课时检测训练14 函数模型及其应用-【勤径学升】2026年高考数学一轮总复习课时检测训练（人教A版2019）

课时检测训练14 函数模型及其应用 对应答案P485 应A级·基础巩固 买了部分商品，则下列说法不正确的是() 1.(2024·枣庄模拟)某种动物繁殖量y(单位：只) A.如果购物总额为78元，则应付款73元 与时间x(单位：年)的关系为y=alog(x十1)， B.如果购物总额为228元，则应付款205.2元 设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发 C.如果购物总额为368元，则应付款294.4元 展到 D.如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总 A.200只 B.300只 额为516元 C.400只 D.500只 5.(2024·陕西·面安中学模拟)某大型建筑工地 2.溶液酸碱度是通过pH计算的，pH的计算公式 因施工噪音过大，被周围居民投诉，现环保局要 为pH=一lg[H],其中[H]表示溶液中氢离 求其整改，降低声强.已知声强I(单位：W/m2) 子的浓度，单位是摩尔/升，人体血液的氢离子的 表示声音在传播途径中每平方米面积上的声能 浓度通常在1×10.5一1×10-5之间，如果发 流密度，声强级L(单位：dB)与声强I的函数关 生波动，就是病理现象，那么，正常人体血液的 系式为L=10lg(aI),其中a为正实数.已知1= pH值的范围是 10W/m3时，L=10dB.若整改后的施工噪音的 A.[7.25,7.55] B.[7.25,7.45] 声强为原声强的10一2，则整改后的施工噪音的声 C.[7.25,7.35] D.[7.35,7.45] 强级降低了 () 3.北京时间2023年10月26日，神舟十七号载人 A.50 dB B.40 dB 飞船发射取得圆满成功.神舟十七号是我国载人 C.30 dB D.20 dB 航天工程进人空间站应用与发展阶段的第二次 6近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提 载人飞行任务.载人飞船进人太空需要搭载运载 供了极大方便.某共享单车公司计划在甲，乙两 火箭，火箭在发射时会产生巨大的噪声，用声压 座城市共投资120万元，根据行业规定，每座城 级来度量声音的强弱，定义声压级L。=20× 市至少要投资40万元.由前期市场调研可知：甲 1g名，其中大于0的常数，是听觉下限阙值， 城市收益P(单位：万元)与投入a(单位：万元)满 p是实际声压.声压级的单位为分贝(B),声压 足P=3√2a一6，乙城市收益Q(单位：万元)与 的单位为帕(Pa).若人正常说话的声压约为 投人A(单位：万元)满足Q=A十2，则投资这 0.02Pa,且火箭发射时的声压级比人正常说话 两座城市收益的最大值为 时的声压级约大100dB,则火箭发射时的声压约 A.26万元 B.44万元 为 ( C.48万元 D.72万元 A.2 Pa B.20 Pa 7,某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运 C.200 Pa D.2000Pa 营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单 4,某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活 位：10万元)与营运年数x(x∈N·)为二次函数 动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50 的关系（如图），则每辆客车营运年数为 元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元 时，营运的年平均利润最大， 但不超过100元，可以使用一张5元优惠券； (3)如果购物总额超过100元但不超过300元， 则按该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总 额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予 优惠，超过300元的部分给予8折优惠.某人购 课时检测训练·数学·RJA 256 8.如图，某地要在矩形区域OABC内建造三角形 (3)若对于任意定义域内的实数x,明年渔场中 池塘OEF,E,F分别在AB,BC边上.OA= 的鱼群也不能达到最大养殖量，求比例系数 的取值范围。 5米，0C=4米，∠EOF=牙，设CF=x,AE=y. 则写出y关于x的函数解析式，并写出x的取值 范围 9.2021年10月16日0时23分，搭载神舟十三号 载人飞船的长征二号F遥十三运载火箭，在酒泉 11.(2024·惠州模拟)近期某市某企业为了激励销 卫星发射中心点火升空.约582秒后，载人飞船 售人员的积极性，实现企业高质量发展，其根据 员工的销售额发放奖金（奖金和销售额单位都 与火箭成功分离，进入预定轨道，发射取得圆满 为万元)，奖金发放方案同时具备两个条件： 成功，此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重 ①奖金f(x)随销售额x(2≤x≤8)的增加而增 要的作用.火箭质量是箭体质量与燃料质量的 加：②奖金不低于销售额的5%（即奖金f(x)大 和，在不考虑空气阻力的条件下，燃料质量不同 于等于x·5%).经测算该企业决定采用函数 的火箭的最大速度之差与火箭质量的自然对数 模型f(x)=-a+b(a>0,b>0)作为奖金 30x 之差成正比.已知某火箭的箭体质量为mkg,当 发放方案。 燃料质量为mkg时，该火箭的最大速度为 (1)若a=b=,此奖金发放方案是否满足条 21n2km/s,当燃料质量为m(e一1)kg时，该火 件？说明理由， 箭最大速度为2km/s.若该火箭最大速度达到 第一宇宙速度7.9km/s,则燃料质量是箭体质 (2)若=号要使奖金发放方案满足条件，求实 数a的取值范围. 量的 倍.（参考数据：√e≈52） 10.渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群 的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量， 必须留适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y 吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比， 比例系数为k(k>0).(空闲率为空闲量与最大 养殖量的比值) (1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函 数的定义域： (2)求鱼群年增长量的最大值： 257 课时检测训练·数学·RJA 空B级·能力提升 的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和 12.为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国， 为y(单位：万元) 扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展 (1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x 小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还 的取值范围： 款比例P关于还款人的年收人x(单位：万元) (2)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？ 的Logistic模型：P(x)= e-0.9+4 1十e4叶女.已知当贷 款人的年收入为9万元时，其实际还款比例为 50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷 款人的年收人约为（参考数据：ln3≈1.1，ln2≈ 0.7) A.4万元 B.8万元 C.6万元 D.5万元 13.声强级Li(单位：dB)为声强1（单位：W/m2)之 间的关系是：i=1og,其中1指的是人能 听到的最低声强，对应的声强级称为闻阙.人能 承受的最大声强为1W/m,对应的声强级为 120dB,称为痛阙.某歌唱家唱歌时，声强级范 围为[70,80]（单位：dB),下列选项中错误的是 () A.闻阈的声强级为0dB B.此歌唱家唱歌时的声强范围[105,104门（单 位：W/m2) C.如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变 为原来的2倍 D.声强级增加10dB,则声强变为原来的10倍 14.某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对 污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量。 经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4年的 污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位： 万元)与设备的占地面积x(单位：平方米)成正 比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需 缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x 之间的函数关系为C()-P5>0.该企业 课时检测训练·数学·RJA 258则号<x?+x?+x?<6, (琴，6).故x?+x?+x?的取值范围是 [B级·能力提升] 13.BCD 解析 A.当a=1时，f(x)=√x+1-1-x, 由|x+1|-1≥0,解得x≥0或x≤-2, 所以函数f(x)的定义域为(-∞,-2)U[0,+○),故错误； B.当a=0时，f(x)=√x[-x,定义域为R, 当x≥1时，f(x)≤0; 当x<1时，f(x)>0, 所以函数f(x)的值域为R,故正确； C.当a=-1时，f(x)=√x-1|+1-x, 当z≥1时，f(x)=√x-x=-(Vx-2)2+1, 在[1,+∞]上单调递减； 当x<1时，f(x)=√2-x-x, 在(-∞,1)上单调递减， 又f(1)=0,所以函数f(x)在R上单调递减，故正确； D.易知 f(ax)=√ax+a-a-ax,f(ax)=a, 即√ax+a-a=a+ax. 设a+ax=t≥0,则√t-a=t, 即a=-t+t=-(1-2)2+4, 若方程f(ax)=a有两个解， 则a∈(0,4),,故正确.故选BCD. 14.C 解析 画出f(x)的图象如图. y -H y=f(x) 2 4 6 810 /1412 o 1357\ 9 11/1315x -1F 由题意可知-log?x?=loggx?→x?x?=1, -cos 5x=-cos 号x, 由图象可知xs,x?关于直线x=10对称， 所以x?+x?=20,因此x?x?X?x?=x?x?, 当-cos 5xa=-cos 号xa=1时，x?=5,x?=15,此时x?T。 =75, 当—os号x=-cos号x=0时，x=5,x=25,此时 xax=345, 当存在x?,T2,xs,x?(x?<x?<x?<x)满足f(x?)=f(x?) =f(x?)=f(x)=a∈(0,1)时，此时 x?x?X?x?=x?T? ∈(75,375). 15.4 解析 将函数g(x)向左平移1个单位，所以g(x+1)= (x+1-1)f'(x+1)-1=xf'(x+1)-1. 因为f(x+1)是偶函数，由偶函数的导数为奇函数可知， f'(x+1)是奇函数， 且奇函数与奇函数的乘积为偶函数，则y=xf(x+1)为偶 函数， 所以g(x+1)=xf'(x+1)-1为偶函数. 又因为函数g(x)恰有四个零点，即函数g(x+1)恰有四个 零点， 且这四个零点一定是两组关于y轴对称的点，其四个零点 之和为0, 而g(x+1)是由g(x)向左平移了1个单位， 所以g(x)的四个零点之和为4. 16.-2 解析 f(x)=In |x|-|x-1|定义域为 (-○,0)U(0,+∞), 当x≥1时，得f(x)=In x-x+1, f(x)=1-1=1-≤0恒成立，所以f(x)=In x-x+ 1在x∈[1,+∞]上单调递减， 此时f(x)mx=0; 当O<a<1时，f(x)=In x+x-1,f(x)=1+1=1tx >0, 所以f(x)=In x+x-1在x∈(0,1)上单调递增； 当x<0时，f(x)=ln(-x)+x-1,f(x)=1+1, 当x∈(-,-1)时，f(x)=1+1>0; 当x∈(-1,0),f(x)=1+1<0 所以 f(x)在x∈(-∞,-1)上单调递增，在 x∈ (-1,0)上单调递减， 且f(-1)=-1-1=-2,画出函数图象如下： y -1 o /1 x y=m -2 显然，当m=-2时，y=m与f(x)=In|x|-|x-1|的 图象有三个交点，此时y=f(x)-m有三个零点，满足 要求. 课时检测训练14 函数模型及其应用 [A级·基础巩固] 1.A 解析 由题意，繁殖量y与时间x的关系为y=alog?(x +1).又这种动物第2年有100只，即当x=2时，y=100,所 以100=alog?(2+1),解得a=100,故y=100log?(x+1).所 以当x=8时，y=100×log?(8+1)=100×2=200. 2.D 解析 依题意，令pH?=-lg[1×10-7.45]=7.45,pH?= -1g[1×10-7-35]=7.35,因此，正常人体血液的pH值的范 围是[7.35,7.45]. 3.D 解析 设人正常说话时的声压级为L。,火箭发射时的 声压级为L。,则L。-L=100.又人正常说话的声压p?= La=20×1g°;02,0.02 Pa,火箭发射时的声压为p?,于是 L=20×18,两式相减得20(lg p?-lg 0.02)=100,解得 p?=2000,所以火箭发射时的声压约为2000 Pa. 4.C 解析 若购物总额为78元， 则应付款78-5=73(元),故A正确； 若购物总额为228元， · 485· 高考一轮总复习·数学·RJA 则应付款228×0.9=205.2(元),故B正确； 质量的自然对数之差成正比的比例系数为k,则2-2In 2= 若购物总额为368元，则应付款300×0.9+68×0.8=324.4 (元),故C错误； k{ln[m+m(e-1)]-In(m+m)},解得k=2. 若购物时一次性应付款442.8元，则包含购物总额300元应 设当该火箭最大速度达到第一宇宙速度7.9 km/s时，燃料 质量是箭体质量的a倍， 17.8=216付的270元，还有172.8元对应的购物额度 (元),因此购物总额为300+216=516(元),故D正确. 则7.9-2=2{ln(am+m)-In[m+m(e-1)]}, ∴7.9-2=21na±1=2[ln(a+1)-1], 5.D 解析 由已知得10=10·lg(a×1013),解得a=10-12, ∴2ln(a+1)=7.9,得(a+1)2=e7.9 故L=10·lg(10-12×I)=10(-12+lg I). 设施工噪音原来的声强为I?,声强级为L?,整改后的声强为 I?,声强级为L?, ∴a+1=√e'?≈52,∴a≈51,则燃料质量是箭体质量的 51倍. 则L?-L?=10(-12+1g I?)-10(-12+1g I?)= 10.解(1)由题意得，空闲率为1-m,所以y=kx(1-m), 10(gI?-IgI?)=10·1g1=20. 定义域为(0,m). 6.B 解析 设甲城市投资a万元， y=kz(1-—)=--(x-2)2+,因为(2)由(1),得 则乙城市投资(120-a)万元， {40≤120-a<120,由题意可知 x=2时，y取得最大值，y=x∈(0,m),k>0,所以当 , 4,故鱼群年增长量的最大值为 解得40≤a≤80, 设投资这两座城市收益为y, 则有y=3√2a-6+—(120-a)+2 =3√2a-4a+26, 令√a=t,t∈[2√10,4√5], f(t)=-4t2+3√21+26,则有j (3)由题意，得0<x+y<m,结合第二问可知o<2+4 <m,又m>0,解得-2<k<2,又k>0,故比例系数k的取 值范围是(0,2). 11.解(1)不满足条件.理由如下：当a=b=30时，f(x)=30 30z+30,因为y=30+30在[2,8]上单调递增，y= 该二次函数的图象开口向下， 且对称轴t=6√2∈[2√10,4√5], 30在[2,8]上单调递增， 所以f(t)=f(6√2)=-4×(6√2)2+3√2×6√2+26 则f(x)=30-30x+30在[2,8]上单调递增，所以条件① 满足. =44. 7.5 解析 根据题意得到：抛物线的顶点为(6,11),过点 对于条件②,f(x)=30-30z+3≥5?x,即3030z+ (4,7),开口向下， 3≥20, 设二次函数的解析式为y=a(x-6)2+11(a<0), 所以7=a(4-6)2+11,解得a=-1,即 y=-(x-6)2+11, 整理可得x2-2x+2≤0,此不等式无解，不满足条件②. 故a=b=30不满足条件. =-(z-62+11=12-则营运的年平均利 润 (2)当b=专时，f(x)=30-+3, (x+25)≤12-2√25=2, 因为a>0,所以f(x)在[2,8]上单调递增，奖金发放方案满 足条件①. x=25,即x=5时取等号。当且仅当 8.y=54-(9≤x≤4) 解析 因为∠EOF=4,所以 ∠COF+∠AOE=4, 60+a<3在x∈[2,8]时恒f(x)≥20,即由条件②,可知 成立， 由题意，得 tan ∠COF=4,tan ∠AOE=号，则 cCor+AoE-- y=54- 4≤x≤4,,由0≤y≤4,得-化简得 y=54-(4≤x≤4).所以y关于x的函数解析式为： a≤-器+李==(z-102+100在x∈[2,8]时恒所以， 成立. y=-(a-602+100在[2,8]上单调递增，因为函数 35 a≤3.所以当x=2时，y取得最小值- ,即 所以要使奖金发放方案满足条件，实数a的取值范围 为(0,号) [B级·能力提升] 112.D 解析 由题意得当x=9时，P=50则：9.51 解析 设燃料质量不同的火箭的最大速度之差与火箭 高考一轮总复习·数学·RJA · 486· 50得e-0.9+=1, P(a)=1++;所以9k-0.9=0,得k=0.1,所以 I+e+=40得3e+=2,当P=40??， 所以eo+e=3,所以-0.9+0.1z=in3=In2-In3≈ 0.7-1.1,解得x=5,所以当银行希望实际还款比例为 40??，则贷款人的年收入约为5万元.故选D. 101g-=120,则I。=10-12W/m2,故Li13.C 解析 由题意 =10lg(1012D=120+10lg I, 当I=10-12W/m2时，Li=0 dB,A正确； 若Li=70 dB,即10lg I=-50,则I=10??W/m2;若Li= 80 dB,即10lg I=-40,则I=10??W/m2,故歌唱家唱歌时 的声强范围[10-?,10-?](单位：W/m2),B正确； 101g×°1)2≠2,将I?,2I?对应的声强级作商为 C错误； -10,D正确将Li,Li+10对应声强作商为 14.解(1)由题意得y=0.2x+85(x>0). 要满足题意，则y≤7.2, 即0.2x+85≤7.2, 解得11≤x≤20. 即设备占地面积x的取值范围为[11,20]. (2)y=0.2x+85=55++5-1 ≥2√55.85-1=2√16-1=7, x55-x8+5当且仅当 ,即x=15时，等号成立. 所以当设备占地面积为15平方米时，y的值最小. 课时检测训练15 导数的概念及运算 [A级·基础巩固] 1.A 解析 因为f(x)=e"sin 2x, 则f(x)=e2(sin 2x+2cos 2x), 所以f'(0)=e°(sin 0+2cos 0)=2. 2.A 解析 由图可知，f(3)<f?5-333<f(5),即 2f'(3)<f(5)-f(3)<2f'(5). 3.A 解析 因为f(x)=cos(2x+3), 则f(x)=-2sin(2x+3), 所以f(4)=-2sin(2+3)=-2cos3=-1. 4.AC 解析 因为函数f(x)=e,所以f'(x)=e".对于A,令 f'(x)=e2=1,得x=0,所以曲线y=f(x)的切线斜率可以 是1,故A正确；对于B,令f'(x)=e3=-1,此方程无解，所 以曲线y=f(x)的切线斜率不可以是-1,故B错误；对于 C,设切点为(x?,e3),则切线方程为y-e3=e(x-x?),因 为直线经过(0,1),所以有1-e?=e3(0-xo),解得x=0, 所以(0,1)即为切点，过点(0,1)且与曲线y=f(x)相切的直 线有且只有一条，故C正确；对于D,设切点为(x。,e°),则切 线方程为y-e2=e3(x-x。),因为点(0,0)在切线上，所以 e=xe°,解得x=1,所以过点(0,0)且与曲线y=f(x)相 切的直线有且只有1条，故D错误. 5.C 解析 根据题意，设两曲线y=f(x)与y=g(x)的公共 点为(a,b),其中a>0, 由f(x)=-2x2+m,可得f'(x)=-4x, 则切线的斜率k=f'(a)=-4a, g'(x)=-3-1,由g(x)=-3ln x-x,可得 则切线的斜率k=g'(a)=-3-1, 因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以 -4a=-3-1, 解得a=1或a=-4-(舍去), 又由g(1)=-1,即公共点的坐标为(1,-1), 将点(1,-1)代入f(x)=-2x2+m, 可得m=1. f(x)=2e°-3x,x6.D 解析 设P点坐标为(x?,y。),由 ∈R,得f(x)=2e°-√3, 2e3-3>-3,则以P为切点的切线斜率为 令切线倾斜角为0,O∈(0,π),则 tanθ>-√3,则0∈(0,否) u(,π). f(x)=2-2ax+In(x+1)(x>-1),7.A 解析 因为函数) 所以f(x)=x++1-a=x+1++1-a-1≥ 2√x+1·-a-1=1-a, x+1=x+1当且仅当 ,即x=0时，等号成立， 因为函数f(x)的图象上不存在互相垂直的切线， 所以f'(x)mim≥0,即1-a≥0, 解得a≤1. 8.B 解析 因为直线l与曲线y=e2相切，切点为M(x?,y?), 可知直线l的方程为y=e3(x-x?)+e3=e3x+(1- x?)e3. 又直线L与曲线y=(x+3)2也相切，切点为N(x?,y?), 可知直线L的方程为y=2(x?+3)(x-x?)+(x?+3)2= 2(x?+3)x-x2+9, 1-)c3-+9,"所以 两式相除，可得2(1-x?)=3- x?,所以2x?-x?=-1. 9.3 解析 由题可得f(x)=2f(1)x+,所以f(1)= 2f(1)+1,解得f'(1)=-1, 所以f(x)=-2x+,所以f(-1)=2+1=3. ·487· 高考一轮总复习·数学·RJA