期末复习专题01 第六章平面向量（6考点清单+14考点题型）-2024-2025学年高一下学期数学期末复习（人教A版2019必修二 全国通用）

期末复习专题01 平面向量 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 向量的相关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点清单2 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 考点清单3 向量共线定理与基本定理 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 考点清单4 平面向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2、平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 3、向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： （1）. （2）. （3），同向⇔；，反向⇔. 特别地或. （4）若θ为，的夹角，则. 4、平面向量数量积的运算律 （1） (交换律)． （2） (结合律)． （3） (分配律)． 考点清单5 平面向量的坐标运算 1、向量的线性运算坐标表示 （1）已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 3、向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 垂直关系 平行关系 与的关系 考点清单6 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 考点题型·巩新知 考点一 平面向量的基本概念 1．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在菱形中一定有 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 3．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列说法正确的是（    ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则与的方向相反 C．若，则 D．向量与向量的长度相等 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 考点二 平面向量的线性运算 6．下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 9．在中，若，，则点M在（    ） A．的角平分线所在的直线上 B．线段的垂直平分线上 C．边所在直线上 D．边的中线上 10．如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 考点三 平面向量共线定理 11．，则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 12．已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 13．如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 14．设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 15．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 考点四 三角形心的向量表示 16．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 17．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 18．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 19．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 20．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半，这个定理就是著名的欧拉线定理．设中，点，，分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是（   ） A． B． C．设边的中点为，则有 D． 考点五 平面向量平行和垂直的坐标表示 21．已知向量，，若，则实数（   ） A．1 B．2 C． D．4 22．已知向量，，且，则 ． 23．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值． 24．已知平面向量. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若向量，若与共线，求的值. 25．已知平面向量，且//. (1)求和； (2)若，求向量与向量的夹角的大小. 考点六 平面向量坐标表示的相关运算 26．已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 27．已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 28．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 29．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 30．已知向量，，，且向量与共线． (1)证明：； (2)求与夹角的大小； (3)求最小值． 考点七 平面向量的投影向量 31．已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 32．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 33．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 34．已知，． (1)若与共线，求的值． (2)若与的夹角为，求的值． (3)求向量在向量上投影的数量． 35．已知平面向量． (1)若，求的坐标和； (2)若，与共线，求实数m的值； (3)若在上的投影的数量为2，求． 考点八 平面向量的数量积 36．在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 37．已知向量，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 38．已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 39．已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 40．如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足，记，． (1)用，表示向量； (2)求的值； (3)设交于，求． 考点九 数量积的取值范围 41．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 42．若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 43．在边长为的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是 . 44．已知P是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），则 的取值范围是 . 45．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 考点十 平面向量的模 46．已知向量满足，且，则（   ） A．3 B． C．7 D． 47．已知向量，满足，，则等于（   ） A．12 B．10 C． D． 48．若单位向量，满足，则（   ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 49．已知向量，满足，，，则 ． 50．已知向量，满足的夹角. (1)求的值； (2)求. 考点十一 平面向量的夹角 51．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 52．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ． 53．已知平面向量，满足，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 54．在中，已知边上的两条中线、相交于点. (1)求的长； (2)求的余弦值. 55．已知平面向量，，. (1)求在方向上的投影向量的数量； (2)求； (3)求与夹角的余弦值. 考点十二 已知夹角范围求参数 56．已知向量，若与所成的角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 57．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 58．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 59．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是 . 60．已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 考点十三 压轴题：极化恒等式求数量积最值 61．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 62．阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 63．阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD=BC=3，求的值； (2)若，，求的值． 64．如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 65．如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. (1)在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； (2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 考点十四 平面向量的新定义 66．设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 67．（多选）定义两个平面向量的一种运算，则下列关于平面向量上述运算的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若且，则 68．若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为 . 69．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 70．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)若向量，满足，，求证：； (3)已知向量，，，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习专题01 平面向量 内容导图预览 考点清单总结 考点清单1 向量的相关概念 1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． 2、零向量：长度为0的向量，记作. 3、单位向量：长度等于1个单位长度的向量． 4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：与任一向量平行． 5、相等向量：长度相等且方向相同的向量． 6、相反向量：长度相等且方向相反的向量． 考点清单2 向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：； 结合律： 减法 求与的相反向量的和的运算 数乘 求实数λ与向量的积的运算 ， 当λ>0时，与的方向相同； 当λ<0时，与的方向相反； 当λ＝0时， ； ； 考点清单3 向量共线定理与基本定理 1、向量共线定理：如果，则，反之，如果且，则一定存在唯一的实数，使. 2、三点共线定理：平面内三点、、三点共线的充要条件是：存在实数，使，其中，为平面内一点。 3、平面向量基本定理 （1）定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 （2）基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 考点清单4 平面向量的数量积 1、向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，作，，则∠AOB就是向量与的夹角． （2）范围：设θ是向量与的夹角，则0°≤θ≤180°. （3）共线与垂直：若θ＝0°，则与同向；若θ＝180°，则与反向；若θ＝90°，则与垂直． 2、平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为θ，则数量叫做与的数量积(或内积)， 记作，即，规定零向量与任一向量的数量积为0，即. （2）几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积． 3、向量数量积的性质 设，是两个非零向量，是单位向量，α是与的夹角，于是我们就有下列数量积的性质： （1）. （2）. （3），同向⇔；，反向⇔. 特别地或. （4）若θ为，的夹角，则. 4、平面向量数量积的运算律 （1） (交换律)． （2） (结合律)． （3） (分配律)． 考点清单5 平面向量的坐标运算 1、向量的线性运算坐标表示 （1）已知，则，． 结论：两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差． （2）若，则； 结论：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。 2、向量平行坐标表示：已知，则向量，共线的充要条件是 3、向量数量积的坐标表示 已知非零向量，，与的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 夹角 垂直关系 平行关系 与的关系 考点清单6 极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 考点题型·巩新知 考点一 平面向量的基本概念 1．下列说法中正确的是（   ） A．向量的模都是正实数 B．单位向量只有一个 C．向量的大小与方向无关 D．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 【答案】C 【分析】根据向量的概念即可判断. 【详解】对于A：根据向量的概念可知，零向量的模为零，故A错误； 对于B：单位向量的定义，单位向量的模为1，方向为任意方向，故B错误； 对于C：向量的模与方向没有关系，故C正确； 对于D：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小，故D错误. 故选：C. 2．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．在菱形中一定有 D．共线向量一定是在同一条直线上的向量 【答案】C 【分析】根据向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】对于A，若，则与大小相等，方向不确定，故A错误； 对于B，若时，则与方向不确定， 故与可能共线也可能不共线，故B错误； 对于C，由菱形，可且， 所以，一定有，故C正确； 对于D，两个非零向量的方向相同或方向相反时我们两向量为平行向量， 规定零向量与任一向量为平行向量，平行向量又称共线向量， 故共线向量不一定是在同一条直线上的向量，也可在相互平行的直线上，故D错误. 故选：C. 3．设，为非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系. 【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立， 故得不到， 若，则， 故“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 4．下列说法正确的是（    ） A．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等 B．若，则与的方向相反 C．若，则 D．向量与向量的长度相等 【答案】D 【分析】对于A，利用共线向量和相等向量的定义，即可求解；对于B，根据条件得到与的方向相同或与中有零向量，即可求解；对于C，取，即可求解；对于D，利用相反向量的定义，即可求解. 【详解】对于选项A，单位向量是指模等于的向量，若两个单位向量平行，它们的方向可能相同或相反， 当方向相反时，这两个单位向量并不相等，所以选项A错误， 对于选项B，若，则与的方向相同或与中有零向量，所以选项B错误， 对于选项C，当时，对于任意向量和，都有且， 但与不一定平行．因为零向量与任意向量都平行，所以选项C错误， 对于选项D，向量与向量是方向相反的向量，但它们的长度是相等的， 因为向量的长度只与向量的大小有关，与方向无关，所以选项D正确， 故选：D. 5．下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BD 【分析】根据向量的相关概念，可得答案. 【详解】向量为矢量，既有大小又有方向，不等比较大小，故A错误； 相等向量的方向与大小都相同，所以也共线，也具有传递性，故BD正确； 当时，向量不一定共线，故C错误. 故选：BD. 考点二 平面向量的线性运算 6．下列向量的运算结果不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法和减法运算即可求解. 【详解】由，故A正确； ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：C. 7．已知为所在平面内的一点，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面的线性运算法则求解即可. 【详解】由题意得 ． 故选：C 8．若非零向量，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照向量，共线和不共线两种情况分类讨论，共线时利用向量模的关系得，不共线时，利用三角形的性质判断向量模的大小关系，即可得解. 【详解】若向量，共线，则由于，是非零向量，且，则必有， 代入可知只有A、C满足； 若向量，不共线，注意到向量模的几何意义，故可以构造如图所示的三角形， 使其满足；令，，则， 所以且， 又，所以，所以， 综上，. 故选：A 9．在中，若，，则点M在（    ） A．的角平分线所在的直线上 B．线段的垂直平分线上 C．边所在直线上 D．边的中线上 【答案】A 【分析】利用单位向量和向量加法的几何意义求解即可. 【详解】因为和是方向上的单位向量， 所以是的角平分线所在的直线上的向量， 故在的角平分线所在的直线上， 则点M在的角平分线所在的直线上. 故选：A 10．如图，在中，点是的上一点（不包括端点），过点的直线分别交直线，于不同的两点，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．若是的中点，则 C．若是的中点，则 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据向量的数乘运算法则和向量的共线定理逐一判断各选项即可. 【详解】解：，A错误； 若是的中点，则， 由三点共线可设，则， ∴， ∴，得，B，C正确； 设，则， ∵三点共线，∴，得，D正确； 故选：BCD. 考点三 平面向量共线定理 11．，则中哪三点共线（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理逐一判断各个选项中的两个向量是否共线，即可得解. 【详解】对于A，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故A不符题意； 对于B，因为， 所以， 又因为为公共点，所以三点共线，故B符合题意； 对于C，， 设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故C不符题意； 对于D，设，则存在唯一实数，使得， 所以，无解， 所以不共线，所以三点不共线，故D不符题意. 故选：B. 12．已知是两个不共线的向量，，，则三点共线的充要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用共线向量定理可三点共线的充要条件. 【详解】因为是两个不共线的向量，故，均不为零向量， 若三点共线，则，为共线向量， 故存在实数，使得，故， 而是两个不共线的向量，故，故， 反之，若，则，故， 故，为共线向量，而，共起点，故三点共线， 综上，三点共线的充要条件是， 故选：A 13．如图，在中，点是边上的点，满足，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，，，则的最小值为（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】根据三点共线可设，且，结合题意可得，再利用乘“1”法运算求解即可. 【详解】由题意可知：三点共线，可设，且， 因为，即, 又因为，，，， 则，可得，即， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 故选：C. 14．设，是两个不共线的向量，，，． (1)求证：三点共线； (2)试确定的值，使与共线． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）证明和共线即可证三点共线； （2）由向量共线定理求解即可． 【详解】（1）由题意， 且， 所以, 所以和共线，故三点共线. （2）因为与共线， 所以存在实数，使得， 又因为不共线， 所以，解得或. 所以. 15．设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，求实数k的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)12 【详解】（1）证明：由已知，得＝（2e1－e2）－（e1＋3e2）＝e1－4e2. 因为＝2e1－8e2，所以. 因为与有公共点B，所以A，B，D三点共线． （2）由（1）可知＝e1－4e2.因为＝3e1－ke2，且B，D，F三点共线，所以存在实数λ，使得＝λ， 即3e1－ke2＝λe1－4λe2，得解得k＝12. 考点四 三角形心的向量表示 16．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 17．在中，若，，则点的轨迹必经过的（   ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【分析】根据平面向量加法及数乘的几何意义作出图形，即可得出判断． 【详解】因为是与同向的单位向量，是与同向的单位向量， 如图，设，， 则可化为：，且， 以，为邻边作平行四边形， 则，且平行四边形为菱形，所以平分， 所以， 又为公共端点，所以，，三点共线，所以在的平分线上， 则点的轨迹必经过的内心， 故选：A． 18．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 19．在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【分析】用向量的线性运算，结合中线向量和共线向量性质即可作答. 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 20．瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半，这个定理就是著名的欧拉线定理．设中，点，，分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是（   ） A． B． C．设边的中点为，则有 D． 【答案】AB 【分析】依题意作出图形，根据重心、垂心、外心的性质一一判断即可. 【详解】由题意作图，如图所示，易知的中点与，共线． 对于A，由题意得，，，所以， 所以，故A正确； 对于B，由题意得，，所以，故B正确； 对于C，由题意知，又因为， 所以，所以，故C错误； 对于D，因为为的外心，向量的模相等，方向不同，故D错误． 故选：AB 考点五平面向量平行和垂直的坐标表示 21．已知向量，，若，则实数（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据向量共线的坐标表示，求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 22．已知向量，，且，则 ． 【答案】/ 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示化简得出的值，然后利用诱导公式、二倍角的正弦、余弦公式以及弦化切可求得所求代数式的值. 【详解】因为向量，，且，则， 所以，． 因此， . 故答案为：. 23．已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用向量平行的坐标运算即可求出，再用求模公式即可； （2）利用得到，再利用数量积的坐标形式求解. 【详解】（1）若，则，即， 则，. （2），则，则， ，得. 24．已知平面向量. (1)若，求向量的坐标； (2)若，求的值； (3)若向量，若与共线，求的值. 【答案】(1) (2) (3)18 【分析】（1）利用得出的值，再利用向量坐标的线性运算即可； （2）利用向量平行的坐标运算得出的值，再利用求模公式即可； （3）先计算和的坐标，再利用向量平行的坐标运算得出的值，即可求得. 【详解】（1）因为，所以，解得，故， 则. （2）因为，所以，则， 则. （3），， 若与共线，则， 解得，即， 故. 25．已知平面向量，且//. (1)求和； (2)若，求向量与向量的夹角的大小. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量垂直和平行的坐标关系求解； （2）结合（1）中结果，利用夹角公式求解. 【详解】（1）由//可得，解得，则； 由可得，解得，则. （2）由（1），，， 根据夹角公式，， 又向量夹角的范围是，则向量与向量的夹角的大小是 考点六平面向量坐标表示的相关运算 26．已知向量，则的值（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据向量的坐标运算求，即可得模长. 【详解】因为向量，则， 所以. 故选：D. 27．已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得， 故，故，故B正确； 对于C，由题设有在方向的投影向量为，故， 故即，故C错误， 对于D，由C的分析可得，故，故D成立. 故选：BD. 28．已知平面向量，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出与的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计算它们的数量积，最后通过化简得到与的关系式． 【详解】，即． 故选：A. 29．已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则 ； ． 【答案】 0 【分析】建立平面直角坐标系，求出的坐标，再利用向量运算的坐标表示求解. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系， 则， ， 所以. 故答案为：；0 30．已知向量，，，且向量与共线． (1)证明：； (2)求与夹角的大小； (3)求最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3). 【分析】（1）利用向量共线的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示推理得证. （2）由（1）中信息，利用向量夹角公式求出夹角. （3）利用坐标计算模建立函数关系，进而求出最小值. 【详解】（1）向量，，由向量与共线，得，解得，， 因此，所以. （2）由（1）知，，则，，而， ，因此， 而，则，所以与的夹角为. （3）由（2）知，，则， 因此， 当且仅当时取等号，所以最小值为. 考点七平面向量的投影向量 31．已知向量，满足，，则在上的投影向量的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合向量模的坐标运算，根据投影向量的运算法则求解即可. 【详解】因为，所以， 所以在上的投影向量的坐标为. 故选：A 32．已知且单位向量在方向上的投影向量为，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义，结合向量数量积的求法即可求解. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 因为，为单位向量，所以，所以与的夹角为. 故选：C. 33．若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得结果. 【详解】因为，所以两边平方得到：， 在方向上的投影向量为， 故选：D 34．已知，． (1)若与共线，求的值． (2)若与的夹角为，求的值． (3)求向量在向量上投影的数量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先求出与的坐标，再根据向量共线的坐标表示得到方程，解得即可； （2）首先求出与的坐标，依题意，根据数量积的坐标表示计算可得； （3）首先求出，，则向量在向量上投影的数量为. 【详解】（1）因为，， 所以，， 因为与共线，所以，解得； （2）因为，， 又与的夹角为， 则，解得； （3）因为，， 所以，， 所以向量在向量上投影的数量为. 35．已知平面向量． (1)若，求的坐标和； (2)若，与共线，求实数m的值； (3)若在上的投影的数量为2，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由向量加法、模的坐标计算公式求解即可； （2）由向量共线的充要条件列式求解即可； （3）由投影数量的定义、数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）因为， 所以， 从而． （2）因为，所以 因为与共线，所以，即． （3）因为在上的投影的数量为2，，所以， 所以． 考点八 平面向量的数量积 36．在正方形中，，分别为，的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建系，设，标相关点，根据向量的坐标运算求解即可. 【详解】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设，则， 可得， 因为，可得， 所以. 故选：B. 37．已知向量，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数量积运算律计算得出，再应用夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为向量，所以， 所以，所以， 设向量与的夹角为，， 所以. 故选：C. 38．已知，且向量的夹角为，下列说法正确的是（    ） A． B． C．向量和的夹角为 D．若，则 【答案】BD 【分析】通过向量的数量积公式以及向量模长公式等进行计算和判断. 【详解】因为，且向量的夹角为， 对于选项A： ，则A错误； 对于选项B： 要使得，则它们的数量积为0. 即，则B正确； 对于选项C： 因为，则，则C错误； 对于选项D：因为， 所以，解得，则D正确． 故选：． 39．已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）. （2）， （3）， 40．如图，在梯形中，，，，为线段上的点，满足，记，． (1)用，表示向量； (2)求的值； (3)设交于，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量加减法的三角形法则，结合向量的线性运算得到结果即可. （2）由向量的数量积定义和向量模的求法求解即可. （3）由向量的数量积和向量的夹角公式求出，即可得解. 【详解】（1）如图，连接， 因为，， 所以， 因为，所以， 又， 所以， 所以. （2）由于，可得，又， 所以， 所以； （3）因为， 所以，故， 又， 又，故， 所以； 考点九 数量积的取值范围 41．已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取BC的中点M，AM的中点D，得到求解. 【详解】如图： 取BC的中点M，AM的中点D， 则， 当点P与点D重合时，所求最小值为， 故选：B． 42．若向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的定义及运算律，分类讨论及夹角即可求解． 【详解】设，由， ①当时，则，此时； ②当时，，且， 当时，即，此时； 当时，， 由，解得， 则， 所以， 综上所述，， 故选：C． 43．在边长为的菱形中，为的中点，，点在线段上运动，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的定义可求得，然后以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系，设点，其中，利用二次函数的基本性质结合平面向量数量积的坐标运算可求出的取值范围. 【详解】因为， 所以，， 因为，故， 以点为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系， 则、、，设点，其中， ，， 所以， 因为，函数在上单调递减， 故，即， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 44．已知P是边长为2的正六边形内的一点（不含边界），则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果. 【详解】 的模为2，根据正六边形的特征， 可以得到在方向上的投影的取值范围是， 结合向量数量积的定义式， 可知等于的模与在方向上的投影的乘积， 所以的取值范围是， 故答案为： 45．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】连接，根据向量的线性运算（或极化恒等式）可得，故可求的取值范围. 【详解】 方法一：正六边形的内切圆半径为，外接圆的半径为. 因为，即，所以，可得． 方法二：连接，则由极化恒等式知， 又易知，所以，可得， 故的取值范围是． 故答案为：. 考点十 平面向量的模 46．已知向量满足，且，则（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：D. 47．已知向量，满足，，则等于（   ） A．12 B．10 C． D． 【答案】C 【分析】由得，又展开即可求解. 【详解】由有， 所以， 所以， 故选：C. 48．若单位向量，满足，则（   ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据向量运算公式，求得，可判定A不正确；利用向量的夹角公式，可判定B正确；由，可判定C正确；根据投影向量的计算公式，可得判定D正确. 【详解】由单位向量，满足， 对于A中，由， 所以，所以A不正确； 对于B中，由，因为，所以，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C正确； 对于D中，由， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：BCD. 49．已知向量，满足，，，则 ． 【答案】 【分析】根据平面向量数量积的运算律计算即可． 【详解】由 两边取平方， 可得 ：， 即， 因为，， 所以，解得或（舍）， 故答案为：． 50．已知向量，满足的夹角. (1)求的值； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件，利用数量积的定义及数量积的运算律，即可求解； （2）利用数量积的运算律及模长的计算公式，即可求解. 【详解】（1）因为， 则 . （2） . 考点十一 平面向量的夹角 51．已知非零向量，满足，若，则与的夹角为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直得到，即可表示，再由夹角公式计算可得. 【详解】因为，且，所以， 所以， 所以，又，所以. 故选：B 52．已知非零向量满足，且，则与的夹角为 ． 【答案】 【分析】由，得到，再由得到，再由夹角公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 即，即， 又，可得：， 即， 所以，所以， 又，所以与的夹角为 故答案为：. 53．已知平面向量，满足，且与的夹角为． (1)求的值； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 【答案】(1)3； (2)； (3) 【分析】（1）根据数量积的定义代入计算即可得出结果； （2）两边同平方再计算即可. （3）由向量夹角的计算公式代入（1）中结论即可. 【详解】（1）由可得； （2） （3）. 即可得与夹角的余弦值为. 54．在中，已知边上的两条中线、相交于点. (1)求的长； (2)求的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将、用、表示，利用平面向量数量积的运算性质可求得的长； （2）计算出的值，结合平面向量的数量积可计算出的值. 【详解】（1）因为 所以. 因为是的中点，则 所以， 所以， 所以， 因为为的中点，所以， 则. 故. （2）因为 . 所以. 55．已知平面向量，，. (1)求在方向上的投影向量的数量； (2)求； (3)求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】(1)投影向量的数量为,代入计算即可; (2)将模长问题转化为数量积运算求解即可; (3)将夹角问题转化为数量积运算求解即可. 【详解】（1）， 所以投影向量的数量为. （2）， ， 所以. （3）， 所以. 所以与夹角的余弦值为. 考点十二已知夹角范围求参数 56．已知向量，若与所成的角为锐角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与所成的角为锐角，可得不等式，再根据与不共线列式，求解交集即可. 【详解】由题意得， 解得，又与所成的角为锐角， 所以，所以，综上， 的取值范围是. 故选： 57．已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由两向量夹角为钝角得到数量积小于0，且不反向共线，列出不等式，求出参数的取值范围. 【详解】因为与的夹角为钝角，则且与不共线， 则且，解得且， 故答案为：. 58．已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 59．设两向量、，满足，，它们的夹角为60°，若向量与向量夹角为钝角，则实数t的取值范围是 . 【答案】 【分析】向量与向量夹角为钝角，则它们的数量积为负，去除方向相反的情形即可． 【详解】由题意， 与向量的夹角为钝角，则， 即，解得， 又由，得，∴所求的范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查向量的夹角与数量积的关系，在用两向量数量积为负，表示向量夹角为钝角时，要注意去除两向量共线的情形． 60．已知为单位向量，且与的夹角为60°. (1)求的值； (2)若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对于求向量的模长，可先对其平方，再利用向量数量积运算求解； （2）对于两向量夹角为锐角的问题，可根据向量数量积大于且两向量不同向共线来确定参数的取值范围. 【详解】（1）对先平方可得： 展开得： 因为，为单位向量，所以，则，. 又因为与的夹角为，可得： 将，，代入可得： 所以. （2）因为向量与的夹角为锐角，所以且与不同向共线. 可得： 将，，代入上式可得： 整理得：，即，得：，解得. 若两向量同向共线，则存在实数，使得，即. 所以可得，将代入得，解得. 所以当两向量不同向共线时，. 综合以上两个条件，实数的取值范围是. 考点十三 压轴题：极化恒等式求数量积最值 61．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题． 材料1．代数模式极化恒等式：， 公式推导：； 材料2．平行四边形模式：如图a，在平行四边形中，O是对角线交点，则； 材料3．三角形模式：如图b，在中，设D为的中点，则． 推导过程：由． (1)已知中，M为中点，，，求的值； (2)如图1，在边长为2的正方形中，其对称中心O平分线段，且，点E为的中点，求的值； (3)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦．”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图2）．某太极八卦图的平面图如图3所示，其中正八边形的中心与圆心重合，O是正八边形的中心，是圆O的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，．若点P是正八边形边上的一点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）由极化恒等式即可求解； （3）连接，根据三角形模式可得，即可求解. 【详解】（1）如图，由是的中点，， 由极化恒等式可得. （2）如图，连接，由，， 由极化恒等式可得. （3）如图，连接， 因为，， 所以， 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以， 又，则，所以， 即的取值范围为. 62．阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②.由①-②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算.如图所示的四边形中，，为中点. (1)若，求的面积； (2)若，求的值； (3)若为平面内一点，求的最小值. 【答案】(1)10； (2)240； (3)-32. 【分析】（1）结合数量积的定义和三角形面积公式求解； （2）根据“极化恒等式”列出式子计算即可 （3）连接，，取的中点，连接，将进行转化求最值. 【详解】（1）因为，所以， 即，所以， 又，所以， 所以； （2）因为，， 由极化恒等式得 ， 所以， 又，所以， 由极化恒等式得 ； （3）连接，，取的中点，连接， 由，， 则 ， 所以当点与重合时， . 63．阅读下一段文字：，，两式相减得，我们把这个等式称作“极化恒等式”，它实现了在没有夹角的参与下将两个向量的数量积运算化为“模”的运算．试根据上面的内容解决以下问题：如图，在中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点． (1)若AD=BC=3，求的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2)7 【分析】（1）由极化恒等式知，代入即可得出答案. （2）因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，解两个方程求出，再因为，代入即可得出答案. 【详解】（1）由极化恒等式知． （2）设，， 因为，由极化恒等式知: ，因为，由极化恒等式知: ，所以   解得m=2，n=3， 所以． 64．如图，正方形的顶点A，B分别在x，y轴正半轴上滑动，M是边的中点． (1)求证：． (2)若正方形的边长为2，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】（1）根据向量线性运算可得，，再根据向量数量积的分配律运算证明； （2）根据题意，点O在以为直径的圆上，数形结合可得，结合（1）可得解. 【详解】（1）因为，又是的中点，则， 所以，又， . （2）如图，取的中点，连接，， 由题，可知点O在以为直径的圆上， 所以， 当且仅当，，三点共线时取等号． 利用（1）结论：. 所以的最大值为8. 65．如图，设是平面内相交成角的两条射线，分别为同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，记. (1)在仿射坐标系中. ①若，求； ②若，且，的夹角为，求； (2)如图所示，在仿射坐标系中，B，C分别在x轴，y轴正半轴上，，E，F分别为BD，BC中点，求的最大值. 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由题意，，将其两边平方，再开方即可得到； ②由表示出和，再由已知用表示出，因为与的夹角为，然后由，即可得到； （2）由题意，设出坐标，表示出，由，求出的表达式，在中依据余弦定理可得，代入得的表达式化简，再在中，用正弦定理，求出，代入的表达式，通过三角恒等化简可得出答案. 【详解】（1）①因为， ， 所以； ②由，即， 得， ， ， 因为与的夹角为， 则，得； （2）依题意设， ， 因为为中点，则， 为中点，所以， 所以 ， 因为， 则， 在中依据余弦定理得，所以，代入上式得， ， 在中，由正弦定理， 设，则， ，其中，是取等号， 则. 【点睛】关键点点睛：设出坐标，求出的表达式是解决第三问的关键. 考点十四 平面向量的新定义 66．设是夹角为的单位向量，由平面向量基本定理知：对平面内任一向量，存在唯一有序实数对，使得，我们称有序实数对为向量的“仿射坐标”，若向量和的“仿射坐标”分别为，，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则的“仿射坐标”为 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】，根据向量运算求出，继而可判断故；根据向量的加法运算可判断；根据垂直的向量表示及数量积运算可判断；根据平面向量的共线定理可判断. 【详解】， 对于：，则， 所以，故正确； 对于：若，则， 所以的“仿射坐标”为，故正确； 对于：， 则， 解得，故错误； 对于：， 若，则，解得，故错误； 故选：AB. 67．（多选）定义两个平面向量的一种运算，则下列关于平面向量上述运算的结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若且，则 【答案】ACD 【分析】通过新定义直接判断A；通过定义分别写和，当时不成立判断B；由已知用定义判断C；先通过已知写出和，判断D即可. 【详解】对于A．恒成立，故正确； 对于B．，， 当时，不成立，故错误； 对于C．，则，故恒成立，故正确； 对于D．，且， 则，， ， 故恒成立，故正确． 故选：ACD． 68．若向量与向量的夹角为θ，我们定义“”为向量与向量的“外积”.两个向量的外积是一个向量，它的长度定义为.在中，，，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设分别为的中点，结合三角形相似推出，由题意可得，，确定四边形面积的最大值，根据题意结合面积公式即可得结果. 【详解】设分别为的中点，连接， 则，所以， 所以，故，即， 又因为，， 所以，. 当时，四边形面积最大，最大值为， 故的面积的最大值为， 又，所以的最大值为. 故答案为：. 69．在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为． (1)已知，求； (2)（ⅰ）设向量的夹角为，证明：； （ⅱ）已知非零向量满足，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（ⅰ）由题意可得，再由同角的平方关系即可得证； （ⅱ）将已知条件代入可求得与的夹角为，再由（ⅰ）的结论即可得答案. 【详解】（1）因为， 可得：． （2）（ⅰ）证明：因为 ， 且，则， 所以． （ⅱ）已知，则． 因为， 所以， 则可得：． 又因为， 所以，即． ， 将代入上式可得：． 设与的夹角为，， 根据向量的夹角公式． 因为， 所以． 因为，且，所以． 与的夹角为， 则． 70．设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”．试求解下列问题： (1)已知向量，满足，，，求的值； (2)若向量，满足，，求证：； (3)已知向量，，，求的最小值． 【答案】(1)3； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出夹角余弦，再利用新定义求解. （2）利用向量的夹角公式及新定义推理得证. （3）利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由，，，得， 解得，，， 所以. （2）由，得， 则， ， 所以. （3）由（2）得，而，， 于是，， ，当且仅当，即时取等号； 所以的最小值是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$