课时检测训练33-34 复数 数列的概念及简单表示法-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版2019）

根据以上分析作图如下： A 对于B,若OA2=OB2=OC°,则IOAI2=|OB|2=l0C|2,所 以|OA|=|OB|=lOC|, 所以O为△ABC的外心，故B错误； >D Bo C 对于C,设边AB,BC,CA的中点分别为点D,E,F, 则(OA+OB)·AB=2OD·AB=0,所以OD为线段AB 的中垂线， 由于BC与AD不平行，故C错误； 建立如上图所示的平面直角坐标系， 同理，OE,OF分别为线段BC,CA的中垂线，所以O是 △ABC的外心，故C正确； 则B(-县，0),c(2,0),D(1+3,1), 对于D,由已知，OA·OB-OB·OC=OB·(OA-OC)= BD=(2+3,),oD=(,1),所以BD·西=2+3, 故D正确.故选ABD. OB·CA=0, 即OB垂直CA,也即点O在边AC的高上，同理，点O也在 边AB,BC的高上， 8.D 解析 由D在边BC上运动，且△ABC为边长为2的正 所以O是△ABC的垂心，故D错误. 三角形， 15.等腰三角形 解析 由(MB-MC)·(MB+MC-2 MA) 所以AB·AD=AB·(AB+BD)=AB2+|AB|·|BD|· cos(π-∠ABD)=4-|BDI∈[2,4]. =0,可得CB·(AB+AC)=0. 又因为AB-AC=CB, 9.15 解析 ∵a//b,∴2k=5×6,解得k=15. 9 ∵BD=2DC,∴CD=3CB,10. 解析 所以CB·(AB+AC)=(AB-AC)·(AB+AC)=AB2- AC2=|AB|2-|AC|2=0 即|AB|=|AC|,由此可得△ABC是等腰三角形. ∴AD·CD=(CD-CA)·D=CD2-cA·D=4ICB| -ICAI·3ICBlcs3=9-3=9 16.[1-233,1] 解析 建立如图所示的平面直角坐标系， y 11.4 解析 因为a=(-1,2),所以|a|=√5.因为 A |a-b|=√5,所以a2+b2-2a·b=5,所以a·b=5.设a,b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得cos α= a·b5×0=光 a=4·,因为0≤α≤π,所以 o P D Bx 12.2 解析 |a+b|=√3,两边平方得a2+2|a|·|b| cos 60°+b2=3, 则00,0),B(1,0),A(-,Z),过点C作CD⊥OB,垂 足为D. 即a2+|a|·|b|+b2=3,变形为|a|·|b|= (a|+|b|)2-3, ∠AOB=23,所以AB=√3.又AC=因为OA=OB=1,且 2 CB, 其中lal·|b|≤sla+b)2,当且仅当|a|=|b|时等 号成立， 所以(lal+1b1)2-3≤slal+|b2,,解得|a|+ 所以CB=3AB=3在Rt△CDB中，因为∠CBD=否， 所以CD=2cB=6, |b|∈[0,2]. [B级·能力提升] 13.ABD 解析 对于A,DA·D=1×1×co37=-Z,故 正确； DB=2,则OD=县，所以c(1,). 设P(cosθ,sin 0),0≤0<≤3, 对于B,OB+OH=√2 OA=-√2 OE,故正确； 对于C,IAH=|BC|,|HO|=|BO|,但对应向量的夹角 不相等，所以不成立，故错误； 对于D,AA·AB=IAB|2cos34,由余弦定理可得|AB2 =2-/2,所以AH·AB=(2-√2)×(-②)=1-√2,故 正确. 14.AC 解析 对于A,设边BC,AC,AB的中点分别为D,E, 则Pc·P=(—-0,g-sine)·(--cose, -sino)=o20-4+4-233sino+sin2e 1-233=1-233sin0.又O≤O≤23,,所以0≤sinθ≤1,则 ≤1-2s3sin≤1, [1-233,1].即PA·PC的取值范围是 F,OB+OC=2OD,则OA+2OD=0,所以OA=-2OD, 课时检测训练33 复 数 [A级·基础巩固] 所以A,O,D三点共线，即点O在中线AD上，同理，点O 在中线BE,CF上， 1.D 解析 z在复平面对应的点是(-1,√3),根据复数的几 则O是△ABC的重心，故A正确； 何意义，z=-1+√3i, ·512·高考一轮总复习·数学·RJA 由共轭复数的定义可知=-1-√3i. z=3=i=(3-i)(3+5)=3a-1+2.B 解析 依题意， a+3i, a+30,’解得a=号，复数z一,由z为纯虚数，得 1=-1+3i,所以复数z-1在复平面内对应的点 (-1,3)位于第二象限. 3.C 解析 |z|=|-1-i|=√(-1)2+(-1)2=√2.故 选C. 4.D 解析 依题意得，=-√2i,故z·Z=-2i2=2. 5.C 解析 由题意得z=i(i-1)=-1-i. 6.BCD 解析 对于A选项，z?+z2=4-2i,所以， |z?+z?|=√42+(-2)2=2√5,A错； 对于B选项，z1-z?=1+3i-3-i=-2+2i,B对； 对于C选项，z1z2=(1-3i)(3+i)=6-8i,C对； 对于D选项，z1z2在复平面内对应的点位于第四象限， D对. 7.C 解析 因为z(1-i)2=2-3i,所以 =2i+3=2+i,故选C. =(-3=2-3 8.C 解析 因为： =-4+3i. 2,=1-4i+42=-3i-42=4-3i,所以z 故z?对应的点位于第二象限. 9.2 解析 设z=1+bi,b∈R且b≠0. 则z+2=1+bi+12b1+3+1+i=m, 解得m=2. 10.-3 解析 ∵+1-3i=4+2i+1-3i==ia±2i)+1 -3i=3-(a+3)i,∵+1-3i为实数， ∴a+3=0,即a=-3. 11.-1 解析 因为z=i(1+mi)=mi2+i=-m+i,所以z在 复平面内所对应的点的坐标为(-m,1).又复数z=i(1+ mi)(m∈R)对应的点位于直线y=x上，所以-m=1,解得 m=-1. 12.52 解析 复数z满足z(1+i)=3-4i,变形得到z= 3+4i=1-)(3-4)==1-7i, l=√4+4=2/2. [B级·能力提升] 13.BD 解析 因为(±2i)2=-4,因此不妨令方程x2=-4 的复数解z?=2i,z?=-2i. 对于A,z1·z?=2i·(-2i)=4,A错误； 对于B,z?与z?互为共轭复数，B正确； =2去i=(2±:((-对于C,z?=2i,由z·z?=2+i,得： =1-2i=2-i, (_,-1))在第四象限，C错误；则复数z在复平面内对应的点 对于D,设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1,得x2+y2=1,显 然有-1≤x≤1.由选项A知z?·z2=4,因此|z-z?·z2| =|(x-4)+yi|=√x-4)2+y2=√17-8x≥3,当且仅 当x=1,即z=1时取等号，D正确. 14.B 解析∵z=a+bi是方程的一个根，∴z=a-bi是方程 的另一个根， ∴z·z=a2+b2=5,∴|z|=√a2+b2=√5. 15.3π 解析 不妨设复数z=x+yi(x,y∈R),则|z-1+i| ≤√3,即|(x-1)+(y+1)i|≤√3, 则(x-1)2+(y+1)2≤3,其表示以(1,-1)为圆心且半 径r=√3的圆的内部以及圆上的点， 则这些点构成的图形的面积为πr2=3π. 16.6 解析 令z=x+yi且x,y∈R,则x2+y2=1,即复数≈ 对应点在原点为圆心，半径为1的圆上.而|z-3-4i|= √(x-3)2+(y-4)2,即点(x,y)到定点(3,4)距离的最 大值， 所以|z-3-4i|的最大值为√(0-3)2+(0-4)2+1=6 课时检测训练34 数列的概念及简单表示法 [A级·基础巩固] 1.C 解析 对于A,B选项，对应数列是递减数列.对于C选 项，a+1-a=4n-3>0,故数列{a}是递增数列.对于D选 项，由于a?>a?,所以数列{a,}不是递增数列. 2.D 解析 由题意知，a?=2,a?=2=-3,a=1-3= —2— 因此数列{a}是周期为4的周期数列，所以a2024=a506×4=a? =3 3.A 解析 方法一：a20=S??-S??=S?8+S?-(S?8+S?)=S? -S?=S?=a?=2. 方法二：令m=1,∴S。+S?=S+1,∴S+1-S,=S?=2, ∴a+1=2,∴a2=2. 3+2a=3,4.C 解析 令n=10,得 ,故选项A不正确；令 =901 98不是该数列,得9n=300,此方程无正整数解，所以： a=3n+2=3+1-3=1-中的项，故选项B不正确；因为 3n+(n∈N),所以数列a是递增数列,所以-4≤a.<1, (4,1)内，故选项C正确，选项D即数列中的各项都在区间 不正确. ∵a=a?+2a?+÷a+⋯+5.AD 解析 a-1(n>1), a?=1,当n=2时，a?=a?=1. 当n>2时，∵a-1=a?+2a?+3a+⋯+n-2a-2, 两式相减得a。-a=n—ia1,即a=n“1a1, ="1="2,⋯,=,累乘得= ·513· 高考一轮总复习·数学·RJA 2(n>2),∴a=2(n>2). -故选AD. 由韦达定理可知a+a+1=-n,a,am+1=b, 因此(a+2+a+1)-(am+1+a)=a+2-a=-(n+1)- (-n)=-1.所以a?-a?=-1,a?-as=-1,a,-a?= -1,⋯,a2?-a??=-1,由累加法得a2?-a?=-10. 又因为a?=10,所以a2?=0,因此b??=azoa2?=0. (2)由a?+a?=-1,可知a?=-1-a?=-11,而数列 6.C 解析 由题可得x≠0,且 解得2≤x≤3. {a}的偶数项为公差为-1的等差数列，因此a2m=-11— (n-1)=-n-10,因此S.=na-"n-1=="2-2n, 7.a=(2×3,-≥2 解析 因为S=3"+2019 ①, 因此S==12-21°=-155. 当n=1时，a?=S?=31+2 019=2022, 当n≥2时，S,-1=3"?1+2 019 ②, [B级·能力提升] ①-②得a=S,-S,-1=3"+2 019-(3"?1+2019)=3"— 12.B 解析 由题意知，若am是数列{a}的最大项，则am≥ am-1且am≥am+1,即am-1≤am且am≥am+1;若am-I≤am且 3"-1=3×3"1-3"1=2×3"-1, 经检验，当n=1时，a=2×3"-1不成立， a.={2×3,-22.所以 am≥am+1,则am不一定是数列{a}的最大项.故“am-1≤am 且am≥am+1”是“am是数列{a}的最大项”的必要不充分 条件. 8.-2202-1 解析 由题意3S,=2a,-3n,则3S+1=2a+1- 3(n+1), 13.675 解析 依题意，Sa+2-Sa+1=a+1+(-1), a?+2=a。+1+(-1) 两式相减得3(Sa+1-S)=3a+1=2a+1-2a,-3,所以a+1 +1=-2(a+1). 当n为奇数时，a+2-a=2,故数列{a2-1}是首项为1,公 差为2的等差数列； 又3S?=3a?=2a?-3,a?=-3,所以{a+1}是等比数列，公 比为-2, a,+1=(-2)”,所以a2021=(-2)22-1=-2202-1. 当n为偶数时，a+2-a=0,故数列{a2m}为常数列， 故S?=(a?+a?+⋯+a?9)+(a2+a?+⋯+aso)=25+ 25×24×2+2×25=675. 8 方法一：b-b=327-32-109.4 解析 =3-3”, ∴当n≤4时，b>ba1,∴{b}单调递增， 当n≥5时，b,<ba-1,∴{b,}单调递减， 故当n=4时，(b.)=b=8. 14.解 (1)当n≥2时，a=S,-S="2+3- (n-1D2+3(n-1)=n+1, 所以a=n+1(n≥2). 又当n=1时，a?=S?=2也满足上式， 所以a=n+1(n∈N"). b..方法二：令 即 (2)由(1)知b=()"·(n+1), 当n≥2时，b-?=n(90),所以=9n0+1 9(1+=1,令 ,得n=9, 3≤n≤3,解得 当n<9时，10>1,即b.>b; 又n∈N°,故n=4, 故当n=4时，(b)=b.=8 ,9(1+=1,即b?=b-1;当n=9时， 9(7+1<1,即b,<b当n>9时， 10.解(1)∵5S?=5,∴a?=1.∵5S,=n(n+4), 所以数列{b}先增后减，有最大项且最大项为第8,9项. a=n+3∴5S。-I=(n-1)(n+3)(n≥2),两式相减可得 课时检测训练35 等差数列 [A级·基础巩固] (n≥2).又a?=1,∴a=2"53 1.D 解析 由题意知a3+ag=2a?+9d,3a?+a?=4a?+18d (2)由(1)知： ,1≤2"+3b.=["53],所以当n=1,2,3时， =2(a?+a8)=12. ,2<"53<3<2,此时b,=1;当n=4,5时， ,此时b,=2; 2.C 解析 因为a?+a,=2a?=6,所以a?=3,所以a?+a??= si=a,+az)×1?=8(a?+an)=160.3+17=20,所以S ,3≤2"53<4,此时b=3;当n=6,7,8时， 3.A 解析 若分得的钱从多到少分别为a?,a?,as,a,as,所 以a?+a?=a?+a+as,a?+a?+a?+aa+a?=5,可得a? ,4<"53<5当n=9,10时， ,此时b=4,所以数列{b}的 前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24. =3, 11.解(1)因为a和a+1是方程x2+nx+b=0的两个根， 高考一轮总复习·数学·RJA ·514· d=-6. 课时检测训练33 复数 >对应答案P512 应A级·基础巩固 A.第四象限 B.第三象限 1.(2023·北章卷)在复平面内，复数x对应的点的 C.第二象限 D.第一象限 坐标是（一13），则x的共轭复数2= ( 9.(2024·新高考上海卷)已知虚数，其实部为1， A.1+√3i B.1-√3i 且十2=m(m∈R),则实数m为 C.-1+3i D.-1-√51i 10.复数x=a十2i,a∈R,若+1-3i为实数，则a 2.(2024·四川逢宁三模)若复数x= (其中a ∈R,i为虚数单位)为纯虚数，则复数：一1在复 11.(2023·福建厦门·模拟预测)在复平面内，复 平面内对应的点位于 数x=i(1十mi)(m∈R)对应的点位于直线y= A.第一象限 B.第二象限 x上，则m= C.第三象限 D.第四象限 12.已知复数x满足x(1十i)=3一4i(其中i为虚数 3.(2024,新课标全国Ⅱ卷)已知z=一1一i,则|x 单位)，则z= = ( 令B级·能力提升 A.0 B.1 C.2 D.2 13.(多选)(2023·山东青岛·先考三模)关于x的 4.(2024·金国甲卷)设x=√2i,则x·=( 方程x=一4的复数解为名，2，则() A.-i B.1 C.-1 D.2 A.z1·2=-4 5.(2024·新高寄北章卷)已知三=i-1,则z= B.x1与互为共轭复数 C.若x=2i,则满足之·之1=2十i的复数z在复 平面内对应的点在第二象限 A.1-i B.-i C.-1-iD.1 D.若引x=1,则|之一名·2|的最小值是3 6.(多选)已知复数x1=1一3i,之2=3十i,则() 14.已知复数=a十bi(a,b∈R)是方程x2+2x+5 A.1十2=6 =0的一个根，则|x= () B.1-82=-2+21 C.名1名2=6-81 A.√3 B.5 C.3 D.5 D.名名2在复平面内对应的点位于第四象限 15.若复数x满足|x-1十i≤√3(i为虚数单位)， 7.已知z(1-i)2=2-3i,则z= ( 则复数z在复平面内所对应的点构成的图形的 A.i B.1+2i 面积为 D.2+i 16.(2023·陕西西安·模拟)在复平面内，已知复 8.(2023·安徽·舒城中学三模)已知复数名1， 数x满足|x=1,i为虚数单位，则|x一3一4i 在复平面内对应的点关于原点对称，若：= 的最大值为 (1-2i)2 西，则对应的点位于 课时检测训练·数学·RJA 286 课时检测训练34 数列的概念及简单表示法对应答案13 应A级·基础巩固 7.已知数列{a,》的前n项和S.=3”十2019，则 1.下列通项公式中，对应数列是递增数列的是 {an〉的通项公式为 ( 8.已知数列{a.}的前n项和为S.,若3S,=2a.一 A.a,=1-n B.d.=1 3n,则a2o1= Γ4 n+3,n≤2， 9.数列(6.}满足6=3m二7 2寸，则当n= 时， C.an=2n2-5n+1 D.a.= 2-1,n>2 b.取最大值为 1+a,则a的 2.若数列(a,}满足a1=2,a1=1-a 10.已知S。是数列{a.}的前n项和，5S,=n(n十4). (1)求{a.}的通项公式： 值为 (2)设b=[a.],求数列{b,)的前10项和，其中 A.2 B.-3 c-是 [x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0， [2.6]=2. 3.已知数列{an}的前n项和为S.,且满足S十S。 =Sn+m,若a1=2,则an等于 ( A.2 B.4 C.20 D.40 4.(2025·杜丹江模拟)已知数列{a}的通项公式 3n—2 为a,一m+(n∈N),则下列说法正确的是 ( A这个数列的第10项为贸 且沿是该数列中的项 C数列中的各项都在区间[子1)内 D.数列{a.}是递减数列 5.(多选)已知数列a.}满是a1=1,a,=a十2a +2a3十…+1 n-a-(n>1且n∈N),则 A.a2=1 B.d=n an-1 n-1 1,n=1, C.a,-2 D.a.= 2,n22 6,若数列a.}满足< ≤a中≤2(n∈N),则称{a,》 是“紧密数列”.若{a.}(n=1,2,3,4)是“紧密数 列，且4，=1%，=4，=4，=4，则工的取值 范围为 A.[1,3) B.[1,3] C.[2,3] D.[2,3) 287 课时检测训练·数学·RJA 11,已知数列{an}的相邻两项a.和a.+1恰是方程 13.设数列(a,)的前n项和为S.,若a=受=1，且 x2+nx十bn=0的两个根，且a1=10. (1)求b.的值： S=S1+a.+1+(-1)m,则S6= (2)记S。为数列{a2n}的前n项和，求So· 14.已知数列{a,)的前n项和为S.=心，3n 2 (1)求数列{a.}的通项公式； 2)令6=（品）” ·a。,试问：数列{bn}是否有 最大项？若有，指出第几项最大：若没有，请说 明理由。 空B级·能力提升 12.设m是正整数，m≥2，在数列{an}中，“a-1≤ am且am≥am+1”是“an是数列{a,)的最大项”的 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 课时检测训练·数学·RJA 288