七下期末真题百题大通关（146题22题型）（提升版）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（人教版2024）

七下期末真题百题大通关（146题22题型）（提升版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两条直线相交 题型二 两条直线垂直 题型三 同位角、内错角、同旁内角 题型四 平行线的概念 题型五 平行线的判定 题型六 平行线的性质 题型七 定义、命题、定理 题型八 平移 题型九 平方根 题型十 立方根 题型十一 实数及其简单运算 题型十二 用坐标描述平面内点的位置 题型十三 坐标方法的简单应用 题型十四 二元一次方程组的概念 题型十五 解二元一次方程组 题型十六 实际问题与二元一次方程组 题型十七 三元一次方程组的解法 题型十八 不等式 题型十九 一元一次不等式 题型二十 一元一次不等式组 题型二十一 统计调查 题型二十二 用统计图描述数据 题型一 两条直线相交 1．（23-24七年级下·四川南充·期末）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查垂线及角平分线的定义，熟知角平分线的定义及对顶角相等和邻补角互补是解题的关键． 根据求出，根据平分，得出，再结合，得出，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】此题考查了邻补角、角平分线等知识，根据邻补角求出，由角平分线求出，根据邻补角即可求出的度数. 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ 故选：D 3．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）如图，直线与相交于点B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查邻补角，掌握邻补角的定义是正确解答的前提． 根据邻补角的定义求出，进而求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【知识点】图形类规律探索、对顶角的定义、邻补角的定义理解 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 5．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，直线和相交于点，射线平分，，求的度数． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据邻补角的定义求得，再根据角平分线的定义即可求得的度数． 【详解】解：因为， 所以， 因为射线平分， 所以． 题型二 两条直线垂直 6．（22-23七年级下·天津和平·期末）下列说法中正确的是（    ） A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离 C．经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【知识点】点到直线的距离、垂线的定义理解、平行公理的应用、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据平行公理，垂线的定义以及点到直线的距离的定义，平行线的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故本选项错误，不符合题意； B、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线距离，故本选项错误，不符合题意； C、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项正确，符合题意； D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行公理，垂线的定义，以及点到直线的距离的定义，平行线的性质，熟记概念及性质是解题的关键． 7．（22-23七年级下·天津·期末）已知，直线经过点O且度，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、垂线的定义理解、利用邻补角互补求角度 【分析】根据垂线的定义结合题意，分在的内部时，在的外部时，求解即可． 【详解】解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴． 当在的外部时， ． 故选C．    【点睛】本题考查垂线的定义，邻补角互补以及角的和差关系，利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】垂线段最短、三线合一、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选B． 9．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】坐标与图形、垂线段最短 【分析】本题主要考查了坐标与图形、垂线最短、三角形的面积公式等知识，求得的面积是解题的关键．过点作轴于点，过点作轴于点，结合点的坐标易得，，，进而可解得，结合垂线段最短可知当时，取最小值，结合三角形面积公式解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∵垂线段最短， ∴当时，如图所示，取最小值， 此时可有， 即，解得， ∴长度的最小值是2． 故选：A． 10．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线与交于O，，则的度数 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、求一个角的余角、垂线的定义理解 【分析】此题主要考查了角的运算，垂线的定义，要熟练掌握如果两个角的和等于，那么这两个角叫做互为余角. 根据题意，分两种情况：（1）是锐角时；（2）是钝角时；然后根据垂线的性质，分类讨论，求出的度数是多少即可． 【详解】解：（1）如图1， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． （2）如图2， ∵直线， ∴， ∵， ∴， 又∵直线， ∴， ∴． 综上，可得的度数是或． 故答案为：或． 11．（23-24七年级下·浙江温州·期末）图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 【答案】 155 65 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的判定及性质，垂直的定义，三角形外角的性质． 延长，交于点N，延长，交于点M．由得到，再根据三角形外角的性质得到，由，即可求得，进而，又，则，再由即可求得． 【详解】解：延长，交于点N，延长，交于点M． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：155；65 12．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 【答案】8 【知识点】垂线段最短、面积问题(轴对称综合题) 【分析】连接，过点作交的延长线于，先利用三角形的面积公式求出，再根据轴对称的性质可得，，，从而可得，然后利用三角形的面积公式可得的面积为，根据垂线段最短可得当点与点重合时，取得最小值，的面积最小，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作交的延长线于，    ，且， ， 点关于对称的点为，点关于对称的点为， ，，， ， ， 的面积为， 由垂线段最短可知，当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 的面积的最小值为， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称、垂线段最短等知识点，掌握轴对称的性质是关键． 13．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义以及角的和差倍分计算，解决此题的关键是熟练运用以上知识点． （1）先根据角平分线的定义算出，再根据垂直的定义得到，进而根据角度的和差即可得到答案； （2）现在根据角度的比例设出未知数，再根据角平分线的定义和垂直的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴可设 ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 即的度数为． 【点睛】 题型三 同位角、内错角、同旁内角 14．（23-24七年级下·全国·期末）若两条平行直线被第三条直线所截，则（    ） A．一对同位角的角平分线互相垂直 B．一对内错角的角平分线互相垂直 C．一对同旁内角的角平分线互相平行 D．一对同旁内角的角平分线互相垂直 【答案】D 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，根据“三线八角”的定义画出对应的图形，结合平行线的性质与判定定理，以及垂线的定义推理判断即可． 【详解】解：两平行线被第三条直线所截，一组同位角的角平分线互相平行， 如图所示，，与交于，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴，故A说法错误，不符合题意； 两平行线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，如图所示， ，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴，故说法错误，不符合题意； 两平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的角平分线互相垂直，如图所示， ，被所截，平分，平分， ∴，，， ∴， ∴，故C说法错误，不符合题意，说法正确，符合题意； 故选：D． 15．（23-24七年级下·重庆江津·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．一个二元一次方程有无数个解 B．相等的角是对顶角 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角互补 【答案】A 【知识点】二元一次方程的解、同位角、内错角、同旁内角、对顶角相等、判断命题真假 【分析】此题考查了判断命题真假，根据相关知识逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A．一个二元一次方程有无数个解,是真命题，故选项符合题意； B．相等的角不一定是对顶角，故选项是假命题，不符合题意； C．过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选项是假命题，不符合题意； D．同旁内角不一定互补，故选项是假命题，不符合题意． 故选：A． 16．（23-24七年级下·重庆合川·期末）如图，，． (1)直接写出的同位角、同旁内角； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)的同位角为、、、；的同旁内角为、、、，，， (2) 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查同位角、同旁内角的定义和平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据同位角、同旁内角的定义写出各角即可； （2）先根据两直线平行，同位角相等得到，，然后根据等量代换得到，即可得到然后根据两直线平行，同位角相等计算即可解题． 【详解】（1）解：根据同位角的定义可得的同位角为、、、； 根据同旁内角的定义可得的同旁内角为、、、，，，； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴． 题型四 平行线的概念 17．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的有（    ） 在同一平面内不相交的两条直线必平行． 过同一平面内两条直线，外一点，一定可做直线，使，且． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】平面内两直线的位置关系、根据平行线判定与性质证明、平行公理的应用、判断命题真假 【分析】本题考查了平行线的概念，平行线的判定与性质，平行公理及推论根据平行线的性质和判定，平行公理及推论逐个判断即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】在同一平面内不相交的两条直线必平行，故正确； 过同一平面内两条直线，外一点，一定可做直线，使或，但不一定同时可以成立，故错误； 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故错误； 两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直，故错误； 正确的有1个， 故选：A． 18．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 【答案】C 【知识点】直线相交的交点个数问题、平面内两直线的位置关系 【分析】首先可得、、、、、这6条直线最多有个交点，最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点，然后可得答案． 【详解】解：如图，∵，、、交于同一点，    ∴这6条直线最多有个交点， ∵最多与前6条直线有6个交点，最多与前7条直线有7个交点， ∴这8条直线的交点个数最多为（个）， 故选：C． 【点睛】本题考查直线之间的交点个数，直线之间的交点个数最多的情况为后出现的直线与前面的直线均有不同交点．有位置前提的情况下，需要了解直线本身具有什么位置关系特点，先理清楚条件再按照交点个数最多的策略画图．理解直线之间的交点个数最多的情况是解题的关键． 19．（23-24七年级下·广东广州·期末）下列命题中为真命题的是（    ） A．的平方根是 B．同旁内角互补 C．在同一平面内，若，直线不重合，则 D．在同一平面内，若，，直线不重合，则 【答案】C 【知识点】求一个数的平方根、平行公理推论的应用、在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行、判断命题真假 【分析】本题考查了真假命题，根据平方根的定义、平行线的性质、平行线的判定和平行公理的推论逐一判断即可求解，掌握以上定理是解题的关键． 【详解】解：、的平方根是，该选项命题为假命题，不合题意； 、两直线平行，同旁内角互补，该选项命题为假命题，不合题意； 、在同一平面内，若，直线不重合，则，该选项命题为真命题，符合题意； 、在同一平面内，若，，直线不重合，则，该选项命题为假命题，不合题意； 故选：． 20．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，直线， 的平分线交直线于点D，若，则的度数为 ．    【答案】/19度 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理推论的应用、两直线平行内错角相等 【分析】过点B作，利用平行线的性质求得，从而得到，再运用角平分线的性质得到，继而求出，最后利用平行线的性质得到． 【详解】过点B作，    ∵，， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵是 的平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平分线的性质等知识，掌握平行线的性质是解题的关键． 21．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，点O在内部，且平分，射线交于点E，若，，则的度数为 ．    【答案】/87度 【知识点】角平分线的有关计算、平行公理的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】过O作，利用平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】解：过O作，    ∵， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵平分， ∴，则， ∵， ∴， ∴， 故答案为：. 【点睛】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义，添加平行线，利用平行线的性质求解是解答的关键． 题型五 平行线的判定 22．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）如图，下列推理中正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 【答案】C 【知识点】内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握各个判定定理是求解的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可求解． 【详解】解：A、由只能推出，故错误； B、由，只能推出，故错误；     C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出，故正确． D、由，只能推出，故错误；     故选：C． 23．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）下列图形中，由，能得到的是（　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、的对角与大小相同且与是同位角，所以可以得到，故本选项符合题意； C、不能判定，故本选项不符合题意； D、只能判定，故本选项不符合题意； 故选：B． 24．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 【答案】 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题考查平行线的判定．解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，逐一判断是否可以得到，从而可以解答本题． 【详解】解：①∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故①不符合题意； ②∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故②不符合题意； ③∵，，， ∴， ∴，故③符合题意； ④∵， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故⑤符合题意． 故答案为：③④⑤． 25．（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【知识点】平行公理的应用、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 题型六 平行线的性质 26．（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】几何图形中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质、角的和差，解答本题的关键掌握平行线的性质． 方法一：根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解； 方法二：根据折叠可得，求出，再根据平行线的性质即可得解． 【详解】解：方法一：∵四边形是长方形纸片， ，， ， 由题意知， ， ； 方法二：由题意知， ，， ， ， ， ． 故选：D． 27．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，根据平行线的性质可得到，结合条件可求得，再利用平行线的判定可证明，由垂线的性质容易得出答案． 【详解】解： ， ，即， ． ， ， ， ． 故答案为：A． 28．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，两直角三角板的顶点重合，即，已知，，．若将三角板绕点旋转，当时，的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，三角板的角度计算问题，根据题意画出图形，利用平行线的性质及直角三角板的性质求解是解答此题的关键． 分两种情况进行讨论，分别依据平行线的性质进行计算，即可得到的度数． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图， ∵， ∴， ∴， 综上可得：当时，的度数为或． 故答案为：或． 29．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，当题目中的已知条件和已有的图形不能解决问题时，往往考虑添加辅助线，将不相关，分散的条件进行转移与转化，构造出一些基本的几何图形，搭建已知和未知之间的桥梁．本题可以过点作后借助平行线的知识进行解答． 【详解】解：过点作．由题可知， ， ，． ． 故答案为：． 30．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 【答案】 【知识点】角平分线的有关计算、两直线平行内错角相等、平行公理推论的应用 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，平分线的定义等知识，过点作，过点作，则可证出，再根据角平分线定义可得出结论． 【详解】解：如图，过点作，过点作． ，． ， ． ，， ． 平分，平分， ， ， ． 同理可得， ，， …， 以此类推， 故答案为：；；． 31．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，解题时注意：如果 一个角的两边分别和另一个角的两边分别平行，那么 这两个角相等或互补． 根据平行线性质得出①，②，再根据，分两种情况分别求出两个角的度数即可． 【详解】解：与的两边分别平行，，． 分三种情况： （1）如图1，与的两边都不相交， 延长交于，， ， ， ， ； （2）如图2，与的一条边相交， ， ， ， ， ； （3）如图3，与的两条边都相交， ， ， ， ， ． 综上可得①或②， 比的3倍少， ③，把③代入①得：， 解得，； 把③代入②得：， 解得， 故答案为：或． 32．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 【答案】①②③④ 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】根据平行线的性质、角平分线定义和垂直的定义求出，然后对各个结论进行判断即可．本题考查了平行线的性质和判定，垂直定义，角平分线定义，能综合运用性质进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ∴， ∴平分，， 故①④正确； ∵， ∴， 故②正确； 无法证明， 故答案为：①②③④． 33．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 【答案】①②④ 【知识点】与余角、补角有关的计算、根据平行线判定与性质证明、对顶角相等 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、余角的定义、对顶角的性质等知识，根据内错角相等两直线平行即判断①，由角之间的相等关系得到，根据同位角相等两直线平行即判断②，根据余角的定义和对顶角相等得到，求出，即可判断③，根据两直线平行内错角相等即可判断④． 【详解】解：∵， ∴； 故①正确； ∵，， ∴， ∴, ∴， 故②正确； ∵的余角比大． ∴， ∵， ∴， 解得 故③错误； ∵， ∴， 故④正确； 故答案为：①②④ 34．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）根据平行线的性质可知，依据，可求出结果； （2）依据，可知，再根据，即可求出结果． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， ； （2）， ， 即， 整理得， 故答案为：，． 35．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 【答案】(1) (2) (3)图形见详解， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，四边形的内角和等知识点，解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的性质． （1）利用角平分线的性质得出，再利用平行线的性质即可求解； （2）利用角平分线的性质得出，再利用（1）中结论和四边形内角和可求出的度数； （3）根据题意画出图形，过点作，利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，且， ,, ∵， ； （2）解：∵平分，且， ， ∴； （3）解：如图所示，过点作， 又∵， ∴， ， ∵平分，且， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴与的度数差为． 题型七 定义、命题、定理 36．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列命题是真命题的有（    ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、点到直线的距离、实数与数轴、判断命题真假 【分析】本题考查了真假命题的判断，牢记相关定义与定理是解题的关键．根据实数与数轴的关系、点到直线的距离、垂线的定义、平行公理、平行线的性质逐项判断即可． 【详解】解：实数与数轴上的点一一对应，故①是真命题； 直线外的一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②是假命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故③是真命题； ，的两边与的两边分别平行， 如图 故④是假命题； 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故⑤是假命题； 所以真命题有①③， 故选：A． 37．（23-24七年级下·陕西西安·期末）下列定理，有逆定理的是（     ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．矩形的对角线相等 D．直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方 【答案】D 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、利用勾股定理的逆定理求解、矩形的判定定理理解 【分析】本题考查了矩形的性质、命题与定理的区别，正确的命题叫定理，错误的命题叫做假命题，关键是对逆命题的真假进行判断． 先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可得出答案． 【详解】解：A、对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角，假命题，故此选项不符合题意； B、全等三角形的面积相等的逆命题是：面积相等的三角形全等，假命题，故此选项不符合题意； C、矩形的对角线相等的逆命题是：对角线相等的四边形是矩形，假命题，故此选项不符合题意； D、直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方的逆命题是：若三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，则这个三角形是直角三角形；真命题，故此选项不符合题意； 故选：D． 38．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）数学课上，老师让同学将图中的证明过程补充完整，下列判断不正确的是（    ）． 如图，已知，，   求证：． 证明：∵（已知）， ∴（△）． ∵（已知） ∴◎（同角的补角相等） ∴（※） ∴（□） A．△表示两直线平行，同旁内角互补 B．◎表示 C．※表示内错角相等，两直线平行 D．□表示两直线平行，内错角相等 【答案】D 【知识点】根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质进行逐一判断即可． 【详解】解：证明：∵（已知）， ∴（△两条直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴◎（同角的补角相等）， ∴（※内错角相等，两条直线平行）， ∴（□两条直线平行，同位角相等）， 故选：D． 39．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题正确的是（   ） A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 D．互补的角是邻补角 【答案】B 【知识点】判断命题真假、邻补角的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据对顶角的定义，平行线的性质，邻补角的性质分别进行分析即可． 【详解】A. 若两个相等的角有一边平行，则另一边互相平行或者相交，故该选项不正确，不符合题意； B. 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意； C. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直，故该选项不正确，不符合题意； D. 互补的角不一定是邻补角，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 40．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 【答案】① 【知识点】垂线段最短、根据平行线判定与性质证明、判断命题真假 【分析】本题考查了真命题，平行线的判定与性质，垂线段最短，熟练掌握平行线的判定与性质及垂线段最短是解题的关键．根据平行线的判定与性质及垂线段最短公理，即可判断答案． 【详解】①是公理,正确； ②忽略了两条直线必须是平行线，故②错误； ③举反例，两直线平行，同旁内角互补，显然这两个角不是邻补角，故③错误； ④“同旁内角互补，两直线平行”，故④不符合平行线的判定，是错误的； ⑤当同旁内角互补时，它们的角的平分线才互相垂直，故⑤错误； 所以真命题是①． 故答案为：①． 题型八 平移 41．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 【答案】B 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题主要考查平移的性质，掌握平移前后对应线段平行且相等，根据平移得出，是解题的关键． 由平移的性质可知：，，从而得出，，根据，得出，根据梯形面积公式求出结果即可． 【详解】解：由平移的性质可知：，， ∴，， ∴， ∴． 故选：B 42．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，将线段沿线段平移得到线段（点与点对应，且不与点重合），连接和的平分线相交于点．若，则的度数是 ．（用含的式子表示） 【答案】 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、利用平移的性质求解、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质及判定，角平分线的定义，熟练掌握平移的性质是解题的关键。如图，过点作由平移的性质得进而得，，，再根据角平分线的性质即可得解． 【详解】解：如图，过点作 ∵将线段沿线段平移得到线段 ∴ ∴， ∴，， ∵和的平分线相交于点． ∴ ∴． 故答案为：． 43．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿方向平移得到的位置若，，，则图中阴影部分的面积为 ．    【答案】 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】根据平移的性质可得到相等的边与角，再根据，即，利用梯形面积公式即可得到答案． 【详解】解：由平移可得， ， ，即， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平移的基本性质，掌握平移的基本性质是关键． 44．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)互补 (3)见解析 【知识点】利用平移的性质求解、平移(作图)、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， ∴， 即：和互补， 故答案为：互补； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． 45．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． (1)若，求的度数； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】利用平移的性质求解、折叠问题 【分析】（）根据折叠的性质，平移的性质和平行线的性质即可求解； （）由折叠的性质，平移的性质即可求解； 本题考查了折叠的性质，平移的性质和平行线的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠性质可知，， ∴， 由平移性质可知：， ∴； （2）由折叠性质可知，， 由平移性质可知：，， 则四边形的周长为． 题型九 平方根 46．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 【答案】4048 【知识点】相反数的定义、平方根概念理解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查平方根和相反数的性质、求代数式的值，熟练掌握平方根和相反数的性质是解题的关键． 根据平方根的性质可知、互为相反数，再根据相反数的性质即可求出结果． 【详解】解：∵是2024的两个平方根， ， 故答案为：4048． 47．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 【答案】2 【知识点】求一个数的算术平方根、估计算术平方根的取值范围 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及算术平方根的估算，掌握算术平方根的估算方法是解本题的关键． 首先计算三角形的面积为，再估算的范围可得，从而可得答案． 【详解】解：根据题意，三角形的三边长分别为2，3，3， 则， 所以其面积， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 48．（22-23七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 【答案】 0或1 5，25（答案不唯一） 【知识点】求一个数的算术平方根、程序设计与实数运算 【分析】此题考查了算术平方根、实数的分类．熟练掌握算术平方根的求法是解题的关键． （1）由，，即可得到答案为； （2）根据1和0的算术平方根还等于它本身，即可做出解答； （3）根据题意写出两个满足要求的x值，如25和5，即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴输入的x为16，输出的y值是； 故答案为： （2）∵1和0的算术平方根还等于它本身， ∴输入0或1后，始终输不出y值， 故答案为：0或1； （3）∵，5的算术平方根是， ∴两个满足要求的x值可以是25或5． 故答案为：5，25（答案不唯一）． 49．（22-23七年级下·河南开封·期末）已知实数x，y满足． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、求一个数的平方根 【分析】（1）根据非负数的性质列式，即可求出x、y的值， （2）根据（1）求得的x、y的值，代入代数式进行计算即可得解． 【详解】（1）由题意得：，， 解得：， （2）由（1）得：，， ∴， ∴的平方根 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，即算术平方根和绝对值的性质．解题的关键是根据非负数的性质求得x，y的值． 题型十 立方根 50．（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 【答案】C 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题考查了算术平方根、立方根的应用，熟练掌握算术平方根，立方根的定义是解题的关键．根据算术平方根和立方根的定义得到m，n的值，然后得出代数式的值，即可求解． 【详解】解：的立方根是3， ， 解得， 的算术平方根是4， ， 将代入中， 有， 解得， 则的值为． 故选：C． 51．（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了立方根和算术平方根定义，解题的关键是根据立方根定义和算术平方根定义求出，．根据立方根定义和算术平方根定义求出，，然后求出结果即可． 【详解】解：∵的立方根是， ∴， 解得：， 又∵的算术平方根是， ∴， 又∵， 解得， ∴． 52．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了立方根与算术平方根、无理数的估算，熟练掌握立方根与算术平方根的性质是解题关键．先根据立方根的性质求出的值，再根据无理数的估算可得的值，然后根据算术平方根的性质求解即可得． 【详解】解：的立方根是2， ∴， ∵， ∴，即， ∵是的整数部分， ∴， ∴， 则的算术平方根是， 故答案为：． 53．（22-23七年级下·四川泸州·期末）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)3 【知识点】求一个数的算术平方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】（1）根据平方根的定义列出方程进行解答便可; （2）根据算术平方根进行计算便可; 【详解】（1）解：由题意得， 所以， 因为的立方根为−2， 所以， ； （2）因为，， 所以． 【点睛】本题主要考查了平方根，算术平方根，立方根，解题的关键是根据定义列出方程． 题型十一 实数及其简单运算 54．（23-24七年级下·陕西安康·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】此题考查了计算算术平方根，立方根，计算实数的减法，根据计算法则依次计算并判断 【详解】解：A.，故该项不正确； B.，故该项不正确； C.，故该项正确； D.，故该项不正确； 故选：C 55．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，正确进行算术平方根、立方根、去绝对值以及乘方运算是解决此题的关键．首先计算开平方、开立方，去绝对值，乘方运算，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【详解】解： ． 56．（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)20 (2) 【知识点】实数的混合运算 【分析】本题考查实数的混合运算： （1）先进行开方，去绝对值，乘方运算，再进行加减运算即可； （2）先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 57．（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算：乘方及立方根的运算，熟练掌握算术平方根、乘方及立方根的意义是解决问题的关键． （1）先根据乘方、算术平方根的性质及乘法法则进行计算，然后再计算加减； （2）先利用算术平方根、立方根及绝对值的性质进行化简，最后再合并即可． 【详解】（1）解：原式， ； （2）解：原式， ， 题型十二 用坐标描述平面内点的位置 58．（23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，一元一次不等式的求解，根据四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，求解x的取值范围即可． 【详解】解：点在第四象限， ，， ， 故选：A． 59．（22-23七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、已知点所在的象限求参数 【分析】本题考查了点的坐标，解一元一次不等式组，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，根据四个象限的符号特点列出不等式组，求出m的范围，确定出m的值，即可求出最后结果． 【详解】解：点在第二象限， ，， ， 为整数， ， ， 则点坐标为， 故选：B． 60．（23-24七年级下·四川德阳·期末）已知的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ． 【答案】或/或 【知识点】坐标与图形、求点到坐标轴的距离 【分析】以为底，根据面积求出点C的纵坐标为4，再由C到y轴距离是1得到其横坐标为，由此即可求出C点的坐标． 本题考查三角形的面积，平面直角坐标系中点的坐标特点等；本题的关键是通过三角形面积求出点的纵坐标的绝对值，进而确定的点坐标． 【详解】解：∵A、B两点的坐标分别为、， ∴， 设C点纵坐标为y（），且的面积为6， ∴，即 ∴， ∵点C到y轴距离是1， ∴C点的横坐标为， ∴点C的坐标为或。 故答案为：或 61．（24-25七年级下·全国·期末）小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，． (1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； (2)写出激流勇进点的坐标为_______； (3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析， 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、实际问题中用坐标表示位置、平移(作图)、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题主要考查坐标与图形及作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质． （1）根据旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，，建立平面直角坐标系； （2）利用所建立的直角坐标系写出激流勇进点的坐标即可； （3）由平移的性质画出线段，并直接写出点和点的坐标； 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系如图． （2）解：激流勇进点的坐标为， 故答案为：； （3）解：画出线段如图，． 62．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为． (1)当时，　　； (2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】求点到坐标轴的距离、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了点到坐标轴的距离，熟练掌握平面直角坐标系中的点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，到y轴的距离是横坐标的绝对值是解题的关键； （1）由可求P点坐标，从而可得，，代入计算即可求解； （2）由平面直角坐标系的性质可得，，根据点P在第一象限，进而计算求解即可； 【详解】（1）当时，， ∴，， ∴． 故答案为：5． （2）∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ，， ∵， ∴． ∵点P在第一象限， ∴ 当时，，解得， ∴． 63．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，第一象限的点坐标为，且点到轴、轴的距离相等． (1)点的坐标为________； (2)如图1，轴的正半轴上有一点，连接、，点为轴上一动点，动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示（不要求写的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴平行线，交轴于点．当点从原点出发1秒时，此时点从点出发，以每秒1个单位长度在直线上运动，当的面积是的面积的2倍时，请直接写出此时的值和点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)秒；或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、坐标与图形、求点到坐标轴的距离、函数解析式 【分析】（1）根据点到轴、轴的距离相等列方程求解即可； （2）根据 求解即可； （3）根据的面积是的面积的2倍列方程求出t的值，进而可求出点Q的坐标． 【详解】（1）∵点到轴、轴的距离相等， ∴ ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）如图， ∵动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动， ∴， ∴ ， 即； （3）如图， 由题意，得， ∵的面积是的面积的2倍， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了坐标平面内点的坐标特征，函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键． 题型十三 坐标方法的简单应用 64．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【知识点】整式的加减运算、已知点平移前后的坐标，判断平移方式 【分析】本题考查的是坐标与图形变化—平移，牢记平面直角坐标系内点的平移规律：上加下减、右加左减是解题的关键． 【详解】解：∵点在经过此次平移后的对应点为， ∴的平移规律为：向左平移个单位，向下平移个单位， ∴，， ∴， 故选B． 65．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边长与轴平行且，，点的坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了平面直角坐标系中图形的平移，掌握图形的平移规律是解题的关键．先求出点的坐标，再找到点的平移规律，利用点与点的平移规律相同即可得到点的坐标． 【详解】解：长方形中，，，点的坐标为， 点的坐标是，即， 点坐标为，沿某一方向平移后其对应点的坐标为， 点是向左平移个单位，向上平移个单位得到点， 点的平移规律和点的平移规律相同， 点的坐标是，即点的坐标是． 故选：B． 66．（23-24七年级下·北京丰台·期末）地铁是一个城市幸福指数的标配．途经丰台区的部分地铁线路如图所示．在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下三个结论： ①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． 所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】坐标与图形、实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题考查了点的坐标以及平面直角坐标系的性质，注意在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，分别根据每个选项的原点坐标进行逐个查找具体地点的坐标，再逐一比较，即可作答． 【详解】解：∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； 故①是正确的； ∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ∴故②是正确的； ∵在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， ∴③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． ∴故③是正确的； 故选：D 67．（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 【答案】南偏西， 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题考查了方向角，根据方向角的定义即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，遇险船相对于救生船的位置为南偏西，， 故答案为：南偏西，． 68．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    【答案】或或 【知识点】利用平移的性质求解、由平移方式确定点的坐标、已知图形的平移，求点的坐标 【分析】本题考查了平移的性质，分点分别平移至点的位置三种情况讨论即可求解，得到平移的方向和距离是解答本题的关键． 【详解】解：当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度， ∴点向右平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点向右平移8个单位长度，再向下平移3个单位长度的对应点的坐标是，即， 当点平移至点的位置时，即点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度， ∴点的对应点的坐标是， 故答案为：或或． 69．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，的边在x轴的正半轴上，A的坐标为，B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为1，则点D的坐标为 ．    【答案】 【知识点】坐标与图形、由平移方式确定点的坐标 【分析】本题考查了坐标与图形变化平移，三角形的面积，解题关键是由的面积求出a值． 先根据平移的性质和三我面积公式求出a值，再根据平移性质求出点D坐标即可． 【详解】解：∵点的坐标为，把三角形沿轴向右平移2个单位长度， ，， ∵的面积为1，A的坐标为， ∴， ∴， ∴A的坐标为， ∵把三角形沿轴向右平移2个单位长度， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 70．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)秒 (3)点的坐标为或 【知识点】由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题考查坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． （1）利用平移变换的性质求解； （2）设运动时间为秒，由点与点的纵坐标相同，构建方程，求解即可； （3）设点的坐标为，由进行分类讨论并分别求解即可． 【详解】（1）解：由题意点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段， ，； （2）解：设运动时间为秒，当轴时，点与点的纵坐标相同， 即， 解得， 点同时出发，秒后轴； （3）解：设点的坐标为， ， 当在的左侧时， ， 解得， 此时； 当在到3之间时， ， 解得， 此时； 当在3的右侧时， ， 解得（舍）． 综上所述，点的坐标为或． 71．（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或 (3)当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时， 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与图形、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）直接根据平移规律即可解答； （2）先求出、，再根据三角形的面积等于三角形面积的一半列方程求得，然后再根据点A的坐标确定点D的坐标即可； （3）点在线段上、的延长线、的延长线上三种情况，分别做辅助线、构造平行线并运用平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为；点的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为． 故答案为：，． （2）解：存在．由（1）可知，点到轴的距离为4， ． 点到轴的距离为4， ， ， ． 点A的坐标为， ∴点D的横坐标为或 点的坐标为或． （3）解：①如图①，当点在线段上时，过点作轴，则， ，． 又， ． ②如图②，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ； ③如图③，当点在的延长线上时，过点作轴，则， ． 又， ． 综上，当点在线段上时，；当点在的延长线上时，；当点在的延长线上时，． 题型十四 二元一次方程组的概念 72．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 根据方程的解的定义把代入二元一次方程中，再解关于a的方程，即可求出a的值． 【详解】解：代入二元一次方程，得 ， 解得：， 故选：C． 73．（23-24七年级下·河南新乡·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，那么a的立方根是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】二元一次方程的解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了二元一次方程的解的概念，以及立方根，掌握方程的解满足方程是解题的关键．把方程的解代入二元一次方程可得到关于a的方程，算出a的值，进而得到a的立方根． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解， ， 解得， a的立方根是， 故选：B． 74．（23-24七年级下·福建泉州·期末）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题考查二元一次方程，根据二元一次方程的定义，得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得． 故选C． 75．（24-25七年级下·全国·期末）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解、已知式子的值，求代数式的值 【分析】此题考查了二元一次方程的解和求代数式的值．根据二元一次方程的解得到，再整体代入即可得到答案． 【详解】解：将代入方程，得， ． 故答案为：． 76．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若关于的二元一次方程组 的解是正数，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式组综合．熟练掌握二元一次方程组解的定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，是解此题的关键． 先求出方程组的解，根据方程组的解是正数建立a的不等式组，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解方程组， 得，， ∵关于的二元一次方程组的解是正数， ∴， 解这个不等式组得，， ∴的取值范围是：． 故答案为：． 77．（23-24七年级下·江西南昌·期末）规定：若是以，为未知数的二元一次方程的正整数解，则称此时点为二元一次方程的“郡园点”．请回答以下关于，的二元一次方程的相关问题． (1)方程的“郡园点”的坐标为______． (2)已知，为非负整数，且，若是方程的“郡园点”，求的值； 【答案】(1) (2) 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、二元一次方程的解 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，二元一次方程的解，点的坐标，解题的关键是理解“郡园点”的意义． （1）求出的正整数解，即可得到结果； （2）根据题意得到方程，，解之，可得m，n值，代入计算即可； 【详解】（1）解：， ∴， 解得：，即正整数解为， ∴“郡园点”的坐标为； （2）∵是方程的“郡园点”， ∴，且和是正整数， ∵， 解得：，， ∵m，n为非负整数， ∴， ∴． 78．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】新定义下的实数运算、二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“变更方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“变更方程”的定义可得，联立方程组求解即可； （2）根据题意，先联立方程组，结合求出，代入二元一次方程得，，代入代数式化简求值即可； （3）根据题意可得，分别求出，根据可得，由此可求出，结合整数即可求解． 【详解】（1）解：与它的“变更方程”为， ∴联立方程组为， 解得，， 故答案为：； （2）解：根据题意，的”变更方程”为， ∴联立方程组得，， 解得，， ∵，则， ∴，即， ∵是二元一次方程的一个解， ∴，则， ∴ ； （3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”， ∴， ①②得，，整理得，， 把代入①得，，整理得，， ∵， ∴， 解得，， ∵， ∴，则， ∵是整数， ∴． 79．（23-24七年级下·云南昆明·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可． 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道， 方程的正整数解为或． 问题： (1)求方程的正整数解； (2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明． 【答案】(1)或． (2)最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用： （1）仿照题意进行求解即可； （2）先求出三人间的人均费用比两人间的人均费用低，则男生入住3间三人间，设7名女生入住m间三人间，n间两人间，则，求出方程的非负整数解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴是正整数， ∴y一定是偶数， ∴当时，， 当时，， ∴方程的正整数解为或． （2）解：∵， ∴三人间的人均费用比两人间的人均费用低， ∴9名男生应该都入住三人间， 设7名女生入住m间三人间，n间两人间， 由题意得，， ∴， ∵m、n为非负整数， ∴当时，， 综上所述，最为合理的住宿方案为入住4间三人间，2间两人间． 题型十五 解二元一次方程组 80．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、二元一次方程组的特殊解法、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 81．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】加减消元法、二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤是解决问题的关键．解方程组得，再根据条件进行判断即可． 【详解】解方程组得 ①∵x，y的值互为相反数， ∴， ∴， 解得，故①正确； ②∵，， ∴ 解得， 故②错误； ③∵，， ∴，即的值始终不变， 故③正确． 故选C． 82．（22-23七年级下·重庆·期末）我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法： ①，； ②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8； ③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，． 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】加减消元法、一元一次不等式组的其他应用 【分析】按照题目所给的新定义逐一判断即可解题． 【详解】①，；正确， ∵， ∴， 解得：， ∴所有正整数x只有7和8， 故②正确； 解方程组得： ∴，， 故③错误， ∴正确的为①②，正确的个数为个， 故选C． 【点睛】本题考查新定义的运算，学会新定义并且掌握运算法则是解题的关键． 83．（23-24七年级下·全国·期末）已知，则 ， ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、加减消元法 【分析】本题考查非负式和为零的条件、解二元一次方程组等知识，先由非负式和为零的条件得到二元一次方程组，利用加减消元法求解即可得到答案，熟练掌握非负式和为零的条件、解二元一次方程组的方法是解决问题的关键． 【详解】解：，， 当时，， ， ①②得； 将代入①得； 故答案为：；． 84．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 【答案】5 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程组和不等式的方法． 根据关于、的方程组的解满足，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：， ①+②得， ， 关于、的方程组的解满足， ，得， 解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ，得，由上可得，， 符合条件的整数的值的和为：． 故答案为：5． 85．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 【答案】（1）（2）/（2）（1） 【知识点】二元一次方程的解、加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，由题意联立方程组，求出、的值，即可确定（1）正确；由已知，得到，求出即可确定（2）正确；根据，，，可求、的值，从而确定（3）不正确；由题意列出方程，得到，由对任意有理数、都成立，则，即可 确定（4）不正确． 【详解】解：∵，， ∴， 解得，故（1）正确； ∵， ∴， ∵， ∴，故（2）正确； ∵， ∴， 当时，则不成立， ∴， ∴， ∵m、n都是整数， ∴或或， ∴或或0或或或， ∴满足题意的m、n的值可以为，，，，，，故（3）错误； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵对任意有理数、都成立， ∴，故（4）错误； 故答案为：（1）（2）． 86．（24-25七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，掌握解方程组的方法是解本题的关键； （1）由先求解，再求解即可； （2）把方程组整理为，再利用加减消元法解方程组即可. 【详解】（1）解： ， ，得， 即， 把代入①，得， 则方程组的解为． （2）解：， ，得， 去分母，得． 去括号，合并同类项，得． ②去括号，得． 合并同类项，得． 联立方程组，得， ③④得：， 解得， 把代入③得：， 解得， ∴方程组的解为． 87．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于，的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握解二元一次方程组和不等式组的方法，属于中考常考题型． 解方程组求出x，y，再结合，，得到关于m的不等式组，解不等式组可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：． ∴实数的取值范围为． 88．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点，点且m、n是方程组的解，点C在x轴负半轴上，与y轴交于点E． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若三角形的面积，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度先沿线段运动到点O不停，再继续以相同的速度沿x轴正半轴运动到点B后停止，设运动时间为秒，求当为何值时，三角形的面积是三角形面积的2倍． 【答案】(1)； (2)； (3)当或时，的面积是面积的2倍． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、加减消元法、坐标与图形 【分析】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的面积，解二元一次方程组，一元一次方程的应用，三角形面积公式，正确进行分类讨论是解题的关键． （1）利用加减消元法求解即可； （2）过点A作轴于点H，利用三角形面积公式列式计算即可求解； （3）利用，求得，再分两种情况讨论，①当点P在线段上和②当点P在线段上时，列方程求解即可． 【详解】（1）解：解方程组， 得， ∴点A的坐标是； （2）解：过点A作轴于点H， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ①当点P在线段上，， ∵， ∴， 解得：； ②当点P在线段上时， ∵， ∴， 解得：； 综上所述当或时，的面积是面积的2倍． 题型十六 实际问题与二元一次方程组 89．（23-24七年级下·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 【答案】B 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元，根据题意列得，求解即可 【详解】解：设签字笔的单价为x元，笔记本的单价为y元， ， 解得， ∴购买一支笔8元，一本笔记本4元， 购买一支笔和一本笔记本应共付（元） 故选：B 90．（22-23七年级下·河北保定·期末）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 【答案】C 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“幻方”的定义，可得出关于，的二元一次方程组，解之可得出，的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 91．（24-25七年级下·全国·期末）“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 【答案】 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意知：百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，根据百位数字的9倍比由十位数字和个位数字组成的两位数小3，将最左边的数字移到最右边，得到的数比原来的数小45，由此可列方程组． 【详解】解：设百位数字为x，由十位数字和个位数字组成的两位数为y，由题意得， ， 故答案为：． 92．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ． 【答案】 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为，小长方形的宽为，根据图形列出方程组即可求解，根据图形正确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为，小长方形的宽为， 由题意得，， 解得， ∴阴影部分的总面积为， 故答案为：． 93．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 【答案】 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式即可求解． （1）直接列式计算即可． （2）由x个竖式需要正方形纸板x张，长方形纸板横4x张；y个横式需要正方形纸板2y张，长方形纸板横3y张，可列出方程组，再根据a的取值范围求出x的取值范围即可． 【详解】解：（1）制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板； 故答案为： （2）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒y个． 由题意得 解得：； 即； ∵， ∴， 解得：； ∵x是整数， ∴的最大整数为． ∴最多能做个竖式纸盒． 故答案为： 94．（24-25七年级下·全国·期末）某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件） (1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件． (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？ 【答案】(1)帽子件，手套件； (2)元． 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设第一次学校购买件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可； （2）设第二次学校购买了件帽子，件手套，结合题意列出二元一次方程组后求解即可． 【详解】（1）解：设第一次学校购买件帽子，件手套， 由题意得， 解得， 答：第一次学校购买帽子件，手套件． （2）解：设第二次学校购买了件帽子，件手套， 由题意得， 解得， （元）， 该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子． 答：该学校第二次需要准备元用来购买手套和帽子． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的实际应用，解题关键正确理解题意并列出二元一次方程组． 95．（24-25七年级下·全国·期末）某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 【答案】(1)女贞树苗的单价为6元，小叶黄杨树苗的单价为2元 (2)250棵 (3)一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买女贞树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，审清题意、正确列出二元一次方程组和不等式是解题的关键． （1）设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元，然后根据题意二元一次方程组求解即可； （2）设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵．然后根据题意列不等式求解即可； （3）由题意列不等式可得，再结合（2）的结论可得，即的取值可以是250、251、252，据此确定方案即可． 【详解】（1）解：设“女贞”树苗的单价为元，“小叶黄杨”树苗的单价为元， 根据题意，得，解得： 答：“女贞”树苗的单价为6元，“小叶黄杨”树苗的单价为2元． （2）解：设购买“女贞”树苗棵，则购买“小叶黄杨”树苗棵． 由题意可得：，解得． 答：至少购买“女贞”树苗250棵． （3）解：由题意：可列不等式，解得：． 由（2）可知， ． 为整数， 的取值可以是250，251，252， 有三种购买方案， 方案一：购买“女贞”树苗250棵，“小叶黄杨”树苗750棵，费用为（元）； 方案二：购买“女贞”树苗251棵，“小叶黄杨”树苗749棵，费用为（元）； 方案三：购买“女贞”树苗252棵，“小叶黄杨”树苗748棵，费用为（元）． ， 方案一最省钱． 答：一共有三种购买方案，最省钱的方案是购买“女贞”树苗250棵，购买“小叶黄杨”树苗750棵． 96．（23-24七年级下·全国·期末）为了积极防控新冠肺炎，团结中学进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶．乙种9元/瓶． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（请用二元一次方程组的知识来解答） (2)该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数比甲种瓶数的2倍多16瓶，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 【答案】(1)甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶 (2)甲种消毒液最多再购买44瓶 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设甲种消毒液购买了x瓶，乙种消毒液购买了y瓶，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设再次购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液瓶，利用总价单价数量，结合总价不多于1200元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设甲种消毒液购买x瓶，乙种消毒液购买y瓶 由题意，得 解得：， 答：甲种消毒液购买40瓶，乙种消毒液购买60瓶 （2）设再次购买甲种消毒液a瓶，则购买乙种消毒液瓶 由题意，得 解得 答：甲种消毒液最多再购买44瓶． 97．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 【答案】(1)1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． (2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． (3)最省钱的租车方案为租用7辆A型车，1辆型车，最少租车费为990元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】（1）设1辆A型车装满物资一次可运x吨，1辆B型车装满物资一次可运y吨，根据“用1辆A型车和2辆B型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆B型车装满物资一次可运11吨”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据租用的两种车一次可运31吨物资且每辆车都装满，可列出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金=每辆A型车的租金×租用A型车的数量+每辆B型车的租金×租用B型车的数量，可求出选择各租车方案所需租车费用，比较后，即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． 【详解】（1）解：设1辆A型车装满资物一次可运吨，1辆型车装满资物一次可运吨， 依题意，得：， 解得：． 答：1辆A型车装满资物一次可运4吨，1辆型车装满资物一次可运3吨． （2）依题意，得：， ∴． ∵，均为正整数， ∴或或， 所以该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用1辆A型车，9辆型车；方案2：租用4辆A型车，5辆型车；方案3：租用7辆A型车，1辆型车． （3）方案1所需租金为（元）； 方案2所需租金为（元）； 方案3所需租金为（元）． 所以最省钱的租车方案为租用7辆型车，1辆型车，最少租车费为990元． 98．（24-25七年级上·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 【答案】(1)小贵每小时走，小港每小时走 (2)后两人相距 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设小贵每小时走，小港每小时走，根据“若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据后两人间的距离两人的速度之和运动时间，即可求出结论． 【详解】（1）解：设小贵每小时走，小港每小时走， 依题意，得：， 解得：； 答：小贵每小时走，小港每小时走． （2）解：， 答：后两人相距． 99．（22-23七年级下·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y， 则，整理得：             解得 答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 100．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价 【答案】(1)商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个； (2)一个“妮妮”的售价为21元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个，根据某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设一个“妮妮”的售价为m元，根据商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，列出一元一次方程，解方程即可． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出一元一次方程． 【详解】（1）解：设商场购进“滨滨”x个，购进“妮妮”y个， 由题意得：， 解得：， 答：商场购进“滨滨”600个，“妮妮”400个． （2）解：设一个“妮妮”的售价为m元， 由题意得：， 解得：， 答：一个“妮妮”的售价为21元． 101．（23-24七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元 (2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可； （2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元． 根据题意，得 解得 答：A种图书每本30元，B种图书每本20元． （2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本． 根据题意，得， 解得，且m为正整数． A种图书单价高， 购买A种图书越少越省钱． m取最小值28时，总费用最少， 最少费用为元． 答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 102．（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 【答案】(1)3，2 (2)横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个 (3)是5的整数倍，理由见解析 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据长方体的六个面的特点求解即可； （2）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完300张长方形纸板和100张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设横式纸盒做个，横式纸盒做个，根据制作的两种纸盒恰好用完张长方形纸板和张正方形纸板，可列出关于的二元一次方程组，两方程相加，可得出，结合均为正整数．即可得出是5的整数倍． 【详解】（1）解：做一个横式无盖纸盒需要3张长方形纸板和2张正方形纸板， 故答案为：3，2； （2）解：设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， 解得：． 答：横式纸盒做20个，竖式纸盒做60个； （3）解：是5的整数倍，理由如下： 设横式纸盒做个，竖式纸盒做个， 根据题意得：， ， 又，均为正整数， 是5的整数倍． 103．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】个客人，个盘子 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程，设有个客人，个盘子，根据题意列二元一次方程组并求解，找到正确的等量关系是解题的关键． 【详解】解：设有个客人，个盘子． 根据题意，得 ， 解得 ， 答∶有个客人，个盘子． 题型十七 三元一次方程组的解法 104．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题主要考查了解三元一次方程组、二元一次方程组的定义等知识点，理解题意、根据新定义解答问题是解题的关键． 根据矩阵定义列方程组求解即可． 【详解】解：由题意得：， ①×2+②得：， ∵为定值， ∴． 故选：D． 105．（23-24七年级下·四川广元·期末）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，但他身上的钱还差元；如果改成购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱，根据题意列出关于，，的三元一次方程组，解之即可求解． 【详解】解：设每盒甲种礼盒的价钱为元，每盒乙种礼盒的价钱为元，晓雨身上有元钱， 根据题意得：， 得： ， ， ， ， 每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵元， 故选：B． 106．（23-24七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次方程组的求解，解题的过程中利用消元的思想把三元一次方程组转化为二元一次方程组，再利用消元的思想把二元一次方程组转化为一元一次方程再求解是解题关键．利用和得到二元一次方程组，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可． 【详解】解：， 由得：， 由得：， 由得：， 将代入得：， 解得：， 将和代入得：， 解得：， 不等式组的解为， 故答案为：． 107．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 %． 【答案】17 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】4月份销售每套该款时装的出厂价为元，则每件的成本为元，5月份每套该款时装的利润为，设4月份销售该款时装件，则5月份销售件，等量关系为：4月份的总利润增长率）月份的总利润，把相关数值代入求解即可．考查三元一次方程的应用，得到每个月份每件衣服的利润和卖出件数是解决本题的突破点；注意一些必须的量没有时可设其为未知数，在解答过程中消去． 【详解】解：设增长率为，4月份每套该款时装的出厂价为元，5月份每套该款时装销售件， ， 解得， 故答案为：17 108．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置 个“□”才能使得天平也平衡． 【答案】5 【知识点】三元一次方程组的应用 【分析】本题考查三元一次方程组变形．根据题意分别设“○”“△”及“□”为，利用图形列出方程即可得到本题答案． 【详解】解：∵①图可表示为：，即， ∵②图可表示为：， ∴，， ∴①图中， 故答案为：5． 109．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）请同学们根据以下素材，完成任务． 设计粽子采购方案 “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本． 素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元． 素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元． 素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽． 任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？ 任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？ 任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______． 【答案】任务一：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元；任务二：600元；任务三：640 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、三元一次方程组的应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可． 任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决． 任务2设分别购买A，B型礼盒套装a，b箱，根据“支出9000元购买礼盒套装”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，根据“每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元”，再用a，b表示出回收费用，整体代入即可求出． 任务3，设分别采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱，根据题意列出三元一次方程，并求出其正整数解即可． 【详解】解：（1）设A型套装每箱x元，B型套装每箱y元． 则由题意可得， 解得． 答：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元． （2）设采购A型套装a箱，B型套装b箱． 则由题意可得：， 化简得， 则回收成本为（元）， 答：超市回收所有礼品盒所需成本为600元． （3）设采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱． 则由题意可得： ①②得：④， 得：⑤， ∴，， 由题意，，得，解得， 又∵p，q，z都是正整数，且m是偶数， ∴． 110．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）学校的教育教学质量与教师的团队建设质量有很大的关系，同时学校的硬件设施好也能对提高教育教学质量起到促进作用．某校长为提高本校办学条件，计划用元购置一批电脑（这批款项恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台元，台式电脑每台元，笔记本电脑每台元． (1)若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共台，请你帮学校设计购买方案； (2)若学校同时购进三种不同类型的电脑共台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于台，请你帮学校设计购买方案． 【答案】(1)①购买平板电脑台，台式电脑台；②购买平板电脑台，笔记本电脑台 (2)①购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台；②购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台 【知识点】三元一次方程组的应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系． （1）设购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台，分情况讨论：①若购买平板电脑和台式电脑，②若购买平板电脑和笔记本电脑，③若购买台式电脑和笔记本电脑，分别建立方程组求解即可； （2）根据“购进三种不同类型的电脑共台，总费用为元，笔记本电脑的购买量不少于台”，列方程组即可求解． 【详解】（1）解：设购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台． ①若购买平板电脑和台式电脑，则由题意得：， 解得：， ②若购买平板电脑和笔记本电脑，则由题意得：， 解得：， ③若购买台式电脑和笔记本电脑，则由题意得：， 解得：(不合题意，舍去)． 故共有两种购买方案：①购买平板电脑台，台式电脑台；②购买平板电脑台，笔记本电脑台． （2）由题意得：， 解得：或， 故共有两种购买方案：①购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台；②购买平板电脑台，台式电脑台，笔记本电脑台． 111．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)150 【知识点】三元一次方程组的应用、二元一次方程组的特殊解法、加减消元法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的特殊解法，三元一次方程组的应用： （1）由，即可求解； （2）由，得，即可求解； （3）设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，根据题意，列出方程组，可求得，，即可求解． 【详解】（1）解： 得，． 故答案为：2 （2）解：， 由，得， ， 无论a取何值，的值始终不变． （3）解：设购买1件甲商品需x元，1件乙商品需y元，1件丙产品需z元，则 ， ，得， ∴， 把代入①，得， ∴， ∴． 答：购买甲、乙、丙三种商品各2件共需150元． 题型十八 不等式 112．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）若，则在下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴，该选项错误，不合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项正确，符合题意； 故选：． 113．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项求解即可，解题的关键是正确理解不等式的两边都加（或减）同一个数，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 【详解】、∵，∴，一定成立，原选项符合题意； 、∵，∴，原选项不符合题意； 、∵，∴，原选项不符合题意； 、∵，则不一定成立，此选项不符合题意； 故选：． 114．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 根据不等式的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求； 故选：B． 115．（23-24七年级下·河南周口·期末）若，则 ．（填“<”或“>”） 【答案】< 【知识点】不等式的性质 【分析】此题考查了不等式的性质，不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．据此进行解答即可． 【详解】解：， 不等式两边都乘以3得， 不等式两边都加上1得， 故答案为：< 116．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及，的结论，设，，代入即可得解． 【详解】解：由得：， 不等式的解集是， 且，， 设，， 则，， ， 解得：， 即关于x的不等式的解集为． 故答案为：． 117．（23-24七年级下·福建漳州·期末）已知、都是非负数，且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，则的值是 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、不等式的性质、求不等式组的解集 【分析】先用a的代数式表示出x，y，再由、都是非负数列不等式组并求解出a的取值范围，再根据不等式的性质求出A的最大值和最小值即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∵、都是非负数， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的定义，解二元一次方程组，解一元一次不等式组，不等式的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型十九 一元一次不等式 118．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解不等式，掌握解不等式的步骤是解题的关键，系数化为1时符合是否变化成为解题的关键． 根据去括号、移项、系数化为1的步骤解答即可． 【详解】解： ． 故选C． 119．（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 【答案】B 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设打x折销售，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设打x折销售，根据题意可得： ， 解得． ∴最多可以打八折． 故选：B． 120．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】先解出不等式的解集，再在数轴上表示出其解集，即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由，可得， 其解集在数轴上表示如下：    故选：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 121．（22-23七年级下·安徽六安·期末）解不等式的过程如下：①去分母，得；②去括号，得；③移项，合并同类项，得；④系数化为1，得．其中错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【知识点】不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】根据不等式的基本性质即可作出判断． 【详解】解：去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得 根据不等式的基本性质，可得第④步错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了解不等式的步骤，熟练掌握不等式的基本性质与解不等式的步骤是解题的关键． 122．（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    【答案】，数轴见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式，在数轴上表示解集是解题的关键． 先去分母、去括号，然后移项合并，最后系数化为1可求不等式的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 解得，， 在数轴上表示解集如下；    123．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）解不等式． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】根据不等式的性质，解一元一次不等式的方法即可求解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项得，， 合并同类项得，， ∴原不等式的解集为：． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，掌握不等式的性质，解不等式方程是解题的关键． 124．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，然后在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下：         ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 125．（23-24七年级下·河南南阳·期末）（1）解方程：； （2）阅读下面解不等式的过程，完成任务： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第一步去分母的依据是 　　　 ； 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　　 ；直接写出原不等式的正确解集是 　　　　 ； 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出条建议． 【答案】（1）；（）不等式的性质；一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，；去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（合理准确即可） 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母、不等式的性质、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次方程，不等式的性质，解一元一次不等式，熟练掌握相关知识的应用是解题的关键． （）由去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化，进行求解即可； （）根据不等式性质，作答即可； 根据不等式的性质作答求解即可； 根据解不等式的过程中易出现的问题，进行作答即可． 【详解】解：（） 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并，得：， 系数化1，得：； （）去分母的依据是：不等式的性质； 故答案为：不等式的性质； 第一步出现错误，错误的原因是去分母时，没有添括号，导致符号出错， ； 故答案为：一，去分母时，没有添括号，导致符号出错，； 去分母时注意常数项不要漏乘最小公倍数，去括号和移项时要注意符号的变化（答案不唯一）． 126．（23-24七年级下·河北邢台·期末）【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 【答案】(1)A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； (2)购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算． 【知识点】整式加减的应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，整式加减的应用，一元一次不等式的应用； （1）设A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程，即可求解； （2）根据题意列出线下购买的费用的代数式和线上淘宝购买费用的代数式，即可求解；结合题意，列出一元一次不等式，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为x元，B款盲盒销售的单价为y元，由题意得，， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款单价销售单价为8元； （2）依题意，甲方案购买共需要（元）， 乙方案购买共需要（元）， 当， 解得， ∴； 答：当购买A款盲盒的数量超过15个且少于40个时，甲方案购买更合算； 题型二十 一元一次不等式组 127．（24-25七年级下·全国·期末）若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2025 【答案】C 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了由不等式组的解集求参数，已知字母的值求代数式的值，先分别化简得，，再结合不等式组的解集为，求出，，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：由，得 由，得， 由不等式组的解集为， ∵， ∴，， 解得， ∴ 故选：C． 128．（22-23七年级下·河南周口·期末）不等式组的解集在数轴上表示如图，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题主要考查利用数轴确定不等式组的解集；根据数轴可直接得出答案． 【详解】解：由数轴可知，该不等式组的解集是． 故选：A． 129．（23-24七年级下·广西百色·期末）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数k的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查了解分式方程时应考虑到增根的情况，同时也考查了解不等式组的能力，以及确定不等式组中字母常数满足题意的判断方法．解出不等式组的解集，根据不等式组有解且至多3个整数解，求得k的取值范围；解分式方程，检验，根据方程有整数解求得k的值． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组有解且至多有3个整数解， ∴， ∴， 分式方程两边同乘以，得， ∴， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵方程有整数解， ∴， ∴或1或5或， ∵且， ∴或1或， 故选：C． 130．（23-24七年级下·山东烟台·期末）不等式组的整数解是（   ） A．，0 B．，1 C．，0 D．0，1 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的x的所有整数解即可． 【详解】 由①得：， 由②得：， ∴， ∴不等式组的整数解是：，0． 故答案为：C． 131．（22-23七年级下·福建厦门·期末）关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解、二元一次方程的解 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解．先解不等式组，得出，再根据求出的取值范围，可求出符合条件的的所有整数值． 【详解】解：解不等式得， 不等式组有且只有2个整数解， ， ， ， ， ， 整数为，，， 所有整数值的和为， 故选：B． 132．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 133．（22-23七年级下·河南周口·期末）点是第二象限内的一个点，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】已知点所在的象限求参数、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点在象限内的坐标符号特点，不等式组的解法，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特点是解题关键．根据点是第二象限内的点，即可得到横纵坐标的符号，再建立不等式组即可求解． 【详解】解：∵是第二象限内的点， ∴， 解得：， 故答案为：． 134．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x，y，z的方程组满足，若，则S的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式．先把z看作常数，解x和y的方程组，再根据x和y的取值范围得出z的取值范围，然后用z表示S，根据z的取值范围可得S的取值范围．熟记并理解不等式的性质是解决此题的关键． 【详解】解：， 得，即， 将代入①可得，可得， ∴， 又∵， ∴，解得， ∴，． 即． 故答案为：． 135．（22-23七年级下·北京海淀·期末）解不等式组：． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求解两个不等式，得到不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 136．（24-25七年级上·四川眉山·期末）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 【答案】，数轴见解析，不等式组的整数解为0，1，2，3 【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式组：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．先分别解两个不等式得到和，再利用“大小小大中间找”确定不等式组的解集，接着在数轴上表示其解集，然后写出它的整数解．也考查了在数轴上表示不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为： 不等式组的整数解为0，1，2，3． 137．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)③ (2)2 (3)①，；②不存在，见解析 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、求不等式组的解集、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次方程、一元一次不等式组的解． （1）分别求出方程①②③的解，再求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出不等式组的解集，再根据不等式组的一个关联方程的解是整数，进而求出m的值即可； （3）①根据一元一次方程的解法解这两个方程即可； ②求出不等式组的解集，根据“关联方程”的定义得出关于m的不等式组，解不等式组即可得出结论． 【详解】（1）解：方程①的解为； 方程②的解为； 方程③的解为； 不等式组的解集为， ∵， ∴不等式组的关联方程是方程③， 故答案为：③； （2）解：解不等式组，得， 因此不等式组的整数解为． 将代入关联方程0， 得； （3）解：①， 解得； ， 解得； ②不存在．理由如下： 解不等式组， 得， 假如方程和都是关于的不等式组的关联方程， 则且． 解得：且 ∴不等式组无解， 不存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程． 题型二十一 统计调查 138．（24-25七年级下·全国·期末）某校为了解七年级1000名学生期中语文考试情况，从中抽取了100名学生的语文成绩进行了统计，下面说法正确的有（   ） ①这种调查的方式是抽样调查；    ②1000名学生是总体； ③每名学生的语文成绩是个体；    ④100名学生是总体的一个样本； ⑤样本容量是100． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、判断全面调查与抽样调查 【分析】在抽样调查中，按照总体、个体、样本、样本容量的定义逐一判断即可．本题考查的是总体、个体、样本、样本容量等知识，总体是指考查对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．解决此类问题的关键是明确考查的对象，总体、个体、样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位． 【详解】解：某校为了解七年级1000名学生期中语文考试情况，从中抽取了100名学生的语文成绩进行了统计，很明显这种调查方式是抽样调查，故①正确； 总体是某校七年级1000名学生期中语文考试情况，故②错误； 每名学生的语文成绩是个体，故③正确； 所抽取的100名学生的语文成绩是总体的一个样本，故④错误； 样本容量是100，故⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个正确， 故选：C． 139．（24-25七年级下·全国·期末）为保证神舟十九号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，适宜采用 调查．（选填“全面”或“抽样”） 【答案】全面 【知识点】判断全面调查与抽样调查 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．据此解答即可． 【详解】解：为保证载人飞船成功发射，对各零部件进行检查，适宜采用全面调查． 故答案为：全面． 140．（23-24七年级下·全国·期末）某中学随机抽取了部分学生期末数学调研成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； (2)该校九年级共有1000人参加了这次考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 【答案】(1)10，统计图见解析 (2)200 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，用样本估计总体： （1）用成绩类别为“差”的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，进而可求出成绩类别为“中”的人数，再补全统计图即可； （2）用1000乘以样本中学生的数学成绩达到优秀的人数占比即可得到答案． 【详解】（1）解：（人）， ∴一共抽取了50名学生， ∴样本中成绩类别为“中”的人数为（人）， 补全统计图如下所示： （2）解：（名）， ∴估计该校九年级共有200名学生的数学成绩达到优秀． 141．（23-24七年级下·云南红河·期末）某校为落实“课后延时服务”要求，准备开设课后延时服务项目，为了解全校1500名学生对五门兴趣活动课的选择意向，李老师做了以下工作：①整理数据并绘制统计图：②抽取100名学生作为调查对象；③结合统计图分析数据并得出结论：④收集100名学生对五门课程的选择意向的相关数据． (1)请按数据统计的规律对李老师的工作步骤进行正确排序__________； (2)以上步骤中抽取100名学生最合适的方式是（    ） A．随机抽取七年级的100名学生　B．随机在全校抽取100名男生 C．随机在全校抽取100名女生　D．随机在全校抽取100名学生 (3)请补全条形统计图，并计算“素描”所在扇形的圆心角度数； (4)试估计该校1500名学生中有多少名学生想参加“素描”活动？ 【答案】(1)②④①③ (2)D (3)见解析， (4)名 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、用样本的频数估计总体的频数、抽样调查的可靠性、调查收集数据的过程与方法 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． （1）根据数据的收集与整理的具体步骤解答即可； （2）根据抽样调查的特点解答即可； （3）用总人数分别减去选择其它四门课程的人数，即可得出选择篮球的人数，进而补全统计图； （4）根据样本估计总体思想解答即可． 【详解】（1）解：李老师的工作步骤进行正确排序为②④①③； （2）解：根据抽样调查要具有随机性和代表性可知，抽取100名学生最合适的方式是随机在全校抽取100名学生， 故选：D； （3）解：选择篮球的人数为人， 补全统计图如下所示： ， ∴“素描”所在扇形的圆心角度数为； （4）解：名， ∴估计该校1500名学生中有150名学生想参加“素描”活动． 题型二十二 用统计图描述数据 142．（23-24七年级下·北京丰台·期末）“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作条告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图： 根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（   ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 【答案】B 【知识点】由条形统计图推断结论、折线统计图 【分析】本题主要考查了条形统计图以及折线统计图的相关信息，根据统计图的信息一一计算分析判断即可． 【详解】解：A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升，说法正确，故该选项不符合题意； B．2022年到2025年增量分别为：868.9，1278.8，1643，1889.2，2026年增量为：，故增量最多的年份是2026年，原说法错误，故该选项符合题意； C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小，说法正确，故该选项不符合题意； D．2026年低空经济市场规模为，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：B． 143．（23-24七年级下·全国·期末）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分成4组，第组的频数分别为13，12，8，则第4组的频率是 ． 【答案】 【知识点】根据数据描述求频率 【分析】先根据频数之和等于总数求出第4组的频数，再根据频率频数总数求解即可．本题主要考查频数与频率，解题的关键是掌握频数之和等于总数及频率频数总数． 【详解】解：∵一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分成4组，第组的频数分别为13，12，8， ∴， 则第4组的频率是：． 故答案为：． 144．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100根麦穗，在样本数据中，最大值是，最小值是，如果取组距为0.5，那么可以分成 组． 【答案】9 【知识点】频数分布表 【分析】本题考查频数（率分布表．根据组数（最大值最小值）组距计算，注意小数部分要进位． 【详解】解：在样本数据中最大值为，最小值为，它们的差是， 已知组距为0.5，那么由于， 可以分成9组， 故答案为：9． 145．（23-24七年级下·河北沧州·期末）某校有2000学生，想要了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，特进行了抽样调查．现将调查结果用条形图描述如图，则抽取的样本的容量为 ，可推测其中最受全校学生喜爱的节目是 ，若将该统计结果用扇形图来描述，则“动画”对应扇形的圆心角为 ．（填度数） 【答案】 50 娱乐 /108度 【知识点】总体、个体、样本、样本容量、求扇形统计图的圆心角、条形统计图和扇形统计图信息关联 【分析】本题考查样本容量，调查统计中条形统计图、扇形统计图相关知识，根据条形统计图即可得到样本容量，并推测其中最受全校学生喜爱的节目，用 “动画”人数除以总人数，再乘以即可求得对应扇形的圆心角度数． 【详解】解：由图知 ， 抽取的样本的容量为50； 其中最受全校学生喜爱的节目是娱乐； “动画”对应扇形的圆心角为：； 故答案为：50，娱乐，． 146．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读是人们认识世界、获取信息的重要方法．脑科学研究表明“10-16岁是阅读能力和阅读质量提升的关键期”．某校为提升学生的阅读能力，培养阅读习惯，向全体学生发出了“让读书成为一种习惯”的活动倡议． 收集数据：小明利用如图1所示的调查问卷随机调查了50名同学，得到他们最近一周课外阅读总时间的数据，如下： A  F  B  B  A  C  B  D  B  C D  E  D  A  B  D  A  E  A  B C  B  E  B  C  B  C  A  C  C A  B  C  B  C  A  B  A  E  B A  C  B  B  B  C  D  B  A  A 整理分析：李老师帮他整理了这组数据，并绘制了频数直方图和扇形统计图，如图2、图3所示： (1)请将频数直方图中空缺的部分补充完整；在扇形统计图中，_____；E所对扇形圆心角度数为_____． (2)试说明这组数据的分布特点：_____（写出一条即可） 问题解决： (3)已知该校共有学生3000人，请根据调查数据估计：该校全体学生中最近一周课外阅读总时长不足3小时的有多少人？ 【答案】(1)见解析，10， (2)超过一半的学生最近一周课外阅读的总时长在2小时以内.（答案不唯一，合理即可） (3)2400人 【知识点】条形统计图和扇形统计图信息关联、求扇形统计图的圆心角、画条形统计图、由样本所占百分比估计总体的数量 【分析】本题主要考查调查与统计的相关计算，理解条形图、扇形图的信息，掌握样本百分比的计算，圆心角的计算，样本百分比估算总体数量的方法是解题的关键． （1）根据题目得到D、E的人数可补全条形图，根据某项百分比的计算得到m的值及E所对的百分比，再根据圆心角的计算方法得到E所对的圆心角的度数； （2）根据条形图和扇形图的信息进行分析即可； （3）根据样本百分比估算总体数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，D组的人数有5人，E组的人数有4人， ∴补全频数直方图如图所示： ∴，即， E所对应的百分比为， ∴E所对的圆心角的度数为， 故答案为：10，； （2）解：超过一半的学生最近一周课外阅读的总时长在2小时以内.（答案不唯一，合理即可） （3）解：（人）， 故估计该校全体学生中最近一周课外阅读总时长不足3小时的有2400人． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 七下期末真题百题大通关（146题22题型）（提升版） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 两条直线相交 题型二 两条直线垂直 题型三 同位角、内错角、同旁内角 题型四 平行线的概念 题型五 平行线的判定 题型六 平行线的性质 题型七 定义、命题、定理 题型八 平移 题型九 平方根 题型十 立方根 题型十一 实数及其简单运算 题型十二 用坐标描述平面内点的位置 题型十三 坐标方法的简单应用 题型十四 二元一次方程组的概念 题型十五 解二元一次方程组 题型十六 实际问题与二元一次方程组 题型十七 三元一次方程组的解法 题型十八 不等式 题型十九 一元一次不等式 题型二十 一元一次不等式组 题型二十一 统计调查 题型二十二 用统计图描述数据 题型一 两条直线相交 1．（23-24七年级下·四川南充·期末）如图，直线，相交于点O，平分，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）如图，直线，相交于点，平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·河南洛阳·期末）如图，直线与相交于点B，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 5．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，直线和相交于点，射线平分，，求的度数． 题型二 两条直线垂直 6．（22-23七年级下·天津和平·期末）下列说法中正确的是（    ） A．过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线距离 C．经过直线外一点，有且仅有一条直线与已知直线平行 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 7．（22-23七年级下·天津·期末）已知，直线经过点O且度，则等于（    ） A． B． C．或 D． 8．（23-24七年级下·广东深圳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，E、F分别是、上的动点．若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 9．（23-24七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线经过原点，点在轴上，为线段上的一点，若，，，，则长度的最小值是（    ） A．2 B．1 C． D． 10．（22-23七年级下·吉林白山·期末）直线与交于O，，则的度数 ． 11．（23-24七年级下·浙江温州·期末）图1是瑞瑞在跑步机上健身，其示意图如图2所示．折线是固定支架，且，显示屏，，则 度．当眼睛视线，且瑞瑞身体时， 度． 12．（22-23七年级下·福建泉州·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为 ． 13．（23-24七年级下·陕西安康·期末）如图，已知直线、相交于点O，，点O为垂足，平分．    (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型三 同位角、内错角、同旁内角 14．（23-24七年级下·全国·期末）若两条平行直线被第三条直线所截，则（    ） A．一对同位角的角平分线互相垂直 B．一对内错角的角平分线互相垂直 C．一对同旁内角的角平分线互相平行 D．一对同旁内角的角平分线互相垂直 15．（23-24七年级下·重庆江津·期末）下列命题中，是真命题的是（    ） A．一个二元一次方程有无数个解 B．相等的角是对顶角 C．过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角互补 16．（23-24七年级下·重庆合川·期末）如图，，． (1)直接写出的同位角、同旁内角； (2)若，，求的度数． 题型四 平行线的概念 17．（23-24七年级下·山东菏泽·期末）下列说法正确的有（    ） 在同一平面内不相交的两条直线必平行． 过同一平面内两条直线，外一点，一定可做直线，使，且． 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 两条直线被第三条直线所截得的同旁内角的平分线互相垂直． A．个 B．个 C．个 D．个 18．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）有8条不同的直线（、、、、、、、），其中，、、交于同一点，则这8条直线的交点个数最多有（　　） A．21个 B．22个 C．23个 D．24个 19．（23-24七年级下·广东广州·期末）下列命题中为真命题的是（    ） A．的平方根是 B．同旁内角互补 C．在同一平面内，若，直线不重合，则 D．在同一平面内，若，，直线不重合，则 20．（22-23七年级下·四川成都·期末）如图，直线， 的平分线交直线于点D，若，则的度数为 ．    21．（22-23七年级下·浙江绍兴·期末）如图，，点O在内部，且平分，射线交于点E，若，，则的度数为 ．    题型五 平行线的判定 22．（22-23七年级下·辽宁锦州·期中）如图，下列推理中正确的是（      ） A．因为，所以 B．因为，所以 C．因为，所以 D．因为，所以 23．（23-24七年级下·北京门头沟·期末）下列图形中，由，能得到的是（　） A． B． C． D． 24．（23-24七年级下·湖北荆州·期末）将一块三角板（，）按如图方式放置，使，两点分别落在直线，上，对于给出的五个条件：①；②；③，；④；⑤；能判断直线的有 ．（填序号） 25．（22-23七年级下·广东清远·期末）把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 题型六 平行线的性质 26．（24-25七年级下·全国·期末）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 27．（24-25七年级下·全国·期末）在学习“相交线与平行线”一章时，邱老师组织班上的同学分组开展潜望镜的实践活动，小林同学所在的小组制作了如图①所示的潜望镜模型并且观察成功．大家结合实践活动更好地理解了潜望镜的工作原理．图②中，代表镜子摆放的位置，动手制作模型时，应该保证与平行，已知光线经过镜子反射时，，若，则（   ） A． B． C． D． 28．（24-25七年级下·全国·期末）如图，将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，两直角三角板的顶点重合，即，已知，，．若将三角板绕点旋转，当时，的度数为 ． 29．（24-25七年级下·全国·期末）一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，第一次拐弯的度数为．第二次拐弯的度数为，到了点P后需要继续拐弯，拐弯后与第一次拐弯之前的道路平行，则 ． 30．（24-25七年级下·全国·期末）如图，，点分别在直线上，在平行线之间有一点，若与的平分线交于点，则 ；若与的平分线交于点与的平分线交于点与的平分线交于点则 ， ． 31．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）在同一平面内，若与的两边分别平行，且比的3倍少，则的度数为 ． 32．（23-24七年级下·湖南株洲·期末）如图，，平分，平分，且，下列结论∶①平分；②；③；④；⑤，其中结论正确的有 （填写序号）． 33．（23-24七年级下·陕西渭南·期末）如图，在四边形中，H为四边形内部一点，连接，点E在线段的延长线上，，，点F在内部，连接，连接交于点G，，的余角比大．则下列结论：①；②；③；④其中所有正确的结论是 ．（填序号） 34．（23-24七年级下·安徽安庆·期末）把一块含角的直角三角尺（其中，）按如图所示的方式摆放在两条平行线，之间． （1）如图1，若三角尺的角的顶点G落在上，且，则的度数为 ． （2）如图2，若把三角尺的直角顶点F落在上，角的顶点G落在上，则与的数量关系为 ． 35．（23-24七年级下·安徽淮北·期末）已知直线，点在直线上，点在直线上，的平分线与的平分线交于点，，． (1)如图1，点在点的左边，点在点的右边，求的度数； (2)在（1）的条件下，求的度数（用含的式子表示）； (3)将图1中的线段向左平移，使点落在点的右边，其他条件不变，在图2中先画出符合题意的图形，再求出与的度数差． 题型七 定义、命题、定理 36．（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）下列命题是真命题的有（    ） ①实数与数轴上的点一一对应； ②直线外一点到这条直线的垂线段，就是这一点到这条直线的距离； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④若，的两边与的两边分别平行，则； ⑤两直线被第三条直线所截，同旁内角互补． A．①③ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①③④ 37．（23-24七年级下·陕西西安·期末）下列定理，有逆定理的是（     ） A．对顶角相等 B．全等三角形的面积相等 C．矩形的对角线相等 D．直角三角形中，两直角边长的平方和等于斜边长的平方 38．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）数学课上，老师让同学将图中的证明过程补充完整，下列判断不正确的是（    ）． 如图，已知，，   求证：． 证明：∵（已知）， ∴（△）． ∵（已知） ∴◎（同角的补角相等） ∴（※） ∴（□） A．△表示两直线平行，同旁内角互补 B．◎表示 C．※表示内错角相等，两直线平行 D．□表示两直线平行，内错角相等 39．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）下列命题正确的是（   ） A．若两个相等的角有一边平行，则另一边也互相平行 B．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直 D．互补的角是邻补角 40．（23-24七年级下·吉林四平·期末）给出下列5个命题：①垂线段最短；②两条直线被第三条直线所截，内错角相等；③互补的角是邻补角；④同旁内角相等，两直线平行；⑤同旁内角的两个角的平分线互相垂直．其中是真命题的是 ．（填写命题的序号即可） 题型八 平移 41．（23-24七年级下·湖南永州·期末）如图，在三角形中，，将三角形沿BC方向平移得到三角形，其中，，，则阴影部分的面积是（    ） A．15 B．18 C．21 D．24 42．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，将线段沿线段平移得到线段（点与点对应，且不与点重合），连接和的平分线相交于点．若，则的度数是 ．（用含的式子表示） 43．（22-23七年级下·上海浦东新·期末）如图，和是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿方向平移得到的位置若，，，则图中阴影部分的面积为 ．    44．（23-24七年级下·江苏淮安·期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 45．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，在中，点分别在边上，将沿直线折叠，使点落在点F处，向右平移若干单位长度后恰好能与边重合，连结． (1)若，求的度数； (2)若，求四边形的周长． 题型九 平方根 46．（23-24七年级下·黑龙江鹤岗·期末）如果，是2024的两个平方根，那么 ． 47．（23-24七年级下·河南驻马店·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是 ． 48．（22-23七年级上·山东威海·期末）如图是一个按运算规则进行的数值转换器： （1）若输入的x为16，则输出的y值是 ； （2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则x的值是 ； （3）若输出y的值是，请写出两个满足要求的x值 ． 49．（22-23七年级下·河南开封·期末）已知实数x，y满足． (1)求x，y的值； (2)求的平方根． 题型十 立方根 50．（23-24七年级下·山东滨州·期末）已知的立方根是3，的算术平方根是4，则的值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．9 51．（23-24七年级下·云南昭通·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，求的值为： ． 52．（23-24七年级下·安徽马鞍山·期末）已知的立方根是2，是的整数部分，则的算术平方根是 ． 53．（22-23七年级下·四川泸州·期末）已知一个正数的平方根分别是和，又的立方根为． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 题型十一 实数及其简单运算 54．（23-24七年级下·陕西安康·期末）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 55．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）计算：． 56．（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 57．（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． 题型十二 用坐标描述平面内点的位置 58．（23-24七年级下·天津·期末）在直角坐标系中，点在第四象限，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 59．（22-23七年级下·云南昆明·期末）在平面直角坐标系中，若点在第二象限，且为整数，则点坐标为（    ） A． B． C． D． 60．（23-24七年级下·四川德阳·期末）已知的面积为6，且，两点的坐标分别为、，若点到轴距离是1，则轴上方的点的坐标为 ． 61．（24-25七年级下·全国·期末）小蒲周末打算去游乐场游玩，如图，他根据游乐场的地图在网格中着重标注了自己游玩的四个地点，其中旋转木马，过山车，摩天轮的坐标分别为，． (1)请你根据点的坐标建立平面直角坐标系； (2)写出激流勇进点的坐标为_______； (3)连接，将线段向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，得到线段，画出线段，并直接写出点和点的坐标． 62．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）若点到轴的距离为，到轴的距离为． (1)当时，　　； (2)若点P在第一象限，且，求出点的坐标． 63．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在平面直角坐标系中，第一象限的点坐标为，且点到轴、轴的距离相等． (1)点的坐标为________； (2)如图1，轴的正半轴上有一点，连接、，点为轴上一动点，动点从原点出发，以每秒2个单位长度沿轴的正方向运动．设点的运动时间为秒，的面积为，请用含的式子表示（不要求写的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点作轴平行线，交轴于点．当点从原点出发1秒时，此时点从点出发，以每秒1个单位长度在直线上运动，当的面积是的面积的2倍时，请直接写出此时的值和点的坐标． 题型十三 坐标方法的简单应用 64．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）已知在 内有任意一点经过平移后对应点为，又已知点在经过此次平移后的对应点为，设，则m的值是（        ） A．5 B．6 C．7 D．8 65．（23-24七年级下·山东德州·期末）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边长与轴平行且，，点的坐标为，沿某一方向平移后，点的对应点的坐标为，则点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 66．（23-24七年级下·北京丰台·期末）地铁是一个城市幸福指数的标配．途经丰台区的部分地铁线路如图所示．在图中分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，有如下三个结论： ①当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ②当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为； ③当表示新宫的点的坐标为，表示首经贸的点的坐标为时，表示西局的点的坐标为． 所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 67．（23-24七年级下·全国·期末）一艘船在处遇险后向相距位于处的救生船报警．用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置为（北偏东，），救生船接到报警后准备前往救援，请用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置 ． 68．（23-24七年级下·江西赣州·期末）如图，三角形在平面直角坐标系中，其中点，点，点，将三角形的A，B，C三点中的任意一点平移至点的位置后，那么点C的对应点的坐标是 ．    69．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，的边在x轴的正半轴上，A的坐标为，B的坐标为，把沿x轴向右平移2个单位长度，得到，连接，若的面积为1，则点D的坐标为 ．    70．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接． (1)直接写出点的坐标； (2)分别是线段上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度，若两点同时出发，求几秒后轴； (3)若是轴上的一个动点，当三角形的面积是三角形面积的2倍时，求点的坐标． 71．（24-25七年级下·全国·期末）如图①，在平面直角坐标系中，是坐标原点，点A的坐标为，将向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度得到对应线段．连接． (1)点的坐标为_______，点的坐标为_______； (2)在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的一半？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，若是直线上的一个动点，连接，当点在直线上运动时，请直接写出，之间的数量关系． 题型十四 二元一次方程组的概念 72．（23-24七年级下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一个解，那么的值是（   ） A． B．2 C． D．4 73．（23-24七年级下·河南新乡·期末）已知是关于x，y的二元一次方程的一组解，那么a的立方根是（    ） A． B．2 C． D．4 74．（23-24七年级下·福建泉州·期末）若是关于的二元一次方程，则（　　） A．1 B． C．2 D． 75．（24-25七年级下·全国·期末）若是关于的二元一次方程的一组解，则的值为 ． 76．（23-24七年级下·陕西安康·期末）若关于的二元一次方程组 的解是正数，则的取值范围是 ． 77．（23-24七年级下·江西南昌·期末）规定：若是以，为未知数的二元一次方程的正整数解，则称此时点为二元一次方程的“郡园点”．请回答以下关于，的二元一次方程的相关问题． (1)方程的“郡园点”的坐标为______． (2)已知，为非负整数，且，若是方程的“郡园点”，求的值； 78．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为． (1)方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______； (2)已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值； (3)已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值． 79．（23-24七年级下·云南昆明·期末）阅读下列材料，解答下面的问题． 我们知道每一个二元一次方程都有无数组解，例如，，，…，都是方程的解，在解决实际问题中只需求出符合条件的解即可． 例：求这个二元一次方程的正整数解． 解：，得：，根据x，y为正整数，运用尝试法可以知道， 方程的正整数解为或． 问题： (1)求方程的正整数解； (2)七年级地理科学兴趣小组共16人（男生9人，女生7人），前往云南普者黑对喀斯特岩溶地貌进行观测研究．活动期间入住当地民宿，已知民宿有两人间和三人间两种房间可供选择，其中两人间140元一天，三人间180元一天．请你运用所学知识设计出最为合理的住宿方案，并进行简要说明． 题型十五 解二元一次方程组 80．（23-24七年级下·湖南邵阳·期末）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 81．（23-24七年级下·安徽淮南·期末）已知关于x，y的二元一次方程组下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解x，y的值互为相反数时，；②当，时，；③无论a取何值，的值始终不变． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 82．（22-23七年级下·重庆·期末）我们用表示不大于a的最大整数；用表示大于a的最小整数．下列说法： ①，； ②如果，则满足条件的所有正整数x只有7和8； ③已知x，y满足方程组，则x，y的取值范围，． 其中正确的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 83．（23-24七年级下·全国·期末）已知，则 ， ． 84．（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数之和为 ． 85．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论正确的有 ． （1），； （2）若，，则； （3）若，则、有且仅有2组正整数解； （4）若，，对任意有理数、都成立，则． 86．（24-25七年级下·全国·期末）解下列方程组： (1) (2) 87．（23-24七年级下·全国·期末）已知关于，的方程组的解满足，，求实数的取值范围． 88．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平面直角坐标系中，点，点且m、n是方程组的解，点C在x轴负半轴上，与y轴交于点E． (1)求点A的坐标； (2)如图1，若三角形的面积，求线段的长； (3)如图2，在（2）的条件下，点P从点E出发，以每秒2个单位长度的速度先沿线段运动到点O不停，再继续以相同的速度沿x轴正半轴运动到点B后停止，设运动时间为秒，求当为何值时，三角形的面积是三角形面积的2倍． 题型十六 实际问题与二元一次方程组 89．（23-24七年级下·江西南昌·期末）小月去买文具，打算买5支单价相同的签字笔和3本单价相同的笔记本，她与售货员的对话如下，那么购买一支笔和一本笔记本应共付（    ）． 小月：您好，我要买5支签字笔和3本笔记本 售货员：好的，那你应付款52元 小月：刚才我把两种文具的单价弄反了，以为要付44元 A．11元 B．12元 C．13元 D．14元 90．（22-23七年级下·河北保定·期末）在大禹治水的时代，有一种神龟背负着一张神秘的图（如图1）浮出洛水，吉祥献瑞，后世称之为“洛书”，当后人将“洛书”上的数填在图2的表中时发现：每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，像这样的数字方阵，称为“幻方”，如果图3也是一个“幻方”，则的值为（    ） A．7 B．9 C．13 D．15 91．（24-25七年级下·全国·期末）“学习强国”平台提供权威，准确，详尽，丰富的学习资源，通过学习课程可以获得积分奖励，若小华的积分是三位数，将最左边的数字移到最右边，则比原来的积分少45，又知原来积分百位上数的9倍比十位上数与个位上数组成的两位数小3，设百位数字为，由十位数字和个位数字组成的两位数为，则可列方程组为 ． 92．（23-24七年级下·山东临沂·期末）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形，所标尺寸分别为和，如图所示，则图中阴影部分的总面积为 ． 93．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）用如图1所示的若干张长方形和正方形纸板，制作成如图2所示的竖式和横式两款长方体形状的无盖纸盒． （1）若制作两款纸盒各一个，则共需长方形纸板 张． （2）正方形纸板有20张，长方形纸板有张，做成上述两款纸盒，且两款纸板恰好用完．若，则最多能做 个竖式纸盒． 94．（24-25七年级下·全国·期末）某学校计划从商场批发帽子和手套奖励给部分同学，商场标价，帽子的单价是元，手套的单价是元，并且学校用于购买帽子和手套的总金额相等．（一顶帽子为一件，一副手套为一件） (1)第一次购买的帽子和手套共件，求第一次学校购买帽子和手套各多少件． (2)第二次购买时从商场得知，帽子件起售，超过件的部分每件打八折；手套件起售，超过件的部分每件优惠元，经过学校统计，此次需购买帽子超过件，购买手套也超过件，且第二次购买帽子和手套共件，则该学校第二次需要准备多少资金用来购买手套和帽子？ 95．（24-25七年级下·全国·期末）某城市义务绿化小队决定在植树节当天进行义务植树活动，现决定采购“女贞”和“小叶黄杨”两种类型的树苗共1000棵，已知一棵“女贞”树苗比一棵“小叶黄杨”树苗贵4元，100元可以购买5棵“女贞“和35棵“小叶黄杨”树苗． (1)求“女贞”树苗和“小叶黄杨”树苗的单价； (2)若要求购买“女贞”树苗的数量不少于“小叶黄杨”树苗数量的，则至少购买“女贞”树苗多少棵？ (3)在（2）的条件下，若购买树苗的预算不超过3010元，则一共有几种购买方案？哪一种最省钱？ 96．（23-24七年级下·全国·期末）为了积极防控新冠肺炎，团结中学进行校园环境消毒，购买了甲、乙两种消毒液共100瓶，其中甲种6元/瓶．乙种9元/瓶． (1)如果购买这两种消毒液共用780元，求甲、乙两种消毒液各购买多少瓶？（请用二元一次方程组的知识来解答） (2)该校准备再次购买这两种消毒液（不包括已购买的100瓶），使乙种瓶数比甲种瓶数的2倍多16瓶，且所需费用不多于1200元（不包括780元），求甲种消毒液最多能再购买多少瓶？ 97．（24-25七年级上·安徽安庆·期末）某物流公司计划用两种车型的车辆运输一批物资，已知：用1辆A型车和2辆型车装满物资一次可运10吨：用2辆A型车和1辆型车装满物资一次可运11吨.该批物资共有31吨，物流公司计划同时租用A型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满. (1)1辆A型车和1辆型车都装满资物，一次可分别运多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计运输这批物资的租车方案； (3)若此次运输中，1辆A型车的租金为120元，1辆型车的租金为150元，请选出最省钱的租车方案，并求出租车费. 98．（24-25七年级上·广西贵港·期末）小贵、小港两人从相距的两地相向而行． (1)若小贵比小港先走，则他们在小港出发后相遇；若小港比小贵先走，则他们在小贵出发后相遇，求小贵、小港两人每小时各走多少千米？ (2)如果他们同时出发，并保持（1）中的速度，那么后两人还相距多少千米？ 99．（22-23七年级下·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    100．（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）第九届亚洲冬季运动会将于2025年2月7日在哈尔滨举行，吉祥物“滨滨”和“妮妮”在市场热销．某商场购进“滨滨”和“妮妮”共1000个，总共花费18000元，其中一个“滨滨”进价20元，一个“妮妮”进价15元． (1)求商场购进“滨滨”和“妮妮”各多少个？ (2)若一个“滨滨”的售价为28元，商场计划售完这批“滨滨”和“妮妮”的利润率是，求一个“妮妮”的售价 101．（23-24七年级下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 102．（23-24七年级下·广西贵港·期末）用如图（1）中的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图（2）的横式和竖式两种无盖纸盒． (1)做一个横式无盖纸盒需要______张长方形纸板和_____张正方形纸板． (2)若仓库里有300张长方形纸板和100张正方形纸板，若两种纸板恰好用完，问两种纸盒各做几个？ (3)若仓库里有张长方形纸板和张正方形纸板，要使两种纸板恰好用完，则应满足什么条件，请说明理由． 103．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 题型十七 三元一次方程组的解法 104．（23-24七年级下·湖北武汉·期末）用现代高等代数的符号可以将方程组的系数排成一个表，这种由数列排成的表叫做矩阵．矩阵表示，，为未知数的三元一次方程组，若为定值，则与关系（   ） A． B． C． D． 105．（23-24七年级下·四川广元·期末）某商店将巧克力包装成甲、乙两种礼盒出售．晓雨原先想购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，但他身上的钱还差元；如果改成购买盒甲种礼盒和盒乙种礼盒，他身上的钱会剩下元．每盒乙种礼盒比甲种礼盒贵（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 106．（23-24七年级下·全国·期末）已知三元一次方程组，则该方程组的解为 ． 107．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期末）某服装厂销售某款时装，4月份销售每套该款时装获得的利润是其出厂价的20%（每套时装的利润＝出厂价－成本），5月份将每套该款时装的出厂价调低2%（每套时装的成本不变），销售量比4月份增长30%，那么该服装厂5月份销售这款时装的总利润比4月份的总利润增长了 %． 108．（23-24七年级下·江苏连云港·期末）如图，用“○”“△”及“□”代表3种不同物体，且前两个天平是平衡状态，现需在第③个天平的“？”处放置 个“□”才能使得天平也平衡． 109．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）请同学们根据以下素材，完成任务． 设计粽子采购方案 “端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本． 素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元． 素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元． 素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽． 任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？ 任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？ 任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______． 110．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）学校的教育教学质量与教师的团队建设质量有很大的关系，同时学校的硬件设施好也能对提高教育教学质量起到促进作用．某校长为提高本校办学条件，计划用元购置一批电脑（这批款项恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台元，台式电脑每台元，笔记本电脑每台元． (1)若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共台，请你帮学校设计购买方案； (2)若学校同时购进三种不同类型的电脑共台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于台，请你帮学校设计购买方案． 111．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）问题提出： 已知实数x，y满足，求的值． 问题探究： 本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x，y的值再代入求值，可得到答案．此常规思路运算量比较大，其实仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形，可求得该整式的值，如由①+②×2可得．这种解题思想就是通常所说的“整体思想”． 问题解决： 利用上面的知识解答下面问题： (1)已知方程组，则的值为________． (2)请说明在关于x，y的方程组中，无论a取何值，的值始终不变． (3)甲、乙、丙三种商品，如果购买甲1件、乙2件、丙2件共需135元，购买甲3件、乙1件、丙1件共需105元，那么购买甲、乙、丙三种商品各2件共需多少元？ 题型十八 不等式 112．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）若，则在下列式子中，正确的是（   ） A． B． C． D． 113．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）若，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 114．（23-24七年级下·河南商丘·期末）已知，则下列不等式错误的是（   ） A． B． C． D． 115．（23-24七年级下·河南周口·期末）若，则 ．（填“<”或“>”） 116．（23-24七年级下·安徽蚌埠·期末）若关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集为 ． 117．（23-24七年级下·福建漳州·期末）已知、都是非负数，且满足，，设，若为的最大值，为的最小值，则的值是 ． 题型十九 一元一次不等式 118．（22-23七年级下·西藏拉萨·期末）不等式的解集是（  ） A． B． C． D． 119．（24-25七年级下·全国·期末）某商场购进一批精美的节日礼盒，每盒的进价为100元，出售标价为150元，后来商场为了促销，准备打折销售，但要保证每盒的利润率不低于，则每盒最多可打（   ） A．七折 B．八折 C．八五折 D．九折 120．（22-23七年级下·河北廊坊·期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A．   B．   C．   D．   121．（22-23七年级下·安徽六安·期末）解不等式的过程如下：①去分母，得；②去括号，得；③移项，合并同类项，得；④系数化为1，得．其中错误的一步是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 122．（22-23七年级下·四川泸州·期末）解不等式：，并把它的解集在数轴上表示出来．    123．（22-23七年级下·安徽阜阳·期末）解不等式． 124．（22-23七年级下·安徽淮北·期末）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 125．（23-24七年级下·河南南阳·期末）（1）解方程：； （2）阅读下面解不等式的过程，完成任务： 解：第一步 第二步 第三步 第四步 第一步去分母的依据是 　　　 ； 第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 　　　 ；直接写出原不等式的正确解集是 　　　　 ； 请你根据平时的学习经验，就解不等式时需要注意的事项给其他同学提出条建议． 126．（23-24七年级下·河北邢台·期末）【问题背景】 嘉洪所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的盲盒作为奖品． 素材1 某商店在无促销活动时，若买15个A款盲盒、10个B款盲盒，共需230元；若买25个A款盲盒、25个B款盲盒，共需450元．    素材2 若该商店开展甲、乙两种促销方案： 甲方案：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知嘉淇在此之前不是该商店的会员）； 乙方案：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮． 【问题解决】 (1)该商店在无促销活动时，求A款盲盒和B款盲盒的销售单价各是多少元？ (2)嘉淇计划在促销期间购买A、B两款盲盒共40个，其中A款盲盒m个，求m在什么范围内时，采用甲方案购买更合算？ 题型二十 一元一次不等式组 127．（24-25七年级下·全国·期末）若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2025 128．（22-23七年级下·河南周口·期末）不等式组的解集在数轴上表示如图，则不等式组的解集是（   ） A． B． C． D． 129．（23-24七年级下·广西百色·期末）若实数k使关于x的不等式组有解且至多有3个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，则满足条件的整数k的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 130．（23-24七年级下·山东烟台·期末）不等式组的整数解是（   ） A．，0 B．，1 C．，0 D．0，1 131．（22-23七年级下·福建厦门·期末）关于的不等式组有且只有两个整数解，若，则符合条件的的所有整数值的和是（　　） A． B． C． D． 132．（23-24七年级下·山东临沂·期末）已知不等式组的解集为，则的值为 ． 133．（22-23七年级下·河南周口·期末）点是第二象限内的一个点，则的取值范围是 ． 134．（22-23七年级下·北京·期末）已知关于x，y，z的方程组满足，若，则S的取值范围是 ． 135．（22-23七年级下·北京海淀·期末）解不等式组：． 136．（24-25七年级上·四川眉山·期末）解不等式组：，将其解集在数轴上表示出来，并写出所有的整数解． 137．（24-25七年级下·全国·期末）如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是______；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值； (3)①解两个方程：和；②是否存在整数，使得方程和都是关于的不等式组的关联方程？若存在，直接写出所有符合条件的整数的值；若不存在，请说明理由． 题型二十一 统计调查 138．（24-25七年级下·全国·期末）某校为了解七年级1000名学生期中语文考试情况，从中抽取了100名学生的语文成绩进行了统计，下面说法正确的有（   ） ①这种调查的方式是抽样调查；    ②1000名学生是总体； ③每名学生的语文成绩是个体；    ④100名学生是总体的一个样本； ⑤样本容量是100． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 139．（24-25七年级下·全国·期末）为保证神舟十九号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，适宜采用 调查．（选填“全面”或“抽样”） 140．（23-24七年级下·全国·期末）某中学随机抽取了部分学生期末数学调研成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： (1)求样本中成绩类别为“中”的人数，并将条形统计图补充完整； (2)该校九年级共有1000人参加了这次考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀？ 141．（23-24七年级下·云南红河·期末）某校为落实“课后延时服务”要求，准备开设课后延时服务项目，为了解全校1500名学生对五门兴趣活动课的选择意向，李老师做了以下工作：①整理数据并绘制统计图：②抽取100名学生作为调查对象；③结合统计图分析数据并得出结论：④收集100名学生对五门课程的选择意向的相关数据． (1)请按数据统计的规律对李老师的工作步骤进行正确排序__________； (2)以上步骤中抽取100名学生最合适的方式是（    ） A．随机抽取七年级的100名学生　B．随机在全校抽取100名男生 C．随机在全校抽取100名女生　D．随机在全校抽取100名学生 (3)请补全条形统计图，并计算“素描”所在扇形的圆心角度数； (4)试估计该校1500名学生中有多少名学生想参加“素描”活动？ 题型二十二 用统计图描述数据 142．（23-24七年级下·北京丰台·期末）“低空经济”是以各种有人驾驶和无人驾驶航空器的各类低空飞行活动为牵引，辐射带动相关领域融合发展的综合性经济形态，作为新质生产力的代表，首次被写入2024年《政府工作条告》．如图，这是某研究院关于低空经济市场规模的统计图： 根据上面统计图中的信息，下列推断错误的是（   ） A．2021至2026年低空经济市场规模逐年上升 B．2023年低空经济市场规模增量最多 C．从2024年开始低空经济市场规模增长率变小 D．2026年低空经济市场规模将突破万亿元 143．（23-24七年级下·全国·期末）一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分成4组，第组的频数分别为13，12，8，则第4组的频率是 ． 144．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）为了考察某种大麦穗长的分布情况，在一块试验田里抽取了100根麦穗，在样本数据中，最大值是，最小值是，如果取组距为0.5，那么可以分成 组． 145．（23-24七年级下·河北沧州·期末）某校有2000学生，想要了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，特进行了抽样调查．现将调查结果用条形图描述如图，则抽取的样本的容量为 ，可推测其中最受全校学生喜爱的节目是 ，若将该统计结果用扇形图来描述，则“动画”对应扇形的圆心角为 ．（填度数） 146．（22-23七年级下·贵州黔南·期末）阅读是人们认识世界、获取信息的重要方法．脑科学研究表明“10-16岁是阅读能力和阅读质量提升的关键期”．某校为提升学生的阅读能力，培养阅读习惯，向全体学生发出了“让读书成为一种习惯”的活动倡议． 收集数据：小明利用如图1所示的调查问卷随机调查了50名同学，得到他们最近一周课外阅读总时间的数据，如下： A  F  B  B  A  C  B  D  B  C D  E  D  A  B  D  A  E  A  B C  B  E  B  C  B  C  A  C  C A  B  C  B  C  A  B  A  E  B A  C  B  B  B  C  D  B  A  A 整理分析：李老师帮他整理了这组数据，并绘制了频数直方图和扇形统计图，如图2、图3所示： (1)请将频数直方图中空缺的部分补充完整；在扇形统计图中，_____；E所对扇形圆心角度数为_____． (2)试说明这组数据的分布特点：_____（写出一条即可） 问题解决： (3)已知该校共有学生3000人，请根据调查数据估计：该校全体学生中最近一周课外阅读总时长不足3小时的有多少人？ 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$