专题01 高一下学期期末真题精选（考题猜想，常考35大题型）（期末复习专项训练）高一数学下学期北师大版

专题01 高一下学期期末真题精选 （考题猜想，常考35大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 任意角与弧度制 · 题型二 三角函数定义 · 题型三 诱导公式化简问题 （易错） · 题型四 三角函数的图象与性质（高频） · 题型五 三角函数图象变化（高频） · 题型六 求三角函数解析式（高频） · 题型七 生活中的三角函数模型 · 题型八 平面向量的概念 · 题型九 平面向量的加减数乘运算 · 题型十 平面向量的数量积（重点） · 题型十一 向量的模（易错） · 题型十二 向量的夹角（易错） · 题型十三 向量的平行垂直关系（高频） · 题型十四 利用正、余弦定理解三角形（难点） · 题型十五 三角形个数问题（难点） · 题型十六 判断三角形形状 · 题型十七 三角形周长定值问题（难点） · 题型十八 三角形面积问题定值问题（难点） · 题型十九 解三角形的实际应用（难点） · 题型二十 ，，知一求二（易错） · 题型二十一 已知,求关于和的齐次式的值（易错） · 题型二十二 利用,与之间的关系求值（易错） · 题型二十三 给值求值（角） · 题型二十四 三角函数综合（选填）（高频） · 题型二十五 三角函数综合（解答）（难点） · 题型二十六 复数的分类（高频） · 题型二十七 复数的模 · 题型二十八 共轭复数（易错） · 题型二十九 复数的四则运算（高频） · 题型三十 平面几何图形的直观图 · 题型三十一 空间几何体的表面积和体积（难点） · 题型三十二 平行，垂直关系综合证明（高频） · 题型三十三 异面直线所成角（易错） · 题型三十四 直线与平面所成角（难点） · 题型三十五 点到平面的距离（难点） 一、任意角与弧度制 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据终边相同的角和象限角的定义计算. 【详解】因为，易知的终边在第二象限， 故角的终边在第二象限. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（    ） A．1 B．2 C．60° D．120° 【答案】B 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】由扇形的面积公式，结合二次函数最值即可求解； 【详解】设半径，， 所以， 则扇形面积为， 当且仅当时取等号，此时，圆心角（弧度）， 故选：B． 3．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据题意设出扇形的弧长、半径和圆心角，通过扇形的面积可求出扇形半径，然后利用弧长公式即得. 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为， 所以扇形的面积为，得， 由， 故选：A. 4．（23-24高一上·山东烟台·期末）若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为 ． 【答案】 【知识点】扇形面积的有关计算 【分析】直接由扇形的面积公式得出即可. 【详解】设扇形的半径为，则由扇形的面积公式可得. 故答案为：3. 5．（23-24高一上·湖北·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ． 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】利用扇形的弧长、面积公式计算即可. 【详解】由题意易知以点为圆心，圆弧所对的扇形面积各为， 中间等边的面积为， 所以莱洛三角形的面积是，周长为， 故面积与周长之比为． 故答案为： 二、三角函数定义 1．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】应用任意角三角函数定义求正弦值和余弦值再计算即可. 【详解】，为坐标原点， 则，， 故. 故选：C. 2．（24-25高一上·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四 【分析】利用三角函数的定义结合诱导公式求解即可. 【详解】角α以为始边，终边经过点， 所以， 所以， 故选：B. 3．（24-25高一上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】利用任意角三角函数的定义求解即可. 【详解】由任意角三角函数定义得，故C正确. 故选：C 4．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 【答案】 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数 【分析】利用三角函数的定义可得出关于实数的等式，解之即可. 【详解】在平面直角坐标系中，角的终边经过点，且， 由三角函数的定义可得，则， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为：. 5．（24-25高一上·北京大兴·期末）如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用三角函数定义即可求得. （2）利用诱导公式化简，再弦化切即可求得结果. 【详解】（1）因为的横坐标为，且圆为单位圆，所以的纵坐标为， 由三角函数定义， （2） 三、诱导公式化简问题 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】根据诱导公式可得解. 【详解】由诱导公式可得， 又， 故选：A. 2．（23-24高三上·北京·期中）化简（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】直接利用诱导公式化简得解. 【详解】. 故选：D. 3．（23-24高一上·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，且. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】由三角函数值求终边上的点或参数、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）由三角函数的定义可建立关系求出； （2）由诱导公式可化简求出. 【详解】解：（1）点到原点的距离为 根据三角函数的概念可得，得，或(舍去). （2）， ， ∴原式. 4．（23-24高一下·江西·开学考试）在平面直角坐标系中，角的终边经过点. (1)求，的值 (2)求的值. 【答案】(1)， (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义即可求解； （2）利用诱导公式化简即可. 【详解】（1）由于角的终边经过点，则，所以，； （2）由诱导公式化简得： 5．（23-24高一上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第二象限的点，且．求下列各式的值． (1)及； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）利用任意角三角函数的定义结合同角三角函数的基本关系求解即可. （2）利用诱导公式结合同角三角函数的基本关系化简求值即可. 【详解】（1）因为点在第二象限，所以， 由三角函数定义可知，解得， 此时，故， 得到，故. （2）原式， . 四、三角函数的图象与性质 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【知识点】五点法画余弦函数的图象 【分析】分别画出与在上的函数图象，根据图象判断即可. 【详解】与在上的函数图象如图所示， 由图象可知，两个函数图象交点的个数为6个. 故选：B. 2．（23-24高一下·江西赣州·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有.当时，恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】函数图象的应用、根据分段函数的值域（最值）求参数、函数奇偶性的应用 【分析】先分析、、时的函数解析式以及值域，再根据函数的倍增性和偶函数图象特征作出函数的图象，结合图象确定出符合条件的的范围即得的最大值. 【详解】当时，,则 即当时，； 当时，， 由题意， , 则 即当时，； 同理，当时，. 又为定义在上的偶函数，其图象关于轴对称，故当时，，如图所示. 当时，恒成立，即，， 而由图象知，，则， 当取最大值时，必有，且， 由时，，可得，则得，或， 由图知应舍去.故当，时，取得最大值. 故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查三角函数图象与性质的综合运用，属于难题.本题以分段函数为媒介，采用数形结合思想，通过数与形的相互转化能使繁难问题得到简化.常见的图象应用的命题角度有：（1）确定方程根的个数；（2）求参数范围；（3）求不等式解集；（4）研究函数性质. 3．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 【答案】ABC 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据图像可知函数的最大值，进而可得，再代入与，进而可得参数值，判断各选项. 【详解】由已知函数的最大值为，即，A选项正确； 即， 又由图像可知函数图像过点，代入可得， 解得或，， 又，所以，B选项正确； 即， 又函数图像过点， 则函数的周期，C选项正确； 所以，则， 所以， 令，， 解得，，D选项错误； 故选：ABC. 4．（多选）（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的值域为 C．若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D．若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 【答案】BC 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】根据是否成立判断A，利用分段函数判断BC，根据正弦函数的单调性画出分段函数的图象，求出的取值范围，再利用对称性判断D. 【详解】因为， 所以， 所以的图象不关于点对称，A说法错误； 当时，，由可得， 当时，，由可得， 综上，B说法正确； 当时，由解得， 当时，由解得， 所以方程在上的前7个实根分别为， 所以，C说法正确； 由解得或， 又因为， 所以根据正弦函数的单调性可得图象如图所示， 所以有4个不同的实根，有2个不同的实根， 所以，解得， 设，则， 所以，所以的取值范围是，D说法错误， 故选：BC 5．（23-24高一下·江西萍乡·期末）已知函数（，）的图象如图所示，则 ；上两点的横坐标分别为，，则 . 【答案】 3 / 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据图中信息结合正弦函数的性质可得，，，从而求得，进而代入可求解空1，利用三角函数的对称性可得，，即可求解. 【详解】由图可知，， 由于，所以， 又由正弦函数的对称性可知，则，故 所以，故， 令，则 令，则 如图：设的一个对称中心为， 由图可知，且，， 故， 故. 故答案为：3，. 五、三角函数图象变化 1．（23-24高一下·江西萍乡·期末）把函数的图象按向量平移后，得到新图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据平移的法则即可求解. 【详解】把函数的图象按向量平移， 即把函数的图象先向左平移个单位后，再向上平移2个单位， 故得到， 故选：A 2．（23-24高一下·江西·期末）已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】C 【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程、求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数平移伸缩变化求解即可. 【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选:C. 3．（多选）（23-24高一下·江西九江·期末）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（） A．最小正周期为 B．值域为 C．图象关于直线对称 D．在上单调递增 【答案】BCD 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、求含cosx的函数的单调性、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系 【分析】先利用三角恒等变换化简，再利用三角形图象变换的性质逆变换求得，从而利用余弦函数的性质逐一分析判断各选项即可得解. 【详解】由已知函数逆向变换. 第一步：向左平移个单位长度， 得到的图象， 第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 即为的图象，. 选项A：最小正周期为故选项A正确. 选项B：的最大值为最小值为故值域为故选项B正确. 选项C：的对称轴为即 当时，图象关于直线对称，故选项C正确. 选项D：当时，， 而在上单调递减，故在单调递增，故选项D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高一下·江西赣州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)将的图象向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】(1); (2). 【知识点】求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】（1）由图可得观察图象周期求得，代入特殊点求得，即得函数解析式，将看成整体角，结合正弦函数的图象即可求得对称中心； （2）利用平移变换和诱导公式可得，求出整体角的范围，结合余弦函数的图象，即可求得函数的值域. 【详解】（1）由图知，设函数的最小正周期周期为,则,则，解得， 又函数图象经过点,故得，，因，解得， 故有，； 由可得，即函数图象的对称中心为. （2）依题意，， 设，当时，， 而在上单调递减，在上单调递增， 故时，，时，即时，； 时，即时，. 故函数在上的值域.为. 5．（23-24高一下·江西景德镇·期末）函数，函数的最小正周期为. (1)求函数的递增区间，对称轴以及对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式化简，再利用最小正周期公式，求得，从而求得的解析式，即可求解； （2）通过图象平移和伸缩变换，可以求得的解析式，然后即可求得在区间上的值域. 【详解】（1） 因为函数的最小正周期为，所以，即 所以， 令，解得 所以的递增区间为， 令，解得， 所以的对称轴为， 令，解得， 所以的对称中心为， （2）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则 ， 因为，所以， 所以， 所以 即函数在区间上的值域为. 七、生活中的三角函数模型 1．（23-24高一下·北京东城·期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质、三角函数在生活中的应用 【分析】依题意可根据圆周运动规律求出动点的纵坐标关于（单位：）的函数，再由整体代换法即可求出单调增区间的表达式. 【详解】根据题意可设， 因为在单位圆上的角速度大小为，起点为射线与的交点， 所以， 所以动点的纵坐标关于（单位：）的函数， 由，得， 又因为， 所以，，， 所以该函数的单调递增区间是，，，. 故选：B 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．    (1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？ (2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 【答案】(1) (2)或 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用、已知函数值求自变量或参数、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）根据题干可设游客距地面的高度与时间的解析式，再代入对应点解方程，进而可得摩天轮运行一周的时间； （2）由已知代入，解方程，解方程即可. 【详解】（1）设游客坐上摩天轮的时间为，不妨设摩天轮逆时针旋转， 则游客距地面的高度， 又摩天轮的半径为，最高点距离底面高度为， 则，，则， 所以， 又当时，， 解得， 则， 又时，， 解得或，， 又运行一周的时间不低于分钟， 即，解得， 即， 所以运行一周所需时间分； （2）由（1）得， 由已知，令， 则或，， 又，则或. 3．（23-24高一下·江西上饶·期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.    (1)求函数的表达式； (2)求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差； (3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时） 【答案】(1) (2)20秒，5秒 (3)13.9 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】（1）求出，根据盛水筒运动的角速度写出秒后盛水筒转过的角度，从而得出函数的解析式； （2）计算第一筒水到达最高位置时第一次取得最大值对应的值，以及相邻两个盛水筒倾倒的时间差； （3）计算完成该稻田的浇灌需倾倒的筒数，再求所需时间即可． 【详解】（1）由已知可得， ∵盛水筒运动的角速度， ∴秒后盛水筒转过的角度为， 此时可得以为终边的角 ∴ （2）当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒）， 相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒）， （3）完成该稻田的浇灌需倾倒筒水， 所需时间为秒，约为13.9小时. 所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌. 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【知识点】五点法画正弦函数的图象、正弦函数图象的应用、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）根据角速度，结合三角函数的定义，即可列式求解； （2）根据（1）的结果，利用“五点法”作图； （3）根据（1）的结果，解不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，设 由，即， ，， 所以 故函数 （2）由知， 根据题意列表如下； 在直角坐标系中描点、连线，作出函数在的简图如图所示；    （3）由（1）知 易知的最小正周期, 根据函数的周期性，取第一圈内的数据进行分析即可， 所以水车旋转一圈，水车上点的纵坐标大于等于时， 则有，且， 所以， 解得， 水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间， 故水车旋转一圈内可以灌溉植物的时间为． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 【答案】(1)米 (2) (3)或 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角函数在生活中的应用 【分析】（1）首先求出旋转的角度，再求出初始高度及旋转上升的高度，即可得解； （2）依题意设，即可得到，，再由周期求出，最后求出即可； （3）令，结合正弦函数的性质计算可得. 【详解】（1）因为旋转一周所需时间分钟，所以旋转分钟转过的角度为， 号座舱（点）离地面的初始高度为米， 又摩天轮的半径为30米，所以逆时针旋转时上升的高度为米， 所以旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离米； （2）依题意1号座舱与地面的距离与时间的函数关系的解析式为（其中）， 依题意可得，，则． 又，， 当时，，又，所以， 所以． （3）令，即，， ，， 或，解得或， 故或时，1号座舱与地面的距离为17米． 八、平面向量的概念 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量、相反向量 【分析】根据向量共线，相等向量、单位向量的概念依次判断各选项即可得答案 【详解】对于①，若，则模相等，方向不一定相同或相反，故错误； 对于②，当时也满足且，故错误； 对于③，当时，满足，但不一定成立； 对于④，起点相同的单位向量，方向不一定相同，则其终点不一定相同，故错误. 故真命题的个数是0个. 故选：A 2．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．向量与的长度相等 B．向量的模可以比较大小 C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0 【答案】C 【知识点】向量的模、平行向量（共线向量）、零向量与单位向量 【分析】了解向量的模的意义即可判断A,B,D选项，非零共线向量方向可相同或相反，即可判断C项. 【详解】对于A项，因向量与是一对相反向量，长度相等，方向相反，故A项正确； 对于B项，因向量的模是向量的长度，是一个非负数，故可以比较大小，故B项正确； 对于C项，共线的单位向量的方向可以相同或相反，故它们可以是一对相反向量，故C项错误； 对于D项，向量的模等于0即说明它是零向量，故D项正确. 故选：C. 3．（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 【答案】ACD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】由方向可判断A，由相等向量概念可判断B，由共线向量的概念可判断C，由且时，可判断D； 【详解】是共线的单位向量，则或，A错误； 向量相等，即大小相等，方向相同，B正确； 若也有可能长度不等，但方向相同或相反，即共线，C错误； 若，不一定存在实数，使得，如且时，命题不成立，D错误． 故选：ACD． 4．（多选）（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，是相反向量，则 B．若，是共线的单位向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 【答案】AC 【知识点】平行向量（共线向量）、相反向量 【分析】利用相反向量、共线向量的概念分析判断各选项得解. 【详解】对于A，若，是相反向量，则，A正确； 对于B，，是共线的单位向量，则或，B错误； 对于C，，即，则向量，共线，C正确 对于D，，点，，，可以不在同一直线上，D错误. 故选：AC 5．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 【答案】AD 【知识点】向量的模、零向量与单位向量、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】利用向量的基本概念，判断各个选项是否正确，从而得出结论. 【详解】根据单位向量的概念可知，单位向量的模都相等且为1，故A正确； 根据共线向量的概念可知，长度不等且方向相反的两个向量是共线向量，故B错误； 向量不能够比较大小，故C错误； 根据相等的向量的概念可知，两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同，故D正确. 故选：AD. 九、平面向量的加减数乘运算 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量加法法则的几何应用、向量减法法则的几何应用 【分析】运用向量加法法则及减法法则计算即可. 【详解】. 故选：D.    2．（23-24高一上·北京丰台·期末）化简后等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】因为， 故选：. 3．（23-24高一上·北京房山·期末）在中，D为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据向量加减法运算法则运算求解即可. 【详解】解：因为中，D为BC的中点, 所以，， 故选：B 4．（24-25高三上·辽宁·期末）在平行四边形中，若，则（    ） A．为的中点 B．为的中点 C．为的中点 D．为的中点 【答案】B 【知识点】向量减法的法则 【分析】利用平面向量的减法运算求解. 【详解】解：因为， 所以， 所以为的中点． 故选：B 5．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）化简 . 【答案】/ 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【分析】根据平面向量的加减法运算即可直接求解. 【详解】由题意知，. 故答案为： 十、平面向量的数量积 1．（24-25高三上·江西·期末）已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、求cosx（型）函数的最值 【分析】取的中点，以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，设，，利用坐标法及余弦函数的性质计算可得. 【详解】由题意得点，，在以为圆心、为半径的圆上，取的中点， 以为坐标原点，过点平行于的直线为轴，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，，设，| 由，故 ， 则，， 则，当且仅当时等号成立. 故选 ：A. 2．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，单位圆与数轴相切于原点，把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数，它对应正半轴上的点，把线段按逆时针方向缠绕到圆上，点对应单位圆上点，这样就得到一个以点为顶点，以为始边，经过逆时针旋转以为终边的圆心角，该角的弧度数为.若扇形面积为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、弧长的有关计算、扇形面积的有关计算 【分析】根据给定条件，利用扇形面积公式及弧长公式求出及，再利用数量积的定义计算即得. 【详解】扇形面积，解得，， 所以. 故选：A 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）如图，在中，，是的中点，设，. (1)试用，表示和； (2)若，与的夹角为60°，求. 【答案】(1)， (2) 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律、平面向量基本定理的应用、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据向量的线性运算，即可求得答案； （2）结合（1）的结果，利用数量积的运算律，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 所以. ， 即； 因为是的中点， 所以， ∴. （2）因为，与的夹角为60°， 所以， 由（1）知，，， 所以 . 4．（23-24高一下·山东青岛·期中）在等腰梯形中，，，，．    (1)若与垂直，求的值； (2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、向量与几何最值 【分析】（1）作出辅助线，得到各边长，并建立平面直角坐标系，得到，根据与垂直，得到方程，求出； （2）设，，则，求出最小值. 【详解】（1）过作于 ， 等腰梯形中易知 ， 又，故可得 ， 如图所示：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，    则， 所以， 故 因为与垂直，所以， 解得； （2）设，，则，， 则， 则， 对，其对称轴， 故其最小值为， 所以的最小值为. 5．（22-23高一下·江西南昌·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.    (1)若，求λ； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【知识点】数量积的运算律、利用平面向量基本定理求参数、向量的线性运算的几何应用、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据题意以为基底向量，根据平面向量基本定理运算求解； （2）由（1）可得，根据几何性质可得，进而结合数量积的定义以及运算律运算求解. 【详解】（1）以为基底向量，则， 因为， 所以， 又因为∥，则存在唯一实数，使得， 即， 可得，解得， 所以实数的值为. （2）由（1）可得 因为∥，则， 可得， 由题意可得：， 则 ， 所以. 十一、向量的模 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）若向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B．2 C．4 D．3 【答案】B 【知识点】已知数量积求模 【分析】根据题意，根据向量的模长公式即可求出结果. 【详解】 ，，两边平方得：， 即， 解得， 故选：B 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）向量在向量上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【知识点】已知数量积求模、求投影向量 【分析】由已知，向量在向量上的投影向量为，得，由，得，可得为等腰三角形，由勾股定理可得. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，则， 所以在中，， 又，则， 所以. 故选：D. 3．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知单位向量，满足，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【知识点】已知数量积求模 【分析】由，将，，，代入即可得. 【详解】因为，是单位向量，所以，，又， 所以. 故选：C. 4．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 【答案】 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】本题根据数量积的定义，结合向量模的运算求解即可. 【详解】因为与的夹角为， 所以， 所以， 又， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知向量夹角为，若对任意，恒有，则函数的最小值为 ． 【答案】 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、用定义求向量的数量积 【分析】由恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解． 【详解】，则有， 整理可得，∵对任意，上式恒成立， ∴； 由题意知，∴，∴． ∴， 所以时，的最小值为． 故答案为：. 十二、向量的夹角 1．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】先利用数量积的坐标公式求出，进而得出的坐标，再利用两向量夹角余弦的坐标公式计算，结合特殊角的三角函数值得出答案； 【详解】， 所以，， ∴， ∵，∴. 故选：C. 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点． (1)若，求的值； (2)若，，求； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】数量积的坐标表示、基本不等式求和的最小值、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律 【分析】(1)根据平面向量基本定理计算即可； (2)根据平面向量基本定理结合三点共线求出向量最后根据数量积求出模长； (3)应用平面向量基本定理表示向量，再应用垂直计算结合基本不等式求出最值即可. 【详解】（1）因为四边形是平行四边形， 所以， 所以所以. （2）因为为中点，四边形为平行四边形， 所以. 因为，所以. 设， 则， ， 因为共线，共线， 所以， 解得， 所以， 因为，， 所以， 所以. （3）因为，， ， 所以  ， 所以， 又因为， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以最小值为. 【点睛】方法点睛：把向量用基底表示，再应用向量的数量积公式计算后结合基本不等式求出最值即可. 3．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，，且． (1)若，求的值； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【知识点】向量夹角的计算、垂直关系的向量表示、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量垂直，列方程，解方程即可； （2）根据向量夹角公式直接计算即可. 【详解】（1）由已知， 则，解得； （2）由已知， 且， 所以. 4．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知平面向量，，，且，． (1)求和； (2)若，，求向量和向量的夹角的大小． 【答案】(1)，； (2)． 【知识点】利用向量垂直求参数、向量夹角的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】（1）由列方程可求出，再由列方程可求出，从而可求出和； （2）先求出向量和向量的坐标，再利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 故，； （2），， 设向量和向量的夹角为， 则， 因为，所以， 即向量和向量的夹角的大小为． 5．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，，向量满足，且. (1)求的坐标； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由向量共线（平行）求参数、数量积的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示、已知向量垂直求参数 【分析】（1）设，表示出的坐标，再根据数量积及平面向量共线的坐标表示得到方程组，解得即可； （2）依题意且与不反向，即可得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）设，则， 又，且， 所以，解得，所以 （2）因为， 因为与的夹角为钝角，所以 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 十三、向量的平行垂直关系 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知向量，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标表示可得答案. 【详解】若，则，解得. 故选：B. 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知向量，若，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】利用坐标法来判断两向量共线即可得到结果. 【详解】由得，， 故选：A. 3．（21-22高三上·江西·期末）已知平面向量， 若， 则实数的值为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 【答案】A 【知识点】数量积的坐标表示、已知向量垂直求参数、数量积的运算律、坐标计算向量的模 【分析】先判断出，利用坐标运算即可求出t. 【详解】若，则若， 平面向量，所以， 所以，解得：. 故选:A. 4．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知平面向量，，满足，则（    ） A．2 B．4 C．17 D．34 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示 【分析】利用平面向量垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题意，因为， 所以， 可得， 解得． 故选：D. 5．（23-24高一下·江西九江·期末）已知向量.若，则的值为 . 【答案】3 【知识点】向量垂直的坐标表示、正、余弦齐次式的计算 【分析】利用平面向量垂直的性质结合同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】，故，. 故答案为：3 十四、利用正、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·北京通州·期末）在三角形中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形 【分析】由得，再由正弦定理计算即可. 【详解】由题意，, 因为，所以, 由正弦定理得, 即， 因为, 所以或. 故选：C. 2．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）在中，，，，则（   ）. A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】在中，，，， 由余弦定理可得： ， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·北京丰台·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，那么 ，若，，则 . 【答案】 3 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】利用正弦定理即可求解，再利用余弦定理即可求. 【详解】，由正弦定理可得， 又，，，， 即，； 由余弦定理可得，即， 解得或（舍）. 故答案为：；3. 4．（24-25高三上·广西·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】应用正弦边角关系及余弦定理求角的大小即可. 【详解】由正弦边角关系，可得， 又，， 所以. 故答案为： 5．（23-24高一下·北京朝阳·期末）在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ． 【答案】5（答案不唯一） 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可. 【详解】在中，，，由正弦定理，得， 由存在且唯一，知或且，解得或，而， 所以的一个取值为5. 故答案为：5 十五、三角形个数问题 1．（23-24高一下·江西萍乡·期末）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理求，结合的范围判断解的个数. 【详解】A：由，则，而，无解； B：由，则，而，有唯一解； C：由，则，而，有两解； D：由，则，而，有两解； 故选：B 2．（2024·江西·二模）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据正弦定理计算可得； 【详解】解：由正弦定理，即，所以， 因为不唯一，即有两解，所以且，即， 所以，所以，即； 故选：A 3．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，内角的对边分别是，满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据正弦定理边角化可得，即可求解A，根据余弦定理，结合即可求解BCD. 【详解】由可得, 对于A, 若，则,A正确， 对于B，若，则，故，故B错误， 对于C，若，，故,则，由于，故，则，C正确， 对于D，若，，则,则，故D错误， 故选：AC 4．（多选）（22-23高一下·江西赣州·期末）在中，内角所对的边分别为，下列根据条件判断三角形解的情况正确的是（    ） A．，无解 B．，有两解 C．，只有一解 D．，只有一解 【答案】CD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【详解】对于，显然有唯一结果，即只有一解，A错误； 对于B，，由正弦定理得，无解，B错误； 对于C，，有，则，由正弦定理得，有唯一解，C正确； 对于，有，则，此时，有唯一解，D正确． 故选：CD． 5．（多选）（23-24高一下·四川·期末）在中，的对边分别是，，，若有两个解，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】BD 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】法一：当时有两个解，即可求出的取值范围，即可判断；法二：由正弦定理得，然后利用正弦函数图象分析可得. 【详解】法一：因为，， 当时有两个解，即，解得， 故符合题意的有B、D. 法二：由正弦定理，所以且， 所以，即，作出正弦函数图象如图． 因为该三角形有两个解，所以，即，故符合题意的有B、D． 故选：BD 十六、判断三角形形状 1．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用正弦定理以及两角和差的正弦公式得到，再求解即可. 【详解】在中，已知 由正弦定理得， 所以即 又，则，则， 所以所以该三角形为等腰三角形. 故选：B. 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角、切化弦，再结合二倍角公式求解即得. 【详解】在中，由及正弦定理得，而， 整理得，即，而， 则，因此或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形. 故选：C 3．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】A 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得，整理可得， 因此，为等腰三角形. 故选：A. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果. 【详解】由，可得， ，， 所以，， 因为，所以，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 5．（23-24高二下·辽宁·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，则这个三角形一定是 三角形． 【答案】等腰 【知识点】正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用余弦定理化角为边，进而可得出答案. 【详解】因为， 由余弦定理得，即，所以， 所以这个三角形一定是等腰三角形. 故答案为：等腰. 十七、三角形周长定值问题 1．（2025·河北沧州·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、由条件等式求正、余弦 【分析】（1）由余弦定理得到，根据同角三角函数关系得到； （2）由三角形面积得到方程，求出，由余弦定理变形得到，求出周长 【详解】（1）由余弦定理可知，. 因为，所以， 即. 由，且， 解得，则. （2）的面积，则. 因为，所以由，可得 ， 则， 故的周长为. 2．（24-25高三上·四川眉山·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值． (3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理边角互化的应用、数量积的运算律 【分析】（1）利用正弦定理将边转化成角，再利用和角的正弦公式求解即可； （2）利用余弦定理结合基本不等式求解即可； （3）利用正弦定理求出，利用余弦定理得到，方法一根据得到，方法二利用向量加法得到，最后求出即可求出周长. 【详解】（1）由正弦定理得：，又， ， 即，又，，， 又，； （2）由余弦定理得，， ， ，当且仅当时等号成立， ， 所以面积最大值为； （3）由正弦定理得，解得，即， 为边上的中点，， 由余弦定理得，即①， 方法一：在中，， 在中，， ，， 即，整理得：②， 由①②得：， ，解得：， 的周长为. 方法二：由向量加法得， ，即②， 由①②得， ，解得， 的周长为. 3．（24-25高三上·安徽·开学考试）在中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若的面积，若，且，求的周长. 【答案】(1) (2)或 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、用和、差角的正弦公式化简、求值、向量在几何中的其他应用 【分析】（1）由正弦定理边化角再结合两角和的正弦公式即可求出，进而求出角. （2）先由三角形面积公式得，再由题意得，两边平方化简后结合即可求出，进而得，从而得解. 【详解】（1）由正弦定理有， 所以， 所以， 又，故， 所以，由于，故. （2）由（1）得， 故，又，且，    所以， 又， 所以， 所以，结合解得或， 当时，， 故，此时三角形周长为； 当时，， 故，此时三角形周长为. 4．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角，再利用和角的正弦求解即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理求解即得. 【详解】（1）在中，由及正弦定理得， 而，则， 由，得，，于是，又， 所以. （2）由，且的面积为，得，即，解得， 由余弦定理得， 所以的周长为. 5．（23-24高一下·山东临沂·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，边上的高为1，求的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用 【分析】（1）对原式使用正弦定理进行边换角，然后结合三角恒等变换进行计算求解； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理列方程组求解. 【详解】（1）由正弦定理，，即， 而， 结合两式可得，， 则，又，则， 故，即， 又，则， 上式化简为，则，故， （2）根据三角形面积公式，可得， 由余弦定理，，即， 于是，故， 于是的周长为 十八、三角形面积问题定值问题 1．（23-24高一下·江西萍乡·期末）的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【知识点】三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形 【分析】先根据正弦定理解出或，再根据三角形内角和定理求出，从而可以由面积公式解得． 【详解】由正弦定理得，即，解得， 是三角形内角，或 当时，，； 当时，． 故选：C． 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】因为，，，利用余弦定理求出，由三角形的面积公式，即可求得. 【详解】由余弦定理，， 代入，，， 得，即， 解得或（舍去）， 则的面积为. 故答案为：. 3．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理求外接圆半径、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用余弦定理求得，再利用正弦定理即可得解. （2）利用三角函数的平方关系与余弦定理求得所需要线段长，再利用正弦定理与三角形面积公式即可得解. 【详解】（1）由余弦定理 ，解得； 又，解得； 外接圆的半径为； （2）因为，为锐角， 则； 设，则， 在中，， 由余弦定理得，解得； 所以； 由正弦定理，即，解得； 所以， 即的面积为. 4．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)设为的中点，求直线的方程； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)8 【知识点】求点到直线的距离、求平面两点间的距离、直线的点斜式方程及辨析、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）先确定中点的坐标，根据两点确定直线的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线方程. （2）法一：确定直线的方程及，利用点到直线的距离求三角形的高，再求三角形面积； 法二：通过判断直线与的关系，可得为直角三角形，利用直角三角形的面积的计算方法求三角形面积. 法三：利用行列式的方法求三角形面积. 【详解】（1）的中点的坐标为.  所以直线的斜率.               所以直线的方程为，即. （2） 法一： 因为,所以直线的方程为，即.    所以点到直线的距离.    因为，                       所以.                 法二： 因为，，                所以. 所以.                                             因为， ，                     所以. 法三：由题意：. 5．（24-25高三上·北京通州·期末）在中，. (1)求； (2)若，边上中线的长为2，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据同角三角函数的商数关系和正弦定理化简可得，进而求出； （2）根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式求出面积. 【详解】（1）因为，由正弦定理得 所以，即， 又因为，所以， 所以，所以. （2） 设中点为，，，则， 即，即， 所以， 所以. 十九、解三角形的实际应用 1．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】先由正弦定理解得，再解直角三角形即可得解. 【详解】由题意， 而，由正弦定理可得，即，解得， 注意到， 从而. 故选：C. 2．（23-24高一下·江西萍乡·期末）如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点，，处测得古树顶点的仰角分别为45°，45°，30°，若米，则该古树的高度为 米. 【答案】28； 【知识点】余弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】设古树高度为，表示出，利用，结合余弦定理列方程求解． 【详解】设古树高度为，则， 由得， 由余弦定理得， 解得，即为28米． 故答案为：28． 3．（23-24高一下·江西赣州·期末）位于水东镇的和谐钟塔是赣州市标志性建筑，高度约为.塔顶测得地面上某两点的俯角分别为和，且，则两点间的距离为 m.（结果保留根号） 【答案】 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】过点作地面的垂线，垂足为，在和中分别求出和，在中，由余弦定理求得. 【详解】    过点作地面的垂线，垂足为，则，， ，，，， ， 在中，由余弦定理，， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一下·北京海淀·期末）一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为 m． 【答案】 【知识点】高度测量问题、余弦定理解三角形 【分析】首先根据几何关系表示边长，再根据余弦定理求解. 【详解】由题意可知，，，，， 设，则，，， 根据， 则，解得： 所以塔尖距离底面的高度为米. 故答案为： 5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 【答案】 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】先在中，利用正弦定理求，在中利用余弦定理求，再在中，利用余弦定理求. 【详解】因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 因为在点测得，的俯角分别为，， 所以，， 在中，已知， 由正弦定理得， 所以； 因为，则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 因为，，故， 在中，由余弦定理得：， 故， 所以 故答案为：. 二十、，，知一求二 1．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】根据同角基本关系式可以求得. 【详解】因为是第三象限角，且， 所以， 所以， 故选：B. 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）若，则 . 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】根据同角三角函数关系式，结合齐次式可得解. 【详解】由已知， 故答案为：. 3．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知弦（切）求切（弦） 【分析】利用正切定义以及同角三角函数关系式即可求解. 【详解】由题知，， 又，所以， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末）如图，点是角终边上一点． (1)求，，； (2)化简并求值． 【答案】(1)，， (2)， 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）运用三角函数定义计算即可；（2）运用诱导公式化简，结合同角三角函数关系式计算即可. 【详解】（1）由已知点是角终边上一点，得， 则，所以，； （2）. 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 【答案】（1） ；（2） 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）利用三角函数定义求出正弦和余弦值，从而得到答案； （2）齐次化变形求出，从而得到，代入求值，即得答案. 【详解】（1）由三角函数定义可知 ， 所以； （2），故， 则. 二十一、已知,求关于和的齐次式的值 1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的商数关系求解即可. 【详解】由题意若，则，不符合题意， 所以， 即，解得， 故选：D 2．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1)； (2). 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）应用平方关系作“1”的代换，化为含正余弦的齐次式，再由弦化切求值； （2）由题设，进而得到，再应用平方关系得到齐次式，最后由弦化切求值. 【详解】（1）； （2）因为，可得， 所以，则， 因为， 所以. 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知弦（切）求切（弦） 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）分子、分母同时除以进行弦化切，代入即可求解. 【详解】（1）由题知：角的终边经过点， ∴由三角函数的定义可知. （2）由（1）可知：， . 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】（1）应用诱导公式化简求解； （2）根据已知得出，应用齐次式弦化切计算得，计算求解. 【详解】（1） （2）由（1）知， 则， 则， 故． 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——诱导公式、指数型函数图象过定点问题、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据指数函数的性质求出定点坐标，再根据三角函数的定义求出，最后利用诱导公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，代入计算可得； （2）根据同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】（1）对于函数（且）， 令，解得，所以， 所以函数过定点坐标是，即， 所以，所以，，， 所以 ； （2） . 二十二、利用,与之间的关系求值 1．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】直接利用同角三角函数的关系式的变换求出结果． 【详解】因为， 平方得，又 故， 则． 故选：B. 2．（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先根据已知条件求出的值，再结合的取值范围判断与的正负及大小关系，进而求出的值. 【详解】因为， 所以，又，所以， 则，. 故选：D. 3．（多选）（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】由，将等式两边平方可得，可判断；继而利用求得，结合选项即可逐一求解. 【详解】∵, ， 等式两边平方得 ， 解得 ∵，， ∴,A错误， 由可知， ， 且 ， 解得， 联立可得，，进而可得，故BD正确，C错误 故选：BD 4．（2024·广东潮州·二模）已知，，则 ． 【答案】/1.4/ 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 【分析】先对两边平方得到，从而求出，结合，求出. 【详解】，得， ， 因为，所以， 故． 故答案为： 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）利用诱导公式化简，然后结合同角三角函数关系式即可得到结果. （2）由，且，得出，代入即可得到结果. 【详解】（1）， ， ， . （2）， ， ， ， ， . 二十三、给值求值（角） 1．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 【答案】B 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系式得到、，再用凑角求解. 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故选：B 2．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用同角三角函数的关系求出，而，则利用两角差的余弦公式化简即可 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以， 所以 ， 故选：B 3．（23-24高一上·北京东城·期末）已知，若，则的值为 ，的值为 ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用诱导公式求解第一空，依据给定角度范围结合同角三角函数的基本关系得到，再利用两角和的正弦公式求解第二空即可. 【详解】由诱导公式得， 因为，所以，则， 由同角三角函数的基本关系得， 解得，则， 由两角和的正弦公式得， 故答案为：； 4．（23-24高一上·北京·期末）已知，，，为锐角，则的值是 ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦 【分析】利用平方关系求出及，又，利用两角差的正弦公式即可求解. 【详解】因为均为锐角，所以， 又，， 所以，， 所以. 故答案为：. 5．（23-24高一下·江西·期末）回答下列两题: (1)若的终边经过点，求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】（1）根据三角函数的定义求，再根据两角和的正切公式，即可求解； （2）首先求，再根据角的变换，以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1）因为的终边经过点， 所以 所以； （2）因为，，且， 所以为锐角，， 所以 . 二十四、三角函数综合（选填） 1．（23-24高二下·江西萍乡·期末）当时，曲线与的交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、求零点的和、已知三角函数值求角 【分析】由得，求出，根据的范围求出的值，再求和. 【详解】由得，解得，或， 当时，，或，而， 所以， 当时，， 所以， 则. 故选：B. 2．（多选）（24-25高三上·江西南昌·期末）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．在上单调递减 D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 【答案】ABD 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式 【分析】根据条件可得，即可判断出选项A的正误，对于B，直接求出的对称中心，即可求解；对于C，根据条件，求得，利用图象与性质，即可求解；对于，利用三角函数图象的平移变换，直接求出结果，即可求解. 【详解】因为， 又的最小正周期为，所以，得到，所以选项A正确， 对于选项B，因为，由，得到， 所以的对称中心为，当时，对称中心为，所以选项B正确， 对于选项C，当时，，且 所以由图象与性质知，在上不单调，故选项C错误， 对于选项D，将的图象上所有的点向左平移个单位长度，得到，所以选项D正确， 故选：ABD. 3．（多选）（23-24高一上·江西鹰潭·期末）函数（）的图象如图所示，则有（    ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 【答案】BD 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】利用辅助角公式化简，把点代入，求出，利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】依题意，， 由时，取最大值， 得，，解得，， 而，解得，，的最小正周期为，A错误； 是偶函数，B正确； 的图像关于对称，C错误； ，，当时，， 依题意，，解得，D正确. 故选：BD. 4．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，分别是函数图象的最高点和最低点，记，则下列结论正确的是（    ）    A．函数的单调递增区间为， B．函数的对称中心为， C． D． 【答案】ABD 【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求cosx型三角函数的单调性、已知两角的正、余弦，求和、差角的正切 【分析】利用图象求出一个零点，代入函数中求解C，利用整体代入法求解A，B，求出点的坐标，进而得到，最后再利用两角差的正切公式求解即可. 【详解】设的周期为，由题意得， 结合图象得该函数的一个零点为，代入函数中， 得到，而，解得(其它根舍去)，故C错误， 此时，该函数即为，令， 可得，解得， 故，结合，故，， 即函数的单调递增区间为，，故A正确， 令，故，解得，， 即函数的对称中心为，，故B正确， 当时，，故， 当时，，故， 如图，作轴，轴，    在中，由锐角三角函数定义知， 故，，在中， 由锐角三角函数定义知，故， 而，故，可得， 故， ，故D正确. 故选：ABD 5．（23-24高一下·江西·期末）已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】利用三角函数的性质得到参数间的关系，进行消参，然后分类讨论参数范围，求解即可. 【详解】由知， ， 此时， 当时，， 只需，得，又； 当时， 成立，适合； 当时，，要使， 只需， 综上知， 故，则实数的取值范围是. 故答案为： 二十五、三角函数综合（解答） 1．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值. (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由正切（型）函数的值域（最值）求参数、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】（1）化简，然后利用周期的公式计算； （2）根据得到，然后利用同角三角函数基本关系和和差公式计算； （3）将对于任意均有恒成立转化为于任意均有恒成立，然后利用函数单调性求最值即可得到的取值范围. 【详解】（1）解：由 可得函数的最小正周期. （2）因为，， 所以. 因为，所以， 所以， 所以 . （3）由（1）知，函数， 可得asinasin， 因为对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 即对于任意均有恒成立， 又因为， 因为，可得， 又因为单调递增且大于0，可得在上单调递减， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 2．（23-24高一下·江西抚州·期末）已知函数． (1)求对称中心和单调递增区间； (2)求在区间上的最值及相应的值． 【答案】(1)对称中心，，增区间为 (2)当时，；当时， 【知识点】求cosx（型）函数的最值、三角恒等变换的化简问题、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】（1）根据二倍角和辅助角化简，然后由余弦函数的对称性和单调性求解可得； （2）利用换元法，根据余弦函数的性质可得. 【详解】（1）∵ ， 由得， ∴的对称中心，， 由得， ∴的增区间为. （2）令，则， ∵，∴， 当，即时，， 当，即时，∴． 3．（23-24高一下·江西鹰潭·期末）设a为常数，函数 (1)设，求函数的单调区间及周期T； (2)若函数为偶函数，令，此函数的值域． 【答案】(1)单调减区间为，， (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由奇偶性求参数、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得，结合正弦函数性质即可求得答案； （2）根据函数的奇偶性求得a的值，结合余弦函数性质可求得答案. 【详解】（1）因为，所以， 令，解得， 即函数的单调增区间为； 令，解得， 函数的单调减区间为 函数的周期为. （2）函数为偶函数， 则，即， 即， 由于，则，故， 则，由于，故． 4．（24-25高一上·北京·期末）已知函数. (1)若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若函数在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，再由周期公式求解； （2）求出的范围，由函数值域及余弦函数的性质可知，即可得解. 【详解】（1） ， 若的两条相邻对称轴之间的距离为，则最小正周期，由得. （2）由（1）知， 由函数在上的值域为可得在上的值域为， 当时，， 因为，所以，可得， 所以的取值范围为. 5．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知函数. (1)若，当时，求的最大值和最小值及相应的； (2)若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间. 【答案】(1)最大值，，最小值，. (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性、利用正弦函数的对称性求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由，倍角公式和辅助角公式可得，在结合可得； （2）先根据题意得到，由可得其单调递增区间. 【详解】（1） ， 当时，， 由，可得， 当时，取最大值，此时， 当时，取最小值，此时. （2）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，且，所以， 由，得， 的单调递增区间为. 二十六、复数的分类 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）若复数为纯虚数，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据题意得出 ，即可求出结果. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得， 则，，所以. 故选：D 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数乘法法则求出，因为乘积为纯虚数，所以且，即可求得结果. 【详解】因为，所以且，解得 故选：C 3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得. 故选：B. 4．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【知识点】已知复数的类型求参数、复数的除法运算、求复数的实部与虚部、共轭复数的概念及计算 【分析】依题设，且，由是实数，推理化简，求出，即可求出复数，即得的虚部. 【详解】依题意，设，且， 则， 因是实数，故，解得， 则，，故的虚部是2. 故选：D. 5．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知复数和都是纯虚数，则 ． 【答案】 【知识点】复数代数形式的乘法运算、复数的分类及辨析 【分析】结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解． 【详解】解：设， 为纯虚数， 则，解得， 故． 故答案为：． 二十七、复数的模 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解. 【详解】依题意，，则， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）若复数，则（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】利用求出复数，再根据模长公式即可求解. 【详解】复数,所以. 故选：C 3．（23-24高二上·江西·期末）若复数， （i是虚数单位），则  （    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数的乘除运算即可化简得，再求其模. 【详解】， 则． 故选：D. 4．（23-24高三上·江西·期末）已知复数z满足，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】求出，再求可得答案. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C. 5．（24-25高三上·江西·期末）若复数，则= 【答案】 【知识点】求复数的模、复数的乘方、复数的除法运算 【分析】应用复数除法求复数，再由复数乘方运算及模长求法求结果. 【详解】由， 所以，故. 故答案为： 二十八、共轭复数 1．（24-25高二上·江西赣州·期末）复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、求复数的模 【分析】根据复数模的计算以及复数的除法运算求出复数z，根据复数的共轭复数的概念，即得答案. 【详解】由，可得， 故, 则的共轭复数， 故选：C 2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的除法运算、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】利用复数的四则运算化简复数，再求其共轭复数即得. 【详解】由， ∴，即的虚部为． 故选：D. 3．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数加减法的代数运算 【分析】利用复数的四则运算及共轭复数的定义计算即可. 【详解】由，所以，故. 故选：B 4．（23-24高一下·江西赣州·期末）设复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】根据复数四则运算法则计算即可； 【详解】 . 故选：B. 5．（23-24高一下·江西吉安·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可得到其共轭复数. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 二十九、复数的四则运算 1．（23-24高二下·江西萍乡·期末）设复数，则的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】A 【知识点】复数的乘方、复数的除法运算 【分析】根据复数的乘方化简复数，从而得到其共轭复数，再判断其虚部. 【详解】由题意，, 所以, 所以的虚部为. 故选：A. 2．（23-24高一下·江西·期末）已知复数z在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算、复数的坐标表示、复数代数形式的乘法运算 【分析】由题意写出复数的代数形式，代入所求式，运用复数的四则运算计算即得. 【详解】依题意，，则. 故选：A. 3．（23-24高一下·江西九江·期末）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的除法进行化简，再利用复数的几何意义找到所在象限； 【详解】在复平面内对应的点在第四象限， 故选：D. 4．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【知识点】共轭复数的概念及计算、判断复数对应的点所在的象限、复数代数形式的乘法运算 【分析】根据复数乘法可得，再结合共轭复数以及复数的几何意义分析判断. 【详解】由题意可得：，则， 所以在复平面内的共轭复数对应的点位，位于第一象限. 故选：A. 5．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 【答案】ACD 【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、复数代数形式的乘法运算、共轭复数的概念及计算 【分析】先利用复数除法化简复数，再根据复数的实部、共轭复数、模和乘法运算计算判断各个选项； 【详解】， 对于A，的虚部为，故A正确； 对于B，的共轭复数为，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 三十、平面几何图形的直观图 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算 【分析】求出矩形的面积，再利用斜二测画法中直观图面积与原图形面积的关系求得答案. 【详解】依题意，矩形的面积， 而斜二测画法中直观图面积是原图形面积的， 所以的面积为. 故选：D 2．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形、斜二测法画平面图形的直观图 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】根据直观图运用斜二测画法，还原原图即可解决. 【详解】因为，由直观图可知，， 所以还原平面图形中，， 在中，，则三角形的周长为． 故选：D． 4．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 【答案】6 【知识点】由直观图还原几何图形、斜二测画法中有关量的计算 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 5．（24-25高二上·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、斜二测画法中有关量的计算、由直观图还原几何图形 【分析】方法一：先求出的直观图的面积，再代入即得； 方法二：根据的直观图作出的平面图，再求其面积即可. 【详解】方法一：由图知的直观图的面积为：， 则的面积为：. 方法二：根据的直观图作出的平面图为： 其中：，且， 则. 故答案为：. 三十一、空间几何体的表面积和体积 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】台体体积的有关计算 【分析】根据题意先求圆台的高，利用圆台体积公式计算，借助于混凝土密度即可求得圆台石墩的质量. 【详解】 由题意可得，，，因此该圆台石墩的高为， 故该圆台形石墩的体积约为， 故该圆台石墩的质量约为 故选：A 2．（23-24高一下·江西·期末）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为2的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】由轴截面先求出底面圆半径，再由圆锥的侧面积公式求解. 【详解】    由题意可得该圆锥的母线长，底面圆半径， 所以该圆锥的侧面积为. 故选：B. 3．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 【答案】 【知识点】圆锥表面积的有关计算、圆锥中截面的有关计算 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算． 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形， 则圆锥的母线长，底面半径， 所以圆锥表面积为． 故答案为：． 4．（23-24高一下·江西抚州·期末）四面体中，，，，则该四面体的体积 ． 【答案】8 【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算 【分析】把四面体放置在一个长方体中，列方程组求得长方体的长、宽、高，进而求得四面体的体积. 【详解】如图所示，把四面体放置在一个如图所示的长方体中， 设长方体的长、宽和高分别为， 可得，解得，所以长方体的体积为， 又由， 所以四面体的体积为. 故答案为：.    5．（23-24高一下·江西宜春·期末）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 【答案】12 【知识点】棱柱表面积的有关计算 【分析】由题可知小正方体的棱长为，从而得到原来正方体以及个全等的小正方体的表面积，由此可得到答案. 【详解】由题意可知：正方体的表面积为，且小正方体的棱长为， 则小正方体的表面积为：. 所以27个全等的小正方体的表面积为， 所以表面积增加了． 故答案为：12. 三十二、平行，垂直关系综合证明 1．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，正三棱柱中，是的中点，．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）连接，设，证明，即可证明平面； （2）先证明平面，再利用等积变换，结合锥体体积公式可求三棱锥的体积． 【详解】（1）连接，设，连接， 是正三棱柱，且， ∴四边形是正方形，是的中点， 又是的中点，， 平面平面平面．    （2）∵正三棱柱中，是的中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 平面，   ． 2．（23-24高一下·江西·期末）如图，已知菱形的边长为4，，平面，，E，F分别为BC，CD的中点，AC交EF于点G. (1)求证：平面平面； (2)求点B到平面PEF的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面垂直、求点面距离、锥体体积的有关计算、证明面面垂直 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可得证； （2）由体积相等，分别计算和，代入计算即得. 【详解】（1）因E，F分别为BC，CD的中点，则， 又四边形是菱形，则， 故，因平面，平面，故， 又平面，故平面， 因平面，故平面平面. （2） 如图，连接，设点B到平面PEF的距离为. 在菱形中，，则， 的面积为， 因，则，， 故的面积为， 由可得，，解得， 即点B到平面PEF的距离为. 3．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，已知正四棱台，侧棱. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明面面垂直 【分析】（1）合理作出辅助线，利用线面平行的判定定理证明即可. （2）依据题意得到四边形为棱形，再结合面面垂直的判定定理求解即可. 【详解】（1） 如图，连接，设，连接 由正四棱台，知 四边形为平行四边形 ，又平面平面， 平面. （2）连接，同理可得四边形为平行四边形.. 又四边形为棱形， 由正四棱台，知平面， 又平面 又平面平面 又平面平面平面 4．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F． (1)求证：平面； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）连接交于点,根据底面为菱形，因为为的重心，所以在上，可得，结合，根据线段成比例可得，所以平面. （2）因为，所以平面,可得平面,，结合底面为菱形得所以平面,推得. 【详解】（1）如图所示，连接交于点, 底面为菱形，所以为的中点， 因为为的重心，所以在上，且，可得 ，在中根据线段成比例可得， 又因为平面平面， 所以平面. （2）由（1）可知，，因为点E在底面的投影恰好为的重心F．所以平面,可得平面, 因为平面，所以 因为底面为菱形，所以 因为是平面内两条相交直线，所以平面, 因为平面,所以. 5．（23-24高一下·北京延庆·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个，使得平面，并证明. 条件①：； 条件②：； 条件③：三棱锥的体积为. 注：如果选择条件不能使平面得零分. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、证明线面平行、面面垂直证线面垂直 【分析】（1）取的中点为，连接，，则利用三角形的中位线定理结合棱柱的性 质可证得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由面面垂直的性质可证得平面，再由线面垂直的性质可证得结论； （3）若选①，则无法判断，若选②，则由已知条件结合（1）可得，则得，再结合可证得结论；若选③，则由三棱锥的体积可求得，则，再结合可证得结论. 【详解】（1）取的中点为，连接，， 为的中点，所以， 由三棱柱可得四边形为平行四边形， 为的中点，所以， 所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 平面，平面， 故平面.    （2）因为侧面为正方形，故， 而平面，平面平面， 平面平面，故平面， 因为平平面，所以. （3）若选①，则， 因为侧面为正方形，， 所以，则， 所以与不垂直， 假设平面，又平面，则，矛盾，故①不能选；    选②，四边形是平行四边形，且， 因为，所以， 在三棱柱中，侧面为正方形，，的中点为， 为的中点，所以，则， 所以，故，所以 因为平面， 因为，，平面，故平面 选③，因为平面， 所以三棱锥的体积 ， 因为，所以， 平面， 因为，，平面， 故 6．（23-24高一下·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、证明面面垂直 【分析】（1）如图，连结，交于点，连结，则是的中位线，则，可得平面； （2）由平面，得，又可得平面； （3）由（2）知平面，得，由已知得，则得平面，又平面，可得平面平面. 【详解】（1） 如图，连结，交于点，连结， 因为底面为正方形，所以是中点，又为线段上的中点， 所以是的中位线， 所以， 又平面，平面， 所以直线平面. （2）因为底面为正方形，所以， 又平面，平面，所以， ，，平面， 所以平面. （3）由（2）知平面，平面，所以， 因为为线段的中点，，底面为正方形， 所以，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 7．（23-24高一下·北京西城·期末）如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)存在， 【知识点】证明线面平行、求点面距离、证明线面垂直 【分析】（1）先证明平面，得到，联合，可证； （2）运用等体积法可解； （3）取中点，连接.在上取点，使得，连接. 证明即可证明平面，即找出了满足题意的点. 【详解】（1）如图所示， 根据题意，，且平面， 则平面，平面，则.又已知. ，平面，则平面. （2）如图所示，连接.设点到平面的距离． 由翻折前状态，可知. 由（1）知道，，则，则． 由（1）知道，，. 由平面.等体积法知道. 即. 代入化简得到，则，则点到平面的距离. （3）存在，. 如图所示，取中点，连接.在上取点，使得，连接. 由于点为线段的中点，则，. 又．则，，则四边形为平行四边形． 则，平面，平面，则平面. 此时． 8．（23-24高一下·北京西城·期末）如图，在三棱柱中，点分别为的中点． (1)求证：平面； (2)已知，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题： 条件①：； 条件②：； 条件③：． （i）求证：； （ii）求三棱锥的体积． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)(i)选条件②③或者①③，证明见解析；（ii）体积为 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、锥体体积的有关计算 【分析】（1）根据线线平行，即可根据线面平行的判定求证， （2）根据三棱柱唯一可选择②③或者①③，即可证明三棱柱为直三棱柱，即可根据线线垂直证明线面垂直求证，根据三棱锥的体积公式即可求证. 【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，， 则且，在三棱柱中，且， 又为的中点，所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）若选条件①②： 由可得四边形为矩形，底面三角形形状不确定，此时三棱柱不唯一； 若选条件②③： 由，，平面，故平面， 又，故，所以，故三棱柱唯一，符合要求， 由于平面，平面，则， 又，平面， 故平面，平面，故, 若选条件①③： 由可得四边形为矩形， 又，故， 所以，故三棱柱唯一，符合要求， 由于平面，平面，则， 又，平面， 故平面，平面，故， 9．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【知识点】补全线面垂直的条件、证明面面垂直、证明线面垂直 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理可得证； （2）过点M作垂足为F，根据线面垂直的判定可证平面BMN，然后根据平面几何知识求出，进而求出即可得. 【详解】（1）因为平面平面ABC，平面，，平面平面ABC， 所以平面ABC，平面ABC，所以， 又，，所以, 又，所以， 所以，又，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以平面平面PAB （2） 存在，当时，平面BMN， 过点M作垂足为F， 由（1）知平面ABC，平面ABC，所以， 又点M为AC的中点，， 所以，，是平面内的两条相交直线， 所以平面，又平面， 所以，，是平面BMN内的两条相交直线， 所以平面BMN， 由已知得，又， 即，又， 所以，所以， 故当时，平面BMN， 10．（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2． (1)求证：； (2)若M是线段上的点，平面与线段交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使点M唯一确定，并解答问题． （ⅰ）求证：为的中点； （ⅱ）求证：平面． 条件①； 条件②； 条件③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析； (2)选择条件，答案见解析. 【知识点】证明线面平行、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面垂直的判定、性质推理即得. （2）选择条件①③，利用线面平行的判定、性质推理得（ⅰ）；利用线面垂直的判定推理得（ⅱ）. 【详解】（1）在中，由，得， 由，分别为，的中点，得，则， 因此，而平面， 则平面，又平面， 所以. （2）选条件①：， （i）由，平面平面，得平面， 又平面，平面平面，因此，则， 而，所以，即为的中点. （ii）因为，由（i）得，则， 由（1）得，又平面， 所以平面. 选条件③：，由，得， （i）由，平面平面，得平面， 又平面，平面平面，因此，则， 而，所以，即为的中点. （ii）因为，由（i）得，则， 由（1）得，又平面， 所以平面. 条件②，， 由（1）可得平面，则过直线的平面与平面相交，所得交线均与平行， 给定条件为上述交线，因此这样的点M不唯一确定. 三十三、异面直线所成角 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）在正方体中，则异面直线与的所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】利用异面直线夹角的定义求出角的大小. 【详解】在正方体中，， 因此是异面直线与的所成角或其补角， 在等腰中，， 所以异面直线与的所成角为. 故选：B 2．（23-24高二下·江西九江·期末）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 【分析】平行移动与相交构成三角形，指明或其补角就是异面直线与所成的角，在三角形中由余弦定理解出即可. 【详解】 如图连接，因为为正四棱柱， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，则或其补角就是异面直线与所成的角， 设，则，，， 由余弦定理得：. 故选：A. 3．（20243·江西抚州·模拟预测）在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角、线面垂直证明线线垂直、证明线面垂直 【分析】取AC的中点F，连结BF，EF，根据等边三角形的性质得到，然后利用勾股定理和线面垂直的判定和性质进而得到即可求解. 【详解】如图，取AC的中点F，连结BF，EF，因为△ACE为等边三角形，E是CD中点， 所以ED，所以， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得，因为，所以AC=2. 因为，所以AD⊥平面ABC，平面ABC，所以， 又，所以BC⊥平面ABD，平面ABD，所以. 在Rt△ABC中，，所以.所以. 又△ACE为等边三角形，所以，因为， 所以AC⊥平面BEF，平面BEF，所以，则直线AC与BE所成角为. 故选：C． 4．（23-24高三上·江西·开学考试）如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】作出异面直线与所成的角，并求得角的大小. 【详解】如图，在正方体中，连接，，，， 由于分别是的中点，所以， 同理可证得，所以为异面直线与所成的角或其补角. 由于，即为等边三角形，所以. 故选：C    5．（23-24高一下·江西南昌·期末）在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为 . 【答案】 【知识点】求异面直线所成的角 【分析】连接，证明，则或其补角即为异面直线，所成角的平面角，再解即可. 【详解】如图，连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形，所以， 则或其补角即为异面直线，所成角的平面角， 在中，， 由余弦定理得， 即异面直线，所成的角的余弦值为. 故答案为：.    三十四、直线与平面所成角 1．（23-24高一下·浙江·期中）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3). 【知识点】证明线面平行、求线面角、求异面直线所成的角 【分析】（1）利用线线平行证明线面平行即得； （2）利用平移得到与所成角为，解三角形即得； （3）连接，过作于点，先证平面，再证平面，即得直线与平面所成角，结合即可求得. 【详解】（1） 如图，连接交于点， 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，且平面， 所以平面. （2）因，且，易得， 则有，由（1）得，故与所成角为（或其补角）. 因为，所以， 即与所成角的大小为. （3）连接，过作于点. 因为平面，且平面， 所以，又且， 所以平面. 因为平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成角为（或其补角）. 因为正方体的边长为1，所以，， 所以. 【点睛】思路点睛：解决异面直线的夹角问题，大多通过平移将两直线集中到一个三角形中，利用三角函数定义或正弦定理，余弦定理求解；对于线面所成角，一般需要作出并证明直线在平面上的射影，借助于直角三角形求解. 2．（23-24高一下·北京顺义·期末）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)写出直线与平面所成角的正弦值（只需写出结论）． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】证明线面平行、求线面角、证明线面垂直 【分析】（1）利用线面平行的判定，结合正方体的结构特征推理即得. （2）利用线面垂直的判定推理即得. （3）取的中点，确定线面角，借助直角三角形求出线面角的正弦. 【详解】（1）在正方体中，， 则四边形是平行四边形，有，而平面，平面， 所以平面. （2）在正方体中，四边形为正方形，则， 而平面，平面，则，又平面， 所以平面. （3）取的中点，连接，是正方形边中点，则， 而平面，于是平面，是直线与平面所成的角， 令，则，，又，， 所以直线与平面所成角的正弦值. 3．（23-24高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【知识点】证明线面平行、求线面角 【分析】（1）结合相似三角形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据线面角的定义找出直线与平面所成角，即可求解. 【详解】（1）连接，交于点，连接，如图所示. 因为，易得，所以， 又，，所以， 又平面平面，所以平面； （2）取中点，连接交于点，连接， 则，且，所以四边形是平行四边形， 为中点，.因为平面， 所以直线是直线在平面内的射影， 所以是直线与平面所成的角， 即为直线与平面所成角的平面角. 如图所示，过点作，垂足为，连接， 因为，所以,易得， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以，所以， 在直角中，由平面平面，则，解得， 所以.所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 4．（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． (1)求证：E，F，B，D四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)证明过程见解析 (3) 【知识点】面面平行证明线线平行、求线面角、锥体体积的有关计算、空间中的点（线）共面问题 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形为平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； （3）设正方体的棱长为2，由等体积法求出点到平面的距离，从而利用得到答案. 【详解】（1）连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形， 故， 所以， 故E，F，B，D四点共面； （2）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； （3）设直线与平面所成角的大小为，点到平面的距离为，正方体的棱长为2， 则， 由勾股定理得， 故， 其中， 因为， 所以， 故， 所以直线与平面所成角的正弦值为 5．（24-25高三上·山东滨州·期末）在四棱锥中，平面，底面为矩形，，与平面所成角的正切值． (1)求的长； (2)已知是棱上一点，且点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的大小． 【答案】(1)2 (2)． 【知识点】证明线面垂直、求线面角、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）先证明平面，推得即为直线与平面所成角，设，利用条件列出方程，求出的值即可； （2）方法1：取边上一点，连接，，，设，利用求得，取的中点，作，垂足为，连接，证明即为二面角的平面角，计算即得；方法2：以为坐标原点，建系如图，设，（），利用点到平面的空间向量计算公式求得，分别写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用夹角公式计算即得. 【详解】（1）因平面，且平面，故． 又因为四边形为矩形，所以， 由，平面，平面，可得平面， 故是在平面内的射影，则即为直线与平面所成角， 设，则，由勾股定理得，， 则在中，， 解得即． （2）方法1： 取边上一点，连接，，，设， 因为，面， ， 在中，，则， 因点到平面的距离为，故， 由可得：，解得，所以． 取的中点，作，垂足为，连接． 因为，所以， 又面，面，则， 又因平面，则平面， 又平面，所以， 又，平面，故平面， 又平面，所以，则即为二面角的平面角． 在中，， 因易得，则， 由，可得， 故平面与平面的夹角的大小为． 三十五、点到平面的距离 1．（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【知识点】证明面面垂直、求点面距离 【分析】根据题意，取中点，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面平面，则点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，即可得到结果. 【详解】 取中点，连接， 因为与都是边长为2的等边三角形， 所以，， 且，平面， 所以平面，且平面，所以平面平面， 所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离， 过点做，所以点P到直线的距离即为， 又，且，所以为等边三角形， 所以， 即点P到平面ABC的距离为. 故选：C 2．（23-24高二上·北京延庆·期末）正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求点面距离 【分析】根据等体积法可知，然后计算出，结合三棱锥体积公式则点到平面的距离可求. 【详解】设点到平面的距离为， 因为，所以， 又因为，， 所以，所以， 故选：B. 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【知识点】求点面距离、证明线面平行、锥体体积的有关计算 【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形，即得，由线面平行的判定定理，即可证明结论； （2）结合题意可知点到平面的距离等于点到平面的距离，利用等体积法即可求得答案. 【详解】（1）证明：如图取中点，连接，， 因为为中点，所以，且， 又因为四边形为菱形，且为中点， 所以，且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面； （2）设到平面的距离为， 因为，平面，平面，所以平面， 点到平面的距离等于点到平面的距离， ∵，，底面为菱形，为正三角形， 底面，底面，故, 得，，所以， 所以， 所以，所以， 所以到平面的距离为. 4．（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【知识点】证明线面平行、证明线面垂直、求点面距离、证明面面垂直 【分析】（1）令，由三角形中位线性质，线面平行的判定推理即得. （2）利用线面垂直、面面垂直的判定推理即得. （3）过作于，由（2）的结论，结合面面垂直的性质推理计算即得. 【详解】（1）在长方体中，令，则为中点，连接， 由为的中点，得，而平面，平面， 所以平面. （2）由平面，平面，得， 矩形中，，则矩形为正方形，， 而平面，则平面，又平面， 所以平面平面. （3）在中，过作于，由平面平面，平面平面， 平面，因此平面，显然，， 在中，， 所以点到平面的距离为. 5．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】证明线面平行、求点面距离 【分析】（1）要证明线面平行，通常可以通过构造线线平行，利用线面平行的判定定理来证明.（2）求点到平面的距离，可以利用等体积法来求解. 【详解】（1）    取的中点，连接. 因为是的中点，是的中点，所以在中， 根据三角形中位线定理，，且. 已知底面是直角梯形，，，，所以，且. 由此可得，且，所以四边形是平行四边形. 那么. 又因为平面，平面， 根据线面平行的判定定理，所以平面. （2）因为平面，平面,所以. 在直角梯形中，，， 根据勾股定理可得. 又，，， 所以，则. 因为平面，平面，所以，又，所以平面. 因为是的中点，所以点到平面的距离是点到平面距离的一半. 计算，，则. 设点到平面的距离为，，. 由，即，解得. 所以点到平面的距离. $$专题01 高一下学期期末真题精选 （考题猜想，常考35大题型） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 任意角与弧度制 · 题型二 三角函数定义 · 题型三 诱导公式化简问题 （易错） · 题型四 三角函数的图象与性质（高频） · 题型五 三角函数图象变化（高频） · 题型六 求三角函数解析式（高频） · 题型七 生活中的三角函数模型 · 题型八 平面向量的概念 · 题型九 平面向量的加减数乘运算 · 题型十 平面向量的数量积（重点） · 题型十一 向量的模（易错） · 题型十二 向量的夹角（易错） · 题型十三 向量的平行垂直关系（高频） · 题型十四 利用正、余弦定理解三角形（难点） · 题型十五 三角形个数问题（难点） · 题型十六 判断三角形形状 · 题型十七 三角形周长定值问题（难点） · 题型十八 三角形面积问题定值问题（难点） · 题型十九 解三角形的实际应用（难点） · 题型二十 ，，知一求二（易错） · 题型二十一 已知,求关于和的齐次式的值（易错） · 题型二十二 利用,与之间的关系求值（易错） · 题型二十三 给值求值（角） · 题型二十四 三角函数综合（选填）（高频） · 题型二十五 三角函数综合（解答）（难点） · 题型二十六 复数的分类（高频） · 题型二十七 复数的模 · 题型二十八 共轭复数（易错） · 题型二十九 复数的四则运算（高频） · 题型三十 平面几何图形的直观图 · 题型三十一 空间几何体的表面积和体积（难点） · 题型三十二 平行，垂直关系综合证明（高频） · 题型三十三 异面直线所成角（易错） · 题型三十四 直线与平面所成角（难点） · 题型三十五 点到平面的距离（难点） 一、任意角与弧度制 1．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）的终边在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知扇形的周长为4，当扇形面积最大时，圆心角（    ） A．1 B．2 C．60° D．120° 3．（23-24高一上·江西宜春·期末）已知扇形的面积为4，圆心角为2弧度，则此扇形的弧长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（23-24高一上·山东烟台·期末）若圆心角为的扇形的面积为，则该扇形的半径为 ． 5．（23-24高一上·湖北·期末）以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形弧就是勒洛三角形．如图，已知中间正三角形的边长为2，则该勒洛三角形的面积与周长之比为 ． 二、三角函数定义 1．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）若角的终边经过点（），则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，角α以为始边，终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，已知角的终边经过点，且，则等于 5．（24-25高一上·北京大兴·期末）如图，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，且的横坐标为，在第二象限． (1)求的值； (2)求的值． 三、诱导公式化简问题 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·北京·期中）化简（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高一上·江西南昌·期末）若角的终边上有一点，且. （1）求的值； （2）求的值. 4．（23-24高一下·江西·开学考试）在平面直角坐标系中，角的终边经过点. (1)求，的值 (2)求的值. 5．（23-24高一上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，终边经过第二象限的点，且．求下列各式的值． (1)及； (2)； 四、三角函数的图象与性质 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（23-24高一下·江西赣州·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，对任意总有.当时，恒成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．的最小正周期为 D．曲线关于直线对称 4．（多选）（2024·江西吉安·模拟预测）已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的值域为 C．若方程在上有6个不同的实根，则实数的取值范围是 D．若方程在上有6个不同的实根，则的取值范围是 5．（23-24高一下·江西萍乡·期末）已知函数（，）的图象如图所示，则 ；上两点的横坐标分别为，，则 . 五、三角函数图象变化 1．（23-24高一下·江西萍乡·期末）把函数的图象按向量平移后，得到新图象的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西·期末）已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 3．（多选）（23-24高一下·江西九江·期末）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（） A．最小正周期为 B．值域为 C．图象关于直线对称 D．在上单调递增 4．（23-24高一下·江西赣州·期末）已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式及对称中心； (2)将的图象向右平移个单位后得到的图象，求函数在上的值域. 5．（23-24高一下·江西景德镇·期末）函数，函数的最小正周期为. (1)求函数的递增区间，对称轴以及对称中心； (2)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上的所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在区间上的值域. 七、生活中的三角函数模型 1．（23-24高一下·北京东城·期末）如图，质点在以坐标原点为圆心，半径为1的圆上逆时针作匀速圆周运动，的角速度大小为，起点为射线与的交点．则当时，动点的纵坐标关于（单位：）的函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，某公园里的摩天轮的旋转半径为米，最高点距离地面米，某游客在最低点的位置坐上摩天轮，此时摩天轮开始运行，运行一周的时间不低于分钟，在运行到分钟时，他距地面大约米．    (1)摩天轮运行一周约需要多少分钟？ (2)该公园规定每次游玩摩天轮只能运行一周，则该游客距地面大约77.5米时，摩天轮运行的时间是多少分钟？ 3．（23-24高一下·江西上饶·期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.    (1)求函数的表达式； (2)求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差； (3)若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时） 4．（24-25高一上·云南昭通·期末）如图是半径为的水车截面图，在它的边缘圆周上有一定点，按逆时针方向以角速度每秒绕圆心转动作圆周运动，已知点的初始位置为，且的纵坐标为，设点的纵坐标是转动时间单位：的函数记为    (1)求函数的解析式； (2)选用恰当的方法作出函数，的简图； (3)当水车上点的纵坐标大于等于时，水车可以灌溉植物，则水车旋转一圈内有多长时间可以灌溉植物？ 5．（24-25高一上·浙江杭州·期末）某游乐场的摩天轮示意图如图，已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为分钟．在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1~12（可视为点），在旋转过程中，座舱与地面的距离h与时间t的函数关系基本符合正弦函数模型即（其中），现从图示位置，即1号座舱（可视为A点）位于圆周最右端时开始计时，旋转时间为t分钟．    (1)求旋转分钟后号座舱（点）离地面的距离； (2)求1号座舱（点）与地面的距离与时间的函数关系的解析式（写出定义域）； (3)在前24分钟内，求1号座舱（点）与地面的距离为17米时的值． 八、平面向量的概念 1．（23-24高一下·新疆乌鲁木齐·期末）下列命题： ①若，则或 ②的充要条件是且 ③若，，则； ④起点相同的单位向量，终点必相同 其中，真命题的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）下列说法错误的是（    ） A．向量与的长度相等 B．向量的模可以比较大小 C．共线的单位向量都相等 D．只有零向量的模等于0 3．（多选）（24-25高一上·辽宁朝阳·期末）下列关于平面向量的说法错误的是（   ） A．若是共线的单位向量，则 B．若，则 C．若，则不是共线向量 D．若，则一定存在实数，使得 4．（多选）（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）下列关于平面向量的说法正确的是（    ） A．若，是相反向量，则 B．若，是共线的单位向量，则 C．若，则向量，共线 D．若，则点，，，必在同一条直线上 5．（多选）（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）下列命题中正确的是（    ） A．单位向量的模都相等 B．长度不等且方向相反的两个向量不一定是共线向量 C．方向相同的两个向量，向量的模越大，则向量越大 D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 九、平面向量的加减数乘运算 1．（23-24高一下·北京怀柔·期末）化简的结果等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·北京丰台·期末）化简后等于（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京房山·期末）在中，D为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·辽宁·期末）在平行四边形中，若，则（    ） A．为的中点 B．为的中点 C．为的中点 D．为的中点 5．（23-24高一下·安徽芜湖·期中）化简 . 十、平面向量的数量积 1．（24-25高三上·江西·期末）已知是边长为的正三角形，点满足， ，则的最大值为（   ） A．4 B． C．2 D． 2．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，单位圆与数轴相切于原点，把数轴看成一个“皮尺”，对于任意一个正数，它对应正半轴上的点，把线段按逆时针方向缠绕到圆上，点对应单位圆上点，这样就得到一个以点为顶点，以为始边，经过逆时针旋转以为终边的圆心角，该角的弧度数为.若扇形面积为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）如图，在中，，是的中点，设，. (1)试用，表示和； (2)若，与的夹角为60°，求. 4．（23-24高一下·山东青岛·期中）在等腰梯形中，，，，．    (1)若与垂直，求的值； (2)若为边上的动点(不包括端点），求的最小值． 5．（22-23高一下·江西南昌·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为CD，BC的中点，BE与AC，AF分别相交于M，N两点.    (1)若，求λ； (2)若，求. 十一、向量的模 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）若向量，的夹角为，且，，则（    ） A． B．2 C．4 D．3 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）向量在向量上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知单位向量，满足，则（   ） A． B．3 C． D．4 4．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知向量满足，且与的夹角为，则 . 5．（23-24高一下·浙江台州·期中）已知向量夹角为，若对任意，恒有，则函数的最小值为 ． 十二、向量的夹角 1．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知平面向量，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AD的中点，，BE与AC，AF分别相交于M，N两点． (1)若，求的值； (2)若，，求； (3)若，求的最小值． 3．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知，，且． (1)若，求的值； (2)求与夹角的余弦值． 4．（23-24高一下·甘肃天水·阶段练习）已知平面向量，，，且，． (1)求和； (2)若，，求向量和向量的夹角的大小． 5．（23-24高一下·河南濮阳·阶段练习）已知向量，，向量满足，且. (1)求的坐标； (2)若与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 十三、向量的平行垂直关系 1．（23-24高一下·江西南昌·期末）已知向量，若，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知向量，若，则（    ） A．2 B．-2 C． D． 3．（21-22高三上·江西·期末）已知平面向量， 若， 则实数的值为（    ） A．10 B．8 C．5 D．3 4．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知平面向量，，满足，则（    ） A．2 B．4 C．17 D．34 5．（23-24高一下·江西九江·期末）已知向量.若，则的值为 . 十四、利用正、余弦定理解三角形 1．（23-24高一下·北京通州·期末）在三角形中，角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高三上·内蒙古通辽·期末）在中，，，，则（   ）. A． B． C． D．3 3．（23-24高一下·北京丰台·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，那么 ，若，，则 . 4．（24-25高三上·广西·期末）在中，角，，的对边分别为，，，，则 . 5．（23-24高一下·北京朝阳·期末）在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ． 十五、三角形个数问题 1．（23-24高一下·江西萍乡·期末）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江西·二模）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，内角的对边分别是，满足，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（多选）（22-23高一下·江西赣州·期末）在中，内角所对的边分别为，下列根据条件判断三角形解的情况正确的是（    ） A．，无解 B．，有两解 C．，只有一解 D．，只有一解 5．（多选）（23-24高一下·四川·期末）在中，的对边分别是，，，若有两个解，则的值可以为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 十六、判断三角形形状 1．（23-24高一下·安徽宿州·期中）在中，内角的对边分别为若满足，则该三角形为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定 2．（23-24高一下·广东广州·期中）在中，角A、B、C所对的边为a、b、c若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（24-25高一下·北京丰台·期中）在中，，则的形状一定为（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 4．（24-25高一下·江苏无锡·期中）已知的内角所对的边分别为，若，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 5．（23-24高二下·辽宁·开学考试）在中，内角的对边分别为，且，则这个三角形一定是 三角形． 十七、三角形周长定值问题 1．（2025·河北沧州·模拟预测）的内角的对边分别为，已知. (1)求的值； (2)若的面积为，求的周长. 2．（24-25高三上·四川眉山·期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值． (3)如图，若外接圆半径为，为的中点，且，求的周长. 3．（24-25高三上·安徽·开学考试）在中，角的对边分别为. (1)求角； (2)若的面积，若，且，求的周长. 4．（23-24高一下·陕西西安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，已知． (1)求角B的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 5．（23-24高一下·山东临沂·期末）已知分别为三个内角的对边，且． (1)求； (2)若，边上的高为1，求的周长． 十八、三角形面积问题定值问题 1．（23-24高一下·江西萍乡·期末）的内角，，所对的边分别为，，，，，，则的面积为（    ） A． B． C．或 D． 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ． 3．（23-24高一下·江西宜春·期末）在中，为上一点，，，. (1)若，求外接圆的半径； (2)若，为锐角，求面积. 4．（24-25高二上·北京昌平·期末）已知的三个顶点的坐标分别为，，． (1)设为的中点，求直线的方程； (2)求的面积． 5．（24-25高三上·北京通州·期末）在中，. (1)求； (2)若，边上中线的长为2，求的面积. 十九、解三角形的实际应用 1．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上（即）．行驶300m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D相对公路所在平面的高度（    ）. A． B．100m C． D． 2．（23-24高一下·江西萍乡·期末）如图，莲花县荷塘乡重阳木古树已有800年左右的历史，该古树枝繁叶茂，以优美的形状挺立在文塘村，几百年来历经风霜守护村民繁衍生息.小明为了测量该古树高度，在古树旁水平地面上共线的三点，，处测得古树顶点的仰角分别为45°，45°，30°，若米，则该古树的高度为 米. 3．（23-24高一下·江西赣州·期末）位于水东镇的和谐钟塔是赣州市标志性建筑，高度约为.塔顶测得地面上某两点的俯角分别为和，且，则两点间的距离为 m.（结果保留根号） 4．（23-24高一下·北京海淀·期末）一名学生想测算某风景区山顶上古塔的塔尖距离地面的高度，由于山崖下河流的阻碍，他只能在河岸边制定如下测算方案：他在河岸边设置了共线的三个观测点A，B，C（如图），相邻两观测点之间的距离为200m，并用测角仪器测得各观测点与塔尖的仰角分别为,,,根据以上数据，该学生得到塔尖距离地面的高度为 m． 5．（24-25高三上·山东潍坊·期末）如图，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内．在点测得，的俯角分别为，，在点测得，的俯角分别为，，且，则 ． 二十、，，知一求二 1．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知是第三象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西上饶·期末）若，则 . 3．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知，则 ． 4．（24-25高一上·安徽亳州·期末）如图，点是角终边上一点． (1)求，，； (2)化简并求值． 5．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）（1）已知角的终边经过点，求； （2）已知，求． 二十一、已知,求关于和的齐次式的值 1．（24-25高三上·江西宜春·期末）已知，则（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高一上·山东烟台·期末）已知． (1)求的值； (2)的值． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上. (1)求的值； (2)求的值. 4．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数． (1)化简； (2)若，求的值． 5．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点． (1)求的值； (2)求的值． 二十二、利用,与之间的关系求值 1．（23-24高一下·江西上饶·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江西萍乡·一模）已知，，则（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·广东潮州·二模）已知，，则 ． 5．（24-25高一上·江苏南京·期末）已知. (1)若，求的值； (2)若，且，求的值. 二十三、给值求值（角） 1．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知为三角形的两个内角，，则=（  ） A．30° B．60° C．120° D．150° 2．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知角，，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·北京东城·期末）已知，若，则的值为 ，的值为 ． 4．（23-24高一上·北京·期末）已知，，，为锐角，则的值是 ． 5．（23-24高一下·江西·期末）回答下列两题: (1)若的终边经过点，求的值； (2)若，且，求的值. 二十四、三角函数综合（选填） 1．（23-24高二下·江西萍乡·期末）当时，曲线与的交点的横坐标分别为，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·江西南昌·期末）已知函数的最小正周期为，则（   ） A． B．点是图象的一个对称中心 C．在上单调递减 D．将的图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象 3．（多选）（23-24高一上·江西鹰潭·期末）函数（）的图象如图所示，则有（    ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于直线对称 D．若（）在上有且仅有两个零点，则 4．（多选）（23-24高一下·江西南昌·期末）已知函数的部分图象如图所示，分别是函数图象的最高点和最低点，记，则下列结论正确的是（    ）    A．函数的单调递增区间为， B．函数的对称中心为， C． D． 5．（23-24高一下·江西·期末）已知函数的图象过点和且当时，恒成立，则实数的取值范围是 . 二十五、三角函数综合（解答） 1．（23-24高一下·江西宜春·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)若，求的值. (3)若对于任意均有恒成立，求的取值范围. 2．（23-24高一下·江西抚州·期末）已知函数． (1)求对称中心和单调递增区间； (2)求在区间上的最值及相应的值． 3．（23-24高一下·江西鹰潭·期末）设a为常数，函数 (1)设，求函数的单调区间及周期T； (2)若函数为偶函数，令，此函数的值域． 4．（24-25高一上·北京·期末）已知函数. (1)若函数的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若函数在上的值域为，求的取值范围. 5．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知函数. (1)若，当时，求的最大值和最小值及相应的； (2)若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间. 二十六、复数的分类 1．（24-25高三上·江西赣州·期末）若复数为纯虚数，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知复数，，若复数为纯虚数，则实数的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 3．（24-25高三上·吉林松原·期末）已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 4．（24-25高三上·山东滨州·期末）已知复数是纯虚数，若是实数，则的虚部是（   ） A． B． C． D．2 5．（23-24高一下·北京丰台·期末）已知复数和都是纯虚数，则 ． 二十七、复数的模 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）已知，则（    ） A． B．2 C．1 D． 2．（23-24高一下·江西南昌·期末）若复数，则（    ） A．2 B． C． D．1 3．（23-24高二上·江西·期末）若复数， （i是虚数单位），则  （    ） A．2 B． C． D． 4．（23-24高三上·江西·期末）已知复数z满足，则（    ） A．3 B．2 C． D．1 5．（24-25高三上·江西·期末）若复数，则= 二十八、共轭复数 1．（24-25高二上·江西赣州·期末）复数满足，则的共轭复数（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 3．（23-24高三上·江西赣州·期末）若复数z满足，则（    ） A． B．2 C． D． 4．（23-24高一下·江西赣州·期末）设复数（i为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西吉安·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 二十九、复数的四则运算 1．（23-24高二下·江西萍乡·期末）设复数，则的虚部为（    ） A．1 B．-1 C． D． 2．（23-24高一下·江西·期末）已知复数z在复平面内对应点的坐标为，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西九江·期末）复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知为虚数单位，，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）已知复数（为虚数单位），则（    ） A．的虚部为 B．的共轭复数为 C． D． 三十、平面几何图形的直观图 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，那么的面积为（    ） A．4 B． C．8 D． 2．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）如图，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原三角形的周长是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 5．（24-25高二上·上海·期末）已知的直观图恰好是直角边长为1的等腰直角三角形，，那么的面积为 ． 三十一、空间几何体的表面积和体积 1．（24-25高三上·江西吉安·期末）某小区大门口前有一圆台形状的人工喷泉石墩，经测量该石墩的上下底面半径和母线长分别为，，（单位：m），且该石墩所用材料混凝土的密度约为， 则该圆台石墩的质量约为（取3）（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·江西·期末）若一个圆锥的轴截面是一个腰长为，底边上的高为2的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江西宜春·期末）底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为 ． 4．（23-24高一下·江西抚州·期末）四面体中，，，，则该四面体的体积 ． 5．（23-24高一下·江西宜春·期末）将一个棱长为的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 三十二、平行，垂直关系综合证明 1．（23-24高一下·江西宜春·期末）如图，正三棱柱中，是的中点，．    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 2．（23-24高一下·江西·期末）如图，已知菱形的边长为4，，平面，，E，F分别为BC，CD的中点，AC交EF于点G. (1)求证：平面平面； (2)求点B到平面PEF的距离. 3．（23-24高一下·江西九江·期末）如图，已知正四棱台，侧棱. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 4．（23-24高一下·江西南昌·期末）如图，四棱锥，底面为菱形，，点E在底面的投影恰好为的重心F． (1)求证：平面； (2)求证：． 5．（23-24高一下·北京延庆·期末）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点    (1)求证：平面； (2)求证：； (3)从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个，使得平面，并证明. 条件①：； 条件②：； 条件③：三棱锥的体积为. 注：如果选择条件不能使平面得零分. 6．（23-24高一下·北京延庆·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求证：平面平面. 7．（23-24高一下·北京西城·期末）如图（1），在Rt中，分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图（2）． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)点为线段的中点，线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 8．（23-24高一下·北京西城·期末）如图，在三棱柱中，点分别为的中点． (1)求证：平面； (2)已知，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得三棱柱唯一确定，并求解下列问题： 条件①：； 条件②：； 条件③：． （i）求证：； （ii）求三棱锥的体积． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 9．（23-24高一下·北京房山·期末）如图，在三棱锥中，平面平面ABC，，，，点M为AC的中点． (1)求证：平面平面PAB； (2)线段PC上是否存在点N，使得平面BMN?若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 10．（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图1，在中，，，，，分别为，的中点．将沿折起到的位置，得到四棱锥，如图2． (1)求证：； (2)若M是线段上的点，平面与线段交于点N．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．使点M唯一确定，并解答问题． （ⅰ）求证：为的中点； （ⅱ）求证：平面． 条件①； 条件②； 条件③． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 三十三、异面直线所成角 1．（24-25高二上·江西景德镇·期末）在正方体中，则异面直线与的所成角为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·江西九江·期末）如图，在正四棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（20243·江西抚州·模拟预测）在四面体ABCD中，，E为CD的中点，△ACE为等边三角形，则异面直线AC与BE所成角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·江西·开学考试）如图，在正方体中，，，，分别为，，，的中点，则异面直线与所成的角为（    ）    A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江西南昌·期末）在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为 . 三十四、直线与平面所成角 1．（23-24高一下·浙江·期中）如图，正方体的棱长为1，，分别为，的中点. (1)证明：平面. (2)求异面直线与所成角的大小. (3)求直线与平面所成角的正切值. 2．（23-24高一下·北京顺义·期末）如图，在正方体中，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)写出直线与平面所成角的正弦值（只需写出结论）． 3．（23-24高一下·北京·期末）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，是棱上的一点. (1)若，求证：平面； (2)若平面，且，求直线与平面所成角的正弦值. 4．（23-24高一下·北京大兴·期末）如图，正方体中，N，E，F分别是的中点． (1)求证：E，F，B，D四点共面； (2)设平面与平面交于直线，求证：； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 5．（24-25高三上·山东滨州·期末）在四棱锥中，平面，底面为矩形，，与平面所成角的正切值． (1)求的长； (2)已知是棱上一点，且点到平面的距离为，求平面与平面的夹角的大小． 三十五、点到平面的距离 1．（24-25高三上·北京丰台·期末）如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（   ） A．1 B． C． D． 2．（23-24高二上·北京延庆·期末）正方体的棱长为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西鹰潭·期末）如图，在四棱锥中，底面为菱形，，底面，，，，分别是，，的中点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 4．（23-24高一下·北京朝阳·期末）如图，在长方体中，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 5．（24-25高三上·宁夏银川·期末）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，平面，是的中点，．    (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离． $$