第7章《相交线与平行线》复习题-- 平行线中的拐点问题的三大题型--　2024—2025学年人教版数学七年级下册

第7章《相交线与平行线》复习题-- 平行线中的拐点问题的三大题型 【题型1 平行线中的单拐点问题】 1．如图，，，设，，则与之间的数量关系正确的是（   ） A． B． C． D．与没有数量关系 2．含的三角板和含的三角板如图摆放，若，，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，已知，，记，则m的值为 ．    4．如图，已知直线，为平面内一点，连接，．则、、之间的等量关系为 ．    5．在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动如图1，已知两直线，且和直角三角形，，． (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现，说明理由； (3)竞赛小组在创新小组发现结论的基础上，将图2中的图形继续变化得到图3，当平分时，此时发现与又存在新的数量关系，请写出与的数量关系并证明． 6．在一次空间与图形的学习中，小明遇到了下面的问题：如图1，若，点P在、内部，探究，，的关系．小明只完成了（1）的部分证明． (1)请你继续完成的证明并在括号内填入适当的理论依据同时完成 过点作． ∵， ∴________（             ） ∴____（             ） 又∵ ∴ ∴________． (2)小明猜想：是不是类似的问题都可以过点P作来实现等角转移从而推导出相应结论呢？．如图2，若，点P在、外部，，，的关系是否发生变化？若发生变化请写出它们的关系，并证明；若没有发生变化，请说明理由． (3)探究：若，如图3，图4，请直接写出小于平角的，，之间的数量关系． 7．有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系． (1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？ (2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由． 8．已知，E，F分别是，上的点，点M在，两平行线之间．    【阅读探究】 (1)平行线具有“等角转化”的功能，将和通过转化“凑”在一起，得出角之间的关系．如图1，若，时，则___________． 【方法运用】 (2)如图2，试说明； 【应用拓展】 (3)如图3，作和的平分线，，交于点P（交点P在两平行线，之间）若，求的度数． 9．在综合与实践课上，老师以“两条平行线AB，CD和一块含角的直角三角尺EFG（，）”为主题开展数学活动． (1)如图①，若直角三角尺的角的顶点G放在CD上，，求的度数； (2)如图②，小颖把直角三角尺的两个锐角的顶点E，G分别放在AB和CD上，请你探索并说明与之间的数量关系； (3)如图③，小亮把直角三角尺的直角顶点F放在CD上，角的顶点E放在AB上．若，，则与的数量关系是什么（用含，的式子表示）？请说明理由． 10．已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．    (1)【特例探究】 如图1，． ①______度； ②若与的角平分线相交于点，则______度； (2)【一般探索】 如图2，，． ①若，，求与的关系； ②若，（且为整数），直接写出与的关系； (3)【拓展应用】 如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果） 11．在一次数学活动课上，同学们用一个含有角的直角三角板和两条平行线展开探究．如图，在中，，，．    (1)如图1，点在上，点在上，与交于点，若，求的度数； (2)如图2，点在上，点在上方，点在下方，与交于点，作的角平分线并反向延长与的角平分线交于点，求的度数； (3)如图3，点在上，点在直线，之间（不含在，上），点在下方，，分别与交于点，．设，是否存在正整数和，使得．若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【题型2 平行线中两点或多拐点问题】 1．已知，平分，，，则 ． 2．已知直线，和，分别交于，点，点，分别在线，上，且位于的左侧，点在直线上，且不和点，重合． (1)如图1，点P在线段上，，，求的度数． (2)如图2，当点P在直线上运动时，试判断，，的数量关系，直接写出结果，不需要说明理由． 3．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题． 小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即 已知：如图1，，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到． 求证： 小明笔记上写出的证明过程如下: 证明：过点E作 ∵ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题． (1)如图，若，，求； (2)如图，， BE平分， CF平分，，求． 4．已知：如图，直线、被直线所截，． (1)如图①，分别与、交于点、，平分，平分，请判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)如图②，点E在与之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分． （Ⅰ）若，求的度数； （Ⅱ）请猜想和之间的数量关系，并证明你的结论． 5．如图1，已知直线分别与直线交于点P和点Q，，．        (1)求证：； (2)如图2，P，Q两点分别沿直线和向左平移相同的单位长度得到E，F两点，点G在直线上运动，平分，点H在直线 上，连接的延长线交于点N，平分． ①若，，求的大小； ②当点G在之间时，直接写出，，之间的数量关系． 6．如图1，点A是直线上一点，C是直线上一点，B是直线之间的一点，．    (1)求证：； (2)如图2，作，与的角平分线交于点F．若，求的度数； (3)如图3，平分，平分，，已知，则______（直接写出结果）． 7．如图，．    (1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由； (2)已知． ①如图2．若，求的度数； ②如图3．若和的平分线交于点G，请直接写出与的数量关系． 8．已知：，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，且．      (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，射线平分，连接，若，与相等吗？若相等，请证明你的结论；若不相等，请说明理由． (3)如图3，在内，，在内，，点M、N分别为射线、上的动点，且点M、N在直线、之间，其中，，若，求n的取值范围． 9．如图1，已知，， (1)若，则________； (2)请判断与之间满足的数量关系？说明理由． (3)如图2，若平分，平分，反向延长交于P，求的度数； 10．同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系如图，已知，点在、内部，我们过点作或的平行线，则有，故，，故，即． (1)现将点移至如图的位置，以上结论是否仍然成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (2)如图，与的角平分线相交于点； ①若，，则 ______ ． ②试探究与的数量关系，并说明你的理由． (3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，则 ______ ． 11．(1)探究：如图，，点、分别在直线、上，连接、，当点在直线的左侧时，试说明； (2)变式：如图，将点移动到直线的右侧，其他条件不变，试探究、、之间的关系，并说明理由； (3)(问题迁移)如图，，点在的上方，问、、之间有何数量关系？请说明理由； (4)(联想拓展)如图所示，在的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点，用含有的式子表示的度数． 【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】 1．请阅读以下“预防近视”知识卡 读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角度． 在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度． 已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度（　　）    A．74° B．78° C．84° D．88° 2．图1中所示是学校操场边的路灯，图2为路灯的示意图，支架、为固定支撑杆，灯体是，其中垂直地面于点，过点作射线与地面平行（即），已知两个支撑杆之间的夹角，灯体与支撑杆之间的夹角，则的度数为 ．    3．如图1是一盏可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，支架、为固定支撑杆，支架可绕点C旋转调节．已知灯体顶角，顶角平分线始终与垂直．    (1)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向的夹角的度数； (2)若将图2中的绕点顺时针旋转到如图3的位置，求此时与水平方向的夹角的度数． 4．如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 5．如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又改变方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处继续改变方向，朝与出发时相同的方向修至E． （1）补全施工路线示意图，求∠CDE的度数； （2）原计划在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系． 6．（1）若组成和的两条边互相平行，且是的2倍小，求的度数． （2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同一直线上，求的度数． 7．小刀，是我们生活中经常接触的工具，由刀片和刀柄组成。在刀柄ABCD中，∠A和∠B都是直角，在刀片EFGH中，EF∥GH．转动刀片时会形成∠1、∠2，试判断∠1与∠2的度数和是一个定值吗？若是，请求出∠1与∠2的度数和；若不是，请说明理由． 8．（1）如图1，在A、B两地间修一条笔直的公路，从A地测得公路的走向为北偏东，如果A、B两地同时开工，直接写出为多少度时，才能使公路准确接通？ （2）如图2，经测量，B处在A处的南偏西的方向，C处在A处的南偏东的方向，C处在B处的北偏东的方向，求的度数．    参考答案 【题型1 平行线中的单拐点问题】 1．A 【分析】过C作∥，得到∥，因此，，由垂直的定义得到，由邻补角的性质即可得到答案． 【详解】解：过C作∥， ∥， ， ，， ， ， ， ， ，    故选：A． 2．D 【分析】于交于，作，可得，从而可求，，即可求解． 【详解】解：如图，于交于，作，    因为， 所以， 所以， ， 所以 ； 故选：D． 3． 【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案． 【详解】解：如图所示：过点F作． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． 同理：． ∴ ∵， ∴． 故答案为：．    4． 【分析】过点作，从而可得，再根据平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：如图，过点作，    ， ， ， ， ， ， ， 则、、之间的等量关系为， 故答案为：． 5．（1）解：如图， ， ，， ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 理由如下： 如图，过点作，则， ， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ． 6．（1）解：过点作． ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴ （两直线平行内错角相等） 又∵ ∴ ∴． 故答案为：；；平行于同一条直线的两条直线平行；；两直线平行内错角相等；． （2）发生变化，应是． 证明：如图2， 过点作． ∵， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行） ∴ 又∵ ∴ ∴． 即 （3）如图3，过点作， ∵，， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 即 如图4，过点作， ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 即 7．（1）图①：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ 图②：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； 图③：； 证明见小问2详解； 图④：； 如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴ （2）以图③为例：如图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴． 8．（1）解：过点M作，如图，    ∵ ∴， ∴，， ∴，即， ∵ ，， ∴； （2）解：过点M作，如图2所示：    ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：∵、分别是和的平分线， ∴，， 过点P作，如图3所示：    ∵，∴， ∴，， ∴ ， 由第（2）得：， ∴， ∴， ∴． 9．解：（1）因为， 所以． 因为，， 所以，解得． （2）如图，过点F作． 因为， 所以， 所以，， 所以． 因为， 所以． （3）．理由如下： 因为， 所以， 即， 整理可得． 10．（1）①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点，则______度； ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 11．（1）解：， ， ， ， ； （2）如图，过点作，    ， ， ，，， 平分，平分， ，， ，， ； （3），， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又，是正整数， 存在符合要求的正整数和，分别为： 当时，，不符合题意，舍去； 当时， ，符合题意； 当时，，不是整数不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 【题型2 平行线中两点或多拐点问题】 1． 【分析】作于，作于，则，设，则，，再根据角平分线的定义可得，设，则，然后根据平行线的性质可得，，，，从而可得，代入可求出的值，由此即可得． 【详解】解：如图，作于，作于， 则， 设，则，， 平分， ， 设，则， ， ，， ， ，， ，， 又， ， 解得， 则， 故答案为：． 2．（1）证明：如图，过点作， ∵， ∴， ，． 又， ∵，， ∴； （2）解：． 理由如下：当在的上方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 当在线段上时，由（1）可得：； 当在的下方时，如图，过作， ∵， ∴， ，， ， ． 3．（1）作，，如图，且 ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴； （2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS， ∵平分，平分， ∴，， ∵ ∴ ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（1）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴ ， ∴， ∴． （2）（Ⅰ）过E作，则，过F作，则，    ∴，，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （Ⅱ），理由如下： 同（Ⅰ）可得，，，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， 即， ∴． 5．（1）证明：，， ，     . （2）解：①平分，平分， 设，     过点H作，如图，    ， ∵， ， ，      过点G作， ， ，， ， .     ， ， 解得： ，        .            ②     过点H作，过点G作，过点N作， 设，， 由①得： ∴， ∴， ∴， . 6．（1）证明：如图所示，过B点作，    ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过B点作，过F点作，    则， ∴，， ∵，是的角平分线， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 即的度数为； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（1）解：，理由如下： 过点作，如下图：    则 ∴， 又∵， ∴； （2）解：①分别过点作，如下图：    则， ∴，， 又∵， ∴ ∴； ②分别过点作，过点作，如下图：    则， ∴，， ∴， 由①可得：； ∵和的平分线交于点G， ∴， ∴ 由题意可得： ； ∴； 8．（1）解：证明：过点O作，    ∵， ∴, ∴,, 又∵，, ∴,, ∴． （2）解：与相等，理由如下： 延长交于，如下图所示：    ∵，∴， ∵，且， ∴， 又∵， ∴在四边形中，， ∵平分，∴, ∴． （3）解：设，由于，则， ∴， 设，由于，则， 过点作，如下图所示：    ∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， 又∵，， ∴，， ∴，即， 又∵，则，解得， ∵， ∴， 综上，． 9．（1）如图，分别过点E，F作，， ， ，， ∵， ∴， 又，， ， ， 又， ， ∴； （2）数量关系为， 证明：如图，分别过点E，F作，， ， ，， 又，， ， ， 又， ， ，， ， ； （3）如图，过点F作， 由（2）知，， 设，则， 平分，GF平分， ，， ， ，， ∴， ． 10．（1）解：结论不成立，应该是，理由如下： 如图，过点A作， ，， ， ，， ； （2）如图3，过点作， ，，， ， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， ，， ∴， ； ， ， 与的角平分线相交于点， ，， ，， ， ，， ； （3）如图，过点作，过点A作， 与的角平分线相交于点， ，， ，，， ， ，，，， ，， ， ， ， ， ，   ， ． 11．解：（1）如图所示：过点作， ， ， ， ， ， ； （2），理由如下： 如图所示：过点作， ， ， ， ， ， ， ； （3），理由如下： 如图所示：过点作， ， ， ， ， ， ； （4）如图所示：过点作，过点作， ，， ， ， ，， ，， ，， 的平分线和的平分线交于点， ， ， ， ． 【题型3 平行线中在生活上的拐点问题】 1．D 【分析】过作，由平行线的性质得，，由，可得，即可得到结论． 【详解】解：由题意得，，，    ， 过作， ， ， ， ， ． 故选：D． 2． 【分析】过点作．先利用平行线的性质和垂直的定义、角的和差关系求出，再利用平行线的性质和角的和差关系求得结论． 【详解】解：过点作． ， ． ． ， ． ， ． ． 故答案为：．    3．（1）解：如图2，，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； （2）如图3，过点作，过点作，    则， ， ， ，， ， ， ． 4．解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 5．解：（1）补全施工路线如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H， 则l∥m， 根据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°， 又∠HDE=90°， ∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°． （2）如图所示， 设∠DMN=x，∠CDM=y， 由于DE∥FN， ∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x， 又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°， 则x-y=45°， 即∠DMN-∠CDM=45°． 6．解：（1）①当∠1=∠2时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠1=2∠1-15°， 解得∠1=15°； ②当∠1+∠2=180°时， ∵∠1=2∠2-15°， ∴∠2+2∠2-15°=180°， 解得∠2=65°， ∴∠1=180°-∠2=115°； （2）过D点作DI∥EF， ∵∠F=145°， ∴∠FDI=35°， ∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°， ∴∠ABH=90°-30°=60°． ∵GH∥AB， ∴∠H=180°-60°=120°． 7．解：∠1与∠2的度数和是一个定值，∠1+∠2＝90°． 过点B作BP∥EF， 则∠1＝∠ABP．（两直线平行，内错角相等） ∵EF∥GH， ∴BP∥GH  （平行于同一直线的两直线平行） ∴∠2＝∠PBC， （两直线平行，内错角相等） ∵∠ABP+∠PBC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°． 8．解：（1）如图1， ， ， ， 答：当时，才能使公路准确接通； （2）如图2，由题意得，，，， ， ，， ， 即：．    学科网（北京）股份有限公司 $$