2025届福建省福州市福九联盟高三5月联合考试数学试题

准考证号 姓名 (在此卷上答题无效】 飞设椭圆C号+号=1的左、右焦点分别为，及，点P在椭圆上A伪RPB的平分 福九联盟2025届高三年级5月联合考试 线与x轴的交点.若P瓦P不=0，则PA= 数学试题 A. B.2 c.9 D.9 注意事项： 8. 已知可导函数f)是定义在（月上的奇函数，当x∈(0）时，f+ L答恩前，考生务必在试愿卷，答愿卡规定的地方端写自己韵常考证号、姓名，考生要认真 核对答题卡上粘贴的条形码的准考证号、蛙名”与考生本人准考正号、姓名是香一数。 fx)anx>0,则cosx~f(x+)+inx·f(-)>0的解集为 2选择想每小题选出答案后，用B暂笔把答匙卡上对应愿日的答案标号涂黑.如声改动， 用榨皮擦干净后，再选涂其它答案际号。非选择厘用0,5毫米狐色容学笔在答题卡上书写 作答.在试题卷上作答。答案无效 A.（--月B.（-0）c.(；-9 D.（-o 3,考试体束，考生必须将试题卷和答是卡一并交回。 一、单项选择题：本盟共8小题，每小题5分，共4相分，在每小题给出的四个选项中， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的进项中，有多项 只有一项是符合题目要求的。 符合酸目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 1.若集合M=xnx<0).N=xlx≤1，则MnN 9设1,2，为为夏数，且卡0，则下列命愿中正确的是 A(-1,1) B.(010 C.(0.1 D.(-o,1 A.若=，划2=士为B,若■马则马2= 2.若向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则la2-b= C.若=，期z2=D,若=尸，则名1=经 A.-1 B.0 C.1 D.2 10.已如A(-3,0),B(3,0):动点C满足ICA=2CB,记C的轨迹为T,若过点A的直线 3.已知tan位=3，则sin(传+a)血 与「交于P,Q两点，直线BP与「的另一个交点为M,则 A-品 B.-品 c.品 D.品 A,Q,M关于x轴对称 4.若a,b∈R,则ab(a-b)>0的一个充要条件是 B。△PAB的面积的最大值为6W万 A.a<0<b B.b<a<0 C.a>b>0 D<特 C.当LPMQ=45时，IPQl=4W2 5从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 D。直线AC的斜率的取做范围为-√，V☒ A.君 B.月 C. D.月 11,若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则定义()=M一m需此，下列 6,元宵节是春节之后的第一个重要节日，元有节又称灯节，很多地区家家户户都挂花 命题中不正确的是 灯，如图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正大棱 A.若X=[-1,1).Y=0,b小，且4()=4)，则bm2 柱组成，正六棱台的上下两个底面边长分别为20cm和40em, B.若X={x)≥g(x,xe【-1,1以且(0门=2，筹对任意x∈[-111，都有fx)≥g(x) 正大棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm,则该花灯的体 C.若X=[a,a+2,Y■b=x2x∈)，则存在实数a,使得4(Y)<1 积约为 D,若g=[血，a+2引，Y■b,b+引.则对任意的实数a,总存在实数b,使得4U门=3 A,460003cam3 B.48000V3cm C.50000v3cm3 D.52000v3cm 数学试原（第1页共2夏） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 的调查数据的平购数和方差分别为21和17， 12.已知二项式（饭+）的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项 (1)计算这次调查总样本的均值与方差。并对该项健身活动的全体参与者的脂 为一，《用数字作答) 斯含量的均值与方差作出估计，（结果保窗整数） 13.曲线y=e-1与y=1nx+1的一条公初线的方程为 (只需写出其中一 (2)假设该健身活动的全体参与者的脂防含量为随机变量x,且茗一W(17,。力， 条公切线的方程) 其中。近似为(1》中计算所得的总样本方差，现从全体参与者中随机抽取3位，求3 14.如图，已知Rt△SAB是国锥S0的轴截面，C,D分别为 位参与者的租些含量均小于122%的概率。 SA,SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆推，截 附，若随机变量X服从正态分布N(H,a2),则P(一≤X≤N+G)=0.6827, 口曲线厂是猪物线的一部分，若P在上，则股的最大值 P(m-2≤x≤H+2a)=0.9545,V2亚附4,7，V23s4.80.158652w0.004. 为 18.(17分) 已知函数f)=ae1-x-1 四、解答题：本题共5小题，共T7分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (1)讨论f代x)的单调性： 15.(13分) (2)证第：当a≥1时，f)+x-x≥2 金+1 如图，在五面体ABCDPQ中，AB⊥平面PAD,平重PDCn平面PAB=PQ: 19.(17分) AB∥CD,P0⊥AD于点0 对于和后r,若蜡为常数，则将时-首-1(a,>06>0)称为双自线系，的 (1)求证1CDPQ: 方程.已知双#线系B中，双偏线B1经过点(3,2V写和点（一4，一4W3: (2)设AB=D0=40A=4,CD=PQ=P0=2, (1)求双拉找系En的离心率： 求直线PA与平面QBC所咸角的正弦值。 (2)已知4，B是双曲线En的左、右顶点，乃，Qm是双曲线En上的动点，且点R在 16.(15分) 第二象限，Qm在第三象限，点Mn(-4a+1,0)在直线PnQn上，且直线AnP.与直线BnQ的 在平面四边形ABCD中(B,D在直线AC的两图)，AD■CD=1,LADC=120 斜半之比恒为常数-3. (1)若2DAB■90，BG-,求∠ABC: (i)证明：数列aJ是以为公比的等比数列： (2)若AB=2BC,求四边形ABCD的而积的最大值. ()定义：无穷等比递减数列c的所有项之和为5=名其中6为c,]的首 17,(15分) 项，gG]的公比，且0<g<1.设0是坐标原点，△0RQ,的面积Sn的最小值为 脂肪含量（单位：%）指的是脂防重量占人体总重量的比例，某运动生理学家对 ,求数列6】的所有项之和了 某项健身活动参与人群的脂药含最采用分层随机袖样的方式进行了翼查.已知调查中 所抽取的120位舅性的调查数据的平均数和方差分别为14和6，所抽取的90位女性 数学试调（第2面其2灭） 准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 福九联盟2025届高三年级5月联合考试 数学试题 注意事项： 1,答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名，考生要认真核对答 题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致： 2。选择题每小题选出答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答策标号涂黑.如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号，非选择题用0,5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷 上作答，答案无效 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选绎题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的， 1.若集合M={xnx<0以，N={xlx≤1}，则MnN= A.(-1,1) B.(0,1) C.(0,1] D.(-0,1) 【答案】B 【解析】因为M=xr<0)={x0<x<},N={xs}={x-l≤x≤}，所以 MIN=(0,1) 2.若向量a,b满足a+b=(2,3),a-b=(-2,1),则1a2-b2= A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】A 【解析（方法一）因为a+b=(2,3),a-b=(-2,1),两式相加得2a=(0,4),即a=(0,2), 所以b=(a+b)-a=(2,3)-(0,2)=(2,1),所以川a2-1b2=4-5=-1 (方法二)1a2-b2=a2-b2=(a+b)·(a-b)=(2,3)·(-2,1)=-1. 3. 己知tana-3,则sin(侵+a)sina= A:-8 B.- c. D.品 【答案】C 【解折】（方法-）m仔+a小ne=inco- sina cos a =tana 3 sin2a+cos2a tan2a+1 10 数学试题（第1页共16页） (方法二)因为tana=3>0,所以a为第一或第三象限角.当a为第一象限角时，sina= 品cosa=而所以sin(侣+a)sina=cos asina=最同理，当a为第三象限角时，sina 品，cosa=-品sin(+a)sina=cosasin=吾综上，sim(任+a）sina= 4.若a,bER,则ab(a-b)>0的一个充要条件是 A.a<o<b B.b<a<o C.a>b>0 D. 【答案】D 【解析】（方法一）依题意，ab≠0，故a2b2>0.则ab(a-b)>0台a2b>ab2- a2ba>ab2即<话 ab>0「ab<0 (方法二)ab(a-b)>0一 a-b>0或1a-b<0⊙a>b>0或b<a<0或a<0<b, 或 又a(a-)>0台ab-ab>0eab'<dbeb<abe11 故b(a-)>0的一个充要条件是1<是 5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为 A.吉 B. C. D.月 【答案】D 【解析】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C?=21种不同的取法，若 两数不互质，不同的取法有：（2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,6)，(4,6)(4,8)，(6,8)，共7种，故所求概率 P=21-72 213 故选：D 6.元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯.如 图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，正六 棱台的上下两个底面边长分别为20cm和40cm,正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和 60cm,则该花灯的体积约为 A.46000v3cmm3 B.48000V3cm3 C.50000V3cm3 D.52000V3cm3 【答案】C 数学试题（第2页共16页） 【解析】由题意花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六 棱台的上下两个底面积分别为 3=6××20×20×n60°=600W5,S,=6××40×40×sim60°=2400N5, 所以花灯的体积V=60S+3×10x(S+S+SS)=60x6005+x10× 600W3+2400W3+V600W3×2400W5=50000V3,故选C. 7. 设椭圆C:号+发=1的左、右焦点分别为，乃，点P在椭圆上，A为RPB,的平分线与 x轴的交点.若PF·PF=0,则PA= A.9 B.24v@ c.号 D.322 7 7 【答案】B 【解析】依题意，a=7,c=√49-24=5，不妨设点P位于第一象限，设P=m,PF引= 则m+n=14①，且m>n>0.因为P·PF=0,所以∠EPE=90°，所以m+n2=4c2=100 ②.由①②解得m=8,n=6.因为PA平分∠RP明，所以Sas=8十6 6 S,故 △=7 964行6：8，所训14249 7 另解：由①2-②得mn=48.由SaPa+SAPAF=SAPFF,得m·IPAlsin45+: 1 PAl sin45°=3mm,所以PAl=Zmm=482=242 m+n 14 7 8.已知可导函数f)是定义在(-，)上的奇函数.当xE(0,)时，f)+f(x)tanx>0, 则f(x+习cosx+f(-x)sinx>0的解集为 A.（-)B.（ c.(--9D.（0) 【答案】D 【解析】由 <x+i得-<x<0 -x< 考查函数g(x)=f(x)sinx,g(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx.己知当xe(0,时，f(x)+ f'(x)tanx>0,即f'(x)sinx+f(x)cosx>0,即g'(x)>0,故g(x)在(0，习上单调递增.由 fx)及y=sinx都是奇函数得g(x)为偶函数.不等式f(x+)cosx+f(-x)sinx>0可化为 数学试题（第3页共16页） g(x+)-9(-)>0,即g(x+)>g(-x,故g(x+》>9(-x0,所以+到>x 解得x>- 综上所述，原不等式解集为(0)： 二、选舞题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.设21,22，z3为复数，且z1≠0，则下列命题中正确的是 A.若1z2|=|z3,则z2=±z3 B.若z122=2123,则22=23 C.若z2=23,则|z122l=21z3lD.若1z2=|z1,则z1=z2 【答案】BC 【解析】对于A,取2=1+i,53=1-i,满足=，，但2≠，故A错误： 对于B,由2=3，得(32-）=0，因为≠0，所以2=三，故B正确： 对于C,因为三2=，所以=，所以===故C正确： 对于D,取=1+i,52=1-i,则，=，但5≠52，故D错误. 故选BC 10.己知A(-3,0),B(3,0),动点C满足ICA=2CB引，记C的轨迹为T.若过点A的直线与T交 于P,Q两点，直线BP与Γ的另一个交点为M,则 A.Q,M关于x轴对称 B.△PAB的面积的最大值为6√3 C.当LPMQ=45时，IPQl=4v2 D.直线AC的斜率的取值范围为[-V3,V3 【答案】AC. 【解析】设C(x,y),由CA=2C得Vx+3+y2=2√x-3)'+y2,整理得Γ的方程为 (x-5+y2=16，其图象是以D(5,0)为圆心，半径r=4的圆·故 (5a=H卧r=×6x4=12,选项B错误.因为P4=2Pa,A=2M网，所以 PA PB MA MB 所以∠PAB=∠MAB,，所以Q,M关于x轴对称，选项A正确.当∠PMQ=45 时，∠PDQ=45°×2=90°，则△DP9为等腰直角三角形，Pg=√2r=42,选项C正确.当 直线AC与圆D相切时，CD1AC,此时AD=8=2r=2CD,切线AC的倾斜角为30°和150°， 数学试题（第4页共16页） 结合图象，可得直线AC的斜率的取值范围为 33 选项D错误.故选AC. 11.若非空实数集X中存在最大元素M和最小元素m,则定义△(X)=M一m.据此，下列命题 中不正确的是 A.若X={-1,1},Y={0,b},且4(X)=4(Y),则b=2 B.若X={xf(x)≥g(x),x∈[-1,1}，且4(X)=2,则对任意xe[-1,1],都有f(x)≥g(x) C.若X=[a,a+2引，Y=yy=x2,xEX,则存在实数a,使得A(Y)<1 D.若X=[a,a+2],Y=[b,b+3],则对任意的实数a,总存在实数b,使得△(XUY)=3 【答案】ABC 【解析】A选项，由X={-l,1},Y={0,b},可得△(X)=2,△(Y)=,因为 △(X)=△(Y),所以=2，b=2,故A错误： B选项，由△(X)=2知，-1∈X且1∈X,则f(1)≥g(1)且f(-1)≥g(-1),但是 f(0)2g(0)不一定成立，例如：f(x)=x2-1,g(x)=-x2，f(0)=-1,g(0)=0,故B错 误： C选项，由X=[aa+2],Y={y=x2,xeX},当a+2≤0，即a≤-2时， △(Y)=a2-(a+2=-4a-4≥4；当-2<a≤-1时，可得△(Y)=a2≥1；当-1<a<0时，可 得△()=(a+2)2>1；当a≥0时，可得△(Y)=(a+2)'-a2=4a+4≥4，所以不存在实数 a,使得△(Y)<l,故C错误： D选项，由X=[a,a+2],Y=[b,b+3],取b=a,可得△(XUY)=△([a,a+3]）=3,对 任意实数a,总存在b使之成立，故D正确， 故选：ABC 数学试题（第5页共16页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知二项式（板+）的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项 为 (用数字作答) 【答案】28 【解析】令x=1,得展开式中各项系数和为2m=256,解得n=8.该二项展开式中的第 r+1项为r+1=C5(-7(月=C5x宁，令=0，得r=2,常数项为n3=c=28. 13.曲线y=e'-1与y=nx+1的一条公切线的方程为 (只需写出其中一条公切 线的方程) 【答案】ex-y-1=0或x-y=0(写出其中一条即可) 【解析】（方法一）设f(x)=e*-1,g(x)=lnx+1.公切线与f(x)相切于点 (m,e-,与g(x)相切于点(m,nn+1),因为f(x)=e,g(x)=,则公切线斜率 k=e产=力所以公切线方程为y-e+1=e(x-m）或y-nn-1x-川小， 整理得y=ex-(m-1)e-1或y=上x+lnn, 所以 即m=-m2 (m-1)e"+1=-n, (m-l)e"+1=-lnn 所以(m-1)e"+1-m=(m-1)(e”-1)=0,解得m=1或m=0, 所以公切线方程为ex-y-1=0或x-y=0. (方法二)由曲线y=ex与直线y=x+1相切知，曲线y=e*-1与直线y=x相切. 由曲线y=nx与直线y=x-1相切知，曲线y=lnx+1与直线y=x相切. 所以直线y=x为曲线y=e-1与y=lnx+1的公切线， 14.如图，已知Rt△SAB是圆锥SO的轴截面，C,D分别为SA,SB的中点，过点C且与直线SA垂 直的平面截圆锥，截口曲线r是抛物线的一部分.若P在T上，则的最大值为 【答案】 数学试题（第6页共16页） 【解析】过点O作EF1AB,交底面圆于E,F两点，连接SO,DO,CO,设SA=SB= 2,则DC=AB=V2,所以当DP最大时，咒最大，由圆锥的性 质得SO⊥底面AEFB,因为EFC底面AEFB,所以SO⊥EF,又 S0∩AB=O,且S0,ABC平面SAB,所以EF⊥平面SAB,因为 SAC平面SAB,所以SA⊥EF, 因为C,O分别是SA,AB的中点，所以CO∥SB,又SB1SA,则 E CO⊥SA,因为CO∩EF=O,且CO,EFc平面CEF,所以SA1 平面CEF,则平面CEF为截面，因为D,O为SB,AB中点，所以 OD∥SA,所以ODI平面CEF,因为OPC平面CEF,所以OD⊥ OP,所以DP=VOD2+OP2=V1+OPz,则当OP最大时，DP 最大 如图为截面的平面图，以C为原点，C0为x轴，过点C垂直CO 向上的方向为y轴正方向建系，C0=1,0E=0F=V2,0(1,0),F(1,V2),则抛物线方程 为y2=2x,设P(倍，a)a∈-V2,v风，则op1=J1-+a2=度+1，所以 OP=2,则此时DP=V1+2=V3,器=得= Γ2 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 如图，在五面体ABCDPQ中，AB1平面PAD,平面PDC∩平面PAB=PQ,AB∥CD, P0⊥AD于点O (1)求证：CD∥PQ: (2)设AB=D0=40A=4,CD=PQ=P0=2,求直线PA与平面QBC所成角的正 弦值. 【解析】(1)如图，因为AB/ICD,CD过平面ABOP,ABC平面ABQP, 所以CD川平面ABOP,………3分 数学试题（第7页共16页） 又因为CDc平面CDPQ,平面CDPOI平面ABOP=PQ, 所以CD∥P,……… …6分 评分细则： 步骤一：证明线面平行(3分) 注：线在面内，线在面外各1分，没写扣分 步骤二：证明线线平行(3分) 注：线在面内，两面交线各1分，没写扣分 (2)由AB1平面PAD,PO L AD得OD,AB,OP三条直线两两互相垂直. 以O为原点，分别以OD,AB,OP的方向为x轴，y轴，二轴的正方向，建立空间直角坐 标系0-z,则O(0,0,0),A(-1,0,0),D(4,0,0),C(4,2,0),B(-1,4,0),P(0,0,2), BC=(5,-2,0),AP=(1,0,2), 由题意，得C0=Dp=(-4,0,2), 设平面QBC的法向量为m=(x,y,z), 则mc=0,即 -4x+2z=0, m.BC=0,5x-2y=0, 令x=2,则y=5,==4,于是m=(2,5,4), ……………10分 所以cosm,A丽=品=x店= m4A2+82 小…2分 故直线P4与平面QBC所成角的正弦值为？. ……13分 评分细则： 步骤一：建系正确，即可得(1分)， 步骤二：求出点和向量坐标(1分)， 步骤三：列方程和求出法向量(1分+1分)· 步骤四：求夹角余弦值(2分). 步骤五：回答正弦值(1分)· 注：1.在图中建系，标出箭号与具体书写建系，二者有其一即可得1分. 2.建左手系答案正确，扣1分.点评时予以强调 3.法向量计算结果错，但过程对，只扣1分. 4.向量计算列式错，结果对扣1分：列式对，结果错扣1分. 数学试题（第8页共16页）