期末复习专题02第六章解三角形及其应用（6考点清单+13考点题型）-2024-2025学年高一下学期数学期末复习（人教A版2019必修二 全国通用）

期末复习专题02 第六章 解三角形及其应用 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 余弦定理 1.余弦定理的内容 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=， cos B=， cos C= 2.解三角形定义：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 考点清单2 正弦定理 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即===2R(其中R为△ABC的外接圆半径). 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=，sin B=，sin C=. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.  (4)=2R. 3.判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 考点清单3 判断三角形的形状 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)通过变形得到边(或角)的关系后，如果等式两侧或同侧有公因式，注意不要轻易约分，应先移项再提取公因式，以免漏解. (3)常见的特殊三角形有正三角形、等腰三角形、直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 考点清单4 三角形面积公式 1.三角形的面积公式：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S= absin C=bcsin A=casin B.  2.△ABC中的常用结论 (1)A+B+C=180°， sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C.  (2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 考点清单5 三角形的中线和角平分线 1.三角形中线的应用 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【思路点拨】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【思路点拨】适用于已知中线求面积（已知的值也适用） 2.三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 考点清单6 三角形中的最值、范围问题的解题策略 1、定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． 2、构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． 3、求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 4、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 考点题型·巩新知 考点一 正余弦定理解三角形 1．三角形 中，则B=（   ） A．30° B．60° C．150° D．120° 2．在中，分别是角的对边，的面积为，，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．锐角三角形中，角所对的边分别是，已知，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 5．设的内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求边上的高. 考点二 判断三角形解的个数 6．不解三角形，确定下列判断中正确的是 A．b=9，c=10，B=60°，无解 B．a=7，b=14，A=30°，有两解 C．a=6，b=9，A=45°，有两解 D．a=30，b=25，A=150°，有一解 7．的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 8．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．在中，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若有两解，则 D．若是锐角三角形，则 10．在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 考点三 判断三角形的形状 11．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 12．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 13．在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形 14．在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 15．在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 考点四 正余弦定理的理解 16．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则为等腰三角形． 17．已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则的面积为 D．若，且有两解，则的取值范围是 18．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A．若，则的外接圆半径 B．若，则是等腰三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若是锐角三角形， 19．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定是锐角三角形 C．若，则一定是钝角三角形 D．若，则有两解 20．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（   ） A．若，，，则满足条件的三角形有2个 B．若，则△ABC是等腰三角形 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 考点五 边角互化的应用 21．已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 22．在中，角的对边为，已知，则（   ） A． B． C． D． 23．已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（    ） A． B． C． D． 24．已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点在边上，且，求的周长． 25．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 考点六三角形的面积 26．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)若，，求的面积． 27．记的内角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求的值. (2)若是锐角三角形，求的面积. 28．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明： (2)若，，求的面积. 29．在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 30．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)三角形的内角的对边分别为，若，求的面积. 考点七 三角形的周长 31．已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. (1)求角的值； (2)若，求的周长. 32．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长. 33．已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 34．在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 35．已知的内角，，所对的边分别为，，，，且． (1)求证：； (2)从下面3个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求的周长． ①，；②，；③，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件作答，按第一个解答计分． 考点八 三角形的中线 36．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，D为线段BC中点，求AD. 37．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 38．在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 39．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求A. (2)若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P， （Ⅰ）求AM； （Ⅱ）求. 40．在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 考点九 三角形的角平分线 41．记的内角的对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若，记的角平分线与BC交于点D，求AD． 42．在中，已知. (1)求； (2)若为的平分线，面积为14，求. 43．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． 44．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 45．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角C． (2)若，为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度. 条件①：的面积，且， 条件②：. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 考点十 三角形的边长或周长的范围问题 46．在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 47．锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 48．记内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求周长的最大值. 49．记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 50．在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 考点十一 三角形的面积范围问题 51．已知的内角A，B，C的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若点是边BC上，，且，求的面积最大值． 52．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 53．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 54．已知的内角的对边分别为，且. (1)求边； (2)若，求面积的最大值. 55．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 考点十二 解三角形的应用 56．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 57．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 58．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 59．如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 60．已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 考点十三 解三角形的几何问题 61．在中，，点A在线段上，，且，， (1)求的值； (2)求的值和的面积． 62．如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 63．如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 64．如图，在锐角中，为边上一点，，，． (1)若，求； (2)设，若，求的面积． 65．如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题02 第六章 解三角形及其应用 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 余弦定理 1.余弦定理的内容 余弦 定理 语言叙述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 公式 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有 a2=b2+c2-2bccos A， b2=c2+a2-2cacos B， c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=， cos B=， cos C= 2.解三角形定义：一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 考点清单2 正弦定理 1.正弦定理语言叙述：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即===2R(其中R为△ABC的外接圆半径). 2.正弦定理的变形 若R为△ABC外接圆的半径，则 (1)a=2Rsin A，b=2Rsin B，c=2Rsin C. (2)sin A=，sin B=，sin C=. (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.  (4)=2R. 3.判断三角形解的个数的方法 (1)代数法：应用三角形中“大边对大角”的性质以及正弦函数的值域判断另一边对角的可能情况，进而判断三角形解的个数. (2)几何法：在△ABC中，已知a，b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数，解的个数见下表： A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 考点清单3 判断三角形的形状 判断三角形形状的方法及注意事项 (1)利用正弦定理、余弦定理把已知条件转化为边(或角)的关系，通过因式分解、配方等得出边(或角)的相应关系，从而判断三角形的形状. (2)通过变形得到边(或角)的关系后，如果等式两侧或同侧有公因式，注意不要轻易约分，应先移项再提取公因式，以免漏解. (3)常见的特殊三角形有正三角形、等腰三角形、直角三角形等，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别. 考点清单4 三角形面积公式 1.三角形的面积公式：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为S= absin C=bcsin A=casin B.  2.△ABC中的常用结论 (1)A+B+C=180°， sin(A+B)=sin C，cos(A+B)=-cos C.  (2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B. (3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 考点清单5 三角形的中线和角平分线 1.三角形中线的应用 （1）中线长定理：在中，是边上的中线，则 【思路点拨】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中 （2）向量法： 【思路点拨】适用于已知中线求面积（已知的值也适用） 2.三角形角平分线的应用 如图，在中，平分，角、，所对的边分别问，， （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 考点清单6 三角形中的最值、范围问题的解题策略 1、定基本量：根据题意或几何图形厘清三角形中边、角的关系，利用正、余弦定理求出相关的边、角或边角关系，并选择相关的边、角作为基本量，确定基本量的范围． 2、构建函数：根据正、余弦定理或三角恒等变换将待求范围的变量用关于基本量的函数解析式表示． 3、求最值：利用基本不等式或函数的单调性等求最值． 4、求解三角形中的最值、范围问题的注意点 （1）涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化． （2）注意题目中的隐含条件，如A＋B＋C＝π，0＜A＜π，b－c＜a＜b＋c，三角形中大边对大角等． 考点题型·巩新知 考点一 正余弦定理解三角形 1．三角形 中，则B=（   ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解. 【详解】在中，， 由余弦定理可得， 因为，所以. 故选：D. 2．在中，分别是角的对边，的面积为，，，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】先由已知得到，再使用余弦定理求出，最后使用正弦定理得到结果. 【详解】由已知有，故. 再由余弦定理得. 故. 故选：C. 3．在中，角所对的边分别为，若，为边的中点，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，，由正弦定理得到，再由余弦定理，求得，求得，取的中点，连接，得到，设的外接圆的半径为，求得，设，得到，化简得到，结合，利用三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 整理得到，即， 由于余弦定理，得， 又因为，可得， 如图所示，取的中点，连接，可得，所以， 设的外接圆的半径为，可得， 由正弦定理可得， 所以且， 设，则 则 ， 因为，可得，所以， 可得，所以， 所以的取值范围是. 故选：C. 4．锐角三角形中，角所对的边分别是，已知，，，则（   ） A． B． C． D．的面积为 【答案】AD 【分析】根据正弦定理、余弦定理结合三角形内角和定理和三角形的面积公式逐项判断即可. 【详解】因为且为锐角三角形，所以. 根据三角形的内角和定理，得：，故A正确. 由余弦定理：得：. 整理得，又，所以，故B错误； 根据正弦定理：，故C错误； 因为，故D正确. 故选：AD 5．设的内角所对的边分别为. (1)求； (2)若，求边上的高. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据余弦定理和题目条件可得：；再结合特殊角的三角函数值即可求解. （2）先根据题目条件和特殊角的三角函数值求出；再利用诱导公式和两角和的正弦公式求出；最后利用正弦定理求出，结合图形可求解. 【详解】（1）由余弦定理可知：，即. 因为， 所以，整理可得：. 又因为， 所以. （2） 因为，， 所以， 又因为， 所以. 所以. 由正弦定理，可得， 设边上的高为， 所以. 考点二 判断三角形解的个数 6．不解三角形，确定下列判断中正确的是 A．b=9，c=10，B=60°，无解 B．a=7，b=14，A=30°，有两解 C．a=6，b=9，A=45°，有两解 D．a=30，b=25，A=150°，有一解 【答案】D 【详解】A选项，两解，错．B选项，，一解，错． C选项，，一解，错．D.选项，A为钝角，，一解，正确，选D. 7．的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理按角为锐角、直角分类求解即得. 【详解】由正弦定理，得，则， 由于有唯一解，则或，解得或， 所以整数构成的集合为. 故选：C 8．已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合即可得到答案. 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 9．在中，，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若有两解，则 D．若是锐角三角形，则 【答案】ACD 【分析】对于A，利用余弦定理求解判断，对于B，利用正弦定理求解判断，对于C，根据正弦定理结合图形分析判断，对于D，由正弦定理得，化简后，再求出角的范围，从而可求出的范围. 【详解】对于A，在中，，，，则由余弦定理得 ，所以A正确， 对于B，在中，，，，则由正弦定理得 ，，得， 因为，，所以或，所以B错误， 对于C，如图，过作于，则， 因为有两解，所以，即，所以C正确， 对于D，由正弦定理得，， 所以， 因为为锐角三角形，所以，得， 所以，所以， 所以，即，所以D正确. 故选：ACD 10．在中，，，若满足上述条件的恰有两个解，则边长的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据三角形有两解，应满足，化简即可求解. 【详解】因为有两解，所以，即，所以. 即边长的取值范围是. 故答案为：. 考点三 判断三角形的形状 11．在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】应用二倍角余弦公式及余弦边角关系得到，即可得. 【详解】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形. 故选：B 12．在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（   ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知易求得，利用余弦定理，结合，可得，可得结论. 【详解】在中，，又，故． 由余弦定理得，结合，得， 解得，所以一定是等边三角形． 故选：D． 13．在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（    ） A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰钝角三角形 【答案】C 【分析】由正弦定理可得，进而利用余弦定理可得，可得，可得结论. 【详解】由正弦定理得，所以，又，所以． 由，得，可化为， 所以，所以，所以， 所以是等腰直角三角形． 故选：C. 14．在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【分析】根据题意，利用余弦定理，得到，再由，代入整理得，进而得到，即可得到答案. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为，可得， 代入上式，整理得，即，所以， 所以，所以为等腰三角形. 故选：A. 15．在中，下列命题正确的（   ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形 C．若，则为钝角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】ACD 【分析】利用正弦定理判断A，可得或，即可判断B，分析可得中必有一个为钝角，即可判断C，利用余弦定理将角化边，即可判断D. 【详解】对于A：在中，由，可得，由正弦定理可得，，故A正确； 对于B：在中，由，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C：因为，所以角最多有一个钝角， 若，则中至少有一个为负数， 即中必有一个为钝角，所以为钝角三角形，故C正确； 对于D：因为，由余弦定理可得， 即，所以，即，故是等腰三角形，故D正确. 故选：ACD 考点四 正余弦定理的理解 16．设的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则下列结论错误的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则为等腰三角形． 【答案】ACD 【分析】A选项，由余弦定理与数量积的定义计算；B选项，由大角对大边和正弦定理判断；C选项，由正弦定理解三角形；D选项，由正弦定理与二倍角公式化简后判断． 【详解】对于A，，而，故A选项错误， 对于B，中，若，则， 由正弦定理得：（为的外接圆半径）， 故，B选项正确， 对于C，由正弦定理，得，由，则或，C选项错误， 对于D，若，则，即， 而，故或，故或， 为等腰三角形或直角三角形，D选项错误. 故选：ACD 17．已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（    ） A．若，则为钝角三角形 B．在锐角中，不等式恒成立 C．若，则的面积为 D．若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断B，利用正弦定理求，结合内角和公式求，根据三角形面积公式求则的面积判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A正确； 选项B：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，， 又因为在单调递增，所以，B正确； 选项C：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或， 若，则，的面积， 若，则，的面积，C错误； 选项D：如图所示， 若有两解，则， 所以，故，D正确； 故选：ABD 18．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（ ） A．若，则的外接圆半径 B．若，则是等腰三角形 C．若，则符合条件的有两个 D．若是锐角三角形， 【答案】ACD 【分析】由正弦定理即可判断AC，由正弦定理的边角互化即可判断B，由正弦函数在上单调递增，即可判断D. 【详解】对于A，由正弦定理可得，即，所以，故A正确； 对于B，由正弦定理的边角互化可得，即， 又，，， 所以或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B错误； 对于C，由正弦定理可得，即， 因为，满足， 所以满足条件的角有两个（一个锐角，一个钝角）， 则符合条件的有两个，故C正确； 对于D，因为是锐角三角形，所以，即， 又因为在上单调递增，所以， 同理可得， 所以，故D正确； 故选：ACD 19．在中，角的对边分别为，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则一定是锐角三角形 C．若，则一定是钝角三角形 D．若，则有两解 【答案】AC 【分析】应用正弦定理计算判断A，D，应用余弦定理计算判断B，C. 【详解】对于A，若，则，由正弦定理得，A选项正确； 对于B，若满足，则不是锐角三角形是直角三角形，B选项错误； 对于C，若，则所以为钝角，所以一定是钝角三角形，C选项正确； 对于D，若，则，所以，只有一个解，有一个解，D选项错误； 故选：AC. 20．△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列与△ABC有关的结论中正确的是（   ） A．若，，，则满足条件的三角形有2个 B．若，则△ABC是等腰三角形 C．若△ABC是锐角三角形，则 D．若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则 【答案】ACD 【分析】根据，可得结论判断A；根据正弦定理化简得，进而计算可判断B；根据题意得，结合在为单调递减函数，可判断C，设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判断D. 【详解】对于A，若，，，则， 所以满足条件的三角形有2个，故A正确； 对于B，因为，由正弦定理得，即， 因为，，可得或，即或， 所以是等腰三角形或直角三角形，故B不正确； 对于C中，由是锐角三角形，可得， 所以，又因为在为单调递减函数， 所以，所以C正确； 对于D中，如图所示， 设的中点为，的中点为， 因为，即， 可得，即，所以点是上靠近的三等分点， 所以点到的距离等于到的距离的， 又由到的距离为点到的距离的倍， 所以到的距离等于点到距离的， 由三角形的面积公式，可得，即，故D正确. 故选：ACD. 考点五 边角互化的应用 21．已知的三个内角，，所对的边分别是，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理化简得，再根据三角形内角关系结合恒等变换最终求得角的大小，从而得外接圆的半径，即可得所求. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 则， 所以， 整理得， 所以， 因为，所以， 故，即， 则该三角形的外接圆的半径，所以外接圆的面积为. 故选：B. 22．在中，角的对边为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正弦定理边化角可得，进而可得. 【详解】在中，因，由正弦定理可得 ， 因，所以，故，即， 又因，所以， 故选：A 23．已知的内角的对边分别为，若 ，，则角（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由正弦定理将角化边，结合余弦定理求出，再求出、，最后根据计算可得. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以， 又，由正弦定理可得， 即， 由余弦定理， 所以， 所以为锐角， 所以， 所以 ， 又，所以. 故选：C 24．已知的内角所对的边分别为，且． (1)求角的大小； (2)点在边上，且，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，再应用得出，即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． （2）在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 25．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D为BC中点，，求的面积； (3)在内，将满足的点P称为的布洛卡点．若P为的布洛卡点，且，求的周长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化，代入计算，再结合余弦定理即可得到结果； （2）由题意可得，结合向量的数量积运算化简，再由余弦定理代入计算，即可得到结果； （3）分别在与中，结合正弦定理表示出，列出方程，在中，结合余弦定理代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由， 得． 由正弦定理，得，整理得． 由余弦定理，得． 又，所以． （2）由题知，所以． 则，所以． 由（1）得，，又，所以，联立，得， 故的面积为． （3）如图，设，因为，所以，      由（1）知，，所以， 在中，设， 由正弦定理得，所以， 在中，由上可知，， 由正弦定理，得所以， 所以，则，整理，得， 所以，，解得，． 又，所以， 则，因此为等边三角形． 在中， 由余弦定理得，， 所以，故的周长为． 考点六 三角形的面积 26．已知的内角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换化简得解； （2）由余弦定理及三角形面积公式计算得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 所以，， 即． 因为，所以． 由于，所以． （2）由余弦定理， 得，解得或（舍去）． 所以， 所以的面积． 27．记的内角、、的对边分别为、、，已知，，. (1)求的值. (2)若是锐角三角形，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理可得出的值； （2）解法一：利用同角三角函数的基本关系求出、，由结合两角和的正弦公式可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积； 解法二：利用同角三角函数的基本关系求出的值，利用余弦定理可得出关于的方程，求出的值，再利用三角形的面积公式即可求得的面积. 【详解】（1）因为的内角、、的对边分别为、、，，，， 由正弦定理的得. （2）解法一：因为为锐角三角形，由得， 同理可得， 所以，， 所以，. 解法二：因为为锐角三角形，由可得， 由余弦定理得，即，整理可得， 因为，解得，故. 28．记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知. (1)证明： (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由二倍角余弦公式及正弦边角关系即可证结论； （2）由余弦定理及（1）中，可得、，再应用面积公式求三角形面积. 【详解】（1）由题设，则， 由正弦边角关系有，两边同时除以，则，得证. （2）由，则，即， 所以，可得（负值舍）， 综上，的面积为. 29．在中，内角，，的对边分别为，，，. (1)求角的大小； (2)若，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过正弦定理将边的关系化为角的关系，根据两角和的正弦公式即可得解； （2）通过余弦定理得到，最后根据三角形面积公式得结果. 【详解】（1）因为， 所以， 所以，所以，因为，所以. （2）由（1）知，，因为， ，，所以，解得， 所以的面积为. 30．已知函数 (1)求的最小正周期； (2)求的单调递增区间； (3)三角形的内角的对边分别为，若，求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据最小正周期公式即可得到答案； （2）根据正弦函数的性质求其单调增区间； （3）由题设有，结合三角形内角的性质得，再由正弦定理求得，应用和角正弦公式求得，最后应用三角形面积公式求三角形ABC的面积． 【详解】（1）的最小正周期. （2）令，， 解得， 的单调递增区间为. （3）由， 又，则，故，解得， 由正弦定理，即得，又，则， 则，则. 故. 考点七 三角形的周长 31．已知中，内角的对边分别为，若向量，且向量. (1)求角的值； (2)若，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量平行得到从而利用余弦定理求解得到 （2）利用正弦定理得到进而得到从而求解出周长. 【详解】（1）因为，所以， 即， 所以， 因为，所以. （2）由正弦定理，将代入，得， 因为，所以， 所以， 故的周长为. 32．在①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且__________. (1)求角C； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）选①由正弦定理边化角结合两角和的正弦公式可得；选②结合正弦定理边化角和同角的三角函数关系可得；选③由正弦定理边化角结合余弦定理可得； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理可得. 【详解】（1）选①，， ， 又，，又，. 选②，， 又，， ，，. 选③，， ，即， ，，. （2），，，， 又，且， ，， ，， 所以的周长为6. 33．已知内角的对边分别为. (1)求的值； (2)若的面积为，且，求的周长. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由二倍角公式结合同角三角函数关系可得答案； （2）由的面积为，结合余弦定理可得，然后可得答案. 【详解】（1）因为，即， 因为，所以， 因为，即，所以； （2）因为，所以， 因为，即， 因为，所以，得， 所以，所以的周长为. 34．在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【详解】（1）由余弦定理可得，且，故. （2）由三角形的面积公式可得，可得， 由余弦定理可得，故， 因此，的周长为. 35．已知的内角，，所对的边分别为，，，，且． (1)求证：； (2)从下面3个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求的周长． ①，；②，；③，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件作答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)选择条件①不合题意；选择条件②周长为，选择条件③，周长为 【分析】（1）利用正弦定理和三角形内角和定理，通过已知条件进行三角函数的恒等变换即可证明. （2）根据不同条件，选择条件①结合正弦定理与余弦定理，以及题干得到不合题意；选择条件②和条件③，根据正弦定理通过建立方程求解三角形的三边，进而得到周长. 【详解】（1）根据正弦定理(R为三角形外接圆半径)， 已知，则，因为, 所以或, 因为，所以，故, 若，则 ， 由正弦定理得， 又，故， ，即 若，则,与已知矛盾舍去. 结论得证. （2）选择条件①：，，由，得， 但，所以该条件不符合要求,不选条件①. 选择条件②：，，由，得， 由余弦定理， 将代入得， 整理得：，解得：或， 当时，，此时不合题意舍去. 当时，，此时周长为， 选择条件③：，， 由正弦定理(R为三角形外接圆半径)，得， 把代入得，由及余弦定理 得， 整理得，将，代入整理得， 令，即，解得或，又，所以或， 当时，，，此时,不合题意舍去， 当时，，，三角形周长为 考点八 三角形的中线 36．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. (1)求A； (2)若，，D为线段BC中点，求AD. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系化简已知式可得，结合，即可求出答案. （2）由余弦定理可求得，利用三角形的面积公式可求得，再由，利用余弦定理代入化简即可得出答案. 【详解】（1）由正弦定理可得：， 又因为， 所以，因为， 所以，所以，可得 又因为，所以. （2）因为，，由余弦定理得：， 可得， 由于， 解得：，所以， 又因为D为线段BC中点，所以，， 所以， 可得： 整理可得：，所以， 解得：. 37．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D为线段AC的中点，A，C满足 (1)求B； (2)若的面积为，，求中线BD的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理将已知的正弦关系转化为边的关系，再利用余弦定理求出角。 （2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，最后利用向量关系求出中线BD的长。 【详解】（1）因为，所以， 又因为 所以，，得， 所以，由余弦定理得， 又B为三角形内角， 所以， （2）因为的面积为，，， 所以，，所以，又， 因为BD为的中线，所以，， 所以，， 所以 38．在锐角中，内角的对边分别为，且. (1)求角A的大小； (2)若，点是线段的中点，求线段长的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）先由正余弦定理得，接着切化弦得，从而求得即可得解. （2）先由余弦定理得，接着由平方得，由正弦定理边化角结合三角恒等变换公式计算化简得，再结合角B的取值范围即可求解. 【详解】（1）因为， 所以由正余弦定理得， 又， 所以，又是锐角三角形，所以， 所以，所以， 又，所以. （2）由余弦定理可得，即， 又， 所以， 又由正弦定理可得， 所以，， 所以 ， 由题意得，解得，则， 所以，所以， 所以，所以线段长的取值范围为. 39．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若， (1)求A. (2)若，，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P， （Ⅰ）求AM； （Ⅱ）求. 【答案】(1) (2)（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，由辅助角公式和特殊角的三角函数值得到； （2）（Ⅰ）两边平方得，开方求出答案； （Ⅱ）与的夹角等于，其中，， 计算出，，结合（Ⅰ）中，利用夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）由正弦定理得， ∵， ∴， ∵，∴， ∴， 又，故， ∴，解得； （2）（Ⅰ）∵M是BC的中点， ∴，两边平方得 ， ∴； （Ⅱ）∵M，N分别是BC，AC的中点， ，. 所以与的夹角等于， ∴. ∵ ， ， 又（Ⅰ）中， 所以. 40．在中，角的对边分别为. (1)证明：； (2)求； (3)若，边上的中线，求边的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用正弦定理将角转化为边即可得证； （2）利用余弦定理即可求解； （3）在和中有，利用余弦定理即可求解. 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即. （2）因为， 即. 则， 因为， 所以. （3）因为，由余弦定理知：， ， 即， ， 故， 解得：或. 考点九 三角形的角平分线 41．记的内角的对边分别为，已知，且． (1)求； (2)若，记的角平分线与BC交于点D，求AD． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理结合已知化简可得，然后根据特殊角的正切值求出角即可； （2）利用余弦定理及求得，，利用等面积法，结合三角形的面积公式列方程求解即可． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得：，又， 所以，所以， 又因为，所以． （2）由余弦定理可得，即， 又，则，解得：，或（舍去），所以， 根据面积关系可得， 即， 即， 又，所以． 42．在中，已知. (1)求； (2)若为的平分线，面积为14，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式结合即可求解. （2）由（1）的结论以及三角形中求出角C的正弦，再利用正弦定理与 三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解. 【详解】（1）在中，，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以. 所以， 所以， 又因为，所以. （2）由，所以， 所以. 记中角A、B、C所对的边为a、b、c， 由正弦定理可得，所以， 所以， 解得（负值舍去），所以. 又由，得， 所以由，得， 所以，解得. 43．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，D是BC上的点，AD平分∠BAC，求AD的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小； （2）根据已知有，由基本不等式、三角形的三边关系得，再由得，进而有，根据函数单调性求最大值. 【详解】（1）由已知及正弦定理有，即， 由余弦定理有，，则. （2）由（1）可知，则①， 由基本不等式有，可得， 又，则， ∵， ∴，可得， 由①有， 令，则在上单调递增， 所以AD的最大值为. 44．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求角B； (2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD； (3)若的外接圆的半径为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用余弦定理可得，即可得结果； （2）根据面积关系，结合面积公式运算求解即可； （3）利用正弦定理结合三角恒等变换可得，再结合正弦函数的有界性分析求解. 【详解】（1）因为， 可得， 由正弦定理得，则， 且，所以． （2）由题意可知：， 因为， 则， 即，可得． （3）由正弦定理可得， 则， 可得， 又因为，则， 可得，即， 所以的取值范围为. 45．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角C． (2)若，为的中点，在下列两个条件中任选一个，求的长度. 条件①：的面积，且， 条件②：. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)C=. (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，结合余弦定理可得结果. （2）若选条件①，根据三角形面积可得，结合余弦定理可求出的值，在中利用余弦定理可得结果；若选条件②，根据正弦定理求出的值，利用余弦定理求出的值，在中利用余弦定理可得结果. 【详解】（1）∵，∴， ∵，∴， ∵，∴. （2）若选条件①： ∵的面积，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，， ∵D为的中点，∴， 在中，， ∴. 若选条件②： ∵，，∴， 由正弦定理得，=，∴， ∵，∴，解得或（舍）， ∵D为的中点，∴， 在中，， ∴. 考点十三 角形的边长或周长的范围问题 46．在中，内角，，的对边分别为，，，满足． (1)求角的大小； (2)若，求周长的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解； （2）由已知结合余弦定理可得，然后利用基本不等式即可求解的最小值，即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）因为，所以， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以周长的最小值为. 47．锐角面积为，角的对边分别为，且. (1)求证：； (2)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据面积公式可得，即可根据余弦定理以及二倍角公式求解， （2）根据边角互化，结合三角恒等变换，结合三角函数以及二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由可得， ，故， ，， 由于， 由于为锐角三角形，因此，故. （2）, 由于，所以，故， . 48．记内角，，所对的边分别为，，，且，. (1)求； (2)求周长的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）利用正弦定理边化角得，利用辅助角公式得，根据角的范围即可求解. （2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出最大值. 【详解】（1）在中，由及正弦定理，得， 而，则， 即，即，又，所以， 所以，所以. （2）由（1）及余弦定理，得，而， 则，即，又， 于是，整理得，解得， 则当且仅当，即时取等号， 所以，即周长的最大值为6. 49．记的内角A，B，C的对边分别为. (1)求； (2)设AC边上的高为，若，且，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理转化后，整理化简得从而求出角的大小； （2）利用余弦定理可得关系，利用等面积法可求出，由此可求周长的范围. 【详解】（1）由正弦定理得， 因为， 所以， 因为，，所以，， 又，解得； （2）∵，，即， 所以，即， 又，所以， 因为，所以，故， 所以，所以， 所以周长的范围为． 50．在中，已知. (1)求； (2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知三边求角，利用余弦定理即可求解； （2）利用余弦定理求出，设，利用正弦定理有， 即，利用函数即可求解. 【详解】（1）因为由余弦定理有：， 因为为的内角，所以 （2）因为由余弦定理有： =， 所以 设，由点在边上，且为锐角三角形，所以， 所以. 在中，由， 所以，所以， 所以 由是定义域上的减函数，所以， 所以的范围为. 、考点十一 三角形的面积范围问题 51．已知的内角A，B，C的对边分别为，且满足． (1)求角的大小； (2)若点是边BC上，，且，求的面积最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角形内三个角的关系化简已知等式，然后得到，即可求出的大小； （2）由得到，然后由建立方程后得到，借助基本不等式求得的最大值，从而求出三角形面积的最大值. 【详解】（1）∵ 由正弦定理可得， ∴， ∵ ∴， ∴，∵，∴， ∵，∴. （2）∵， ∴， ∴， 即，即， 又∵，∴，∴，当且仅当时取等号， ∴. 52．在中，角，，的对边分别为，，，. (1)求角； (2)若，为边上一点（不同于，两点），，求的面积的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用正弦定理边化角，然后利用两角和的正弦公式，将原式化为，进而可得结果； （2）设，，由正弦定理得，可得，根据余弦定理求得或，分类讨论可求出三角形面积，再根据的范围可得结果. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可知， 因为， 整理得， 因为，所以，所以，即， 又因为，所以． （2）如图，设，，由正弦定理有，得， 因为，所以，所以， 在中，由余弦定理可知，， 即，解得或． 若，， 则的面积为：，即； 若，则， 则， 因为， 所以， 综上可得的面积的取值范围为. 53．已知的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求边； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法一：利用正弦定理结合三角恒等变换分析求解；法二：利用正、余弦定理边角转化分析求解； （2）法一：根据题意整理可得，结合面积公式分析求解；法二：利用正弦定理结合面积公式可得，根据题意结合基本不等式分析求解；法三：作边上的高，可得，，结合基本不等式运算求解；法四：根据题意利用正、余弦定理整理可得，结合二次函数求最值；法五：根据题意利用正、余弦定理整理可得，如图过点作底边的高，不妨设，，，整理可得，进而分析最值. 【详解】（1）法一：因为， 可得， 由正弦定理可得：  所以； 法二：因为，由正弦定理可得， 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. （2）法一：因为，即，则， 可得 由正弦定理可得：， 又因为，所以， 所以面积为：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法二：因为，则， 可得 又因为 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法三：因为，可知，都为锐角， 如图，作边上的高， 则， 因为  则，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为； 法四：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 由余弦定理可得：， 则，化简可得，即， 可得 当时，面积的取到最大值为； 法五：因为，则， 由正弦定理可得：， 由余弦定理可得，即， 如图过点作底边的高， 不妨设，，， 则有，， 则， 整理可得，则，即， 当且仅当时，等号成立， 所以面积的最大值为. 54．已知的内角的对边分别为，且. (1)求边； (2)若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角恒等变化及正弦定理可得，进而可得； （2）由可得，进而得，由正弦定理得，即，由面积公式得，进而可得. 【详解】（1）法一：由可得， 故，由正弦定理可得：，故 法二：由可得 由余弦定理得： 化简得：，即，所以. （2）法一：因，故， 所以 由正弦定理可得：，又因为，所以 所以面积为： 当即时取等. 所以面积的最大值为. 法二： 又. 则，当时取等. 法三：因，易知都为锐角，如图，作边上的高， 则有，因，故，即 当且仅当，即时取等. 法四：因，则，， 余弦定理可得，即 由余弦定理可得：， 则有，化简可得，即 所以 当时，， 所以面积的最大值为. 法五：同法四可得 如图过点作底边的高， 不妨设，，，则有，， 则， 整理可得， 所以，即，当且仅当时取等，则有， 所以面积的最大值为. 55．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题． 问题：已知锐角三角形的内角、、的对边分别为、、，______． (1)求； (2)若，求面积的取值范围． 【答案】(1)条件选择见解析， (2) 【分析】（1）选①：利用诱导公式和二倍角的余弦公式可得出关于的方程，解出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选②：利用正弦定理结合两角差的余弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； 选③：利用正弦定理结合三角恒等变换化简得出，结合角的取值范围可得出角的值； （2）由正弦定理结合三角恒等变换化简得出，求出角的取值范围，可求得的取值范围，再利用三角形的面积公式可求得面积的取值范围. 【详解】（1）若选择①．由，得， 所以，所以，解得或． 又因为，故． 若选择②． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以， 即，整理可得，解得． 又因为，故． 若选择③：． 由正弦定理得． 又因为，所以，所以，即． 可得， 又因为，所以，所以，故． （2）由（1）可知，且，由正弦定理及， 可得． 又因为在锐角三角形中，，所以， 故，所以． 所以面积，所以， 所以面积的取值范围是． 考点十二 解三角形的应用 56．某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，米，则该建筑的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】设，由，结合余弦定理可得，求解即可. 【详解】设，则可得， 由，可得B是AC的中点，所以， 而，则， ，中，由余弦定理可得：， 解得：，所以该建筑的高度米. 故选：B. 57．如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 58．如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为，且两点间的距离为，则树的高度为 m. 【答案】 【分析】在中由正弦定理可求得，进而即可求解树的高度. 【详解】在中，，，， ， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以树的高度为. 故答案为：. 59．如图，为了测量河对岸的塔高AB，某测量队选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D．现测量得，米，在点C，D处测得塔顶A的仰角分别为，，则塔高 ． 【答案】15米 【分析】由题意可得，，在中，由余弦定理可得的大小． 【详解】由题意可得，则， 因为，所以， 在中，，米， 由余弦定理可得， 即， 整理可得， 可得或（舍． 故答案为：15米． 60．已知甲船在A海岛正北方向海里的B处，以7海里/小时的速度沿东偏南的方向航行． (1)甲船航行3小时到达C处，求AC； (2)在A海岛西偏南方向6海里的E处，乙船因故障等待救援．当甲船到达A海岛正东方向的D处时，接收到乙船的求援信号．已知距离A海岛3海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿DE方向航行前往救援？请说明理由． 【答案】(1)海里； (2)甲船能沿DE方向航行前往救援，理由见解析. 【分析】（1）在中使用余弦定理即可求得答案. （2）先根据题目所给的条件作图，在中，由求得长度，在中，先根据余弦定理求得长度，再利用等面积法求得长度，即可判断. 【详解】（1）由题意得，海里，海里，， 在中，由余弦定理得 ， 所以，(海里). （2）甲船能沿DE方向航行前往救援，理由如下： 如图所示，延长，过点A向正东方向作交的延长线于点D，连接，过点A作 交于点F， 在中，(海里)， 在中， (海里)， ， 由余弦定理得 ， 所以(海里)， 所以， 因此甲船能沿方向航行前往救援. 考点十三 解三角形的几何问题 61．在中，，点A在线段上，，且，， (1)求的值； (2)求的值和的面积． 【答案】(1) (2)，面积为 【分析】（1）分别在和中，利用正弦定理列式求解可得； （2）在中，利用余弦定理求出，然后可解. 【详解】（1）因为，所以，① 因为，所以， 在中，由正弦定理得，② 在中，由正弦定理得， 将①代入得，所以，解得代入②得. （2）由，，得， 所以， 在中，由余弦定理得 即，将代入得， 化简得，解得，或， 因为，所以，所以 在中，由勾股定理得，所以， 所以的面积为. 62．如图，在平面四边形中， 点E在上，且 (1)求; (2)求的面积. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）在中，应用余弦定理列方程解之可得； （2）在中，由余弦定理求得，再计算出，然后由面积公式计算． 【详解】（1）在中，由余弦定理得. ， 即 整理得 ， 所以（负值舍去）. （2）在中，由余弦定理得 ， 所以 所以的面积为 63．如图，在平面四边形中，，，平分. (1)若，，求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求的长，在中，由余弦定理可求. （2）设，，表示，在中利用余弦定理结合同角三角函数基本关系可求和，由此可得结果. 【详解】（1）∵平分，∴，故， ∵，， ∴，， 在中，由余弦定理得. （2）设，则. 设，则，， 在中，由余弦定理得， ∵，∴， ∴，， ∴. 64．如图，在锐角中，为边上一点，，，． (1)若，求； (2)设，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式计算得解. （2）根据给定条件，在中利用余弦定理和正弦定理求出，进而求出三角形面积. 【详解】（1）在锐角中，由，得， 而，，则， 所以. （2）锐角中，由，得，， 由，得， 在中，设，则，， 由余弦定理得，解得，即， 由正弦定理，得，解得， 所以的面积. 65．如图，在等边三角形中，为边上一点，，点，分别是边上的动点（不包括端点），若，且设 (1)求证：不论为何值，恒成立. (2)当和的面积相等时，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先得到，即，再在、分别利用正弦定理即可证明； （2）首先表示出、，结合（1）即可得到，最后由两角差的正弦公式化简计算可得. 【详解】（1）在中，， 又，所以， 在中，所以， 在中，由正弦定理得，即， 在中，由正弦定理得，即， 所以，即不论为何值，恒成立； （2）因为， ， 又，，由（1）可得， 所以， 即， 整理得，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$