专题05：期末满分冲刺 （基础篇）核心考点突破+高频易错专项训练-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题05 期末满分冲刺（基础篇） 考点01：正弦余弦正切余切 1.（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在轴负半轴上的角的集合为___________________ 【答案】 【分析】先找到一个终边在轴负半轴上的角，然后再加上周期．用集合表示即可． 【详解】终边在轴负半轴上的一个角为，因此终边在轴负半轴上的角的集合为，故答案为：． 【点睛】本题考查终边相同角的表示，掌握终边相同角的概念是解题基础． 2．（2023高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    【答案】 【分析】根据弧长公式和扇形的面积公式可求出结果. 【解析】设圆心角为，则， 所以，解得，所以， 所以此扇环形砖雕的面积为 . 故答案为： 3．（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是第三象限角和商数关系结合即可求解. 【解析】因为，所以即， 又因为，所以，解得， 因为是第三象限角，所以. 故选：D. 4．（2023高一下·上海青浦·期中）已知，则 【答案】1 【分析】根据诱导公式直接求解即可. 【解析】. 故答案为:1. 考点02：常用的三角公式 5．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题设求出，再由正弦倍角公式即可计算求解. 【解析】因为，所以， 所以， 所以. 故答案为： 6．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】利用两角和差的余弦公式展开，即可求出，，再由同角三角函数的基本关系计算可得. 【解析】因为， ， 所以，， 所以. 故答案为： 7．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 【答案】-1 【分析】由余切公式及两角和的正切公式求解． 【解析】， 故答案为：-1 8．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 【答案】 【分析】由求出，利用正切和角公式求出，结合、为锐角，得到. 【解析】，为锐角， 故，故， 故， 又、为锐角，故， 故. 故答案为： 9．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 10．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由同角关系求，再由结合诱导公式求值； （2）根据同角关系求，根据求出，再由二倍角正切公式求. 【解析】（1） （2）由题意可知 ， ， . 考点03：解三角形 11．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 【答案】 【分析】根据题意利用余弦定理边角转化即可得结果. 【解析】因为，即， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 【答案】/ 【分析】利用余弦定理求解，再用正弦定理求△的外接圆的半径即可. 【解析】由余弦定理可知， 所以， 则△的外接圆的半径为. 故答案为：. 13．（2023高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 【答案】或 【分析】根据三角形面积公式求出角，再根据余弦定理求得. 【解析】，， 又，所以或， 当时，根据余弦定理得： ，； 当时，根据余弦定理得： ，， 故答案为：或. 14．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 【答案】1 【分析】根据题意画出示意图，利用余弦定理求解. 【详解】如图，在中，，. 由余弦定理，可得 ， 即， 解得，即乙丙两人间的距离为1km. 故答案为：1. 考点04：三角函数的图像变换 15．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 【答案】 【分析】根据给定函数,结合三角函数的初始相位定义可得. 【解析】函数的初始相位为. 故答案为：. 16．（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【分析】利用三角函数的图象变化规律，结合三角函数的奇偶性、诱导公式，求得的值. 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： 17.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 【答案】A 【解析】对于A：向左平移个单位可得到，符合； 对于B：向右平移个单位可得到，不符合； 对于C：向右平移个单位可得到，不符合； 对于D：向左平移个单位可得到，不符合； 故选：A. 18．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    【答案】 【分析】由求出，根据图象过求出，可得函数的解析式，从而得到的值． 【解析】根据函数，的部分图象，，两点之间的距离为5， 可得，求得． 根据图象过，可得，求得， ， ，可得， 故， 故答案为：． 19．（23-24高一下·上海·期中）函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 ．    【答案】 【分析】由函数图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式. 【解析】由函数的部分图象可知：， 因为的个最小正周期为，所以，则， 根据五点法作图，令，解得，适合， 所以 故答案为： 考点05：三角函数的性质 20．（2023高一下·上海青浦·期中）已知函数是偶函数，则的取值是 【答案】 【分析】根据余弦函数的性质求得的值. 【解析】令，则，所以的值为. 故答案为：. 21．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦函数的最小正周期公式计算求解判断即可. 【解析】由题意知周期为，周期为， 周期为，周期为. 故选：C 22．（2024高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 . 【答案】， 【分析】利用真数大于0列出不等式，求出定义域. 【解析】由题意得：，即， 所以. 故答案为：， 23．（2023高一下·上海闵行·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】利用正弦二倍角公式结合三角函数性质直接求解即可 【解析】，因为 所以函数的值域为. 故答案为：. 24.（2024上海高三开学考试）函数的单调减区间为 ． 【答案】； 【解析】因为， 则函数的单调减区间为:， 解得：. 故答案为：. 25.将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 . 【答案】 【解析】， 的图象向右平移个单位，得到函数的图象， 由题意的图象关于直线对称， 所以，所以， 又，则当时，. 故答案为：. 26.设，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】设，由，得， 又由，得， 所以， 令，， 当时，时，即当时， 原函数取到最小值. 故答案为：. 27．（2023高一下·上海青浦·期中）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由正弦型函数的性质判断最小正周期、区间单调性和值域，以及图象平移过程. 【解析】对于，它的最小正周期为，故①错误； 在上，，函数单调递增，故②正确； 当时，的取值范围为，故③错误； 的图象向右平移个单位长度得到，故④错误， 故选：A 28．（2024·上海虹口·二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 【答案】D 【分析】利用两角和的正弦公式化简的解析式，再根据三角函数的变换规则得到的解析式，最后根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】因为， 将函数的图像沿轴向右平移个单位得到， 又，所以为奇函数，故A错误； 因为，所以函数的图像不关于直线对称，故B错误； 当时，因为在上单调递减， 所以函数在上是严格增减函数，故C错误； 当时，所以， 则，即函数在上的值域为，故D正确. 故选：D 考点06：三角函数与方程、不等式、零点问题 29．（2023高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】画出的图象，由图象即可求解. 【解析】    画出的图象，如图所示， 由图可知，不等式的解集为. 故答案为： 30．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 【答案】5 【分析】将零点问题转化为函数交点问题，作出函数图像，求出交点个数即可. 【解析】方程的实数解的个数， 即为函数与图象交点个数， 作出两函数的图象，如图所示： 由此可得两函数共有5个交点， 所以方程的实数解的个数为5. 故答案为：5. 31．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，求得，得出函数的零点，集合题意，得出不等式，即可求解. 【解析】由函数，令，即， 解得，可得， 因为，则对应的零点为 因为函数在区间有且仅有3个零点， 则满足，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 32．（23-24高一下·上海·期中）已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先化简函数结合其值域可求答案. 【解析】， 因为，所以，， ， 所以，即. 故答案为： 33．（2023高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】恒等变换化简解析式，求出方程的根，由条件得出区间内不存在整数，再根据可得是或的子集，从而得出的取值范围. 【解析】 ， 令，有，解得， 令，解得， 方程在区间内无解，则区间内不存在整数， 又，得，又， 所以，或， 解得或， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用间接法得到区间内不存在整数，从而得解. 34.已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设函数的图象向左平移单位长度后得到的函数图象对应的函数为，由图可知，函数的图象的最小正周期为， 所以， 所以， 由，得，，， 所以，，取，得， 所以，所以， 所以由，得，即， 所以，，即，， 所以不等式的解集为（）， 故选：C 考点07：向量的概念与运算 35.（2023·云南红河·一模）写出一个与向量共线的单位向量： . 【答案】或 【解析】设所求向量为， 由题可知：且， 解得：或， 所以向量坐标为或． 36．（23-24延安中学高一期末）已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设与的夹角为， 则在上的投影向量为.故选：B. 37．（23-24高三上·上海松江·期末）已知向量，，则 【答案】0 【分析】 根据向量的坐标运算求解即可. 【解析】∵，，∴， ∴. 故答案为：0. 38．（2024高一下·上海闵行·期末）如图，中已知，，，，则用向量，表示 ． 【答案】 【分析】设，利用的性质把分别用，表示，然后由三点共线，三点共线得出的关系，求得，得出结论． 【解析】设，又，， 所以， 又三点共线，三点共线， 所以，解得， 所以． 故答案为：． 39．（23-24建平中学高一期末）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点， 所以，所以，又， 所以，.故选：B. 40．（2023高一下·上海闵行·期末）已知，，与平行，则实数的值为 . 【答案】 【分析】首先求出的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【解析】因为，，所以， 又与平行，所以，解得. 故答案为： 41．（2024高一下·上海浦东新·期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】 根据向量共线定理逐一判断. 【解析】对于A，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，A不选； 对于B，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，B不选； 对于C，假设存在实数，使，则，解得，即与共线，选C； 对于D，假设存在实数，使，则，方程组无解，即不存在实数，使，即与不共线，D不选； 故选：C 考点08：向量的数量积 42．（2023高一下·上海浦东新·期末）向量，满足，，，那么 . 【答案】/ 【分析】将平方，利用转化法求得. 【解析】将平方得， 即， 将，代入得， 解得. 故答案为： 43．（2023高一下·上海普陀·期末）在中，，，是边上一点．若，，则 ． 【答案】 【分析】设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值. 【解析】设，故，即， 故， ， 所以，消，整理得到，解得或（舍去），所以. 故答案为：. 44.已知向量与的夹角为，且，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【解析】由题意可得，， 所以．故选：A 45.已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，向量，， 由，得，解得，即，则， 因此，又，所以.故选：C 46.已知平面向量满足且，则（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】D 【解析】由，得，由，得，则， 由，得，即， 则，所以.故选：D 考点09：向量的最值与范围问题 47．（2023高一下·上海闵行·期末）已知平面向量，其中，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题目条件建立直角坐标系,分别求出坐标，进而求出结果. 【解析】   如图所示建立直角坐标系，，则, ，， 设，则， 所以，, ， 故答案为：. 48．（2024高一下·上海浦东新·期末）在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为 . 【答案】48 【分析】建立平面直角坐标系，用圆的方程设点的坐标，计算的最大值． 【解析】， ，即为直角三角形， 建立平面直角坐标系，如图所示： 则，，，外接圆， 设，，则，，， 所以，当且仅当时取等号． 所以的最大值是48． 故答案为：48． 49．（20-21高二下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，A、B是x轴上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【分析】设，，然后由坐标法求得数量积，再由二次函数性质得最值，同时验证时数量积的最小值． 【解析】由题意设，，，， ，时，取得最小值． 若，同理可得，最小值是． 故选：B 50．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由， 所以.故选：B. 51．（23-24高三下·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，， 当与正六边形的边垂直时，， 当点运动到正六边形的顶点时，， 所以，则，即.故选：B 考点10：复数及四则运算 52．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为　　． 【分析】设，．根据复数满足，利用复数的运算法则、复数相等即可得出． 【解答】解：设，． 复数满足， ， 可得：，，解得，． 则的实部为2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 53．（2023•宝山区校级模拟）是纯虚数，则　　． 【分析】由给出复数的实部等于0且虚部不等于0求出和的值，由同角三角函数的基本关系求得的值． 【解答】解：是纯虚数， 则，解得：． ． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的基本概念，考查了三角函数的象限符号，是基础题． 54．（2024•宝山区二模）设实数、满足为虚数单位），则　　． 【分析】利用复数代数形式的乘法运算把已知等式变形，再由复数相等的条件列式求解． 【解答】解：由， 得，即， 则，解得． ． 故答案为：2． 【点评】本题考查复数相等的条件，考查方程组的解法，是基础题． 55．（2024•浦东新区校级模拟）复数，则　　． 【分析】结合复数的性质，即可求解． 【解答】解：， 则， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模的性质，属于基础题． 考点11：复数的几何意义及实系数一元二次方程 56．（2024•金山区二模）已知复数满足，则的模为 　　． 【分析】根据共轭复数和复数相等的概念求得，即可求解． 【解答】解：设，，为实数，则， 所以， 所以，， 所以，，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题． 57．（2024•青浦区校级模拟）为虚数单位，则　　． 【分析】根据已知条件，结合复数模公式，即可求解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题． 58．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的加减运算及平行四边形的性质即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为， 由平行四边形的性质可得： 所以 故答案为： 59.（2025·上海静安·二模）若复数是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 【解析】因为在复平面上对应的点位于第二象限， 所以，所以且，故选． 60．（2024•浦东新区校级模拟）设关于的实系数方程的两个虚根为、，则　　． 【分析】结合韦达定理和二次方程虚根的概念即可求解． 【解答】解：由题可知，， 设，，，， 则，可得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查复数的模的应用，属于基础题． 考点12：解答题 61．（2023高一下·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求的值； (2)若的面积为，且，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角以及两角和的正弦公式可得结果； （2）根据三角形面积公式求出，再根据余弦定理可求出结果. 【解析】（1）由及正弦定理得， 得，得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，，又，所以， 因为的面积为，所以，得， 由余弦定理得， 所以. 62．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果； （2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1） 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）（2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 63．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意可知：方程的两根分别为：，结合韦达定理分析求解； （2）设，利用韦达定理可得，设，，，根据两点间距离公式结合三角函数的最值分析求解. 【详解】（1）当时，则， 可得方程的两根分别为：， 则，解得，. （2）当时，方程为， 设，则，， 可得，为方程的两根， 则， 设，，， 由复数的几何意义可知：， 则， 其中，， 因为，可得， 所以的取值范围为． 64．（2023高一下·上海闵行·阶段练习）已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】（1）利用求根公式计算可得； （2）由求出的取值范围，依题意可得、互为共轭复数，则，即可求出的值； （3）分和两种情况讨论，结合求根公式及数量积的坐标表示，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）当时方程为，则， 所以方程的根为、 （2）因为方程有两虚根，所以， 解得， 此时方程有两个共轭复根、，故，又，所以， 所以，解得或（舍去）. （3）若，即或时， 此时，， 则，，， 显然， 所以， 则 ， 即，解得或， 所以或； 若，即时， 设，（）， 则，，， 所以，， 所以，即，又，， 所以，解得或，所以； 综上可得的取值范围为. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学春学期期末复习满分冲刺（培优课程） 专题05 期末满分冲刺（基础篇） 考点01：正弦余弦正切余切 1.（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在轴负半轴上的角的集合为___________________ 2．（2023高一下·上海松江·期中）建于明朝的杜氏雕花楼被誉为“松江最美的一座楼”，该建筑内有很多精美的砖雕，砖雕是我国古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖墙精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD截去同心扇形OAB所得部分，已知，弧，弧，则此扇环形砖雕的面积为 ．    3．（23-24高一下·上海·期中）已知是第三象限角，，则的值是（    ） A． B． C． D． 4．（2023高一下·上海青浦·期中）已知，则 考点02：常用的三角公式 5．（24-25高一上·上海·期末）已知，则的值为 ． 6．（23-24高一下·上海·期末）已知，，则 ． 7．（23-24高一下·上海杨浦·期中）已知，则的值是 . 8．（23-24高一下·上海·期中）已知、为锐角，，，则 . 9．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 10．（23-24高一下·上海·期中）已知为钝角，且 (1)求的值 (2)求的值 考点03：解三角形 11．（23-24高一下·上海·期中）在中，是的三边且满足，则角A的大小为 . 12．（23-24高一下·上海·期中）在△中，，则△的外接圆的半径为 . 13．（2023高一下·上海宝山·期中）在中，，，面积，则边长为 ． 14．（2025·上海松江·二模）在定向越野活动中，测得甲在乙北偏东的方向，甲乙两人间的距离为2km，丙在乙北偏西的方向，甲丙两人间的距离为，则乙丙两人间的距离为 km. 考点04：三角函数的图像变换 15．（23-24高一下·上海浦东新·期中）函数的初始相位为 . 16．（23-24高一下·上海奉贤·期中）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 17.将函数的图象平移后所得的图象对应的函数为，则进行的平移是（    ） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位 18．（23-24高一下·上海·期中）如图所示为的部分图像，点A和点B之间的距离为5，那么 .    19．（23-24高一下·上海·期中）函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 ．    考点05：三角函数的性质 20．（2023高一下·上海青浦·期中）已知函数是偶函数，则的取值是 21．（23-24高一下·上海·期中）下列函数中，最小正周期为的是（    ）. A． B． C． D． 22．（2024高一下·上海浦东新·期中）函数的定义域为 . 23．（2023高一下·上海闵行·期中）函数的值域是 ． 24.（2024上海高三开学考试）函数的单调减区间为 ． 25.将函数图象向右平移个单位，得到的图象关于直线对称，则的最小值为 . 26.设，则的最小值为__________. 27．（2023高一下·上海青浦·期中）已知，关于该函数有下列四个说法： ①的最小正周期为； ②在上单调递增； ③当时，的取值范围为； ④的图象可由的图象向左平移个单位长度得到． 以上四个说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（2024·上海虹口·二模）设，将函数的图像沿轴向右平移个单位，得到函数的图像，则（    ） A．函数是偶函数 B．函数的图像关于直线对称 C．函数在上是严格增函数 D．函数在上的值域为 考点06：三角函数与方程、不等式、零点问题 29．（2023高一下·上海嘉定·期中）不等式的解集为 . 30．（23-24高一下·上海·期中）方程的实数解的个数为 个. 31．（23-24高一下·上海浦东新·期中）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 . 32．（23-24高一下·上海·期中）已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是 ． 33．（2023高一下·上海·期中）已知函数，，若方程在区间内无解，则的取值范围是 ． 34.已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到的函数的部分图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 考点07：向量的概念与运算 35.（2023·云南红河·一模）写出一个与向量共线的单位向量： . 36．（23-24延安中学高一期末）已知平面向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 37．（23-24高三上·上海松江·期末）已知向量，，则 38．（2024高一下·上海闵行·期末）如图，中已知，，，，则用向量，表示 ． 39．（23-24建平中学高一期末）如图，在平行四边形中，为的靠近点的三等分点，与相交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 40．（2023高一下·上海闵行·期末）已知，，与平行，则实数的值为 . 41．（2024高一下·上海浦东新·期末）若向量与是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基底的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 考点08：向量的数量积 42．（2023高一下·上海浦东新·期末）向量，满足，，，那么 . 43．（2023高一下·上海普陀·期末）在中，，，是边上一点．若，，则 ． 44.已知向量与的夹角为，且，，则（    ） A． B． C．4 D． 45.已知向量，满足，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 46.已知平面向量满足且，则（    ） A． B．5 C． D．6 考点09：向量的最值与范围问题 47．（2023高一下·上海闵行·期末）已知平面向量，其中，则的取值范围是 . 48．（2024高一下·上海浦东新·期末）在中，，点是外接圆上任意一点，则的最大值为 . 49．（20-21高二下·上海宝山·期末）在平面直角坐标系中，已知点、，A、B是x轴上的两个动点，且，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D．9 50．（23-24高三上·云南保山·期末）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 51．（23-24高三下·江西·一模）如图，正六边形的边长为，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点10：复数及四则运算 52．（2020•上海）已知复数满足，则的实部为　　． 53．（2023•宝山区校级模拟）是纯虚数，则　　． 54．（2024•宝山区二模）设实数、满足为虚数单位），则　　． 55．（2024•浦东新区校级模拟）复数，则　　． 考点11：复数的几何意义及实系数一元二次方程 56．（2024•金山区二模）已知复数满足，则的模为 　　． 57．（2024•青浦区校级模拟）为虚数单位，则　　． 58．（2025·上海嘉定·二模）已知复数满足，则的值为 ． 59.（2025·上海静安·二模）若复数是虚数单位)在复平面上对应的点位于第二象限，则　　 A．且 B．且 C．且 D．且 60．（2024•浦东新区校级模拟）设关于的实系数方程的两个虚根为、，则　　． 考点12：解答题 61．（2023高一下·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)求的值； (2)若的面积为，且，求a的值． 62．（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 63．（24-25高一下·上海·单元测试）设为关于x的方程的虚根，i为虚数单位． (1)当复数时，求m，n的值； (2)若，在复平面上，设复数z所对应的点为P，复数所对应的点为Q，试求的取值范围． 64．（2023高一下·上海闵行·阶段练习）已知关于的实系数一元二次方程 (1)若，求方程的两个根； (2)若方程有两虚根，，求的值； (3)若方程的两根为，其在复平面上所对应的点分别为，点关于轴的对称点为（不同于点），如果，求的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$