专题05 一次函数及其应用【六大题型】（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题05 一次函数及其应用【六大题型】 【题型1 函数自变量的取值范围】 1．（2023•延庆区期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＝0 B．x≠0 C．x＝3 D．x≠3 解：由题意得：x﹣3≠0， 解得：x≠3， 答案：D． 2．（2023•密云区期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2 解：由题意得，x﹣2≥0， 解得x≥2． 答案：D． 3．（2024•通州区校级期末）函数自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1且x≠3 B．x≥1 C．x≠3 D．x＞1且x≠3 解：根据题意得，x﹣1≥0且x﹣3≠0， 解得x≥1且x≠3． 答案：A． 4．（2023•丰台区校级期末）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1 解：由题意得，x﹣1≥0且x﹣1≠0， 解得x＞1． 答案：D． 5．（2024•海淀区校级期末）函数中自变量x的取值范围是 　x≥1　 ． 解：由题意得：x﹣1≥0， 解得：x≥1， 答案：x≥1． 6．（2023•东城区校级期末）函数y中，自变量x的取值范围是　x≥2且x≠3　 ． 解：根据题意得：， 解得：x≥2且x≠3． 答案：x≥2且x≠3． 【题型2 函数的图象】 7．（2024•丰台区期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y与本数x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 解：汽车从A地匀速行驶到B地，根据汽车的剩余路程y随行驶时间x的增加而减小， 故①符合题意； 本数越多厚度越厚，故②不符合题意； 将水箱中的水匀速放出，直至放完，根据水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小， 故③符合题意； 所以变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是①③． 答案：B． 8．（2023•西城区期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是（6，0）和（4，4）．如图1，甲的游览路线是：O→B→A，其折线段的路程总长记为l1，如图2，景点C和D分别在线段OB，BA上，乙的游览路线是：O→C→D→A，其折线段的路程总长记为l2，如图3，景点E和G分别在线段OB，BA上，景点F在线段OA上，丙的游览路线是：O→E→F→G→A，其折线段的路程总长记为l3．下列l1，l2，l3的大小关系正确的是（　　） A．l1＝l2＝l3 B．l1＜l2且l2＝l3 C．l2＜l1＜l3 D．l1＞l2且l1＝l3 解：根据题意可得 l1＝AB+AB，l2＝CO+CD+AD＜CO+CB+BD+AD＝OB+AB， ∴l1＞l2； 将线段EF平移，可得到线段BG，线段FG移可得到线段BE， ∴BE＝FG，FE＝BG， l3＝OE+EF+FG+AG＝EO+BE+BG+AG＝BO+AB＝l1， ∴l3＝l1， 答案：D． 9．（2024•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（　　） A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 解：∵在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC5， 如图所示，连接AP，过点A作AF⊥BC于F， ∵S△ABCAB•ACBC•AF， ∴S△ABC3×45AF， ∴AF， ∴BF， ∵PD⊥AB，PE⊥AC， ∴四边形ADPE是矩形， ∴DE＝AP， ∴当AP⊥BC时，AP最小，即此时DE最小， ∴DE的最小值为， 而点P到点E的距离可以无限小， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，而点P到点D的距离可以无限性， ∴由函数图象可知点P与B的距离为x． 答案：B． 10．（2024•东城区校级期末）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 解：设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm）， 6＝2t+t 解得，t＝2 此时，点P离点B的距离为：6﹣2×2＝2cm，点Q离点A的距离为：6﹣2＝4cm， 相遇后，点P到达B点用的时间为：2÷2＝1s，此时两个动点之间的距离为3cm， 由上可得，刚开始P和Q两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s； 相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点． 答案：D． 11．（2024•大兴区期末）园林队在某公司进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（平方米）与工作时间t（小时）的关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 　50　 平方米． 解：休息后2小时内绿化面积为160﹣60＝100平方米． ∴休息后园林队每小时绿化面积为． 答案：50 12．（2024•东城区期末）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：　①②　 ． ①碳﹣14的半衰期为5730年； ②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢； ③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一； ④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）． 解：由图象可知： ①碳﹣14的半衰期为5730年，说法正确； ②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢，说法正确； ③经过6个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的，所以经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量大于死亡前的百分之一，所以③的说法错误； ④根据图形估算，衰减至80%的含量所需时间少于1910年， 2023﹣1910＝113， 所以至少是公元113年以后的标本，不到公元前， 所以④的说法错误． 所以正确的有①②． 答案：①②． 【题型3 一次函数图象和性质】 13．（2024•朝阳区校级期末）若一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，则（　　） A．k＜3 B．k＞3 C．k＞0 D．k＜0 解：∵一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限， ∴k﹣3＜0，解得k＜3． 答案：A． 14．（2024•西城区校级期末）一次函数y＝﹣x+4的图象上有两点A（，y1），B（1，y2），则下列说法正确的是（　　） A．y1≤y2 B．y1＞y2 C．y1≥y2 D．y1＜y2 解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（，y1），B（1，y2）均在一次函数y＝﹣x+4的图象上，且1， ∴y1＞y2． 答案：B． 15．（2024•朝阳区校级期末）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数y＝（a﹣2）x+a+1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 解：由不等式组，得x＜3， ∵关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解， ∴﹣10， 解得﹣3＜a≤1， ∵一次函数y＝（a﹣2）x+a+1不经过第三象限， ∴a﹣2＜0且a+1≥0， ∴﹣1≤a＜2， 又∵﹣3＜a≤1， ∴﹣1≤a≤1， ∴整数a的值是﹣1，0，1， ∴所有满足条件的整数a的值之和是：﹣1+0+1＝0， 答案：C． 16．（2024•房山区校级期末）关于函数y＝﹣x+3的图象，下列结论错误的是（　　） A．图象经过一、二、四象限 B．与y轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 解：A、由k＝﹣1＜0，b＝3＞0知，该图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B、当x＝0时，y＝3，则图象与y轴的交点坐标为（0，3），故本选项符合题意． C、由k＝﹣1＜0知，y的值随x的增大而减小，故本选项不符合题意． D、图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为：，故本选项不符合题意． 答案：B． 17．（2024•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于x的每一个值，一次函数y＝mx+2（m≠0）的值都大于函数y＝2x的值，那么m的值是 　2　 ． 解：∵对于x的每一个值，一次函数y＝mx+2（m≠0）的值都大于函数y＝2x的值， ∴两函数的图象平行， ∴m＝2． 答案：2． 18．（2024•海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（4，4），C（5，2），连接AB，BC，P（x，y）为折线段A﹣B﹣C上的动点（P不与点A，C重合），记t＝|y+a|，其中a为实数． （1）当a＝﹣2时，t的最大值为 　2　 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 　a≥﹣2.5．　 ． 解：（1）当a＝﹣2时，t＝|y﹣2|， 根据绝对值的意义，可知t表示P（x，y）与直线y＝2之间的距离， ∴当点P与点B（4.4）重合时，距离最大，此时t＝yB﹣2＝4﹣2＝2． 答案：2； （2）如图，直线l1：y＝2.5， 此时，折线段A﹣B﹣C上，点A、B距离直线l1：y＝2.5的距离最大，都是1.5， 当a＝﹣2.5时，t＝|y﹣2.5|，表示P（x，y）与直线l1：y＝2.5之间的距离， ∴当点P与点B（4，4）重合时，t取得最大值为4﹣2.5＝1.5， 如图：当直线l2：y＝﹣a，在直线l1：y＝2.5上方，即﹣a＞2.5，a＜2.5时，此时，折线段A﹣B﹣C上，点A距离直线l2距离最大， ∴若a＜﹣2.5，t＝|y+a|，t表示P（x，y）与直线l2：y＝﹣a之间的距离，由于P不与点A重合， ∴此时t不存在最大值． 当直线l2：y＝﹣a，在直线l1：y＝2.5下方，即﹣a＜2.5，a＞2.5时，此时，折线段A﹣B﹣C上，点B距离直线距离最大， ∴若a＞﹣2.5，t＝|y+a|，t表示P（x，y）与直线：y＝﹣a之间的距离，此时t存在最大值，即当p在点B处时取得最大值． 综上所述，当a≥﹣2.5时，t存在最大值． 答案：a≥﹣2.5． 19．（2024•西城区校级期末）已知一次函数y＝2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标； （3）在（2）的条件下，求出△AOB的面积． 解：（1）当x＝0时，y＝4， 当y＝0时，x＝﹣2， ∴一次函数y＝2x+4经过（0，4），（﹣2，0）两点，由此两点画出图象即可； （2）当x＝0时，y＝4， ∴B（0，4）， 当y＝0时，x＝﹣2， ∴A（﹣2，0）； （3）△AOB的面积OA×OB2×4＝4． 20．（2023•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣4，0）和点B（0，5）． （1）观察图象，直接写出当 y≥0时，x的取值范围； （2）若点C是x轴上一点，且△ABC 的面积是5，求点C的坐标． 解：（1）当y≥0时，x的取值范围是x≥﹣4； （2）设点C（m，0）， ∴S△ABC， ∵△ABC 的面积是5， ∴， 解得m＝﹣6或m＝﹣2， ∴点C的坐标为 （﹣6，0）或 （﹣2，0）． 【题型4 确定一次函数的解析式】 21．（2024•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且A（4，0），B（6，2），则直线AC的解析式为　y＝﹣x+4　 ． 解：∵四边形OABC是平行四边形， ∴OA∥BC，OA＝BC， ∵A（4，0），B（6，2）， ∴C（2，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝﹣x+4， 答案：y＝﹣x+4． 22．（2023•石景山区校级期末）若一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为 　y＝2x+7或y＝﹣2x+3　 ． 解：（Ⅰ）当k＞0时，， 解得：， 此时y＝2x+7， （Ⅱ）当k＜0时，， 解得：， 此时y＝﹣2x+3， 综上，所求的函数解析式为：y＝2x+7或y＝﹣2x+3． 23．（2023•石景山区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，5），B（0，1）．求一次函数的表达式． 解：把A（﹣2，5），B（0，1）代入y＝kx+b得： ， 解得：， 故一次函数解析式为y＝﹣2x+1． 24．（2024•通州区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），求一次函数y＝kx+b的解析式及线段AB的长． 解：由题意可知，点A （1，0），B（0，2）在直线y＝kx+b上， ∴， 解得 ∴直线的解析式为y＝﹣2x+2 ∵OA＝1，OB＝2，∠AOB＝90°， ∴AB． 【题型5 一次函数与方程、不等式】 25．（2023•海淀区期末）一次函数y＝ax+b的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： x 0 5 y 3 5 则关于x的不等式ax+b＞x的解集是（　　） A．x＜5 B．x＞5 C．x＜0 D．x＞0 解：由题意得：5k+3＝5，解得：k＝0.4， ∴y＝0.4x+3， ∴0.4x+3＞x， 解得：x＜5， 答案：A． 26．（2024•朝阳区校级期末）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 解：由图象可得：当x＜2时，kx+b＞0， 所以关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2， 答案：B． 27．（2023•密云区校级期末）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0； ②b＜0； ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 解：因为正比例函数y1＝ax经过二、四象限，所以a＜0，①正确； 一次函数y2x+b经过一、二、三象限，所以b＞0，②错误； 由图象可得：当x＞0时，y1＜0，③错误； 当x＜﹣2时，y1＞y2，④正确； 答案：D． 28．（2024•房山区期末）关于函数y1＝2x﹣1和函数y2＝﹣x+m（m＞0），有以下结论： ①当0＜x＜1时，y1的取值范围是﹣1＜y1＜1； ②y2随x的增大而增大； ③函数y1的图象与函数y2的图象的交点一定在第一象限； ④若点（a，﹣2）在函数y1的图象上，点在函数y2的图象上，则a＜b． 上述结论正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 解：由y1＝2x﹣1得， x， 因为0＜x＜1， 所以， 解得﹣1＜y1＜1． 故①正确． 因为k＝﹣1＜0， 所以y2随x的增大而减小． 故②错误． 由2x﹣1＝﹣x+m得， x， 则y＝2， 所以函数y1的图象与函数y2的图象的交点坐标为（）． 因为m＞0， 所以， 但的正负无法确定． 故③错误． 因为点（a，﹣2）在函数y1的图象上， 所以2a﹣1＝﹣2， 解得a． 因为点（b，）在函数y2的图象上， 所以﹣b+m， 则b＝m， 所以a﹣b0， 则a＜b． 故④正确． 答案：A． 29．（2024•东城区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 9 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是 　x≤﹣3　 ． 解：由表格可知，当x＝﹣4时，y＝9；当x＝﹣3时，y＝7， ∵﹣4＜﹣3，9＞7， ∴关于x的不等式kx+b≥7的解集是x≤﹣3． 答案：x≤﹣3． 30．（2023•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式mx+n＜2x的解集是 　x＞1　 ． 解：根据图象可知：两函数的交点为（1，2）， 所以关于x的一元一次不等式mx+n＜2x的解集是x＞1． 答案：x＞1． 31．（2023•平谷区期末）函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示． （1）由图可知B点坐标是 　（2，3）　 ． （2）函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣1，﹣3）和点B，求函数y＝kx+b（k≠0）的表达式． （3）结合图象直接写出不等式kx+b≤3的解集． 解：（1）由图象得：B（2，3）， 答案：（2，3）； （2）由题意得：， 解得：， ∴y＝2x﹣1； （3）由图象得：不等式kx+b≤3的解集为：x≤2． 32．（2023•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b1和l2：y＝k2x+b2相交于点A． （1）观察图象，直接写出方程组的解； （2）若直线l2：y＝k2x+b2与y轴的交点为（0，﹣4），求一次函数y＝k2x+b2的表达式． 解：（1）根据图象得，方程组的解为：； （2）由题意得：， 解得：， ∴直线l2：y＝1.5x﹣4． 【题型6 一次函数的应用】 33．（2024•海淀区校级期末）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值： 码数x 26 30 34 42 长度y cm 18 20 22 26 根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（　　） A．24cm B．25cm C．26cm D．38cm 解：设y与x的函数解析式为y＝kx+b， ∵点（26，18），（30，20）在该函数图象上， ∴， 解得， 即y与x的函数解析式为y＝0.5x+5， 当x＝38时，y＝0.5×38+5＝24， 答案：A． 34．（2023•怀柔区期末）甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（　　） A．甲乙两车在距离B城150km处相遇 B．甲乙两车同时到达B城，甲车速度是60km/h C．甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是75km/h D．乙车的速度高于甲车，乙车用时4小时从A城到达B城 解：由图可得， 甲的速度为：300÷（10﹣5）＝60（km/h）， 乙的速度为：300÷（9﹣6）＝100（km/h）， 设甲走m小时，两车相遇， 则60m＝100[m﹣（6﹣5）]， 解得m＝2.5， ∴甲乙两车在距离B城300﹣60×2.5＝150（km）处相遇，故选项A正确，符合题意； 由图象可得：乙车先到达B城，故选项B错误，不符合题意； 甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是100km/h，故选项C错误，不符合题意； 乙车的速度高于甲车，乙车用时9﹣6＝3（小时）从A城到达B城，故选项D错误，不符合题意； 答案：A． 35．（2024•东城区期末）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：cm）是指距x（单位：cm）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值： 指距x/cm 16 18 20 22 身高y/cm 133 151 169 187 小明的身高是160cm，一般情况下，他的指距约是 　19　 cm． 解：根据已知设y＝kx+b， 将表格任意两组数据（16，133）（18，151）， ∴ 解得： ∴y＝9x﹣11， 当y＝160cm时， 160＝9x﹣11， 解得：x＝19， 答案：19． 36．（2024•西城区期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示． （1）小华从家出发 　10　 min时，爸爸追上小华； （2）图书馆离小华家 　1760　 m． 解：（1）由图象可知，小华从家出发10min时，与爸爸的距离为0，即爸爸追上小华时，小华从家出发10min； 答案：10； （2）由图象可知，爸爸追上小华后用14﹣10＝4（min）回到家， ∴小华提速前的速度与爸爸的速度比为4：10， 设爸爸速度为x m/min，则小华提速前的速度为x m/min，提速后速度为x×1.2x m/min， ∴4（xx）＝1184， 解得x＝200， ∴小华提速前的速度为x＝20080（m/min），提速后速度为x＝20096（m/min）， ∵10×80+（20﹣10）×96＝1760（m）， ∴图书馆离小华家1760m， 答案：1760． 37．（2024•东城区期末）某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 75 100 羽毛球拍（元/套） 80 120 该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了c（10＜c＜15）元，羽毛球拍的进价不变，若商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，请你利用函数的性质进行分析：如何购货才能获利最大？最大利润是多少（用含有c的代数式表示）？ 解：（1）设购进乒乓球拍x（套），则购进羽毛球拍（600﹣x）套， ∴y＝（100﹣75）x+（120﹣80）（600﹣x）＝﹣15x+24000， ∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半， ∴， 解得：x≥200， 又购进乒乓球拍的套数不超过250套， ∴200≤x≤250； （2）由题意，得：y＝（100﹣75+c）x+（120﹣80）（600﹣x）＝（c﹣15）x+24000， ∵10＜c＜15， ∴c﹣15＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝200时，此时600﹣x＝400，y取得最大值，最大值为：（c﹣15）×200+24000＝200c+21000； 答：购进乒乓球拍200套，羽毛球拍400套时，利润最大，为（200c+21000）元． 38．（2024•房山区校级期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当月用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题： （1）“基础电价”是 　0.5　 元/度； （2）当x＞240时，求y与x的函数表达式； （3）若小刚家3月份用电量是80度，则应缴纳电费 　40　 元； （4）若小华家六月份缴纳电费132元，则小华家六月份用电量为 　260　 度． 解：（1）由图象可得， “基础电价”是：120÷240＝0.5（元/度）， 答案：0.5； （2）当x＞240时，设y与x的函数表达式为y＝kx+b， 则， 解得， 即当x＞240时，y与x的函数表达式是y＝0.6x﹣24； （3）当x＝80时，应缴纳电费为0.5×80＝40（元）， 答案：40； （4）∵132＞120， ∴小华家六月份用电量超过240度， 将y＝132代入y＝0.6x﹣24，得132＝0.6x﹣24， 解得x＝260， 答：小华家六月份用电量260度， 答案：260． 39．（2024•海淀区期末）一个有进水管和排水管的水池．每小时进水量和排水量分别为恒定的数值．从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最数后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示． 根据图象．回答下列问题． （1）该水池进水管每小时进水 　3　 吨，排水管每小时排水 　5　 吨； （2）当x＝4时，求水池内的水量； （3）这6个小时，排水管共排水 　15　 吨． 解：（1）∵开始3小时内仅进行进水操作而不排水， ∴该水池进水管每小时进水为9÷3＝3（吨）， ∵在最后1小时内，水池仅排水而不再进水， ∴排水管每小时排水：5÷（6﹣5）＝5（吨）． 答案：3，5； （2）∵3～5时，水池同时进行进水和排水操作， ∴当x＝4时，水池内的水量为9﹣（5﹣3）×（4﹣3）＝7（吨）， 答：当x＝4时，求水池内的水量7吨． （3）这6个小时，排水管共排水为（6﹣3）×5＝15（吨）， 答案：15． 40．（2024•朝阳区期末）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度（h/cm） 2 4 6 5.75 5.5 3 根据以上信息，解决下列问题： （1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t＝　3　 s时，杯中水位最高，是 　6　 cm； （3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 　2　 cm/s； （4）求停止注水时t的值； （5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 　　 cm/s． 解：（1） （2）由表格知， 当t＝3s时，杯中水位最高，最高水位为6cm． 答案：3；6． （3）由表格知， 自动排水前，每经过1秒钟，水位上升2cm， 即杯中水位上升的速度为2cm/s． 答案：2． （4）设从开始向外排水到停止注水，h关于t的函数表达式为h＝kt+b， 把（3，6），（5，5.5）代入， 即， 解得：， ∴ht， 由表格知，排水的速度为2+（5.75﹣5.5）÷1＝2.25（cm/s）， ∵当t＝7时，h＝3， 当t＝8时，h＝0.75， 可求得，停止注水后，h关于t的函数表达式为ht， 可得方程组， 解得：， ∴t＝6s时，停止注水． （5）由（4）知，第6s停止注水，此时水位的高度为5.25cm， 所以从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时5.25÷2.25+6（s）． 答案：． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一次函数及其应用【六大题型】 【题型1 函数自变量的取值范围】 1．（2023•延庆区期末）函数的自变量x的取值范围是（　　） A．x＝0 B．x≠0 C．x＝3 D．x≠3 2．（2023•密云区期末）函数中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≤2 B．x＜2 C．x＞2 D．x≥2 3．（2024•通州区校级期末）函数自变量x的取值范围是（　　） A．x≥1且x≠3 B．x≥1 C．x≠3 D．x＞1且x≠3 4．（2023•丰台区校级期末）函数y中，自变量x的取值范围是（　　） A．x≠1 B．x＞0 C．x≥1 D．x＞1 5．（2024•海淀区校级期末）函数中自变量x的取值范围是 　 　 ． 6．（2023•东城区校级期末）函数y中，自变量x的取值范围是　 　 ． 【题型2 函数的图象】 7．（2024•丰台区期末）下面的三个问题中都有两个变量： ①汽车从甲地匀速行驶到乙地，汽车的剩余路程y与行驶时间x； ②将一些相同的练习册摞在一起，这些练习册的总厚度y与本数x； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（　　） A．①②③ B．①③ C．①② D．②③ 8．（2023•西城区期末）以某公园西门O为原点建立平面直角坐标系，东门A和景点B的坐标分别是（6，0）和（4，4）．如图1，甲的游览路线是：O→B→A，其折线段的路程总长记为l1，如图2，景点C和D分别在线段OB，BA上，乙的游览路线是：O→C→D→A，其折线段的路程总长记为l2，如图3，景点E和G分别在线段OB，BA上，景点F在线段OA上，丙的游览路线是：O→E→F→G→A，其折线段的路程总长记为l3．下列l1，l2，l3的大小关系正确的是（　　） A．l1＝l2＝l3 B．l1＜l2且l2＝l3 C．l2＜l1＜l3 D．l1＞l2且l1＝l3 9．（2024•西城区期末）如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，P是边BC上的一个动点，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，连接DE．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，y与x之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（　　） A．点P与B的距离为x，点P与C的距离为y B．点P与B的距离为x，点D与E的距离为y C．点P与D的距离为x，点P与E的距离为y D．点P与D的距离为x，点D与E的距离为y 10．（2024•东城区校级期末）如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为S（单位：cm），则能表示S与t的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 11．（2024•大兴区期末）园林队在某公司进行绿化，中间休息了一段时间，已知绿化面积S（平方米）与工作时间t（小时）的关系的图象如图所示，则休息后园林队每小时绿化面积为 　 　 平方米． 12．（2024•东城区期末）碳﹣14是碳元素的一种同位素，具有放射性．活体生物其体内的碳﹣14含量大致不变，当生物死亡后，机体内的碳﹣14含量会按确定的比例衰减（如图所示），机体内原有的碳﹣14含量衰减为原来的一半所用的时间称为“半衰期”．考古学者通常可以根据碳﹣14的衰变程度计算出样品的大概年代．以下几种说法中，正确的有：　 　 ． ①碳﹣14的半衰期为5730年； ②碳﹣14的含量逐渐减少，减少的速度开始较快，后来较慢； ③经过六个“半衰期”后，碳﹣14的含量不足死亡前的百分之一； ④若某遗址一生物标本2023年出土时，碳﹣14的剩余量所占百分比为80%，则可推断该生物标本大致属于我国的春秋时期（公元前770年﹣公元前475年）． 【题型3 一次函数图象和性质】 13．（2024•朝阳区校级期末）若一次函数y＝（k﹣3）x﹣1的图象不经过第一象限，则（　　） A．k＜3 B．k＞3 C．k＞0 D．k＜0 14．（2024•西城区校级期末）一次函数y＝﹣x+4的图象上有两点A（，y1），B（1，y2），则下列说法正确的是（　　） A．y1≤y2 B．y1＞y2 C．y1≥y2 D．y1＜y2 15．（2024•朝阳区校级期末）若关于x的一元一次不等式组恰有3个整数解，且一次函数y＝（a﹣2）x+a+1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1 16．（2024•房山区校级期末）关于函数y＝﹣x+3的图象，下列结论错误的是（　　） A．图象经过一、二、四象限 B．与y轴的交点坐标为（3，0） C．y随x的增大而减小 D．图象与两坐标轴相交所形成的直角三角形的面积为 17．（2024•通州区期末）在平面直角坐标系xOy中，对于x的每一个值，一次函数y＝mx+2（m≠0）的值都大于函数y＝2x的值，那么m的值是 　 　 ． 18．（2024•海淀区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（4，4），C（5，2），连接AB，BC，P（x，y）为折线段A﹣B﹣C上的动点（P不与点A，C重合），记t＝|y+a|，其中a为实数． （1）当a＝﹣2时，t的最大值为 　 　 ； （2）若t存在最大值，则a的取值范围为 　 　 ． 19．（2024•西城区校级期末）已知一次函数y＝2x+4． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该函数的图象； （2）求图象与x轴的交点A的坐标，与y轴交点B的坐标； （3）在（2）的条件下，求出△AOB的面积． 20．（2023•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象经过点A（﹣4，0）和点B（0，5）． （1）观察图象，直接写出当 y≥0时，x的取值范围； （2）若点C是x轴上一点，且△ABC 的面积是5，求点C的坐标． 【题型4 确定一次函数的解析式】 21．（2024•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，且A（4，0），B（6，2），则直线AC的解析式为　 　 ． 22．（2023•石景山区校级期末）若一次函数y＝kx+b，当﹣3≤x≤1时，对应的y值为1≤y≤9，则一次函数的解析式为 　 　 ． 23．（2023•石景山区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，5），B（0，1）．求一次函数的表达式． 24．（2024•通州区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，2），求一次函数y＝kx+b的解析式及线段AB的长． 【题型5 一次函数与方程、不等式】 25．（2023•海淀区期末）一次函数y＝ax+b的自变量和函数值的部分对应值如下表所示： x 0 5 y 3 5 则关于x的不等式ax+b＞x的解集是（　　） A．x＜5 B．x＞5 C．x＜0 D．x＞0 26．（2024•朝阳区校级期末）如图，直线y＝kx+b（b＞0）经过点（2，0），则关于x的不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2 27．（2023•密云区校级期末）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P．下面有四个结论：①a＜0； ②b＜0； ③当x＞0时，y1＞0；④当x＜﹣2时，y1＞y2．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①④ 28．（2024•房山区期末）关于函数y1＝2x﹣1和函数y2＝﹣x+m（m＞0），有以下结论： ①当0＜x＜1时，y1的取值范围是﹣1＜y1＜1； ②y2随x的增大而增大； ③函数y1的图象与函数y2的图象的交点一定在第一象限； ④若点（a，﹣2）在函数y1的图象上，点在函数y2的图象上，则a＜b． 上述结论正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．③④ D．①② 29．（2024•东城区期末）一次函数y＝kx+b（k≠0）中两个变量x，y的部分对应值如下表所示： x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 … y … 9 7 5 3 1 … 那么关于x的不等式kx+b≥7的解集是 　 　 ． 30．（2023•丰台区期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝2x和y＝mx+n的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式mx+n＜2x的解集是 　 　 ． 31．（2023•平谷区期末）函数y＝kx+b（k≠0）的图象如图所示． （1）由图可知B点坐标是 　 　 ． （2）函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点A（﹣1，﹣3）和点B，求函数y＝kx+b（k≠0）的表达式． （3）结合图象直接写出不等式kx+b≤3的解集． 32．（2023•朝阳区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝k1x+b1和l2：y＝k2x+b2相交于点A． （1）观察图象，直接写出方程组的解； （2）若直线l2：y＝k2x+b2与y轴的交点为（0，﹣4），求一次函数y＝k2x+b2的表达式． 【题型6 一次函数的应用】 33．（2024•海淀区校级期末）小明同学在一次学科综合实践活动中发现，某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的码数x之间满足一次函数关系，下表给出y与x的一些对应值： 码数x 26 30 34 42 长度y cm 18 20 22 26 根据小明的数据，可以得出该品牌38码鞋子的长度为（　　） A．24cm B．25cm C．26cm D．38cm 34．（2023•怀柔区期末）甲、乙两车从A城出发前往B城．在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示．则下列说法正确的是（　　） A．甲乙两车在距离B城150km处相遇 B．甲乙两车同时到达B城，甲车速度是60km/h C．甲车比乙车早出发1小时，乙车的速度是75km/h D．乙车的速度高于甲车，乙车用时4小时从A城到达B城 35．（2024•东城区期末）如图，大拇指与小拇指尽量张开时，两指尖的距离称为指距．某项研究表明，一般情况下人的身高y（单位：cm）是指距x（单位：cm）的一次函数，现测得指距x与身高y的几组对应值： 指距x/cm 16 18 20 22 身高y/cm 133 151 169 187 小明的身高是160cm，一般情况下，他的指距约是 　 　 cm． 36．（2024•西城区期末）小华从家出发沿笔直的马路匀速步行去图书馆听讲座，几分钟后，爸爸发现小华忘带图书馆的出入卡，于是从家出发沿相同路线匀速跑步去追小华，爸爸追上小华后以原速度沿原路回家．小华拿到出入卡后以原速度的1.2倍快步赶往图书馆，并在从家出发20min时到达图书馆（小华被爸爸追上时交流的时间忽略不计）．在整个过程中，小华与爸爸之间的距离y与小华离家的时间x的对应关系如图所示． （1）小华从家出发 　 　 min时，爸爸追上小华； （2）图书馆离小华家 　 　 m． 37．（2024•东城区期末）某体育用品商店计划一共购进600套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过250套，它们的进价和售价如下表： 进价 售价 乒乓球拍（元/套） 75 100 羽毛球拍（元/套） 80 120 该商店根据以往销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，设购进乒乓球拍x（套），售完这批体育用品获利y（元）． （1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）该商店实际采购时，恰逢“双11”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了c（10＜c＜15）元，羽毛球拍的进价不变，若商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完，请你利用函数的性质进行分析：如何购货才能获利最大？最大利润是多少（用含有c的代数式表示）？ 38．（2024•房山区校级期末）某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费，分两档收费：第一档是当月用电量不超过240度时实行“基础电价”；第二档是当月用电量超过240度时，其中的240度仍按照“基础电价”计费，超过的部分按照“提高电价”收费．设家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．具体收费情况如折线图所示，请根据图象回答下列问题： （1）“基础电价”是 　 　 元/度； （2）当x＞240时，求y与x的函数表达式； （3）若小刚家3月份用电量是80度，则应缴纳电费 　 　 元； （4）若小华家六月份缴纳电费132元，则小华家六月份用电量为 　 　 度． 39．（2024•海淀区期末）一个有进水管和排水管的水池．每小时进水量和排水量分别为恒定的数值．从某时刻开始3小时内仅进行进水操作而不排水．在随后的2小时内，水池同时进行进水和排水操作．在最数后1小时内，水池仅排水而不再进水．该水池内的水量y（单位：吨）与时间x（单位：小时）之间的函数关系如图所示． 根据图象．回答下列问题． （1）该水池进水管每小时进水 　 　 吨，排水管每小时排水 　 　 吨； （2）当x＝4时，求水池内的水量； （3）这6个小时，排水管共排水 　 　 吨． 40．（2024•朝阳区期末）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是匀速的．向此简易“公道杯”中匀速注入清水，一段时间后停止，再等水完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，部分数值如下： 时间（t/s） 1 2 3 4 5 6 7 8 水位高度（h/cm） 2 4 6 5.75 5.5 3 根据以上信息，解决下列问题： （1）描出以表中各组已知对应值为坐标的点； （2）当t＝　 　 s时，杯中水位最高，是 　 　 cm； （3）在自动向外排水开始前，杯中水位上升的速度为 　 　 cm/s； （4）求停止注水时t的值； （5）从开始注水，到杯中水完全排尽，共用时 　 　 cm/s． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$