项为正数的等比数列{a,}的前n项和为 A.16 B.8 C.4 D.2 S.,且a1-1,S,=2S2+1,则a,=」 2.(2023·北章房山·就考二模)已知等比数列 9.将等差数列中的项排成如下数阵，已知该数阵第 {an}的各项均为正数，{an}的前n项和为S。,若 n行共有2-1个数，若a1=2,且该数阵中第5行 S3=21,S1=9,则a1的值为 () 第6列的数为42，则a.= A.1 B.2 C.3 D.4 a 3.(2023·内蒙古通辽·模拟)已知等比数列{a,) 04 a 的各项均为正数，且a3a,=9,则log3a1十loga +logsa,= 4 A.7 B.9 C.81 D.3 10.(2022·新高考Ⅱ卷T17)已知{a.}为等差数 4.已知公比不为1的正项等比数列{a.}的前n项 列，{b,}是公比为2的等比数列，且a2一b2=a 和为S.,若S,=10S,则公比q= ( -by=b-a4… A.3 B.2 c D号 (1)证明：a1=b1; (2)求集合{k|b=a.十a1,1≤m≤500}中元素 5.已知等比数列{an}的前n项和为S.,若aa,= 个数. 2a,且S+S24=mS1s,则m= A.-4 B.4 c-8 D.3 6.(多选)古书有这样一个问题：今有牛、马、羊食人 苗，苗主责之粟五斗，羊主日：“我羊食半马.”马 主曰：“我马食半牛.”今欲衰偿之，问各出几何？ 此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾 苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟，羊主人说：“我羊 所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所 吃的禾苗只有牛的一半.”现打算按此比例偿还， 他们各应偿还多少？已知牛、马，羊的主人应分 别偿还a升、b升、c升，1斗为10升，则下列判断 正确的是 () A.a-t0 R=9 C.a,b,c依次成公比为2的等比数列 D.a,b,c依次成公比为？的等比数列 291 课时检测训练·数学·RJA 1.已知数列a,)满足a,=2a1=4.一2X 1 13.记等比数列{a.}的前n项和为S.,前n项积为 T.,且满足a1>1,a2m>1,a2<1,则() b=a,3 1 A.a2oza2o24-1<0 (1)求证：数列{6}是等比数列； B.S2e十1<S22 C.T2是数列(T.}中的最大项 (2②)设数列1a)的前n项和为5，求证：S<号 D.Tos>1 14.已知1a,为等比数列a,=16,公比g=2若 T是数列{a,)的前n项积，则T.取最大值时n 为 () A.4 B.5 C.4或5D.5或6 15.已知数列{a.}的前n项和为S.=n2+1,正项等 比数列{b.}的首项为a1,且a1b+azb2十ab =14. (1)求数列{a.}和{b.}的通项公式： (2求使不等式&>（名》广(n≥2）成立的所 有正整数n组成的集合. 客B级·能力提升 12.(多选)已知{a.)是各项均为正数的等比数列， 其前n项和为S。,且{S.}是等差数列，则下列结 论正确的是 A.{a.十S,}是等差数列 B.{a.·S}是等比数列 C.{a}是等差数列 D.骨}是等比数列 课时检测训练·数学·RJA —292为偶数， 126.BD 解析 由题意得a,b,c依次成公比为 的等比数列， 即3m≤4 024,即m≤4324,,且 m 为 偶数，所 以 3,m≤1341 ,且为偶数，故这样的m有670个，故选项D 错误. c=50.则c+2c+4c=50,解得 7.1 解析 由题设2a?=a?+2,而2a?=a?a?=ai9?,显然a1,q ≠0,则2=a?q?, 14.解 选①:设数列{a}的公差为d,a?=6,a?+S?=50, 所以2a?q?=a?q3+2,故q2-2q+1=0,可得q=1. a=-2,4a,+3d-50,4所以 解得 即a=14-2(n-1)=16-2n. 法一：当a,≥0时，有16-2n≥0,得n≤8, ∴当n≤7时，a,>0;n=8,a=0;n≥9时，a<0, ∴n=7或n=8时，S,取最大值. 法二：S=-n2+15n,对称轴n=7.5, ∴n=7或n=8时，S,取最大值. 8.8 解析 依题意，设公比为q(q>0),由S?=2S?+1,即 S?-S?=S?+1,即a?=S?+1, 所以a?q2=a?+a?q+1,即q2-q-2=0,解得q=2或q= -1(舍去).所以a?=a?q3=8. 9.2n 解析 设公差为d, 1×(1-2因为该数阵第n行共有2"-1个数，则前4行共有 =15个数， 选②:由S??-S?>0,得a??+a?+a?>0,由等差中项的性 质有3a?>0,即a>0, d=21-1=2-=2,所以第5行第6列数为a2?=42,则a 由a?+a??<0,得a?+az?=a+a??<0, 所以a,=2+(n-1)×2=2n. ∴a??<0,故d=a??-an<0, ∴当n≤11时，a,>0,n≥12时，a.<0,故n=11时，S。取最 大值. 10.解(1)证 明：设数列{a,}的公差为d,所 以 +d--+--+36! b?=a?=2,所即可解得 以原命题得证. 选③:由S,>0,得 s,=9ca2+a=9×2a>0,可得 (2)由(1)知，b?=a?=2,所以b=am+a??b?×2?1=a? a?>0, +(m-1)d+a?,即2k-1=2m,即m=2?2∈[1,500],解 s?=0ca+a=10cas+a2<0,可得a?由S??<0,得S +a?<0, 得2≤k≤10,所以满足等式的解k=2,3,4,⋯,10,故集合 {k|b=am+a?,1≤m≤500}中的元素个数为10-2+1 ∴a?<0,故d=a?-a?<0, =9. ∴当n≤5时，a,>0,n≥6时，a,<0,故n=5时，S,取最 大值 11.证明 (1)因为a?=2,a=2a-2×3,b,=a-3, 课时检测训练36 等比数列 [A级·基础巩固] 所以 1.B 解析 由题意可设等比数列{a}的公比为q(q>0), t-ateftad-15.则 K=2解得 (负值舍去),所以a=a?3=8. =2 又b?=a?-1=1, 12所以数列{b。}是首项为1,公比为 的等比数列. 2.C 解析 设等比数列{a}的公比为q(q>0), ,甲ka+a2-9,{a?+a,-9,=2{a?+2-9则{ b.=a=2,所以a=+3, (2)由(1)得， 1+g=3,即3q2-4q-4=0,两式相除得 s.=1+2+1+⋯++1+÷+3+⋯+1所以 a,==3.解得q=2(负根舍去),所以 3.D 解析 依题意可得a2=a?a?=a?a?=9,又a>0,所以as =3,所以 log?a?+ log?as+log?ag= log?(a?a?as)= 经+-3 [B级·能力提升] log?(9×3)=log33=3. 12.ACD 解析 由{S}是等差数列，得2S?=S?+S?, 即2(a?+a?)=a?+a?+a?+a3,∴a2=a?· ag4.A 解析 由公比不为1且为正数，S?=10S?,得 ∵{a,}是各项均为正数的等比数列，∴a?=a?q,可得q=1, =10.a-,,化简得(q2-1)(q2-9)=0,依题意可知q ∴a=a?>0, ∴a+S。=(n+1)a?,aa+1+SH+1-(a+S)=(n+2)a?- >0且q≠1,所以解得q=3. 5.D 解析 因为a?an=2a3,且a≠0,所以a=2a?,即a?q1° =2a?q2,解得q?=2或q=0(舍去).因为Sg+S?=mS??,所 a-+a-g"=m.a-g以 .又因为q?=2, m=8a?≠0,所以代入化简得-8=-3m,解得 高考一轮总复习·数学·RJA ·516· (n+1)a?=a,∴数列{a,+S,}是等差数列，因此A正确； ∵a2=a2,∴{a2}是常数列，为等差数列，因此C正确； S=a,>0,∴(}是等比数列，因此D正确； ∵aS=mi,4aS=”+1不为常数， ∴{a·S,}不是等比数列，因此B不正确. 13.AC 解析 设数列{a}的公比为q. 将其与a。·a+1=4S,-1两式相减得aa+1(a+2-a) ∵a?>1,a2023<1, =4a+1· ∴0<a203<1, 又a2022>1,∴0<q<1. ∵a2022a2024=a2o23<1, ∴a2022a2024-1<0,故A正确； 因为a≠0,有aH+2-a=4. 当n=1时，上式也成立， 综上，a+2-a=4. (2)当n为大于1的奇数时， ∵a2023<1, ∴a2023=S2023-S2022<1, 即S2022+1>S202s,故B错误； ∵0<q<1,a?>1, ∴数列{a,}是递减数列， 有a?-a?=4,a?-a?=4,a,-a?=4,⋯,a-am2=4, 累加得a。=a?+("去1-1)×4=2n-1. 又a?=1满足上式，所以n为奇数时，a=2n-1; 当n为大于2的偶数时，有a?-a2=4,a?-a?=4,a?-a?= ∵a2022>1,a2023<1, 4,⋯,a-a-2=4, ∴T2022是数列{T}中的最大项，故C正确； Tao45=a?a?a?·⋯a045 =a?(a?q)(a?q2)·⋯·(a?q?4) =a4045q1+2+3+⋯+4044 =af045q202×4045 累加得a=a?+(2-1)×4=2n-1.又a?=3满足上式。 综上可知，a=2n-1(n∈N°). c=(-1)”·a+2"=(-1)"(2n-1)+2”, T2=c?+c?+c?+⋯+c2, =(a?q222)44?=a2025, ∵0<a2023<1, ∴a204<1, T?=[-1+3-5+7-⋯-(4n-3)+(4n-1)]+(21+22+ 2?+⋯+22)=20+1+2n-2, T2,=2+1+2n-2. 即T?045<1,故D错误. 14.C 解析 T=a?·a2·⋯·a=a?·a?q·a?q2·⋯ 2.解(1)证明：由a+1+2a=2"+2可得 aa+1-2"+1=2"+1-2a=-2(a-2"). 又a?-21=1≠0,·a?q1 =(a?)"·q+2+0+mtda-)=(a?)"·q =16×(专)=2·2=2++”, 所以数列{a-2"}是以1为首项，-2为公比的等比数列. (2)由(1)可得a-2"=(-2)"1, 即a=2"+(-2)"-1. n=2,函数y=-2n2+2”的开口向下，对称轴为 所以当n=4或n=5时，T,取得最大值. 当n为奇数时，b?=a=2"+(-2)"1=3×2"?1; 当n为偶数时，b?=log?a=log?[2”+(-2)"-] =log22"?1=n-1. 15.解(1)因为数列{a}的前n项和为S。=n2+1,所以当n= 1时，a?=2; a.-{2.-1≥2,当n≥2时，a=S,-S,1=2n-1,故( 所以T??=(b?+b?+b?+b?+b?)+(b?+b?+b?+bg+b??) =(3+3×22+3×2?+3×2?+3×2?)+(1+3+5+7+9) =3×(144+1+9×5=1048. 所以a?=3,a?=5,从而a?b?+a?b?+a?b?=14,化为2b?+ 3b?+5b?=14. 3.解(1)由S+1=2S+1,得S。=2S。1+1(n≥2,n∈N*), ∴S+1-S,=2S,-2S。1,∴a+1=2a,(n≥2,n∈N). 又因为数列{b}为正项等比数列且b?=a?=2,设公比为 又a?=1,S+1=2S,+1,∴a?+a?=2a?+1,整理得a?=2a?. q,且q>0,又2q2+3q-2=0, ∴数列{a}是首项为1,公比为2的等比数列， b.=(去)q=2或q=-2(舍),从而L解得 ∴数列{a,}的通项公式为a=2"?1. (2)当n≥2时，不等式b>(a-) 转化为2"2<(n- (2)由(1)得a,=2,∴b-osea_os.2-2-1 ∴T=b?+b?+b?+⋯+b, "-D°>1,1)2,即 即T=0+2+2+⋯+"二1, 记f(n)="-1)2,f(2)=1,f(3)=2,f(4)=9,f(5)=2, 2T=0++2+⋯+"-1, f(6)= 6,f(7)=3,f(8)=64, 两式相减，得T.=立++⋯+—-"21= +1)=×n-122cn-1)<1,f(n)当n≥8时， 单调递减，所以f(n)<1, b.>(a2) 成立的所有正整数 n组成的因此使不等式 集合为{3,4,5,6,7}. ∴T。=2-2±1 课时检测训练37 数列求和 4.解(1)因为a?+3a?+5a3+⋯+(2n-1)a=(n-1)3"+ [A级·基础巩固] 1,① 1.解(1)证明：由题可知a·a+1=4S,-1, 当n=1时，解得a?=3,所以a?=5. 又因为a+1·a+2=4S+1-1, 当n=1时，a?=1, 当n≥2时，a?+3a?+5as+⋯+(2n-3)a-1=(n-2)3"?1+ 1,② ·517· 高考一轮总复习·数学·RJA