期末复习专题03第七章复数（5考点清单+8考点题型）-2024-2025学年高一下学期数学期末复习（人教A版2019必修二 全国通用）

期末复习专题03 第七章 复数 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 3.复数的分类 （1）复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下： （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4. 复数相等的充要条件 在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.特殊地，a+bi=0⇔a=b=0. 考点清单2 复数的几何意义 1.复数与复平面内点的关系 （1）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. （2）复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 2.复数与复平面内的向量的关系 复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 考点清单3 复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|. (3)公式：|z|=|a+bi|=. 考点清单4 共轭复数 1.定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 考点清单5 复数的四则运算 1.复数的加、减法运算 （1）复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i. （2）复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有： (交换律)z1+z2=z2+z1；(结合律)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 2.复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1+z2对应，向量与复数z1-z2对应. 3.复数的乘法法则 （1）设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. （2）复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 4.复数代数形式的除法运算 复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)=+i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 5.在复数范围内解方程 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用. 考点题型·巩新知 考点一 复数的相关概念 1．已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 2．已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 5．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 考点二 复数的几何意义 6．若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 8．已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（   ） A．（3，1） B． C． D． 9．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 考点三 复数的模 11．已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 12．已知i为虚数单位，复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 13．如果复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 14．已知复数满足，则复数 ． 15．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 考点四 复数的四则运算 16．若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 17．若，则对应复平面内的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（   ） A． B． C． D． 19．已知，则（   ） A． B． C．1 D． 20．已知复数，则（     ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 考点五共轭复数 21．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 22．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 23．已知，则（    ） A． B．2 C．1 D． 24．若，则（   ） A． B． C． D． 25．关于复数，下列结论正确的是（   ） A． B． C．在复平面内对应的点在第四象限 D．的虚部是实部的倍 考点六 复数性质的综合应用 26．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B．若，均不为，则 C．若，则 D．若，则 27．已知z，，是复数，则以下正确的是（    ） A．复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限 B． C． D． 28．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 29．已知复数（）的共轭复数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．为纯虚数 30．设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 31．设，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为纯虚数 32．已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（    ） A． B．与实部之和为 C．为纯虚数 D． 考点七 复数范围内的方程根 33．已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 34．已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 35．已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 36．知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 37．已知实部为正数的复数z满足，且复数为纯虚数． (1)求z； (2)若z是关于x的方程（）的根，求m和n的值． 考点八 复数的新定义 38．欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 39．任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．当，时，复数为纯虚数 B．当，时， C．当，时， D． 40．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，与互为共轭复数 C．对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上 D．复数的实部为 41．任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 42．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题03 第七章 复数 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 复数的有关概念 1.复数 (1)定义：我们把形如a+bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2=-1. (2)表示方法：复数通常用字母z表示，即z=a+bi(a，b∈R)，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部. 2.复数集 (1)定义：全体复数构成的集合C=｛a+bi|a，b∈R｝叫做复数集. (2)表示：通常用大写字母C表示. 3.复数的分类 （1）复数z=a+bi(a，b∈R)可以分类如下： （2）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系 4. 复数相等的充要条件 在复数集C=｛a+bi|a，b∈R｝中任取两个数a+bi，c+di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a+bi与c+di相等当且仅当a=c且b=d.特殊地，a+bi=0⇔a=b=0. 考点清单2 复数的几何意义 1.复数与复平面内点的关系 （1）建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数. （2）复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义. 2.复数与复平面内的向量的关系 复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定. 因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量.这是复数的另一种几何意义. 为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数. 考点清单3 复数的模 (1)定义：向量的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值. (2)记法：复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|. (3)公式：|z|=|a+bi|=. 考点清单4 共轭复数 1.定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 2.表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么=a-bi. 考点清单5 复数的四则运算 1.复数的加、减法运算 （1）复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i. （2）复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有： (交换律)z1+z2=z2+z1；(结合律)(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3). 2.复数加、减法的几何意义 如图，设复数z1，z2对应的向量分别为 ，，四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则向量与复数z1+z2对应，向量与复数z1-z2对应. 3.复数的乘法法则 （1）设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i. （2）复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2=z2z1 结合律 (z1z2)z3=z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=z1z2+z1z3 4.复数代数形式的除法运算 复数除法的法则是：(a+bi)÷(c+di)=+i(a，b，c，d∈R，且c+di≠0). 复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a+bi型，则分子、分母同乘a-bi；若分母为a-bi型，则分子、分母同乘a+bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数. 5.在复数范围内解方程 与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用. 考点题型·巩新知 考点一 复数的相关概念 1．已知，若复数是纯虚数，则的值为（   ） A． B． C．或1 D．或 【答案】B 【分析】利用纯虚数的定义列式求解. 【详解】由复数是纯虚数，得，解得. 故选：B. 2．已知复数（，），则“”是“复数对应的点在虚轴上”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据复数的定义，充分、必要条件的定义判断． 【详解】时，对应点在虚轴上，充分性成立， 当复数对应的点在虚轴上，一定有，必要性成立， “”是“复数对应的点在虚轴上”的充分必要条件． 故选：C． 3．以的虚部为实部，以的实部为虚部的新复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先求出的虚部，与的实部，即可得解. 【详解】复数的虚部为，又， 则的实部为， 所以新复数为. 故选：C 4．下列命题中，不正确的是（    ） A．是一个复数 B．形如的数一定是虚数 C．两个复数一定不能比较大小 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数的概念逐项分析即得. 【详解】由复数的定义可知A命题正确； 形如的数，当时，它不是虚数，故B命题错误； 若两个复数全是实数，则可以比较大小，故C命题错误； 两个虚数不能比较大小，故D命题错误． 故选：BCD． 5．给出下列说法：（1）若，则；（2）若，则，；（3）若x为实数，且是纯虚数，则；（4）若，则有.其中正确的序号是 . 【答案】（4） 【分析】根据复数的概念逐项判断即可. 【详解】对于（1）和（2），在，的限制条件，结论才是正确的，故（1）和（2）都错误； 对于（3），当是纯虚数时，有所以，故（3）错误； 对于（4），由，可得即有，故（4）正确. 故答案为：（4）. 考点二 复数的几何意义 6．若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 7．在复平面内，为原点，两点对应的复数分别为，，若四边形为平行四边形，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点对应的复数为，由复数的几何意义，可得，即可求得的值，从而可得点对应的复数. 【详解】设点对应的复数为，由，可得， 所以，则. 故选：A. 8．已知复数，则复数在复平面内所对应的点的坐标为（   ） A．（3，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】化简复数，即可得到复数对应点的坐标. 【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点的坐标为，故选B． 9．已知复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的最小正整数值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先将复数化简整理，然后利用复数在得平面内对应的点在第四象限，列不等式组，求出的取值范围，可求得实数的最小正整数值. 【详解】解： 因为复数在复平面内对应的点在第四象限， 所以，解得， 所以实数的最小正整数值为3 故选:C 【点睛】此题考查复数的运算和复数的几何意义，属于基础题. 10．已知，复数. (1)若为纯虚数，求； (2)若在复平面内对应的点位于第二象限，求整数的值. 【答案】(1)； (2)和 【分析】（1）由为纯虚数，求出的值，从而得到复数，求解模长即可； （2）在复平面内对应的点位于第二象限，求出的取值范围，进而得到整数的值即可. 【详解】（1）由于复数为纯虚数， 所以，解得，此时， （2）若在复平面内对应的点位于第二象限， 则，解得， 故整数的值有. 考点三 复数的模 11．已知复数的实部与虚部相等，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由实部与虚部概念可得，代入计算可求出结果. 【详解】易知的实部为，虚部为， 由题意可知， 则. 故选：B 12．已知i为虚数单位，复数z满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的除法求出复数，即可计算出. 【详解】， 所以， 故选：C. 13．如果复数满足：，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，即可表示出，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可. 【详解】设，则，， 因为，即， 所以，解得， 所以. 故选：A 14．已知复数满足，则复数 ． 【答案】 【分析】首先求出，进一步即可得解. 【详解】因为，所以，所以，. 故答案为：. 15．已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】设，代入代简可得，则，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 考点四 复数的四则运算 16．若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据求出，再根据公式求其模长. 【详解】; ; . 故选：C. 17．若，则对应复平面内的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】借助复数运算法则可计算出复数，即可得其对应复平面内的点所在象限. 【详解】，则， 故， 则对应复平面内的点为， 故对应复平面内的点在第四象限. 故选：D. 18．已知i是虚数单位，复数z满足，则z的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的运算整理可得，即可得虚部. 【详解】因为，可得，即， 则， 所以z的虚部为. 故选：C． 19．已知，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】先化简复数，再由共轭复数和复数的模长公式求解即可. 【详解】由题意可得：， 所以，. 故选：B. 20．已知复数，则（     ） A． B． C． D．在复平面内对应的点位于第一象限 【答案】BD 【分析】根据复数的除法运算整理为标准式，利用共轭复数、模长公式、复数乘法以及几何意义，可得答案. 【详解】因为，所以， 在复平面内对应的点为，位于第一象限，故AC错误，BD正确． 故选：BD. 考点五共轭复数 21．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对复数化简，然后求其轭复数即可. 【详解】若，则， 则. 故选：B. 22．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由共轭复数的概念得，进而根据复数的乘法运算可得. 【详解】由可得， 故， 故选：C 23．已知，则（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】利用复数除法运算求出，再利用共轭复数及复数模的意义求解. 【详解】依题意，，则， 所以. 故选：A 24．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可得，再结合复数的四则运算求解. 【详解】因为，则，可得. 所以. 故选：B. 25．关于复数，下列结论正确的是（   ） A． B． C．在复平面内对应的点在第四象限 D．的虚部是实部的倍 【答案】AB 【分析】利用共轭复数的定义可判断A选项；利用复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，则，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，复数在复平面内对应的点，位于第二象限，C错； 对于D选项，复数的实部是，虚部是，则的虚部是实部的倍，D错. 故选：AB. 考点六 复数性质的综合应用 26．已知复数，在复平面内对应的点分别为，，为坐标原点，则（   ） A．若，则 B．若，均不为，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】设，，计算可得可判断A；计算可知不一定恒成立，可判断B；计算可得，可判断C；，不一定为，可判断D. 【详解】设，，则，， 对于A，，， 则，即，所以A选项正确； 对于B，，所以， ，，则， 则不一定恒成立，所以B选项不正确； 对于C， ， 即，即，所以C选项正确； 对于D，若， 即，不一定为，所以D选项不正确. 故选：AC. 27．已知z，，是复数，则以下正确的是（    ） A．复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第四象限 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】A根据共轭复数的几何意义判断；B利用向量表示复数，再由向量的三角不等式判断；C、D设，，且，应用复数共轭复数、加法、乘法运算化简整理判断. 【详解】对于A：由z对应的点与对应的点关于x轴对称，则复数z对应的点在第三象限，则复数对应的点在第二象限，错误； 对于B：设，在复平面对应向量分别为，，则，，正确； 对于C、D：设，，且， 则，C正确； ，D正确， 故选：BCD 28．已知复数，，则下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．是的充分不必要条件 D．，，，则 【答案】ABC 【分析】ABC，通过特例即可判断；对于D，通过平方求得，即可求解； 【详解】对于A，令，满足，显然不成立，错误； 对于B，令，满足，显然不成立，错误； 对于C，令，满足，此时不成立，错误； 对于D，由，，可得， 可得：， 所以, 所以，则，正确； 故选：ABC 29．已知复数（）的共轭复数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．为纯虚数 【答案】AB 【分析】设，根据复数代数形式的运算法则一一计算即可. 【详解】设，则， 所以，故A正确； ，故B正确； 取，则，显然，但，故C错误； ，当，时，，故D错误． 故选：AB 30．设为复数，.下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据复数模的概念判断A，利用复数的乘法运算判断B，根据共轭复数的性质及乘法运算判断C，根据特例法判断D. 【详解】由复数模的概念可知，不能得到， 例如，A错误； 由可得，因为，所以，即，B正确； 因为，而，所以，所以，C正确； 取，显然满足，但，D错误. 故选：BC 31．设，为复数，则下列说法中正确的有（    ） A． B． C．若，则 D．若，则为纯虚数 【答案】BD 【分析】由，判断A，由，判断C；令，，且，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D. 【详解】A：对于，，则，错； C：对于，，满足，显然，错； 令，，且，则，， 所以，B对； ，则，可得，即为纯虚数，D对. 故选：BD. 32．已知复数在复平面内对应的点均在以原点为圆心的单位圆上，且，则（    ） A． B．与实部之和为 C．为纯虚数 D． 【答案】ACD 【分析】设出两个复数的代数形式，由题解出或，对照选项逐一验证即可． 【详解】对AB：设， 因为，即 ， 由题意可得①，②， 所以， 即，且，与①②联立可得或； 所以，故B错误，A正确； 对C：，或，故C正确； 对D： ，故D正确. 故选：ACD． 考点七 复数范围内的方程根 33．已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】可根据实系数一元二次方程的根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，最后计算. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以另外一个根是， 由韦达定理可知，，故. 故选：A． 34．已知，，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则（ ） A．该方程不存在实数根 B．， C．对应的点在第三象限 D． 【答案】ABD 【分析】将代入方程，再由复数相等得到方程组，即可求出的值，即可判断A、B；利用韦达定理求出，即可判断C；再根据复数代数形式的除法运算化简，求出其模，即可判断D. 【详解】由是方程的根，得， 整理得，因此，解得， 所以方程为，故B正确； 对于A，根据方程，可得，所以方程无实数根，故A正确； 对于C，方程，由韦达定理可知，得， 对应的点为，在第四象限，故C错误； 对于D，，所以，故D正确． 故选：ABD． 35．已知虚数是方程的两个不同的根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】解出方程的两个不同的根，逐项判断选项. 【详解】由，得，则， 则. 故选：AC 36．知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 37．已知实部为正数的复数z满足，且复数为纯虚数． (1)求z； (2)若z是关于x的方程（）的根，求m和n的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由已知结合复数的四则运算及复数的模长公式可求； （2）结合复数的性质及复数的四则运算即可求解． 【详解】（1）设（），则， 又为纯虚数，所以， 又，即， 解得，或，（舍）， 所以； （2）因为z是关于x的方程的根， 所以，即， 所以 解得，． 考点八复数的新定义 38．欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数的实部和虚部的符号即可. 【详解】由题意得，又， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 39．任何一个复数（其中）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．当，时，复数为纯虚数 B．当，时， C．当，时， D． 【答案】BCD 【分析】利用给定的定理，结合纯虚数、共轭复数及复数乘法依次判断即得. 【详解】对于A，，，为实数，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C正确； 对于D，，则，D正确. 故选：BCD 40．欧拉公式（其中为虚数单位，）是由18世纪瑞士著名数学家欧拉创立的，它把自然对数的底数、虚数单位、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美.已知实数指数幂的运算性质同样也适用于复数指数幂，根据欧拉公式，下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，与互为共轭复数 C．对任意，在复平面内对应的点都在同一个圆上 D．复数的实部为 【答案】BCD 【分析】由复数几何意义可判断A，由所给定义、诱导公式及共轭复数判断B，由复数的几何意义判断C，根据所给定义化简，即可判断D. 【详解】对于A：因为， 所以，故A错误； 对于B：，， 所以对任意，与互为共轭复数，故B正确； 对于C：因为，所以在复平面内对应的点为， 又， 所以在复平面内对应的点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，故C正确； 对于D：的实部为，故D正确. 故选：BCD 41．任何一个复数（其中，）都可以表示成：的形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，，且为偶数时，复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】运用题意中提供的棣莫弗定理，结合复数的运算规则，逐项进行运算求解. 【详解】选项A：， 故， 又因为， 所以，选项A正确； 选项B：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以选项B错误； 选项C：当，时， 由棣莫弗定理得，， 所以 所以选项C正确； 选项D：当，时， 由棣莫弗定理得，， 当时， ，此时不为纯虚数， 所以当为偶数时，复数不一定为纯虚数， 所以选项D错误； 故选：AC. 42．复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔､棣莫弗､欧拉､高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受. 材料：形如的数称为复数的代数形式.而任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.复数叫做复数的三角形式.由复数的三角形式可得出，若，则.其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 请根据所学知识，回答下列问题： (1)试将写成三角形式； (2)设复数，且.若复数在复平面上对应的点分别为，且为复平面的坐标原点.向量逆时针旋转后与向量重合，求实数，的值； (3)已知单位圆以坐标原点为圆心，点为该圆上一动点（纵坐标大于0），点，以为边作等边，且在上方.求线段长度的最大值. 【答案】(1)； (2)； (3)最大值为3. 【分析】（1）根据复数的三角形式的定义直接求解即可； （2）解法一：由题意得，解方程组即可，解法二：根据所给材料中的复数的乘法几何意义求解即可； （3）解法一：设，所表示的复数为所表示的复数为，根据复数的三角形式求出的坐标，从而可表示出，化简变形后可求出其最大值；解法二：连接，设，然后利用正余弦定理求解即可. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以， 因为，所以 所以； （2）法一：由题意知， 得，解得或， 因为逆时针旋转后与重合，所以； 法二：由材料一复数的乘法几何意义可知，复数乘以一个模长为1，辐角为的复数， 即为复数.故， 故，所以. （3）解法一：设， 所表示的复数为所表示的复数为，则， ， 故， 得 ， 所以当时，取得最大值3， 故线段长度的最大值为3. 解法二：连接，设， 由，在中可得， 在中可得，于是， 在中可得，于是， 在中可得， 化简得. 故的最大值为3. . 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是对所给材料的正确理解，然后利用材料中的知识解决问题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$