专题07：期末满分冲刺 （压轴篇）期末复习-2024-2025学年高一数学下学期沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题07 期末满分冲刺（压轴篇） 题型一：三角变换与解三角形填选压轴 1. 已知，则是第_______象限角 【答案】三 【解析】 【分析】找到与终边相同的最小正角，即可判断所在象限. 【详解】由，故是第三象限角. 故答案为：三 2. 一个扇形半径是，圆心角为，则此扇形弧长是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的弧长公式求解即可. 【详解】由扇形的弧长公式可知，此扇形的弧长. 故答案为： 3. 已知的终边经过点，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义直接求解即可. 【详解】因为，所以， 因此， 故答案为： 4．在中，，则 ． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式化简可得，再利用辅助角公式，即可求得答案. 【解析】因为中，， 故由正弦定理可得， 所以， 即， 而，故， 所以， 由于,故, 故答案为： 5．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 【答案】/ 【分析】由正弦定理化角为边，得，再由余弦定理化边为角即可求解. 【解析】由结合正弦定理得，则， 即，由余弦定理有， 而，所以. 故答案为：. 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 【答案】 【分析】由正弦定理及余弦定理求出，求解即可． 【解析】由正弦定理可得，故， 所以，由余弦定理可得， 所以，可得，则， 则周长为： 故答案为：． 7．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 【答案】/ 【分析】根据正弦定理求得，再根据余弦定理可得求解即可. 【解析】由余弦定理可得，即. 由正弦定理，故. 又，故，即. 又，故， 故. 故答案为：. 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合辅助角公式，化简得到，利用正弦函数的性质，即可求解. 【解析】由，可得， 因为，可得， 所以. 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海·期中）已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 【答案】B 【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值，举例判断即可. 【解析】①任意的，当时，， ，满足，故①正确； ②当时，，， 则不存在，使得等式成立，故②不正确. 故选：B. 10．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 【答案】 【分析】先在中求出AC，再利用正弦定理，在中求出，进而转化到中求解即可. 【解析】解：作交于E，由题意可得如图： ， 所以， ， 在中，由正弦定理可得： ， 所以， 所以， ， 在直角中，， 故答案为：475. 11. 在中，若，则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理得，再由余弦定理求得，得到，即可得到答案. 【详解】因为在中，满足， 由正弦定理知，代入上式得， 又由余弦定理可得，因为C是三角形的内角，所以， 所以为钝角三角形，故选A. 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理、余弦定理判定三角形的形状，其中解答中合理利用正、余弦定理，求得角C的范围是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果. 【解析】因为，所以， 所以，即， 又，所以， 所以，所以. 因为， 由余弦定理得， 即， 又，所以，所以， 由正弦定理得，所以. 设的外接圆的半径为， 所以，解得， 所以的外接圆的面积为. 故选：B. 题型二：三角函数填选压轴 13．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简，由已知条件结合正弦函数性质可得结果. 【解析】因为， 因为的图象在上有且仅有两条对称轴，所以， 解得，所以的取值范围是． 故答案为：. 14. 写出函数的一个对称中心： . 【答案】 【解析】 ， 令或， 则或， 令，则，所以函数的一个对称中心是. 故答案：(答案不唯一，横坐标符合()即可) 15．设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】对函数化简得，利用换元法有，，求出，知有两个零点，然后分类讨论的情况，根据函数在区间有上个零点，从而求出值. 【解析】由题意， 令，，所以，， 所以，，， 记的两零点为、，因为，设，， 当，即时，得，在（k为正整数），内零点个数为3k， 在内零点个数为，因为， 所以； 当，即时，，在（k为正整数）内零点个数为3k， 在内零点个数为，此时不存在n； 当时，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 因为，所以或； 当时，则，， 在（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以； 当，则，， 在和（k为正整数）内零点个数均为2k， 所以或； 综上n的所有可能值为：，，，，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于利用换元法化函数为，然后分类讨论的情况，结合在上有个零点，求解的可能取值. 16．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先求出函数在，依题意时的值域包含，结合正弦函数的性质求出的取值范围，即可得解. 【解析】当时， 因为对于任意，都存在，使得， 所以当时的值域包含， 又， 所以，则的最小值为. 故答案为： 17．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由的最大值和可知，的最小值即为的最小值周期，然后可得. 【解析】由题知，， 因为，所以， 因为的最大值为1，所以， 所以的最小值即的最小值周期， 所以. 故选：D 18. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， 当时，，即，； 当时，，即，； 综上：； 因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设，则， 因为， 则，解得， 所以， ． 故选：C. 19．已知函数，，则下列判断不正确的是（    ） A． B．在区间上只有个零点 C．的最小正周期为 D．直线为函数图象的一条对称轴 【答案】B 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式变形函数式，再根据正弦函数的图像及性质逐一判断各选项作答. 【解析】由题意，， 对于A，因为，则，即，A正确； 对于B，由得，即，满足的有，B错误； 对于C，的最小正周期为，C正确； 对于D，当时，，则，因此是图象的一条对称轴，D正确. 故选：B 题型三：平面向量填选压轴 20. 如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______． 【答案】 【解析】 【分析】结合图形，根据向量线性运算的法则分别讨论t＝0、t＞0、t＜0时的最小值情况，据此即可求出． 【详解】当t＝0时，不满足题意； 当t＞0时，设t＝，延长EA到F，使AF＝AE， 则t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB，则在Rt△CDF中，，此时无最小值不满足题意； 当t＜0时，设t＝， 则， 取AB中点为D，则CD⊥AB， 由图可知，， ∵的最小值为2， ∴＝2，∴． 故答案为：． 21. 如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题可得，将化为，利用的范围可求解. 【详解】等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点， ，则 ， ，所以 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查数量积的取值范围，解题的关键是利用向量关系将化为，则容易求出. 22．在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】由题意在中，，再由三角形的角平分线定理可得：，最后由分点恒等式将用，表示出来，从而求出和即可 【解析】因为在中，，，所以， 又因为的平分线交于点， 所以在中，由正弦定理可得：， 同理在中， 因为，， 所以， 则， 所以，，则 故答案为： 23．已知A，B，C为圆O（O为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时， . 【答案】 【分析】根据题意以为原点、方向为轴正方向建立平面直角坐标系，得到，，设，得到，，进而表示，结合辅助角公式与三角函数知识求解即可. 【解析】设圆O的半径为，以为原点，方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 则，，设，      因为，所以， 所以，， 所以 ，其中， 当且仅当时，取得最大值， 此时， 则. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题考查平面向量坐标法与三角函数综合应用.关键是建立恰当的平面直角坐标系，通过等量关系进行转化，将化为三角函数式，结合三角函数诱导公式等知识进行求解.本题考查转化与化归能力，数形结合思维，属于难题. 24．（2024高一下·上海徐汇·期末）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法的三角形法则，构图即可判断 【解析】                   （2） 由非零向量，满足 当，不共线时, 可考虑构造等腰三角形, 如图（1）所示, , 则. 在图（1）中, , 不能比较与的大小; 在图（2）中, 由, 得, 所以 为的直角三角形. 易知, 由三角形中大角对大边, 得. 故选：C 25．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，写出需要点的坐标，然后利用向量加法的坐标运算、向量的数量积坐标运算及向量的坐标运算即可求解. 【解析】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH， 所以 作，则, 因为，所以， 所以，同理可得其余各点坐标， ， 对于A ，，故A正确； 对于B ，，故B正确； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D ,，， ，故D不正确. 故选：D. 题型四：复数压轴 26．（2023秋•虹口区校级期中）设复数为虚数单位）且，若，则　　． 27．（2023•上海开学）已知，若实数、满足，则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数相等的条件，以及复数模公式，即可求解． 【解答】解：， 则，， ， 则，即，即，解得， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题． 28．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 【答案】D 【分析】根据题意假设是方程的根，进而代入得，同号，再求得，即可判断求得答案. 【解析】解：因为关于x的方程有纯虚数根，不妨设为， 所以，即， 所以，所以，同号， 所以， 所以， 令，所以，即 因为， 所以， 所以不可能为纯虚数，也不可能为实数， 所以关于x的方程既没有实数根，也没有纯虚数根 故选：D 29．（2024春•宝山区校级期末）已知复数满足，的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 【分析】根据题意，由复数的几何意义，代入计算，即可求解． 【解答】解：因为，所以在复平面对应的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 且表示圆上的点到原点的距离， 则，， 所以的取值范围为，． 故选：． 【点评】本题考查复数的几何意义，属于中档题． 30．（2023秋•闵行区期末）已知复数、在复平面内对应的点分别为、，为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是　　 A． B． C．的周长 D．的面积 【分析】由已知可得出，求出方程的虚根，结合复数模的性质可得出结论． 【解答】解：因为复数、在复平面内对应的点分别为、，为坐标原点），则， 由可得， 对于方程，则△， 解方程可得， 所以，，所以，， 中，由于不是定值，则的面积、均不为定值． 故选：． 【点评】本题考查了复数的几何意义以及复数的模，考查复数的三角函数表示，是中档题． 题型五：简答题 31．在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可得出关于的方程，结合角的取值范围先得出的值，进而可得出角的值； （2）设，则，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求出的值，即可得出的周长. 【解析】（1）解：因为， 所以，，即. 因为，则，所以，，解得， 所以，，因此，. （2）解：因为，设，则， 由余弦定理可得，所以，， 因为边上的高为，则， 即，解得， 因此，的周长为. 32．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 33 ．（2024·上海闵行·二模）在锐角中，角所对边的边长分别为，且. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果； （2）根据为锐角三角形求出，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得结果. 【详解】（1）， ， 又， ，. （2）由（1）可知，，且为锐角三角形， 所以，， 则， 因为， . 34．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 35．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【详解】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 36. 设，. （1）求函数的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由，，令求解； （2）由可得，再利用余弦定理求得c，再利用求解. 【小问1详解】 解：，， 令，解得， 所以其单调增区间为. 【小问2详解】 由即， 因为是锐角，所以，得，即. 由余弦定理，，整理得，解得或. 当时，，最大角是钝角，为钝角三角形，舍去； 当时，，最大角是锐角，为锐角三角形，符合题意. . 37．已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，分别写出点的坐标，再根据平面向量内积的定义即可求解. （2）先求解的坐标表示，再结合二次函数的最值求解的最小值. （3）先求解的坐标表示，再结合基本不等式求解的最小值. 【解析】（1）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 令，则，，，所以，， ，， ，， ， 所以. （2）依题意，以点为坐标原点，所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同， 所在的直线为轴，向量的方向与轴正方向相同，建立平面直角坐标系，如图所示： 因为，所以，，， 因为直线的斜率为， 所以直线的方程为， 因为是线段上任意一点， 所以设，， ，， ， 因为， 所以当且仅当时，的最小值为. （3）设，则，如图所示： 因为， 所以，得， 因为， 所以，得， 所以 ， 当且仅当， 即时，取得最小值36， . 38．已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据平面向量坐标运算求出向量坐标，然后根据模长公式可求答案； （2）先求向量的模，再根据平面向量夹角运算公式可求答案. 【解析】（1）因为，， 所以，； 因为，所以， 解得. （2）由题意得，， 所以，； 所以. 39．（2024高一下·上海浦东新·期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 【答案】（1）；（2）12；（3）． 【分析】利用向量线性运算的坐标表示，（1）可得代入，即可求的坐标；（2）可得代入，即可求其的最值；（3）求、的坐标，进而可得、，结合题设有，应用三角恒等变换及三角函数的性质，可得、，由分类讨论的方式求的所有可能值． 【解析】（1）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，故； （2）由题意，， ∴， ， ∴由，则、，即， ∴当时，的最大值为12； （3）， ， ∴，， ∵△为等边三角形， ∴， ∴， ， 整理得：且， ∴或， 综上， 当，时，或； 当，时，或； 所以的所有可能值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，首先求出、的坐标，再由，结合三角恒等变换、三角函数性质求出的可能值，进而求对应值. 40．（2024春•宝山区校级期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若，求实数的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时实数的值． 【分析】（1）化简得到，求出； （2），从而得到时，取得最小值，最小值为． 【解答】解：（1）， ，，解得． 经检验，满足要求； （2） ， 当时，取得最小值，最小值为． 故最小值为，此时． 【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题． 41．已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 【答案】（1）i或i；（2）． 【分析】（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可． （2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出 【解析】（1）设i， 由复数满足，的虚部为2． 可得，解得或， 故i或i； （2）当i时，i，i， 所以，，， 所以，，. 42. 已知复数，，其中为虚数单位，. （1）当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值. （2）求的值域. 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】（1）由于、是方程的两个虚根，得出，求出的值，再根据根与系数的关系可求出、； （2）直接求出的表达式，利用三角函数以及二次函数的性质，求出值域即可. 【详解】（1）已知复数，， 、是方程的两个虚根，所以，即， 所以，所以，， 由韦达定理可得， ； （2） 【点睛】方法点睛：三角函数最值的不同求法： ①利用和的最值直接求； ②把形如的三角函数化为的形式求最值； ③利用和的关系转换成二次函数求最值； ④形如或转换成二次函数求最值. 题型六：应用题 43．（2022宝山高一下期末）如图所示，平面四边形BCDE为某金鱼池区域，△ABE为观光区域，准备在AB、BE、AE三条边上修建观地训路，已知∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，BC＝CD＝20米，DE＝80米． （1）求四边形BCDE的面积（精确到0.1平方米）； （2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）． 解：（1）如图，连接BD，∠BCD＝，BC＝CD＝20米，故三角形BCD为等腰三角形， 且∠CBD＝∠CDB＝，由∠CDE＝，故，所以BD⊥DE， 易知BD＝2CD×cos∠CDB＝×＝60， 所以S四边形BCDE＝S△BCD+S△BDE＝ ＝≈2919.69（平方米）． （2）由（1）可知＝， 在△ABE中，由余弦定理得BE2＝AB2+AE2﹣2AB•AE•cos∠BAE， 即10000＝AB2+AE2﹣2AE•AB＝AB2+AE2+AB•AE＝（AB+AE）2﹣AB•AE……① 因为，（当且仅当AB＝AE时，取等号）， 故①式可化为：，即， 故观光道路长度总和的最大值约为BE+115.5＝215.5米． 44．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 【答案】(1)米 (2)平方米 【分析】（1）首先求出，在中，利用余弦定理求出； （2）在中，先利用正弦定理求出，再根据三角形的面积公式，利用三角恒等变换化简结合三角函数的性质即可得解. 【解析】（1）因为，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）， 所以的长为米； （2）因为，， 设，，则， 在中，由正弦定理得， 所有， 则 ， 当，即时，面积取得最大值，最大值为平方米. 题型七：新定义问题与综合压轴 46.．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 【答案】(1) (2)存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据“长向量”的定义，列不等式，求的取值范围即可得； （2）由题意可得，亦可得，故只需使，计入计算即可得； （3）首先由，，均是向量组，，的“长向量”，变形得到，设,由条件列式，变形为，转化为求的最小值. 【解析】（1）由题意可得：，则，解得：； （2）存在“长向量”，且“长向量”为，，理由如下： 由题意可得， 若存在“长向量”，只需使， 又， 故只需使 ，即，即， 当或时，符合要求，故存在“长向量”，且“长向量”为，； （3）由题意，得，，即， 即，同理， ， 三式相加并化简，得：， 即，，所以， 设，由得：， 设，则依题意得：， 得， 故， ， 所以， ， 当且仅当时等号成立， 故. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题意，理解“长向量”的定义，前两问均是利用定义解题，第三问注意转化关系，关键是转化为. 48．对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)0 【分析】（1）取非零常数，证明函数满足即可； （2）根据函数是“函数”，可推出恒成立，化简为，结合余弦函数性质可得答案； （3）由“严格函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合是奇函数，利用其对称性即可求得答案. 【解析】（1）证明：取非零常数， 则对任意的，都有， 因为，即成立， 故，是“函数”. （2）函数是“函数”，， 则，即， 整理得，而， 故， 即的取值范围为； （3）因为对于任意，对任意的，都有成立， 则在R上为单调增函数， 令，，由题意知为奇函数， 因为，， 所以， 所以，则. 【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题. 49. 在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足，（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”． （1）写出当时，函数，图像上所有正格点的坐标； （2）若函数，，与函数的图像有正格点交点，求的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由． （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2），4； （3）． 【解析】 【分析】(1)由，得，即可求相应正格点的坐标； (2)作出两个函数图像，根据图像可得正格点交点只有一个点为，从而有，求得，得出交点个数； (3)结合(2)图像，分类讨论的情况. 【小问1详解】 解因为，所以， 所以函数的正格点为，…，，… 【小问2详解】 作出两个函数图像．如图， 可知函数，与函数的图像只有一个“正格点”交点． ∴， 又可得． 根据图像可知，两个函数图像的所有交点个数为4个． 【小问3详解】 由（2）知， 所以，所以，故； 当时，不等式不能恒成立； 当时，由下图可知， 由，解得. 50．已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出，即可求出函数解析式； （2）依题意可得，即可求出，再根据三角函数的变换规则求出变换后的解析式，由对称性及诱导公式求出，即可得解； （3）首先求出周期，分、两种情况讨论，分别求出的取值范围，即可得到的值域，从而得到方程组，解得，再根据求出，即可得解. 【解析】（1）依题意，又，所以， 所以，，解得，，又， 所以，所以. （2）依题意，，所以， 所以，将的图像向右平移个单位长度得到， 又关于轴对称，所以，所以， 又，所以，所以. （3）因为，，即区间的长度恰为， 又，令，，解得，， 所以的对称轴为，， 根据正弦曲线的性质当在区间上严格单调时取得最大值， 当与恰关于，对称时取得最小值， ①不妨设当，则是上严格增函数， 则 ， 因为， 所以，则，即， 即， ②不妨设当， 则， 因为， 所以，则，即， 即， 综上所述，即，解得， 所以，又， 所以，所以或，， 因为，所以，所以. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题07 期末满分冲刺（压轴篇） 题型一：三角变换与解三角形填选压轴 1. 已知，则是第_______象限角 2. 一个扇形半径是，圆心角为，则此扇形弧长是_____________. 3. 已知的终边经过点，则_________ 4．在中，，则 ． 5．的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则= . 6．（23-24高一下·上海黄浦·期中）在中，若，且，则的周长为 . 7．（23-24高一下·上海·期中）在中，若，，且，则 . 8．（22-23高一下·上海虹口·期中）若，则的取值范围是 ． 9．（24-25高三上·上海·期中）已知，关于等式，以下两个命题： ①对任意的，总存在，使得等式成立； ②对任意的，总存在，使得等式成立. 则下列判断正确的是（   ） A．①与②都正确 B．①正确，②不正确 C．①不正确，②正确 D．①与②都不正确 10．某临海地区为保障游客安全修建了海上救生栈道，如图，线段、是救生栈道的一部分，其中，，在的北偏东方向，在的正北方向，在的北偏西方向，且．若救生艇在处载上遇险游客需要尽快抵达救生栈道，则最短距离为 m．(结果精确到1 m) 11. 在中，若，则的形状是 A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不能确定 12．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 题型二：三角函数填选压轴 13．已知函数，若的图象在上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是 ． 14. 写出函数的一个对称中心： . 15．设a为常数，函数在区间上恰有个零点，求所有可能的正整数n的值组成的集合为 . 16．（23-24高一下·上海·期中）设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 . 17．（23-24高一下·上海闵行·期中）将函数的图像向上平移1个单位，得到的图像，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 18. 已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（    ） A．0 B． C． D． 19．已知函数，，则下列判断不正确的是（    ） A． B．在区间上只有个零点 C．的最小正周期为 D．直线为函数图象的一条对称轴 题型三：平面向量填选压轴 20. 如图，定圆的半径为3，A，B为圆上的两点，且的最小值为2，则______． 21. 如图，等边是半径为的圆的内接三角形，是边的中点，是圆外一点，且，当绕圆心旋转时，则的取值范围为_________. 22．在中，，，的平分线交于点．若，则 ． 23．已知A，B，C为圆O（O为坐标原点）上不同的三点，且，若，则当取最大值时， . 24．（2024高一下·上海徐汇·期末）若非零不共线的向量满足，则（    ）． A． B． C． D． 25．如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相涉透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　） A． B． C． D． 题型四：复数压轴 26．（2023秋•虹口区校级期中）设复数为虚数单位）且，若，则　　． 27．（2023•上海开学）已知，若实数、满足，则　　． 28．设.已知关于x的方程有纯虚数根，则关于x的方程（    ） A．只有纯虚数根 B．只有实数根 C．有两个实数根，两个纯虚数根 D．既没有实数根，也没有纯虚数根 29．（2024春•宝山区校级期末）已知复数满足，的取值范围为　　 A．， B． C．， D． 30．（2023秋•闵行区期末）已知复数、在复平面内对应的点分别为、，为坐标原点），且，则对任意，下列选项中为定值的是　　 A． B． C．的周长 D．的面积 题型五：简答题 31．在中，已知． (1)求角的大小； (2)设角、、的对边分别为、、．若，且边上的高为，求的周长． 32．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 33 ．（2024·上海闵行·二模）在锐角中，角所对边的边长分别为，且. (1)求角； (2)求的取值范围. 34．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 35．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 36. 设，. （1）求函数的单调增区间； （2）设为锐角三角形，角所对的边，角所对的边.若，求的面积. 37．已知平面上不共线的三点，且，是的中点. (1)若，求的余弦值； (2)若是线段上任意一点，且，求的最小值； (3)若是内一点，且，求的最小值. 38．已知向量，. (1)求实数的值，使； (2)若，求与的夹角的余弦值. 39．（2024高一下·上海浦东新·期末）已知，向量，，、、是坐标平面上的三点，使得，． （1）若，的坐标为，求； （2）若，，求的最大值； （3）若存在，使得当时，△为等边三角形，求的所有可能值． 40．（2024春•宝山区校级期末）已知复数，其中为虚数单位，． （1）若，求实数的值； （2）求的最小值，并指出取到最小值时实数的值． 41．已知复数满足，的虚部为2． （1）求复数； （2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值． 42. 已知复数，，其中为虚数单位，. （1）当、是实系数一元二次方程的两个虚根时，求、的值. （2）求的值域. 题型六：应用题 43．（2022宝山高一下期末）如图所示，平面四边形BCDE为某金鱼池区域，△ABE为观光区域，准备在AB、BE、AE三条边上修建观地训路，已知∠BCD＝∠CDE＝∠BAE＝，BC＝CD＝20米，DE＝80米． （1）求四边形BCDE的面积（精确到0.1平方米）； （2）求观光道路长度总和的最大值（精确到0.1米，不考虑道路的宽度）． 44．上海花博会的成功举办离不开对展览区域的精心规划.如图所示，将展区中扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、白玉兰和菊花.知扇形的半径为米，，动点在扇形的弧上，点在半径上，且.    (1)当米时，求分隔栏的长； (2)综合考虑到成本和美观等原因，希望使白玉兰种植区的面积尽可能的大，求该种植区三角的面积的最大值. 题型七：新定义问题与综合压轴 46.．对于一组向量，，，…，，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”． (1)设，且，若是向量组，，的“长向量”，求实数x的取值范围； (2)若，且，向量组，，，…，是否存在“长向量”?给出你的结论并说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列，，，…，满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值． 48．对于函数（），若存在非零常数，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“函数”，若对任意的，都有成立，则称函数为“严格函数”． (1)求证：，是“函数”； (2)若函数是“函数”，求的取值范围； (3)对于定义域为的函数，．函数是奇函数，且对任意的正实数，均是“严格函数”．若，，求的值 49. 在平面直角坐标系中，我们把函数，上满足，（其中表示正整数）的点称为函数的“正格点”． （1）写出当时，函数，图像上所有正格点的坐标； （2）若函数，，与函数的图像有正格点交点，求的值，并写出两个图像所有交点个数，需说明理由． （3）对于（2）中的值和函数，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 50．已知函数，其中，，分别求满足下列条件的函的解析式. (1)，，. (2)，、是的两个相异零点，的最小值为，且的图像向右平移个单位长度后关于轴对称. (3)，，对任意的实数，记在区间上的最大值为，最小值为，，函数的值域为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$