高一数学下学期期末考前必刷押题卷02（范围：人教A版2019必修第二册 提高卷）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（人教A版2019必修第二册）

高一数学下学期期末考前必刷押题卷02 （范围：人教A版2019第二册 提高卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 2．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（   ） A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036 3．2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 4．已知圆锥的顶点为V，母线，所成角的余弦值为，VA与圆锥底面所成的角为，若圆锥的侧面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 5．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 6．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 7．已知是边长为的正八边形上及其内部的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 10．如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至点，得到四棱锥为的中点，则（   ） A．平面 B．的长为定值 C．四棱锥体积的最大值为 D．直线与平面所成角的最大值为 11．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组： 乙组： 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第百分位数是 B．乙组数据的众数是 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为 D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 ． 13．已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为 ． 14．在等边三角形的边上各取一点，满足，，则三角形的面积的最大值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 16．（15分） 某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生、女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：cm）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18. (1)如果已知男、女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差； (2)如果已知男、女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，比较与，与的大小关系. 17．（15分） 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求边上高的最大值． 18．（17分） 在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． (1)求CM的长度； (2)若，求的值； (3)求的最小值，并求此时的余弦值． 19．（17分） 在平行四边形中，，，E为的中点．将沿翻折至，其中P为动点，连接与． (1)求证：当时，平面平面； (2)当时，求二面角的正弦值； (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学下学期期末考前必刷押题卷02 （范围：人教A版2019第二册 提高卷） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】由复数的除法，根据模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以． 故选：D. 2．4名射手独立地射击，假设每人中靶的概率都是0.6，则4人都没中靶的概率为（   ） A．0.256 B．0.016 C．0.0256 D．0.036 【答案】C 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式 【分析】根据对立事件和相互独立事件的概率公式即可求解. 【详解】每人中靶的概率都是0.6， 由对立事件的概率公式得：每人不中靶的概率都是， 故由相互独立事件的概率公式可得：4人都没中靶的概率为. 故选：C. 3．2025年春节期间国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》的爆火，引起人们对中国动漫产业的关注.某传媒公司为了了解中国动漫市场受众群体的年龄（单位：岁）占比情况，调查了某电影院某天观看动漫系列电影的观众的年龄情况，并按照，，，，，分组，得到如下频率分布表： 年龄分组 频率 0.03 0.25 0.50 0.18 0.03 0.01 根据该表，估计中国动漫市场受众群体年龄的中位数为（    ） A．36.6 B．34.2 C．32.4 D．30.2 【答案】C 【知识点】根据频率分布表解决实际问题 【分析】先求出中位数落在内，设中位数为，从而得到方程，求出答案. 【详解】，， 故中位数落在内， 设中国动漫市场受众群体年龄的中位数为，则， 解得. 故选：C. 4．已知圆锥的顶点为V，母线，所成角的余弦值为，VA与圆锥底面所成的角为，若圆锥的侧面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形面积公式及其应用、圆锥表面积的有关计算 【分析】设圆锥的底面半径为，母线长为，得到，根据侧面积得到方程，求出，求出母线，所成角的正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为VA与圆锥底面所成的角为，所以，即， 又圆锥的侧面积为，故，所以， 即，解得， 设母线，所成角的大小为，则，故， 所以的面积为. 故选：B 5．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，根据下面四名同学的统计结果，可以判断出所有数据一定都不小于20的同学人数是（   ） 甲同学：中位数为22，众数为20 乙同学：中位数为25，平均数为22 丙同学：第40百分位数为22，极差为2 丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】利用中位数、众数、平均数百分位数及方差的意义逐项分析判断. 【详解】甲同学的5个数据的中位数为22，众数为20，则数据中必有20，20，22，余下两个数据都大于22， 且不相等，所有数据一定都不小于20； 乙同学的5个数据的中位数为25，平均数为22，当5个数据为17，18，25，25，25时， 符合题意，而有小于20的数，不满足所有数据一定都不小于20； 丙同学的5个数据的第40百分位数为22，极差为2，则5个数据由小到大排列后第二和第三个 数只可能是22，22或21，23，由极差为2知，所有数据一定都不小于20； 丁同学的5个数据中有一个数据为30，平均数为24，设其余4个数据依次为， 则方差 ，若中有小于20的数， ，不符合题意，因此均不小于20，5个数21，21，24，24，30可满足条件， 所以可以判断所有数据一定都不小于20的同学为甲、丙、丁三位同学. 故选：C 6．甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响，两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击.约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的乘法公式 【分析】首先要明确前4次中甲恰好射击3次的所有可能情况，然后根据每次射击命中与否相互独立这一条件，利用独立事件概率的乘法公式来计算每种情况的概率，最后将所有情况的概率相加得到最终结果. 【详解】前4次中甲恰好射击3次有三种情况： 第一种情况：第一次甲命中，第二次乙命中，第三次甲没命中，第四次甲射击. 第二种情况：第一次甲没命中，第二次甲没命中，第三次甲命中，第四次乙射击 . 第三种情况：第一次甲没命中，第二次甲命中，第三次乙命中，第四次甲射击 . 甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为与， 则甲、乙两人每次射击没有命中目标的概率分别为与. 计算第一种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第二种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算第三种情况的概率: 根据独立事件概率的乘法公式，这种情况的概率为. 计算前4次中甲恰好射击3次的总概率: 将三种情况的概率相加得，前4次中甲恰好射击3次的概率为. 故选：B. 7．已知是边长为的正八边形上及其内部的一点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】平面向量数量积的几何意义、向量与几何最值、用定义求向量的数量积 【分析】先求出正八边形内角的大小，根据数量的几何意义，将问题转化为求解的最值，结合图形可得取得最值时点的位置，最后结合平面几何知识求得结果. 【详解】易知正八边形的每个内角为， 设与的夹角为，则， 所以当最大时，取得最大值，当最小时，取得最小值. 如图，过点作垂直的延长线于点，过点作垂直的延长线于点， 可知当在线段上时，取得最大值，，此时. 当在线段上时，取得最小值，此时，此时. 故的取值范围为， 故选：A. 8．在四棱锥中，侧面底面ABCD，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是边长为的正方形，则该四棱锥外接球表面积为（   ） A．5π B．10π C．28π D．56π 【答案】D 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、面面垂直证线面垂直 【分析】运用面面垂直的性质证得平面，平面，再结合正弦定理求得三角形外接圆的半径及勾股定理求得四棱锥外接球的半径，进而求得其表面积. 【详解】如图所示， 连接AC、BD交于一点，取AD中点E，连接、， 所以由题意知，，，为正方形ABCD外接圆的圆心， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 同理：平面， 设等边的外接圆的圆心为，过作的平行线交过作的平行线于点O， 则平面，平面， 所以O为四棱锥外接球的球心，半径为， 在等边中由正弦定理得，解得：， 又因为， 所以， 所以四棱锥外接球表面积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在中，根据下列条件解三角形，其中有唯一解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】BC 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数、余弦定理解三角形 【分析】根据正弦定理，余弦定理，逐一分析选项，即可得答案. 【详解】对于A：，则，故三角形有2个解，故A错误； 对于B：三角形三边确定，三角形唯一，故B 正确； 对于C：由余弦定理得， 所以，解得或（舍）， 所以能唯一确定三角形，故C正确； 对于D：由余弦定理得， 所以，，方程无解，所以无法构成三角形，故D错误； 故选：BC. 10．如图，矩形中，为的中点，将沿翻折至点，得到四棱锥为的中点，则（   ） A．平面 B．的长为定值 C．四棱锥体积的最大值为 D．直线与平面所成角的最大值为 【答案】AB 【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面平行、求线面角 【分析】取中点，连接，利用线面平行的判定推理判断AB；求出点到平面距离的最大值，结合锥体体积及线面角的求法判断CD. 【详解】对于A，取中点，连接，由是的中点，得， ，则四边形为平行四边形，，平面， 平面，因此平面，A正确； 对于B，由选项A知，，B正确； 对于C，点到直线的距离为斜边上的高，则， 四边形的面积，当平面平面时， 点到平面的距离最大为，四棱锥体积的最大值，C错误； 对于D，，则直线与平面所成角等于与平面所成角， 点到平面距离的最大值为，而， 则直线与平面所成角的正弦值最大值为，D错误. 故选：AB 11．甲，乙两个体育社团小组成员的某次立定跳远成绩（单位：厘米）如下： 甲组： 乙组： 则下列说法正确的是（    ） A．甲组数据的第百分位数是 B．乙组数据的众数是 C．从甲、乙两组各随机选取一个成员，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为 D．乙组中存在这样的成员，将其调派到甲组后，甲、乙两组的跳远平均成绩都降低 【答案】BCD 【知识点】计算几个数的众数、计算几个数的平均数、独立事件的乘法公式、总体百分位数的估计 【分析】利用总体百分位数的估计判断A，利用众数的特征判断B，分别设出事件，表示概率，结合独立事件的概率公式判断C，求出两个组的平均数后判断D即可. 【详解】对于A，由题意得甲组数据共有个数字， 而，则第百分位数是第个数和第个数的平均数， 为，故A错误， 对于B，我们发现出现了次，其它数据只出现了次， 则乙组数据的众数是，故B正确， 对于C，甲组中跳远成绩在厘米以上的有7人，其概率为， 乙组中跳远成绩在厘米以上的有人，其概率为， 而从甲，乙两组各随机选取一个成员，设从甲组抽取为事件， 从乙组抽取为事件，两人跳远成绩均在厘米以上的概率为， 得到，，而相互独立， 由独立事件概率公式得，故C正确； 对于D，甲组的平均成绩为厘米， 乙组的平均成绩为厘米， 则将乙组中跳远成绩为厘米或厘米或厘米的成员调派到甲组后， 甲，乙两组的跳远平均成绩都有降低，故D正确. 故选：BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，则 ． 【答案】 【知识点】共轭复数的概念及计算、复数的除法运算 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数，可得， 所以. 故答案为： 13．已知9名学生在某次知识竞赛中成绩的平均值为80，方差为20，则这9名学生成绩的中位数的最大值为 ． 【答案】84 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、计算几个数的中位数、计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】将9个数据按由小到大分成前4后5两段，利用分层抽样的平均数、方差公式列式并建立不等关系求解. 【详解】设这9名学生成绩从低到高依次为，即， 则9名学生成绩的中位数为，设的平均值为m，方差为S，的平均值为n，方差为T， 依题意，，则， 因此， 当且仅当时取等号，即，整理得， 解得，即当，且时，， 此时n，也就是的最大值为84，则当时，9名学生成绩的中位数的最大值为84. 故答案为：84. 14．在等边三角形的边上各取一点，满足，，则三角形的面积的最大值是 . 【答案】/. 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】中，由余弦定理得，从而得，，设，用正弦定理表示出，求出的最大值后可计算出三角形面积的最大值． 【详解】 中，由余弦定理得， 所以，所以，从而 设，则，，， 在中，由正弦定理得，得， 中，由正弦定理得，， ，其中，取为锐角， 所以的最大值为，当时取得最大值， 而． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 黄山雄踞风景秀丽的安徽南部，是我国最著名的山岳风景区之一．为更好地提升旅游品质，黄山风景区的工作人员随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． (1)根据频率分布直方图，求的值；并估计这100名游客对景区满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值做代表）； (2)景区的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在、的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行个别交流，求选取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】(1)，平均数为； (2). 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算古典概型问题的概率、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、补全频率分布直方图 【分析】（1）根据直方图中频率和为1求出值；利用频率分布直方图求平均数的求法求解. （2）利用分层抽样及频率求各组人数，利用列举法结合古典概型运算求解. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，则； 平均数为. （2）评分在的频率分别为， 则在中抽取人，记为；在中抽取4人，记为， 从这6人中随机抽取2人，样本空间： ，共有15个结果， 设选取的2人评分分别在和内各1人为事件， 则，共有8个结果， 所以. 16．（15分） 某校有高中学生1000人，其中男生400人，女生600人.A同学按男生、女生进行分层，采用分层随机抽样的方法调查该校全体高中学生的身高（单位：cm）情况，总样本量为100，计算得到男生身高样本的平均数为170，方差为16；女生身高样本的平均数为160，方差为18. (1)如果已知男、女样本量按比例分配，求总样本的平均数和方差； (2)如果已知男、女样本量分别为30和70，在这种情况下，总样本的平均数为，总样本的方差为，比较与，与的大小关系. 【答案】(1) (2)， 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）根据分层抽样总样本的平均数及方差的计算公式，即可求得答案； （2）计算出男、女样本量分别为30和70时的平均数和方差，与（1）中结果比较，即得结论. 【详解】（1）由题意知，总样本的平均数， 总样本的方差. （2）男、女样本量分别为30和70时，总样本的平均数， 总样本的方差， 所以，. 17．（15分） 记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求边上高的最大值． 【答案】(1) (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）设外接圆的半径为，由即可求出，从而求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由等面积法计算可得. 【详解】（1）因为，由正弦定理得：①， 因为，所以. 故①式可变形为， 即， 化简得：，因为，所以，故. 因为，故. （2）设外接圆的半径为， 由正弦定理得：，则，，， 又，故得， 由（1）知，故，则， 由余弦定理得：，即， 则，当且仅当时等号成立， 设边上高为，由三角形的面积公式得：，即. 故边上高的最大值为. 18．（17分） 在中，已知，，，，，CM与BN相交于点P． (1)求CM的长度； (2)若，求的值； (3)求的最小值，并求此时的余弦值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为，的余弦值为 【知识点】平面向量的混合运算、数量积的运算律、向量夹角的计算、平面向量共线定理的推论 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，再根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （2）根据平面向量共线的推论，可得，进而根据平面向量的数量积的运算律求解即可； （3）根据平面向量的线性运算及数量积的运算律，可得，即可得到时，取得最小值，进而得到，，进而根据平面向量的数量积的运算律及夹角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为，则， 则， 则，即CM的长度为. （2）当时，， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 由于三点共线，则存在实数， 使得， 所以，解得， 则， 则 . （3）由，，， 则，， 所以 ， 则时，取得最小值. 此时，， 则，， 所以 ， ， 由（1）知，， 所以. 19．（17分） 在平行四边形中，，，E为的中点．将沿翻折至，其中P为动点，连接与． (1)求证：当时，平面平面； (2)当时，求二面角的正弦值； (3)当三棱锥的体积最大时，求三棱锥的内切球的半径． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【知识点】多面体与球体内切外接问题、求二面角、证明面面垂直 【分析】（1）由余弦定理及勾股定理得到，即可求证； （2）由（1）可得为二面角的平面角，即可求解； （3）借助体积公式可得当平面时，三棱锥的体积最大，借助等体积法计算可得内切球半径. 【详解】（1）    连接，由题意得，， 则为等边三角形，， 在中，， 由余弦定理得， 所以，由， 则，故. 当时， 由，则， 所以，又，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面， （2）因为，由（1）知， 又为二面角的的棱，，分别在两个半平面内， 所以为二面角的的平面角， 由（1）可知， 所以二面角的正弦值为 （3）设点到平面的距离为， 由，其中为定值， 则要使三棱锥的体积最大时，则点到平面的距离取最大， 取中点，连接，则， 当平面时，点到平面的距离最大， 此时，由平面，则平面平面， 由（1）知，，为直角三角形， . 则， ， ， 在中，，取中点， 则，且， 所以， 设内切球球心为，内切球半径为，由等体积法知， 其中，， 故， 故当三棱锥的体积最大时，三棱锥的内切球的半径为. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$