专题03：第8章平面向量高频考点分类期末复习讲义-2024-2025学年高一下学期数学沪教版（2020）必修第二册

2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题03 第8章平面向量高频考点分类复习 知识点一、向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三、共线定理与平面向量基定理 1.两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识四、向量的数量积 1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角.向量夹角范围是[0，π]， 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 2.投影：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 3.向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 4.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 5.运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 知识点五、平面向量的坐标表示 1.设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 2.平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3.平面向量共线的坐标表示：设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 4.中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 5.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 6.与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 考点01：向量的相关概念 1．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）则与同方向的单位向量_________ 2．（2023春上海嘉定·高一第二学期期中）下列命题中正确的有________.(填序号) ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③若，则四点构成平行四边形； ④在▱ABCD中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则； 3．（21-22高一下·上海嘉定·期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（    ） （1） （2） （3）不与垂直 （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点02：平面向量的投影向量与数量投影 4．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　　（用坐标表示）． 5．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 6.（2023春·上海延安中学高一期末）已知，则在方向上的数量投影是______． 7．（2023春•浦东新区校级期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是 　　． 8.（2023春·上海中学高一下期末）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________. 考点03：平面向量的线性运算 9. （2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）为平行四边形，已知，M是的中点，则________（用表示） 10.（2023春·上海中学高一下期末）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______ 考点04：平面向量的坐标运算 11.已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，则向量＝(　　) A．(3，－2) B．(2，－2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 12．（2022春•浦东新区校级期末）已知点、，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 13．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量的夹角为锐角 考点05：平面向量基本定理 14．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 15.（2023春·上海中学高一下期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 边的中点 16．（2024春•普陀区校级期中）已知平面上不共线的三点、、，点在该平面上且不与、、重合．若动点满足，则点一定落在的　　 A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上， 17．（2024春•黄浦区校级期中）在给出的下列命题中，是假命题的是　　 A．设、、、是同一平面上的四个不同的点，若，其中为实数，则点、、必共线 B．若向量和是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C．若平面向量、、满足，且，则是等边三角形 D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 18．（2024春•普陀区校级期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 　　． 考点06：平面向量的共线定理 19．（2023春•徐汇区期末）设，，且，则　　． 20．（2024春•黄浦区校级期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 21．（2024春•浦东新区校级期中）设，是不共线向量，与共线，则实数的值为　　． 22．（2023春•徐汇区校级期中）已知，是两个不平行的向量，且，，，则一定共线的三点是　　 23．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角． 24．（2024春•浦东新区校级期中）已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 考点07：平面向量的数量积 26．（2024春•浦东新区校级期中）已知非零向量，，则是成立的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 27．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知向量、满足，，，则 . 28．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，，，是边上一点．若，，则 ． 29．（23-24高一下·上海·期末）已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则 . 考点08：平面向量数量积应用 31．（22-23高一下·上海宝山·期末）若向量、满足，，则 . 32．（2023春·上海中学高一下期末）若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________. 33.（2023春·上海中学高一下期末）已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为_________． 34.（2023春·上海中学高一下期末）已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 考点09：平面向量中的最值与范围 35．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 36.（2023春·上海控江中学高一期末）直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为____________. ：． 37．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 38．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 39．（2024春•宝山区校级期中）已知向量，，则的最大值为 　　． 40．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 41．（2022春•徐汇区校级期末）已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时　　． 42.（2023春·上海延安中学高一期末）已知矩形的边，点分别在边上，且． （1）若，求的面积； （2）求的最小值． 考点10：综合解答题 43．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，且． 44．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 45．（2024春•杨浦区校级期中）如图所示，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点，，记与的夹角为，并设，其中，为实数． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域； （3）求为直径时，的值． 46．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 47.（2023春·上海控江中学高一期末）如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点. （1）求的最大值； （2）求证：为定值； （3）对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学下学期期末复习满分冲刺 专题03 第8章平面向量高频考点分类复习 知识点一、向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 知识点二、向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)　 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同； 当λ<0时，λa与 a的方向相反； 当λ＝0时，λ a＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μ_a； λ(a＋b)＝λa＋λb 知识点三、共线定理与平面向量基定理 1.两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa． 2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2． 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 知识四、向量的数量积 1.向量的夹角的定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作向量＝a， ＝b，则∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a与b的夹角.向量夹角范围是[0，π]， 当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向. 如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b. 2.投影：如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下变换：过的起点a和终点b，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量. 3.向量的数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积（或内积），记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ.规定：零向量与任一向量的数量积为0. 向量的数量积及其几何意义：向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正可负可为0 4.向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 ①a·e＝e·a＝|a|cosθ②a⊥b⇔a·b＝0③当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方④|a·b|≤|a|·|b|. 5.运算律：①a·b＝b·a；②（a＋b）·c＝a·c＋b·c 知识点五、平面向量的坐标表示 1.设向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），λ∈R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和 a＋b＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2） 减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差 a－b＝（x 1－x 2，y 1－y 2） 重要结论 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则＝（x 2－x 1，y 2－y 1） 2.平面向量数乘运算的坐标表示 设向量a＝（x，y），则有λa＝（λx，λy），这就是说实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 3.平面向量共线的坐标表示：设a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），其中b≠0.向量a，b（b≠0）共线的充要条件是x 1 y 2－x 2 y 1＝0. 4.中点坐标公式：若P 1，P 2的坐标分别是（x 1，y 1），（x 2，y 2），线段P 1P 2的中点P的坐标为（x，y），则.此公式为线段P 1 P 2的中点坐标公式. 5.两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示 已知两个非零向量，向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ. 数量积：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即：a·b＝x 1 x 2＋y 1 y 2 向量垂直：a⊥b⇔x 1 x 2＋y 1 y 2＝0 6.与向量的模、夹角相关的三个重要公式 ①向量的模：设a＝（x，y），则|a|＝. ②两点间的距离公式：若A（x 1，y 1），B（x 2，y 2），则||＝. ③向量的夹角公式：设两非零向量a＝（x 1，y 1），b＝（x 2，y 2），a与b的夹角为θ，则 考点01：向量的相关概念 1．（2020秋·上海宝山·高三上海市行知中学校考期中）则与同方向的单位向量_________ 【答案】 【分析】直接利用公式计算得到答案. 【详解】与同方向的单位向量， 故答案为：. 2．（2023春上海嘉定·高一第二学期期中）下列命题中正确的有________.(填序号) ①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若，则； ③若，则四点构成平行四边形； ④在▱ABCD中，一定有； ⑤若，，则； ⑥若，，则； 【答案】④⑤ 【分析】根据向量的相等，向量共线的概念，可得答案. 【详解】两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确； ,由于与方向不确定，所以与不一定相等，故②不正确； ，可能有A，B，C，D在一条直线上的情况，所以③不正确； 在▱ABCD中，,所以一定有，所以④正确；⑤显然正确； 零向量与任一向量平行，故，时，若，则与不一定平行，故⑥不正确． 故答案为：④⑤. 【点睛】本题考查向量相等，向量共线的概念，关键在于从向量的方向和向量的大小两个方面考虑，对于向量共线，注意零向量与任何向量共线，属于基础题. 3．（21-22高一下·上海嘉定·期末）设为任意非零向量，且相互不共线，则下列命题中是真命题的有（    ） （1） （2） （3）不与垂直 （4） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算律逐个分析判断即可 【解析】对于（1），因为与共线，与共线，而不共线，所以与不共线，所以，所以（1）错误， 对于（2），因为不共线，所以由向量的减法法则和三角形两边之差小第三边，可得，所以（2）正确， 对于（3），因为，所以与垂直，所以（3）错误， 对于（4），因为，所以（4）正确， 故选：C 考点02：平面向量的投影向量与数量投影 4．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量，，则在方向上的投影向量为 　　（用坐标表示）． 【分析】根据已知条件，结合投影向量的公式，即可求解． 【解答】解：，， 则，， 故在方向上的投影向量为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查投影向量的公式，属于基础题． 5．（23-24高一下·上海·期末）已知，则在上的数量投影是 ． 【答案】 【分析】由数量投影公式求解. 【解析】解：数量投影为：， 故答案为： 6.（2023春·上海延安中学高一期末）已知，则在方向上的数量投影是___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量投影的定义计算作答. 【详解】因为，则， 于是， 所以在方向上的数量投影是. 故答案为： 7．（2023春•浦东新区校级期中）设向量、满足，，且，则向量在向量方向上的数量投影是 　　． 【分析】利用向量的数量积的运算法则，求解向量在向量方向上的数量投影． 【解答】解：向量、满足，，且， 则向量在向量方向上的数量投影是． 故答案为：． 【点评】本题考查向量的数量积的运算，数量投影的求法，是基础题． 8.（2023春·上海中学高一下期末）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于___________. 【答案】 【分析】根据所给条件利用向量数量积运算求出，再由投影向量的定义求解即可. 【详解】，， ， ， 在方向上的投影向量为. 故答案为： 考点03：平面向量的线性运算 9.（2022春·上海徐汇·高一上海市第二中学校考期中）为平行四边形，已知，M是的中点，则________（用表示） 【答案】 【分析】根据向量的平行四边形法则，得到，，进而利用为中点，得到，然后代入即可求解 【详解】如图， 因为为平行四边形，所以，，，所以，，； 又因为为中点，所以，，得， ； 所以， 故答案为： 10.（2023春·上海中学高一下期末）如图，在中，分别为上的点，且，，.设为四边形内一点（点不在边界上），若，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点）,求出端点G,H对应的即可求解. 【详解】取BD中点M,过M作MH//DE交DF,AC分别为G,H,如图： 则由可知,P点在线段GH上运动（不包括端点） 当与重合时，根据,可知，当与重合时,由共线可知，即，结合图形可知. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，加法平行四边形法则，三点共线，数形结合的思想方法，属于难题. 考点04：平面向量的坐标运算 11.已知点A(－1,1)，B(0,2)，若向量＝(－2,3)，则向量＝(　　) A．(3，－2) B．(2，－2) C．(－3，－2) D．(－3,2) 【答案】D 【解析】由已知，得＝－＝(1,1)，则＝－＝(－2,3)－(1,1)＝(－3,2)． 12．（2022春•浦东新区校级期末）已知点、，且，则点的坐标是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意，利用两个向量坐标形式的运算法则，求出点的坐标． 【解答】解：，，且， 设点， 则，，， 解得，， 则点的坐标为， 故选：． 【点评】本题主要考查两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题． 13．（2023·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则向量的夹角为锐角 【答案】B 【解析】对于选项A：因为，则， 所以，解得或，故A错误； 对于选项B：因为//，所以，解得，故B正确； 对于选项C：因为，所以，解得，故C错误； 对于选项D：当时，， 由选项B可知：不共线，所以向量的夹角为钝角，故D错误. 故选：B. 考点05：平面向量基本定理 14．（23-24高一下·上海·期末）已知、是平面向量的一组基底．则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】D 【分析】验证四个选项中的两向量是否共线，从而得到答案. 【解析】A选项，、是平面向量的一组基底，故、为不共线的非零向量， 设，故，无解，故、为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故、为不共线的非零向量，B错误； C选项，设， 故，无解，故，为不共线的非零向量，C错误； D选项，，故、共线，故不能作为基底，D正确. 故选：D 15.（2023春·上海中学高一下期末）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（ ） A. 内心 B. 垂心 C. 重心 D. 边的中点 【答案】C 【分析】由动点满足，且，得到三点共线，进而得到答案. 详解】由动点满足，且， 所以三点共线， 又因为为的中点，所以为的边的中线， 所以点的轨迹一定过的重心. 故选：C. 16．（2024春•普陀区校级期中）已知平面上不共线的三点、、，点在该平面上且不与、、重合．若动点满足，则点一定落在的　　 A．某一边上的高所在直线上 B．某一边上的中线所在直线上 C．某一内角的角平分线所在直线上 D．某一边上的中垂线所在直线上 【分析】根据向量的运算，对条件进行化简，得到，根据三点共线的充要条件知道、、三点共线，从而得到点的轨迹一定经过的重心． 【解答】解：取的中点，则， ， ，而， ，，三点共线， 点的轨迹一定经过的重心， 则点一定落在的某一边上的中线所在直线上． 故选：． 【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于中档题． 17．（2024春•黄浦区校级期中）在给出的下列命题中，是假命题的是　　 A．设、、、是同一平面上的四个不同的点，若，其中为实数，则点、、必共线 B．若向量和是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的 C．若平面向量、、满足，且，则是等边三角形 D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量、、、，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直 【分析】选项，结合平面向量的减法运算与共线向量的基本定理可判断；选项，根据平面向量的基本定理即可判断；选项，根据平面向量与三角形的外心、重心的表示方法可判断；选项，举反例进行说明即可． 【解答】解：选项，若，则， 所以，即， 又，有公共点， 所以点、、必共线，即选项正确； 选项，由平面向量的基本定理知选项正确； 选项，由，知点是外接圆的圆心， 因为，所以点是的重心， 由三线合一，知是等边三角形，即选项正确； 选项，在正方形中，设，，，， 则，， 因为，所以，即选项错误． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的基本定理，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 18．（2024春•普陀区校级期中）如图所示，是正六边形的外接圆，若点是上的动点，设，则的最大值是 　　． 【分析】以为原点，建立如图所示平面直角坐标系，设正六边形的边长为2，求出向量、的坐标，设，可得，结合得到用表示的式子，根据正弦函数的最值算出答案． 【解答】解：以为原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 设正六边形的边长为2，则外接圆半径， 可得，，，，， 圆的方程为，设，可得，． 因为，所以，可得， 因为，所以当时，的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正六边形的性质、平面向量的坐标运算法则、圆的性质及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 考点06：平面向量的共线定理 19．（2023春•徐汇区期末）设，，且，则　　． 【分析】根据已知条件，结合直线共线的性质，即可求解． 【解答】解：，且， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查向量共线的性质，属于基础题． 20．（2024春•黄浦区校级期中）已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值． 【分析】根据得出，，而根据，，三点共线得出，然后根据平行向量的坐标关系即可求出的值，进而得出的值． 【解答】解：，， ，，三点共线， ， ，化简得：，解得或， ，或，． 【点评】本题考查了向量减法的几何意义，向量坐标的减法运算，平行向量的坐标关系，是基础题． 21．（2024春•浦东新区校级期中）设，是不共线向量，与共线，则实数的值为　　． 【分析】与共线，则存在实数，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于和的方程，解方程即可． 【解答】解：与共线， ， ，， ， 故答案为． 【点评】掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示；掌握基底的概念，并能够用基表示平面内的向量． 22．（2023春•徐汇区校级期中）已知，是两个不平行的向量，且，，，则一定共线的三点是　　 A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【分析】由题意，求出和，可得，从而得到、、三点共线． 【解答】解：，是两个不平行的向量，且，，， ，， ，、、三点共线． 故选：． 【点评】本题主要考查用向量证明三点共线的方法，属于基础题． 23．（2024春•浦东新区校级期中）已知向量． （1）若，求； （2）若，求与的夹角． 【分析】（1）利用向量减法的坐标运算及共线向量的坐标表示求出，再求出向量的模． （2）利用向量加法的坐标运算及向量垂直的坐标表示求出，再求出向量夹角． 【解答】解：（1）向量，则， 由，得， 解得，即， 所以． （2）向量，则，由，得， 解得，则，，而， 因此，而， 所以与的夹角． 【点评】本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题． 24．（2024春•浦东新区校级期中）已知平面向量． （1）若，求的值； （2）若与的夹角为锐角，求的取值范围． 【分析】（1）先计算出向量，，再根据向量平行列出方程求解即可． （2）先根据与的夹角为锐角得出，且夹角不为0，再分别求出和夹角不为0时的取值范围即可． 【解答】解：（1）因为， 所以，， 又因为， 所以，解得． （2）因为，， 所以， 因为与的夹角为锐角， 所以，且夹角不为0． 当时，，解得； 当与的夹角为0时，，解得， 故与的夹角不为0时，； 综上可得：的取值范围是． 【点评】本题主要考查了向量平行及向量数量积的性质的坐标表示，属于中档题． 25.（2023浦东一模10）如图，在中，点、是线段上两个动点，且，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】共线，在线段上 ，使得 共线，在线段上 ，使得 代入， 得，且 考点07：平面向量的数量积 26．（2024春•浦东新区校级期中）已知非零向量，，则是成立的　　条件． A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【分析】由平面向量的数量积与夹角知识分别分析充分性和必要性即可． 【解答】解：若，则，所以，即，故充分性成立； 若，则两边同时平方得：，所以，即， 因为，为非零向量，所以，即，故必要性成立， 所以是成立的充要条件． 故选：． 【点评】本题考查平面向量的数量积与夹角，充要条件的判断，属于基础题． 27．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知向量、满足，，，则 . 【答案】/－0.25 【分析】根据题意将两边平方，结合数量积以及模的运算，即可求得答案. 【解析】由可得，即， 即，所以， 故答案为：. 28．（22-23高一下·上海普陀·期末）在中，，，是边上一点．若，，则 ． 【答案】 【分析】设，则，由题设可得关于和的方程组，从而可求的值. 【解析】设，故，即， 故， ， 所以，消，整理得到，解得或（舍去），所以. 故答案为：. 29．（23-24高一下·上海·期末）已知外接圆的半径为，圆心为，且，，则 . 【答案】 【分析】依题意可得为的中点，从而得到是以为斜边的直角三角形，再由求出，最后根据数量积的定义计算可得. 【解析】如图所示： 因为，所以为的中点，又为的外接圆的圆心， 所以是以为斜边的直角三角形， 又因为，所以，， 又外接圆的半径为， 所以，则， 所以. 故答案为： 30．在中，为的三等分点，则( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，以点为坐标原点，分别为轴建立直角坐标系，设，又为的三等分点所以，，所以. 考点08：平面向量数量积应用 31．（22-23高一下·上海宝山·期末）若向量、满足，，则 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解作答. 【解析】由，，得， 所以. 故答案为： 32．（2023春·上海中学高一下期末）若非零向量、，满足，，则与的夹角为___________. 【答案】## 【分析】设与的夹角为，根据，，由数量积的定义和运算律求解. 【详解】解：设与的夹角为， 因为，， 所以， 所以， 因， 所以， 故答案为： 33.（2023春·上海中学高一下期末）已知复数，，为虚数单位，若，复数，对应的向量分别为，，存在使得等式成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】由题得出，，化简，得出，要使成立，即使成立，求出的范围，即可求出的范围. 【详解】由题知，，， ， ，， 由， 得， 化简得， 因， 所以，， 因为存在使得等式成立， 所以存在使得成立，所以， 解得. 故答案为： 34.（2023春·上海中学高一下期末）已知，，． （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）根据题意先求出，进而根据平面向量的夹角公式求出答案； （2）将变形为，然后展开，进而结合（1）求出答案. 【小问1详解】 因为，， 所以， 即，所以， 设的夹角为，则， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 . 考点09：平面向量中的最值与范围 35．（23-24高一下·上海·期末）北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界（如图②），顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形（如图①）.已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点（包含边界），则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由的几何意义表示向量在方向上的投影乘以，在借助图像可知当点在C点处时，有最大值，由此即可求出答案. 【解析】， 几何意义表示向量在方向上的数量投影乘以， 由图可知：当点P在点C处时，有最大值， 此时，， 所以的最大值是. ，所以取值范围为. 故答案为：. 36.（2023春·上海控江中学高一期末）直角三角形中，，，，点是三角形外接圆上任意一点，则的最大值为____________. 【答案】 【分析】依题意建立平面直角坐标系，求出外接圆的方程，设，利用坐标法计算向量数量积，最后根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】在直角三角形中，，，， 所以，则三角形外接圆的圆心为斜边的中点，外接圆的直径为斜边， 如图建立平面直角坐标系，，，， 则三角形外接圆为， 设，则，， 所以，当且仅当，即时取等号. 故答案为：． 37．（23-24高一下·上海松江·期末）如图，直径的半圆，为圆心，点在半圆弧上，，线段上有动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】先分别过作、交于点和，求出，设，接着根据数量积定义以及题中所给条件求得，从而求出即可得解. 【解析】分别过作交于点，作交于点， 则， 设，则， 由题可知即， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 38．（23-24高一下·上海闵行·期末）中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据向量模长可得，到的距离，再根据平面向量数量积的运算，结合平面向量数量积的几何意义求解即可. 【解析】由八卦图的对称性可得， 故 . 设到的距离为，则， 解得. 又 . 又即在上的投影， 其最大值为， 最小值为. 故， 即. 故选： C 39．（2024春•宝山区校级期中）已知向量，，则的最大值为 　　． 【分析】先求，再结合正弦函数的值域，即可得到所求最大值． 【解答】解：，， ， ， 当，即时，有最小值为， 此时有最大值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查向量的坐标运算，属于基础题． 40．（23-24高一下·上海·期末）设是单位向量，且，向量满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用数量积的运算律及性质建立不等式，再求解不等式即可得解. 【解析】单位向量满足，则， 由，得， 则，当且仅当同向时取等号， 因此，解得. 所以的取值范围是. 故答案为： 41．（2022春•徐汇区校级期末）已知平面向量，且，向量满足，则当成最小值时　　． 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出， 夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点的几何意义，最后确定取最小值时的值． 【解答】解：，而，， ，，，，，， ， ，， 向量满足，， 如图所示， 若，，，， 则，， ，在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则， 由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小，即取最小值， 此时，， 又，，． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查向量数量积的运算及性质，考查运算求解能力，属于中档题． 42.（2023春·上海延安中学高一期末）已知矩形的边，点分别在边上，且． （1）若，求的面积； （2）求的最小值． 【答案】（1）； （2）. 【分析】（1）利用差角的余弦公式求出，再结合三角形面积公式计算作答. （2）令，把表示成的函数，再求出函数最小值作答. 【小问1详解】 矩形的边，，， ，而， 因此，则， 所以的面积为. 【小问2详解】 设，其中或锐角满足，，， 因此 ， 而， 由正切函数性质得当时，， 则当，即时，，， 所以的最小值. 【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决. 考点10：综合解答题 43．（2023春•徐汇区校级期中）已知，，且． （1）求与的夹角； （2）若，求实数的值． 【分析】（1）将平方后，可得，进而得解； （2）易知，再根据，可建立关于可得方程，解出即可． 【解答】解：（1）因为，，且， 所以， 解得， 又， 则与的夹角为； （2）由（1）可知，， 因为， 所以， 即，解得． 【点评】本题考查平面向量数量积的运用，考查运算求解能力，属于基础题． 44．（23-24高一下·上海宝山·期末）已知坐标平面内，向量，，． (1)求满足的实数、； (2)若向量满足，且，求的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）借助向量坐标运算计算即可得； （2）借助向量坐标运算中垂直性质与模长公式计算即可得. 【解析】（1）由，则有，解得， 即，； （2）设，则有，解得或， 故或. 45．（2024春•杨浦区校级期中）如图所示，已知与的夹角为，点是的外接圆优弧上的一个动点（含端点，，记与的夹角为，并设，其中，为实数． （1）求外接圆的直径； （2）试将表示为的函数，并指出该函数的定义域； （3）求为直径时，的值． 【分析】（1）在中，根据余弦定理求出长，然后根据正弦定理算出外接圆的直径； （2）在中利用正弦定理算出，结合同角三角函数的关系算出，然后利用两角和的正弦公式将表示为的表达式，进而根据正弦定理求出的表达式及其定义域； （3）根据诱导公式算出与，然后求出与，利用两角和的正弦公式算出，进而利用正弦定理与平面向量基本定理算出的值． 【解答】解：（1）在中，根据余弦定理， 可得，解得（舍负）， 设外接圆半径为，由正弦定理得外接圆直径； （2）连接，在中， 由正弦定理，解得 结合，得， 所以， 结合正弦定理，可得， 综上所述，； （3）设与交于点，当为直径时，， 此时，， 根据正弦定理得． 于是， 因此可得，根据向量的共线定理， 可知存在，使得，且， 故，可得． 【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理、三角恒等变换公式、平面向量的线性运算法则等知识，属于中档题． 46．（23-24高一下·上海·期末）在中，，平面上的点满足，，动点在线段上（不含端点）． (1)设，用含有的式子表示； (2)设，求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】(1)由平面向量的线性运算求解； (2)由 ，得，则，由基本不等式求解； (3) ，即可求解． 【解析】（1）解：如图所示：   ； （2）因为，，由(１)得， 得， 由， 得， 则， 因为，所以， 则， 等号成立时，，得， 故的最小值为； （3）因为，所以， 则 ， 因为，所以当时，取得最小值为． 47.（2023春·上海控江中学高一期末）如图，设是半径为1的圆的内接正六边形，是圆上的动点. （1）求的最大值； （2）求证：为定值； （3）对于平面中的点，存在实数与，使得，若点是正六边形内的动点（包含边界），求的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【分析】（1）依题意可得，根据圆的几何性质圆上两点间直径最长，即可得解； （2）当不与、中任何一点重合时，利用勾股定理即可证明，当与、中一点重合时，此时，即可得证； （3）建立平面直角坐标系，即可得到，根据点位置特征，即可得解. 【小问1详解】 因为，均在圆上运动， 则，当且仅当与点重合时取等号； 【小问2详解】 因为、为圆直径的两端，为圆上的动点， 当不与、中任何一点重合时，，所以， 故 ． 当与、中一点重合时，不妨设与重合， 则， 综上可得为定值； 【小问3详解】 建立如图所示的建立平面直角坐标系，则，， 则由 ，即， 要使最小，只需使最大，即点的纵坐标最大， 由点在正六边形上及其内部运动，所以当点与点重合时， ，从而，即取最小值为． 2 / 2 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