第17章勾股定理期末复习2024-2025学年人教版八年级数学下册

第17章二次根式期末复习 参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理判定直角三角形，掌握勾股定理逆定理的计算是关键． 运用勾股定理逆定理的计算判定直角三角形即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，能构成直角三角形，符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：C ． 2．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解题关键是掌握判定一个三角形是直角三角形的方法：①先确定最长边，算出最长边的平方；②计算另两边的平方和；③比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．据此逐项判断进而即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； B、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，符合题意； D、，不能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了勾股数，如果三个正整数满足，那么这三个正整数就是勾股数，解决本题的关键是根据勾股数的定义进行判断． 【详解】解：A、， 7，12，13不是勾股数，故该选项不符合题意； B、， 3，3，4不是勾股数，故该选项不符合题意； C、，，不是正整数， ，，不是勾股数，故该选项不符合题意； D、， 9，12，15是勾股数，故该选项符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，掌握利用勾股定理的逆定理判断能否构成直角三角形是解题的关键．根据勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A、，，，则，故不能构成直角三角形，不符合题意； B、，，，则，故能构成直角三角形，符合题意； C、，，，则，故不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，则，故不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解矩形中最长的线段是矩形的对角线是关键；利用勾股定理求出矩形的对角线长，即是木棒的最大长度． 【详解】解：由勾股定理得：； 即这根木棒最长是； 故选：C． 6．C 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，正确得出大正方形的面积是解题的关键．由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形，由大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积得出，再结合即可得出，进而求得，即可求解． 【详解】解：由图形2可知，中间四边形的边长为的小正方形， ∵大正方形的面积为， ∴， ∵， ∴图2中小正方形的边长为3， ∴ 又∵大正方形的面积由四个全等的直角三角形加中间小正方形的面积， ∴， ∴， ∴ ∴图1中的直角三角形面积为 故选：C． 7．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容和三角形的内角和定理等于是解此题的关键． 根据勾股定理的逆定理判断A和B即可；根据三角形的内角和定理判断C和D即可． 【详解】解：A．， ∴， 是直角三角形，故本选项不符合题意； B．， ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； C．，， 最大角， 不是直角三角形，故本选项符合题意； D．， ∴ ， 是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 8．C 【分析】本题考查了勾股定理，立方体的平面展开图，根据图形可得在立方体上，点A，B 的距离为边长为1的等腰直角三角形的斜边的长，即可求解． 【详解】解：如图 依题意，， 在立方体上，点A，B 的距离为 故选：C． 9．C 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的面积，设，根据等腰三角形的性质得，再根据的周长为36得，在中由勾股定理求出，进而得，然后根据三角形的面积公式可求出的面积．熟练掌握等腰三角形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 【详解】解：设， 在中，，， ， ， 的周长为36， ， 即， ， 在中，，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：C． 10．B 【分析】本题考查了勾股定理．直接利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵中，，，， ∴， 故选：B． 11．D 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理，解决本题的关键是根据勾股定理求出各边的长度，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直角三角形． 【详解】解：A选项：根据网格可知，故A选项正确； B选项：根据网格可知，故B选项正确； C选项：由网格可知， ， 是直角三角形， 故C选项正确； D选项：．故D选择错误。 故选：D． 12．C 【分析】本题考查了角平分线的性质、勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理和合理使用等面积法和角平分线的性质是解题的关键．过作交于点，由角平分线的性质得，进一步利用得出，即可结合勾股定理得出答案． 【详解】解：过作交于点， 平分，，， ， ， ， ， ， 中，由勾股定理可得： ， ． 故选：C． 13．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及性质，勾股定理；连接，由作法得是的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质得，由勾股定理得，，即可求解；掌握线段垂直平分线的作法及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：连接， ，，， ， 由作法得：是的垂直平分线， ， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ， 的周长为： ， 故选：C． 14．C 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据作图可判断出平分，根据角平分线性质得到，从而判断出，得到，利用勾股定理得到，再进一步利用勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：由作图可得，平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 故选：C． 15．B 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，无理数的估算，先计算周长为，再结合，进一步估算即可． 【详解】解：第一个三角形的斜边长， 第二个三角形的斜边长， …… 第九个三角形的斜边长， 则这个图形周长， ∵， ∴， ∴与最接近的整数是3， ∴与最接近的整数是13， 故选：B． 16．3或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理分类讨论计算即可． 【详解】解：当斜边是5，一直角边为4，则第三边长为； 当两直角边分别为4，5时，第三边，即斜边长为； 故答案为：或 ． 17． 【分析】本题主要考查点到坐标轴的距离，勾股定理，解题的关键是熟知坐标系中的点的含义．根据直角坐标系内的点的坐标特点，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，过点作轴于点，连接， 由， 得，， 则， 故答案为：． 18．3 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理解直角三角形成为解题的关键． 直接根据勾股定理解直角三角形即可． 【详解】解：∵在直角三角形中，，，， ∴． 故答案为：3． 19． 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 利用勾股定理即可解答此题． 【详解】解：在中， ，，根据勾股定理得： ． 故答案为：． 20． 【分析】本题考查了整式的混合运算与图形面积的计算，掌握整式的混合运算是关键． 根据题意，分别算出大正方形的面积为，4个直角三角形的面积为，小正方形的面积为，由4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积，列式求解即可． 【详解】解：根据题意及图示可得，大正方形的边长为，即直角三角形斜边长， ∴大正方形的面积为， 三角形的直角边长分别为， ∴4个直角三角形的面积为， 小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， ∵4个直角三角形的面积与小正方形的面积的和为大正方形的面积， ∴，即， 故答案为： ． 21．直角 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理即可得出结论，如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：，，， ， ，即， 是直角三角形， 故答案为：直角． 22． 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的应用．根据垂直定义可得，然后根据已知可求出的长，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ，，，， ， ， 故答案为：． 23．15 【分析】本题考查勾股定理的知识，解题关键是将勾股定理和正方形的面积公式进行灵活的结合和应用．首先根据余角的性质得到，可证明，易得，进而可知，可有；在中，由勾股定理可得，结合可得，然后根据“阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积”求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积和三个正方形面积三角形面积倍空白部分面积 ． 故答案为：15． 24． 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是关键． 根据题意可证，，，设，则，在中，由勾股定理得，由此列式求解即可． 【详解】解：根据题意，，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∴，整理得，， 解得，， ∴， 故答案为： ． 25．/ 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 26．15 【分析】作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点，过点G作，交的延长线于点H，则四边形是矩形，构造直角三角形，利用勾股定理解决即可． 本题考查了将军饮马原理，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握轴对称的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：作点A关于得对称点G，连接与的交点P就是取得最小值的位置点， 过点G作，交的延长线于点H， 则四边形是矩形， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：15． 27．24 【分析】本题主要考查了作图﹣基本作图、线段的垂直平分线的定义、勾股定理、三角形中位线等知识点，熟练掌握三角形中位线的定义是解题的关键． 如图：连接，由题意可得垂直平分线段可得，，即；再运用勾股定理可得；然后说明是的中位线可得、，即；最后根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意可得垂直平分线段， ∴，，即 ∵， ∴， ∵D为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 28．，， 【分析】本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答．根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数． 【详解】解：①，，， ②，，， ③，，， …… 第⑤组勾股数：，，， 故答案为：，，． 29． 【分析】本题主要考查勾股弦图、全等三角形的性质，勾股定理的知识点，掌握勾股弦图的结构是解题关键． 根据三角形全等性质得出，，再根据勾股定理求出的值，然后线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形为四个全等的直角三角形拼接而成， ,, , , 正方形的边长是, 故答案为：． 30． 【分析】本题考查三线合一，中垂线的判定，勾股定理，根据题意，得到，结合，得到垂直平分，三线合一，求出的长，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵等边，， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积； 故答案为：． 31．(1)；5 (2)是直角三角形，证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理和勾服定理的逆定理，解题关键是牢记公式． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先计算，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】（1）解：， ； （2）解：是直角三角形； 证明：∵，，， ∴， ∴是直角三角形． 32．3 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理计算，即可求解． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， ． 33．这辆小汽车超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理列式求出，再根据速度路程时间求出小汽车的速度，然后化为千米/小时的单位即可得解． 【详解】解：由勾股定理得（米）， 小汽车的速度为：（米/秒）， 30米/秒108千米/时80千米/时， 所以，这辆小汽车超速了． 34．． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义和勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据等腰直角三角形的性质及勾股定理得出，，，，利用三角形面积公式表示出阴影面积即可得答案． 【详解】解：∵以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形， ∴，，， ∴，，，， ∵，，， ∴阴影部分的面积 ， ∵， ∴阴影部分的面积． 35．见解析 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，解题的关键是掌握相关知识．先在中，求出，再利用勾股定理的逆定理即可证明． 【详解】证明：，，， ， ，， ， ， 是直角三角形． 36．证明见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理与网格问题，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理，即可求解． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴是直角三角形， ∴． 37．(1)见详解 (2)18 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法作图即可； （2）根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，则即为所求： （2）解：由作图可知，为的平分线， ∵， ∴N为的中点，， ， 在中， ， ∵， ∴， 的周长． 38．(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查作图，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识； （1）作线段的垂直平分线交于点E，连接即可； （2）设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，点E即为所求； （2）解：连接，如图： 设， ∵，， 在中，则有， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：6． 39． 【分析】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，根据垂线定义得出，根据等腰三角形的定义得出，根据直角三角形性质得出，根据勾股定理求出． 【详解】解：， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ． 40． 【分析】此题主要考查学生对勾股定理的应用这一知识点的理解和掌握，此题的关键是会用勾股定理解决问题．设水深为，则荷花的高，且水平距离为，那么水深与水平组成一个以为斜边的直角三角形，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】解：设水深为，则荷花的高，且水平距离为， 则， 解得． 答：水深． 41．(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质可得结论； ②证明，根据，即可求解； （2）过点作，且，连接，证明，得出，设勾股定理求得，则，得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）①证明：， ， ， ， ， ， ． ②解：∵，，， ∴， ∵以为底，在的右侧作等腰直角， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， 又∵ ∴ ∴ （2）解：如图，过点作，且，连接， ∵，， ∴， 在中 ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ 42．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，作垂直平分线，等角对等边以及勾股定理的应用，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）作的垂直平分线交于点，连接，或直接作作 ； （2）根据得出，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）答案不唯一，如图，即为所求 （2） ∴ 在中， ∴， 即 解得： 43．(1) (2) 【分析】本题主要考查了圆柱的侧面展开图、勾股定理及两点之间，线段最短，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据圆柱侧面展开图为长方形即可求解； （2）画出侧面展开图，根据勾股定理及两点之间，线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图所示为笔筒卷的侧面展开图 由题意得：裁剪出的包装纸的面积等于圆柱形的侧面积 ∴裁剪出的包装纸的面积为 （2）解：如图所示，作点关于点的对称点，连结交于点，连结，由题意可知点是的中点，，此时最短，即绳子缠绕笔筒圈，所需绳子的长度最短， ∴绕2圈所需绳子的最短长度为 44．（1）①；②；（2）,，见解析；（3）8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是根据全等三角形的性质找边和角之间的关系． （1）根据等边三角形的性质可知，，，利用可证，根据全等三角形的性质可得、； （2）根据等腰直角三角形的性质可得，，利用利用可证，根据全等三角形的性质可得，从而可得，根据全等三角形对应角相等，可知，从而可得； （3）过点作交于点，由知，根据全等三角形的性质可得，，从而可知，利用勾股定理可得． 【详解】（1）①解：和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）,. 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 , ∴， ∴，， ∵, ∴， ∴， ∴， ∴； (3)如图所示，过点A作交于点F， 由（2）知， ∴，， 又∵， ∴， 在中，， ， ∴. 45．(1)见解析 (2)见解析 (3)90 【分析】本题考查了作图—轴对称变换、平移变换，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）根据勾股定理以及勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图：线段即为所作； （3）解：如图，连接， ， 由勾股定理可得：，，， ∴， ∴为直角三角形，． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第17章勾股定理期末复习 一、单选题 1．以下列各组数为边长，可以组成直角三角形的是（   ） A．1，2，5 B．6，7，8 C．1，1， D．2，，3 2．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 3．下列各组数为勾股数的是（   ） A．7，12，13 B．3，3，4 C．，， D．9，12，15 4．下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．，， B．1，， C．4，5，6 D．1，1， 5．已知某个抽屉的底面是一个长，宽的矩形，现打算贴抽屉底面放一根木棒（不计木棒粗细），那么这根木棒最长是（   ） A． B． C． D． 6．“赵爽弦图”是我国古代数学的伟大成就，它巧妙的利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（如图1）拼成的一个大正方形（如图2）．设直角三角形的较长的直角边为，较短的直角边为，若图中大正方形的面积为，线段的长为，则图1中的直角三角形面积为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．已知△ABC中，、、分别是、、的对边，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．如图是一个立方体的平面展开图，每个小正方形的边长均为1， 则在立方体上，点A，B 的距离为（    ）    A．2 B． C． D．1 9．如图，等腰△ABC，周长为36，，于D，，则的长为（    ） A．5 B．9 C．13 D．15 10．在中，，若，，则的长是（   ） A．7 B．6 C．5 D．2 11．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点，，都在格点上，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．△ABC是直角三角形 D．△ABC的面积是 12．如图，在中平分交于点，，则的长度为（   ） A． B． C． D． 13．如图，在△ABC中，，，，按下列步骤尺规作图：①分别以A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点和；②作直线MN，交AB于点，交BC于点，则的周长为（   ） A．8 B．10 C．15 D．20 14．如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．5 15．在学习了勾股定理后，小张同学对勾股定理产生了浓厚的兴趣，在探索中不断发现，他用9个直角三角形纸片拼成如图所示的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则下列整数与l最接近的是（   ） A．14 B．13 C．12 D．11 二、填空题 16．若直角三角形两条边长分别为和，则它第三边长为 ． 17．在平面直角坐标系中，点到坐标原点的距离为 ． 18．在直角三角形中，，，，则 ． 19．在中， ． 若， 则 ． 20．在一次数学实践活动中，宛宛同学把四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成了一个大正方形，如图所示．设直角三角形较长的直角边长为，较短的直角边长为，大正方形边长为．请你写出之间的关系式是 ．（化到最简） 21．《几何原本》中曾介绍：在直角三角形中，对直角的边上所作的图形的面积等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形面积的和．反之，如图，若以的三边长为直径分别向外作三个半圆，其中两个半圆面积之和等于第三个半圆面积（即），则可断定是 三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”） 22．清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：是锐角的高，则．当时，的长为 ． 23．如图，在△ABC中，，以，和为边向上作正方形和正方形和正方形，点落在上，若，空白部分面积为24，则图中阴影部分的面积是 ． 24．如图是小朋友荡秋千的侧面示意图，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离为，摆至最高位置时与最低位置时的高度之差为，则该秋千的绳长为 ． 25．如图，在数轴上点A表示的实数是 ． 26．如图，，，垂足为M、N，，，，P是上任意一点，则的最小值是 ． 27．如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，直线分别与边相交于点D，E．若D为的中点，，则的面积为 28．勾股数，①3，4，5；②5，，；③7，，；④9，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： ． 29．如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成．若，，则正方形的边长是 ． 30．如图，在△ABC中，，以为边，在的右侧作等边，连接，与交于点，，，则的面积为 ． 三、解答题 31．如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C，D均为格点． (1)直接写出下列线段的长度： ， ； (2)连接，判断形状，并证明你的结论． 32．在中，，，．求的长． 33．某城市交管部门规定：小汽车在城市快速路上行驶速度不得超过80千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市快速路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了4秒后，测得小汽车与车速检测仪之间的距离为130米，这辆小汽车超速了吗？ 34．如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，求图中阴影部分的面积． 35．如图，在四边形中，，为对角线，已知，，，．求证：是直角三角形． 36．如图，在的网格中，每个小正方形边长都为1，的顶点均在格点（网格线的交点）上．求证：． 37．如图，在等腰△ABC中，． (1)请用尺规作图法，作的平分线，交边于点N；（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，求的周长． 38．如图，在中，，，． (1)利用尺规在上找到一点E，使得（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连接，则的面积为________． 39．如图，在△ABC中，，，，，求的长． 40．古诗赞美荷花：“竹色溪下绿，荷在镜里香．”平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面1，忽见它随风倾斜，花朵恰好浸入水面．仔细观察，发现荷花偏离原地4（如图），请问水深多少？ 41．如图，在△ABC，，，是上一动点，以为底，在的右侧作等腰直角，的延长线交于点． (1)如图1；当时， ①求证：； ②若，求线段的长； (2)如图2，若，，求线段的长； 42．如图，在中，． (1)实践与操作：在边上求作一点，连接，使得．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)计算：若，，求线段的长． 43．综合与实践 【主题】自制环保笔筒 【素材】如图，一个直径为，高的纸筒卷，一张长，宽的包装纸，一张边长为的小正方形纸板，一根装饰绳子，一把剪刀，一瓶固体胶． 【实践操作】 步骤1：在包装纸上用剪刀裁剪出一张刚好能与纸筒卷外表面紧密贴合的纸； 步骤2：用固体胶把包装纸紧密地贴在纸筒卷外表面； 步骤3：用固体胶把装饰用的绳子粘在纸筒外面； 步骤4：用固体胶把小正方形纸板粘在纸筒卷的底部，得到一个形如2图所示的环保笔筒． 【实践探索】 (1)求出步骤1中裁剪出的包装纸的面积；（结果保留） (2)如3图，如果想要绳子缠绕笔筒圈，正好从点绕到正上方的点，求所需绳子的最短长度．（结果保留和根号） 44．【问题发现】（1）如图1，和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，容易发现：线段，之间的数量关系为 ;②的度数为 ． 【探究发现】（2）如图2，和均为等腰直角三角形，，点在同一条直线上，连接．试探究线段，，之间的数量关系及的度数，并说明理由． 【问题解决】（3）如图3，，，，，请直接写出的值． 45．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点，格点线段和格点N（格点为网格线的交点）． (1)画出关于直线对称的； (2)将线段进行适当的平移后，使点D的对应点与点重合，得到线段，画出线段； (3) °． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$