课时检测训练35 等差数列-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版2019）

课时检测训练35 等差数列 -对应答案P514 矿A级+基础巩固 8.已知S.是等差数列{a.}的前n项和，S>S,> 1.在等差数列{a,}中，已知a十a.=6,则3a2十a1 S,则满足S。·S+,<0的正整数n是 的值为 A.24 B.18 C.16 D.12 9.2022年北京冬奥会开幕式始于二十四节气倒计 2.(2024·1月九省适应性测试)记等差数列{4，}的 时，它将中国人的物候文明、传承久远的诗歌、现 前n项和为S.a,十a,=6,a1e=17,则S16 代生活的画面和谐统一起来.我国古人将一年分 ( 为24个节气，如图所示， A.120 B.140 C.160 D.180 品长莲新变小 3.在我国古代著作《九章算术》中，有这样一个问 春分 题：“今有五人分五钱，令上二人与下三人等，问 次左如京举清明容限 30 各得几何？”意思是有五个人分五钱，这五人分得 大年300 0小满 小然 严种 的钱数从多到少成等差数列，且得钱最多的两个 冬至270 )夏至 大西 小暑 人的钱数之和与另外三个人的钱数之和相等， 小香24知 120大培 问：每个人分别分得多少钱，则这个等差数列的 5泽察露10户宽'绍t” 公差d= 秋分 A.-言 B-局 c.- D- 层长逐渐变大 相邻两个节气的日晷长变化量相同，冬至日晷长 4.(2024·全国甲卷)等差数列{a}的前n项和为 最长，夏至日晷长最短，周而复始，已知冬至日晷 S.,若S=Sn,a=1,则a1= ( 长为13.5尺，芒种日晷长为2.5尺，则一年中夏 A.-2 C.1 D.2 至到大雪的日晷长的和为尺。 5.(2023·江图·临川一中模拟)已知数列{a}和 10.已知正项数列(an}满足a1=1,2a-a。-14, (b,}都是等差数列，且其前n项和分别为S。和 6a1=0(n≥2且n∈N'),设bn=loga ( (1)求h1,b2,b (2)判断数列{b.}是否为等差数列，并说明 A号 D 理由： 6.(2024·新高岑北章卷)记水的质量为4=S」 (3)求{b.}的通项公式.并求其前n项和S. In n 并且d越大，水质量越好，若S不变，且d,= 2.1,d2=2.2,则n1与n2的关系为 A.n<n B.1> C.若S<1,则n<n2:若S>1,则h>n D.若S<1,则n1>n若S>1,则n1<n 7.在前n项和为Sn的等差数列{a.}中，S,=12,S =21,则S2= 289 课时检测训练·数学·RJA 11.(2023·福戏南平·三模)已知数列{a}满足a1:14.在①a=6,a1十S2=50:②Sg>S,a2十a1< =1,4=n十1 0,③S,>0,S。<0这三个条件中任选一个，补 a。n 充在下面问题中并解决问题。 (1)求数列{a.的通项公式； 问题：设等差数列{a.}的前n项和为S.,若 (2)若{b.}满足b。=2a。-24,hw-1=2an一22. ,判断S。是否存在最大值，若 设S。为数列{b的前n项和，求S如· 存在，求出S。取最大值时n的值：若不存在，说 明理由。 注：如果选择多个条件分别解答按第一个解答 记分. 空B级·能力提升 12.(多选)已知数列{a.}是公差不为0的等差数 列，前n项和为S。,满足a1十5a=S。,下列选项 正确的有 A.a。=0 B.S。最小 C.S;=Sz D.S2u=0 13.(多选)(2023·山东枣庄·统考二模)已知{an} 为等差数列，前n项和为S.,a=10,公差d -2,则 () A.S,=S, B.当n=5或6时，S,取得最小值为30 C.数列(a.}的前10项和为50 D.当n≤2023时，{a,}与数列{3m+10}(m∈ N)共有671项互为相反数 课时检测训练·数学·RJA —290-2(n>2),∴a=2(n>2). -故选AD. 由韦达定理可知a+a+1=-n,a,am+1=b, 因此(a+2+a+1)-(am+1+a)=a+2-a=-(n+1)- (-n)=-1.所以a?-a?=-1,a?-as=-1,a,-a?= -1,⋯,a2?-a??=-1,由累加法得a2?-a?=-10. 又因为a?=10,所以a2?=0,因此b??=azoa2?=0. (2)由a?+a?=-1,可知a?=-1-a?=-11,而数列 6.C 解析 由题可得x≠0,且 解得2≤x≤3. {a}的偶数项为公差为-1的等差数列，因此a2m=-11— (n-1)=-n-10,因此S.=na-"n-1=="2-2n, 7.a=(2×3,-≥2 解析 因为S=3"+2019 ①, 因此S==12-21°=-155. 当n=1时，a?=S?=31+2 019=2022, 当n≥2时，S,-1=3"?1+2 019 ②, [B级·能力提升] ①-②得a=S,-S,-1=3"+2 019-(3"?1+2019)=3"— 12.B 解析 由题意知，若am是数列{a}的最大项，则am≥ am-1且am≥am+1,即am-1≤am且am≥am+1;若am-I≤am且 3"-1=3×3"1-3"1=2×3"-1, 经检验，当n=1时，a=2×3"-1不成立， a.={2×3,-22.所以 am≥am+1,则am不一定是数列{a}的最大项.故“am-1≤am 且am≥am+1”是“am是数列{a}的最大项”的必要不充分 条件. 8.-2202-1 解析 由题意3S,=2a,-3n,则3S+1=2a+1- 3(n+1), 13.675 解析 依题意，Sa+2-Sa+1=a+1+(-1), a?+2=a。+1+(-1) 两式相减得3(Sa+1-S)=3a+1=2a+1-2a,-3,所以a+1 +1=-2(a+1). 当n为奇数时，a+2-a=2,故数列{a2-1}是首项为1,公 差为2的等差数列； 又3S?=3a?=2a?-3,a?=-3,所以{a+1}是等比数列，公 比为-2, a,+1=(-2)”,所以a2021=(-2)22-1=-2202-1. 当n为偶数时，a+2-a=0,故数列{a2m}为常数列， 故S?=(a?+a?+⋯+a?9)+(a2+a?+⋯+aso)=25+ 25×24×2+2×25=675. 8 方法一：b-b=327-32-109.4 解析 =3-3”, ∴当n≤4时，b>ba1,∴{b}单调递增， 当n≥5时，b,<ba-1,∴{b,}单调递减， 故当n=4时，(b.)=b=8. 14.解 (1)当n≥2时，a=S,-S="2+3- (n-1D2+3(n-1)=n+1, 所以a=n+1(n≥2). 又当n=1时，a?=S?=2也满足上式， 所以a=n+1(n∈N"). b..方法二：令 即 (2)由(1)知b=()"·(n+1), 当n≥2时，b-?=n(90),所以=9n0+1 9(1+=1,令 ,得n=9, 3≤n≤3,解得 当n<9时，10>1,即b.>b; 又n∈N°,故n=4, 故当n=4时，(b)=b.=8 ,9(1+=1,即b?=b-1;当n=9时， 9(7+1<1,即b,<b当n>9时， 10.解(1)∵5S?=5,∴a?=1.∵5S,=n(n+4), 所以数列{b}先增后减，有最大项且最大项为第8,9项. a=n+3∴5S。-I=(n-1)(n+3)(n≥2),两式相减可得 课时检测训练35 等差数列 [A级·基础巩固] (n≥2).又a?=1,∴a=2"53 1.D 解析 由题意知a3+ag=2a?+9d,3a?+a?=4a?+18d (2)由(1)知： ,1≤2"+3b.=["53],所以当n=1,2,3时， =2(a?+a8)=12. ,2<"53<3<2,此时b,=1;当n=4,5时， ,此时b,=2; 2.C 解析 因为a?+a,=2a?=6,所以a?=3,所以a?+a??= si=a,+az)×1?=8(a?+an)=160.3+17=20,所以S ,3≤2"53<4,此时b=3;当n=6,7,8时， 3.A 解析 若分得的钱从多到少分别为a?,a?,as,a,as,所 以a?+a?=a?+a+as,a?+a?+a?+aa+a?=5,可得a? ,4<"53<5当n=9,10时， ,此时b=4,所以数列{b}的 前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24. =3, 11.解(1)因为a和a+1是方程x2+nx+b=0的两个根， 高考一轮总复习·数学·RJA ·514· d=-6. 4.B 解析 由S??-S?=a?+a,+a?+a?+a=5ag=0,则as d=3=-3,故a?=a?-=0,则等差数列{a}的公差c 4d=1-4×(-3)=3 5.B 解析 对于等差数列的前 n项和满足S2-1= -S,故-六-2×9+5-(2n-1)a,知道 6.C 解析 由题意可得 解得 2.1>2.2,可得e>e,即n?>n?;若S>1,则 2.1=2.2=0若S=1,则 ,可得n?=n?=1; S.1<2.2,可得e<e,即n?<n?;若S<1,则 结合选项可知C正确，ABD错误. 7.27 解析 由等差数列的性质：S?,S?-S?,S??-S?成等差 数列， 所以2(S?-S?)=S?+S??-Sg,故S??=3(S?-S)=27. 8.29 解析 由S??-S??>0,得a??>0,由S??-S??<0,得a16 <0,由S?-S?<0,得a??+a??<0, s。=29(a,+ta)=29×2as>0,s。=30Catam=所以， 30castan2<0, 所以满足S,·Sa+1<0的正整数n是29. 9.84 解析 依题意，冬至日晷长为13.5尺，记为a?=13.5, 芒种日晷长为2.5尺，记为a??=2.5, 因相邻两个节气的日晷长变化量相同，则从冬至日晷长到芒 种日晷长的各数据依次排成一列得等差数列{a},n∈N*, n≤12, d=12-=2.5--3.5=-1数列{a,}的公差c 因夏至与芒种相邻，且夏至日晷长最短，则夏至的日晷长为 a?+d=1.5. 又大雪与冬至相邻，且冬至日晷长最长，则大雪的日晷长为 a??+d=12.5, 显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首 项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，所以一年中夏至到大 1.5+12.5×12=84(尺).雪的日晷长的和为 10.解(1)由a?=1,2a2-a-1a,-6a,-1=0, 知当n=2时，2a2-a?a?-6a2=0, a2=-2(舍).即2a2-a?-6=0,解得a2=2或 当n=3时，2a2-a?a?-6a2=0, 即2a?-2a?-24=0,解得a?=4或a?=-3(舍), ∴b?=log?a?=log?l=0,b?=log?a?=log?2=1,b?=log?a? =log24=2. (2)数列{b,}为等差数列，理由如下： 由2a2-a-1a-6a2-=0可知(a-2a1)(2a+3a-1) =0. a=2(n≥2且n∈N").∵a>0,∴a-2a1=0,即- 当n≥2时，b-b-1=log?a。-log?aa1= lo8ea=log2=1.又b?=0, ∴{b,}是以0为首项，1为公差的等差数列. (3)由(2)可知，b=0+(n-1)×1=n-1, ∴s=[0+(n-1)]n=nn-1. a,=1,=”±,11.解(1)因为( 所以当n≥2时，&·⋯=2×3×⋯×,"1, 则a=n,,即a=n, 当n=1时，也成立，所以a=n. (2)由(1),b?,=2a-24=2n-24,b2m-1=2a-22=2n-22, 则b??+b2m-1=4n-46, 则S??=(b?+b?)+(b?+b?)+⋯+(b??+b??)= (4×1-46)+(4×2-46)+⋯+(4×10-46) =4×1+10)×10-46×10=-240. [B级·能力提升] 12.AC 解析 根据题意，数列{a}是等差数列，设公差为d, 由a?+5a?=Sg, 即a?+5a?+10d=8a?+28d, 变形可得a?=-9d. 又由a,=a?+(n-1)d=(n-10)d, 得a1=0,故A正确. 因为不能确定a?和d的符号，所以不能确定S?最小，故B 不正确. 又由S=na?+"n-1d=-9nd+""-1d=2(n2- 19n),得S,=S??,故C正确. S=20a?+2×1?a=-180d+190d=10d. 因为d≠0,所以S??≠0,故D不正确. 13.AC 解析 因为等差数列{a},且a?=10,公差d=-2, 所以a=10-2(n-1)=-2n+12, s.="ata)=n(10-2n+12)=-n2+11n 所以S?=-16+44=28,S,=-49+77=28, 所以选项A正确； 因为S,=-n2+11m=-(n-2)2+12, 根据二次函数的对称性及开口向下可知， S,取得最大值为S?=s=12-4=30,,故选项B错误； 记{|a|}的前10项和为T?, 因为a=-2n+12,当a,=-2n+12≥0时，解得n≤6, 当a=-2n+12<0时，解得n>6, 所以T??=|a?I+|a?|+⋯+|a?I+|a1l=a?+a2+⋯+a? -a,-ag-a?-a1=S?-(S1?-S?)=2S?-S1· 因为S=-n2+11n,所以S??=10, 所以T?o=2×30-10=50,故选项C正确； 记bm=3m+10,因为a=-2n+12,n≤2023, 所以a2023=-4034,所以当n≤2023时， a≥-4034. 由a=-2n+12,n≤2023,可知a,为偶数， 若bm与a,互为相反数，则b≤4034,且b为偶数. 因为b=3m+10,所以b-10为偶数，即3m为偶数，即m ·515· 高考一轮总复习·数学·RJA 为偶数， 126.BD 解析 由题意得a,b,c依次成公比为 的等比数列， 即3m≤4 024,即m≤4324,,且 m 为 偶数，所 以 3,m≤1341 ,且为偶数，故这样的m有670个，故选项D 错误. c=50.则c+2c+4c=50,解得 7.1 解析 由题设2a?=a?+2,而2a?=a?a?=ai9?,显然a1,q ≠0,则2=a?q?, 14.解 选①:设数列{a}的公差为d,a?=6,a?+S?=50, 所以2a?q?=a?q3+2,故q2-2q+1=0,可得q=1. a=-2,4a,+3d-50,4所以 解得 即a=14-2(n-1)=16-2n. 法一：当a,≥0时，有16-2n≥0,得n≤8, ∴当n≤7时，a,>0;n=8,a=0;n≥9时，a<0, ∴n=7或n=8时，S,取最大值. 法二：S=-n2+15n,对称轴n=7.5, ∴n=7或n=8时，S,取最大值. 8.8 解析 依题意，设公比为q(q>0),由S?=2S?+1,即 S?-S?=S?+1,即a?=S?+1, 所以a?q2=a?+a?q+1,即q2-q-2=0,解得q=2或q= -1(舍去).所以a?=a?q3=8. 9.2n 解析 设公差为d, 1×(1-2因为该数阵第n行共有2"-1个数，则前4行共有 =15个数， 选②:由S??-S?>0,得a??+a?+a?>0,由等差中项的性 质有3a?>0,即a>0, d=21-1=2-=2,所以第5行第6列数为a2?=42,则a 由a?+a??<0,得a?+az?=a+a??<0, 所以a,=2+(n-1)×2=2n. ∴a??<0,故d=a??-an<0, ∴当n≤11时，a,>0,n≥12时，a.<0,故n=11时，S。取最 大值. 10.解(1)证 明：设数列{a,}的公差为d,所 以 +d--+--+36! b?=a?=2,所即可解得 以原命题得证. 选③:由S,>0,得 s,=9ca2+a=9×2a>0,可得 (2)由(1)知，b?=a?=2,所以b=am+a??b?×2?1=a? a?>0, +(m-1)d+a?,即2k-1=2m,即m=2?2∈[1,500],解 s?=0ca+a=10cas+a2<0,可得a?由S??<0,得S +a?<0, 得2≤k≤10,所以满足等式的解k=2,3,4,⋯,10,故集合 {k|b=am+a?,1≤m≤500}中的元素个数为10-2+1 ∴a?<0,故d=a?-a?<0, =9. ∴当n≤5时，a,>0,n≥6时，a,<0,故n=5时，S,取最 大值 11.证明 (1)因为a?=2,a=2a-2×3,b,=a-3, 课时检测训练36 等比数列 [A级·基础巩固] 所以 1.B 解析 由题意可设等比数列{a}的公比为q(q>0), t-ateftad-15.则 K=2解得 (负值舍去),所以a=a?3=8. =2 又b?=a?-1=1, 12所以数列{b。}是首项为1,公比为 的等比数列. 2.C 解析 设等比数列{a}的公比为q(q>0), ,甲ka+a2-9,{a?+a,-9,=2{a?+2-9则{ b.=a=2,所以a=+3, (2)由(1)得， 1+g=3,即3q2-4q-4=0,两式相除得 s.=1+2+1+⋯++1+÷+3+⋯+1所以 a,==3.解得q=2(负根舍去),所以 3.D 解析 依题意可得a2=a?a?=a?a?=9,又a>0,所以as =3,所以 log?a?+ log?as+log?ag= log?(a?a?as)= 经+-3 [B级·能力提升] log?(9×3)=log33=3. 12.ACD 解析 由{S}是等差数列，得2S?=S?+S?, 即2(a?+a?)=a?+a?+a?+a3,∴a2=a?· ag4.A 解析 由公比不为1且为正数，S?=10S?,得 ∵{a,}是各项均为正数的等比数列，∴a?=a?q,可得q=1, =10.a-,,化简得(q2-1)(q2-9)=0,依题意可知q ∴a=a?>0, ∴a+S。=(n+1)a?,aa+1+SH+1-(a+S)=(n+2)a?- >0且q≠1,所以解得q=3. 5.D 解析 因为a?an=2a3,且a≠0,所以a=2a?,即a?q1° =2a?q2,解得q?=2或q=0(舍去).因为Sg+S?=mS??,所 a-+a-g"=m.a-g以 .又因为q?=2, m=8a?≠0,所以代入化简得-8=-3m,解得 高考一轮总复习·数学·RJA ·516· (n+1)a?=a,∴数列{a,+S,}是等差数列，因此A正确； ∵a2=a2,∴{a2}是常数列，为等差数列，因此C正确； S=a,>0,∴(}是等比数列，因此D正确； ∵aS=mi,4aS=”+1不为常数， ∴{a·S,}不是等比数列，因此B不正确.