2024-2025学年北师大版数学七年级下册期末检测卷A

北师大2024版数学七年级下册 期末检测卷A 考试范围：北师大2024版第一章至第六章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．在下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　） A． B． C． D． 2．合肥长鑫存储是中国（动态随机存取存储器）领域的龙头企业，作为合肥集成电路产业的核心支柱，2024年已实现量产工艺内存芯片（），用科学计数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查的方式 D．了解某电视栏目的收视率，应采用普查的方式 4．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（    ） A． B． C． D． 6．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．已知，则的值是( ) A． B． C． D． 8．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 9．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．计算： ． 12．一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． 13．拖拉机工作时，油箱中的余油量（升）与工作时间（时）的关系式为．从关系式可知这台拖拉机最多可以工作 小时． 14．如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为 15．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 16．如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ．（填序号） 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题6分）（1）计算：； （2）化简：； 18．（本题6分）先化简，再求值：．其中． 19．（本题7分）如图，在中，是延长线上的一点． (1)利用直尺和圆规作的平分线，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法） (2)若，请说明． 证明：， ∴①______（两直线平行，同位角相等）． ②______（③______）． 平分（已知）， ④______． （⑤______）． 20．（本题6分）小丽的爸爸开车带一家回上海，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系． (1)根据图象判断，当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 21．（本题8分）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑，农业科研人员小李在完全相同的A，B两块试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗的长度情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从A，B两块试验田里共抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本．下面的抽样调查方式合理的是___________；（只填序号） ①从A实验田里抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②从B实验田里随机抽取100个麦穗的长度作为样本 ③从A，B两块实验田里各随机抽取50个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得两块试验田共100个麦穗的长度（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 100个麦穗长度频率分布表 根据以图表信息，频率分布表中的___________； 【作出合理估计】 （3）估计长度不小于的麦穗在两块试验田里所占比例为___________； 【用列举法求概率】 （4）甲、乙、丙三位同学准备去A，B两块实验田进行劳动实践，他们用抛掷硬币的方式决定去哪一块实验田．三位同学分别抛掷硬币1次，正面向上代表去A实验田，反面向上代表去B实验田，请求出三个人去同一块实验田的概率． 22．（本题6分）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 23．（本题9分）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 24．（本题12分）【问题提出】 如图1，在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，交射线于点．探索，与之间的数量关系． 【问题思考】 我们先将问题特殊化， （1）如图2，当，重合时，______，______，（用含，的代数式表示），此时，与之间的数量关系是：____________． 【问题解决】 我们再将问题一般化， （2）如图3，当在上，试说明（1）中，与之间的数量关系仍然成立． （3）如图4，当在上，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 25．（本题12分）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大2024版数学七年级下册 期末检测卷A 考试范围：北师大2024版第一章至第六章 （考试时间：120分钟 总分：120分） 题号 一 二 三 总分 得分 一、单选题（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分） 1．在下列四个图案中，不是轴对称图案的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据轴对称图形的概念求解．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，故不合题意； B、该图形不是轴对称图形，故合题意； C、该图形是轴对称图形，故不合题意； D、该图形是轴对称图形，故不合题意； 故选：B． 2．合肥长鑫存储是中国（动态随机存取存储器）领域的龙头企业，作为合肥集成电路产业的核心支柱，2024年已实现量产工艺内存芯片（），用科学计数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：依题意，， 将用科学记数法可表示 故选：D． 3．下列说法正确的是（   ） A．明天的降水概率为，则明天的时间下雨，的时间不下雨 B．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，必有一次正面朝上 C．了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查的方式 D．了解某电视栏目的收视率，应采用普查的方式 【答案】C 【分析】此题主要考查统计与概率的定义，解题的关键是熟知概率的定义、统计调查的方法．根据调查方式的选择、随机事件的概率逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、明天的降水概率为，则明天下雨可能性较大，故本选项错误； B、抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面朝上是随机的，故本选项错误； C、了解一批烟花的燃放质量，应采用抽样调查方式，故本选项正确； D、了解某电视栏目的收视率，应采用抽样调查方式，故本选项错误； 故选：C． 4．若是正整数，且满足，则下列与的关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项，同底数幂的乘法运算法则是关键． 根据整式的混合运算计算即可． 【详解】解：，， ∴， 故选：B ． 5．如图，已知，要得到，还需从下列条件中补选一个，则错误的选法是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，两个三角形全等共有五个定理，即、、、及，注意：无法证明三角形全等．先要确定现有已知在图形上的位置，结合全等三角形的判定方法对选项逐一验证，找出错误的选项即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴当时，可利用证明，故A选项不符合题意， 当时，无法证明三角形全等，故B选项符合题意， 当时，可利用证明，故C选项不符合题意， 当时，可利用证明，故D选项不符合题意， 故选：B． 6．如图，，为上一点，，且平分，过点作于点，且，则下列结论：①；② ；③平分；④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】延长交于点I，根据角平分线的定义，直角三角形的两个锐角互余和平行线的性质即可解答． 此题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 【详解】解：延长交于点I， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得； 故①正确； ∴， 故②正确； ∵， ∴， 无法判定， 故③错误； ∵， ∴， 无法判定， 故④错误, 故选：B． 7．已知，则的值是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．先将原式变形为，然后利用完全平方公式展开，即可求出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度（） 声速（） 根据表格所得到的信息，下列说法错误的是（    ） A．在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速 B．温度越低，声速越慢 C．当温度每升高时，声速增加 D．当空气温度为时，声音可以传播 【答案】D 【分析】本题考查了函数的表示方法、常量与变量，根据自变量与函数的定义即可判断；通过观察表格数据即可判断；根据计算出空气温度为的声速，即此时每秒传播的距离即可判断；掌握自变量与函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵声速随温度的变化而变化， ∴自变量是温度，声速是温度的函数，故正确，不符合题意； 从表格数据可知，随着温度的降低，声速变慢，故正确，不符合题意； 从数据可知，温度每升高，声速就增加，故 正确，不符合题意； 由可知，当空气温度为时，声速为，即当空气温度为时，声音每秒可以传播，故错误，符合题意； 故选：． 9．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，分别以为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，画射线交于点长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，勾股定理的逆定理，如图，过点D作于点H．利用勾股定理的逆定理证明，再证明，利用面积法求解． 【详解】解：如图，过点D作于点H． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 10．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 二、填空题（本题满分18分，共有6道小题，每小题3分） 11．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了概率公式，解答本题的关键是明确题意，根据题意求出布袋中球的总数． 根据题目中的数据可以计算出总的球的个数，从而可以求得的值． 【详解】由题意可得，布袋中球的总数为：（个）， 所以 故答案为：5． 13．拖拉机工作时，油箱中的余油量（升）与工作时间（时）的关系式为．从关系式可知这台拖拉机最多可以工作 小时． 【答案】/ 【分析】令即可求出最多工作的时间． 【详解】解：根据题意得：， 代入得到：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了两个变量关系在生活中的应用，理解题意是关键． 14．如图1是长方形纸条，，将纸条沿折叠成图2，再沿折叠成图3；用α表示图3中的大小为 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，牢记“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由四边形为长方形，利用平行线的性质可得出和，再结合图2中及图3中，即可求出． 【详解】图1中，∵四边形为长方形，， ∴， ∴， ∴， ∴图2中，， ∴图3中，， ∴． 故答案为：． 15．如图，等腰三角形的底边长为6，面积是36，腰的垂直平分线分别交，边于，点．若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查的是轴对称最短路线问题，连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论．熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键． 【详解】解：连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ，解得， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， 的长为的最小值， 的周长最短． 故答案为：15． 16．如图，在四边形中，．若的角平分线交于，连接，且边平分，得到如下结论：①；②；③；④若，则的取值范围为，那么以上结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义．根据两直线平行，同旁内角互补可得，又都是角平分线，可以推出，从而得到，然后延长交的延长线于点F，先证明，再根据全等三角形的性质得到，然后证明，从而证明①②④正确，与不一定相等，所以③不正确． 【详解】解：， ， 、分别是与的平分线， ，， ， ， 故①正确； 如图，延长交延长线于， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ，， ， ∴， 在与中， ， ， ， ，故②正确； ， ，即点为的中点， 与不一定相等， 与不一定相等，故③错误； ，， 的取值范围为，故④正确； 综上所述，正确的有①②④； 故答案为：①②④． 三、解答题（本题满分72分，共有9道小题） 17．（本题6分）（1）计算：； （2）化简：； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是零次幂的含义，含乘方的混合运算，积的乘方运算，单项式的乘除运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键； （1）先计算乘方，零次幂，再计算绝对值，最后合并即可； （2）先计算积的乘方运算，再计算单项式的乘法与除法运算即可. 【详解】解：（1） ； （2） . 18．（本题6分）先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值，先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算多项式除以单项式，得到化简的结果，再把代入化简后的代数式计算即可. 【详解】解： ； 当时， 原式. 19．（本题7分）如图，在中，是延长线上的一点． (1)利用直尺和圆规作的平分线，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹．不写作法） (2)若，请说明． 证明：， ∴①______（两直线平行，同位角相等）． ②______（③______）． 平分（已知）， ④______． （⑤______）． 【答案】(1)见解析； (2)①∠B；②∠C；③两直线平行，同位角相等；④∠EAC；⑤等量代换． 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的作图等知识，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的作图步骤作图即可； （2）利用平行线的性质和角平分线进行证明即可． 【详解】（1）解：如图即为所求， （2）证明：， ∴（两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，同位角相等）． 平分（已知）， ． （等量代换）． 20．（本题6分）小丽的爸爸开车带一家回上海，如图表示汽车行驶的路程和耗油量的关系． (1)根据图象判断，当汽车行驶20千米时，耗油量是 升：当耗油量达到6升时，汽车行驶 千米． (2)离目的地还有300千米时，汽车油箱里还剩30升汽油．这些油够这辆汽车开到目的地吗？ 【答案】(1)；50 (2)这些油不能够使这辆汽车开到目的地，理由见解析 【分析】本题考查了从图象中获取准确信息是关键． （1）根据图象信息直接填空即可； （2）先计算出汽车的油耗，再计算300公里所需的汽油量，与30升汽油比较即可． 【详解】（1）解：由图象可知，当汽车行驶20千米时，耗油量是升：当耗油量达到6升时，汽车行驶50千米． 故答案为：；50； （2）解：汽车的耗油量为（升/千米）， （升）， ∵， ∴这些油不能够使这辆汽车开到目的地． 21．（本题8分）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑，农业科研人员小李在完全相同的A，B两块试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗的长度情况，开展了一次调查研究． 【确定调查方式】 （1）小李计划从A，B两块试验田里共抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本．下面的抽样调查方式合理的是___________；（只填序号） ①从A实验田里抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本 ②从B实验田里随机抽取100个麦穗的长度作为样本 ③从A，B两块实验田里各随机抽取50个麦穗的长度作为样本 【整理分析数据】 （2）小李采用合理的调查方式获得两块试验田共100个麦穗的长度（精确到），并将调查所得的数据整理如下： 100个麦穗长度频率分布表 根据以图表信息，频率分布表中的___________； 【作出合理估计】 （3）估计长度不小于的麦穗在两块试验田里所占比例为___________； 【用列举法求概率】 （4）甲、乙、丙三位同学准备去A，B两块实验田进行劳动实践，他们用抛掷硬币的方式决定去哪一块实验田．三位同学分别抛掷硬币1次，正面向上代表去A实验田，反面向上代表去B实验田，请求出三个人去同一块实验田的概率． 【答案】（1）③；（2）；（3）；（4）三个人去同一块实验田的概率为． 【分析】（1）利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断； （2）先利用频数分布直方图计算出麦穗的长度在范围内的麦穗数量，然后计算它所占的百分比得到b的值； （3）先计算出a的值，然后计算后面三组的频率和，从而根据用样本估计总体解决问题； （4）画树状图展示所有8种等可能的结果，再找出三个人去同一块实验田的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：（1）为了样本具有代表性，应该两块实验田里各随机抽取50个麦穗的长度作为样本； 故答案为：③； （2）麦穗的长度在范围内的麦穗数量为（个）， 所以； 故答案为：； （3）∵， ∴样本中长度不小于的麦穗在两块试验田里所占比例为， ∴估计长度不小于的麦穗在两块试验田里所占比例为； 故答案为：； （4）共有8种等可能的结果，其中三个人去同一块实验田的结果数为2， 所以三个人去同一块实验田的概率． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中找出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A．也考查了用样本估计总体、统计图和概率公式． 22．（本题6分）如图，点B，C，D在同一条直线上，，且． (1)试说明． (2)若，C是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质、垂直的定义，余角的性质可得出，然后根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质和线段中点的定义求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， 在中，， ∵， ∴， ， 又，， ， ； （2）解：由（1）得， ，， 又点是的中点， ， ． 23．（本题9分）【理解】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为，宽为的长方形．并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）如图2，请你写出代数式：，，之间的等量关系_____； 【运用】（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知：，，求和的值； 【感悟】（3）已知，求 【答案】（1）  （2） ，12；（3） 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应用完全平方公式进行变形计算，也涉及平方根，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，． （1）图2的面积可以表示为一个边长为的正方形面积，又可以表示为一个边长为a的正方形面积加上一个边长为b的正方形面积再加上两个长为b，宽为a的长方形面积，据此可得结论； （2）根据可得，再根据（1）中的结论计算即可； （3）设，，则，可得出，再根据（1）中的结论计算即可． 【详解】解：（1）∵图2是边长为的正方形， ∴， ∵图2可看成1个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形以及2个长为b，宽为a的长方形的组合图形， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； （3）设，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ 即． 24．（本题12分）【问题提出】 如图1，在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，交射线于点．探索，与之间的数量关系． 【问题思考】 我们先将问题特殊化， （1）如图2，当，重合时，______，______，（用含，的代数式表示），此时，与之间的数量关系是：____________． 【问题解决】 我们再将问题一般化， （2）如图3，当在上，试说明（1）中，与之间的数量关系仍然成立． （3）如图4，当在上，猜想，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），，（2）见详解（3）。理由见详解 【分析】（1）根据长方形的面积等于长×宽列式计算，得，结合三角形的面积等于高×底，即可作答． （2）证明，则，，结论得证； （3）同（2）可知，则，根据，作答即可． 本题考查了全等三角形的判定与性质．列代数式，解题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定与性质． 【详解】解：（1）∵长方形的面积等于长×宽列式计算， 得， ∴， ∴， 故答案为：，，； （2）∵在长方形中，，，边长为的正方形的边在射线上移动，当在上， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）．理由如下： 同（2）可知， 则， ∴， ∴． 25．（本题12分）太阳光和灯光都是我们生活中的光源，蕴含着很丰富的数学知识． 情境：当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生变化，这种现象叫做光的折射． （1）如图1，直线与相交于点F，一束光线沿射入水面，在点处发生折射，沿射入水中，如果，，则的度数为______． 拓展：（2）光线从空气射入水产生折射，同时，光线从水射入空气也发生折射，如图2，光线从空气射入水中，再从水射入空气中，形成光线，根据光学知识有，，请判断光线与光线的位置关系，并说明理由； 应用：（3）如图3，出于安全考虑，在某段铁路两旁安置了A、B两座可旋转探照灯.假定主道路，连接，且．灯A发出的射线自顺时针旋转至，灯B发出的射线自顺时针旋转至后立即回转，当射线回转至后两条射线停止运动，两灯不停交叉照射巡视．灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒.它们同时开始转动，设转动时间为秒，当与互相垂直时，求出此时的值． 【答案】（1）；（2）（3），， 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，相交线，平行线，关键是相关性质的熟练掌握． （1）根据对顶角相等，； （2）延长交于点，延长交于点，根据，以及对顶角相等可得，由内错角相等，两直线平行可得； （3）分三种情况讨论，①当，未相遇时，设射线交于点 ，射线 交于点 ，②当返回时，③当第次从出发，与垂直时，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）如图 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 如图2，延长交于点，延长交于点， 则，， ， ， ， ， 即， ； （3）射线运动时间为：（秒），射线的运动时间为秒， ∴射线最多运动到， 当，未相遇时，设射线交于点，射线 交于点， ∵， ∴， 与互相垂直时， ， ， 解得， ②如图所示，当射线返回时， ， ， 解得； ③当回到时，刚好垂直， ， 综上所述，，，时，与互相垂直． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$