专题04 特殊的平行四边形【五大题型】（北京专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题04 特殊的平行四边形【五大题型】 【题型1 特殊平行四边形的边角计算问题】 1．（2024•海淀区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则AC长为（　　） A． B．4 C． D．8 2．（2024•西城区校级期末）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝CD，则∠BEC的度数为（　　） A．22.5° B．60° C．67.5° D．75° 3．（2023•东城区校级期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线F处．若AB＝6，AD＝8，则ED的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 4．（2024•怀柔区期末）如图，正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，AE＝CF，连接DE，DF，EF，M为EF中点，连接DM，CM．若∠ADE＝α，则∠CMF＝（　　） A． B．30°﹣α C．45°﹣α D．α 5．（2024•朝阳区期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BEC＝　 　 °． 6．（2024•昌平区期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2．若EC平分∠BED，则BC的长为 　 　 ． 7．（2024•房山区校级期末）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝40°，则∠DFC的度数为 　 　 ． 8．（2024•海淀区期末）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 　 　 ． 9．（2024•顺义区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD于点O，O为AC中点．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE．若AC＝8，BC＝5，求CE的长． 10．（2023•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． 【题型2 特殊平行四边形的判定问题】 11．（2023•昌平区校级期末）在下列条件中，能判定四边形为矩形的是（　　） A．两组对边分别平行 B．四个内角度数相等 C．对角线长度相等 D．对角线互相垂直 12．（2024•丰台区期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．如果只添加一个条件即可证明四边形AEFD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB⊥AD B．∠BAD＝60° C．AD＝EF D．CD＝2AD 13．（2024•大兴区期末）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　） A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形 B．如果AB∥CD，OA＝OB，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果OA＝OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 14．（2024•朝阳区期末）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 15．（2024•石景山区期末）如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　 　 ． 16．（2023•房山区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是 　 　 （写出一个条件即可）． 【题型3 特殊平行四边形中的点的坐标问题】 17．（2024•朝阳区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 18．（2024•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣1） D．（﹣2，0） 19．（2024•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4） 20．（2024•东城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3） 21．（2024•石景山区校级期末）矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　 ． 22．（2024•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，AB⊥y轴于点B．以AB为边作菱形ABCD，若点C在x轴上，则点D的坐标为 　 　 ． 23．（2024•怀柔区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADC＝60°，AO＝2，以O为坐标原点，AC与BD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy，则点D的坐标为　 ． 24．（2023•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上，点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为 　 　 ． 【题型4 特殊平行四边形中的面积问题】 25．（2024•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A． B． C． D．64 26．（2023•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 27．（2024•顺义区校级期末）在直线L上依次放着三个正方形，已知斜放的正方形的面积为2，正放的两个正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 28．（2024•东城区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 29．（2023•顺义区期末）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝16，S2＝9，AC，则AB的长为 　 　 ． 30．（2023•房山区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接OE，若，OA＝4，则AB＝　 　 ，菱形ABCD的面积是 　 　 ． 31．（2023•东城区期末）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，则△EFC的面积为 　 　 ． 32．（2023•门头沟区期末）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD中点的两条直线交AB、CD于E、F，交AD，BC于点H、G，若矩形的边长为4和2，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 33．（2024•西城区期末）如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形； （2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积． 34．（2024•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，以BC，CD为一组邻边作▱BCDE，ED与AB交于点O，连接AE，BD． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）若，∠EAD＝120°，求菱形AEBD的面积． 【题型5 特殊平行四边形中的线段数量关系问题】 35．（2024•东城区校级期末）如图，点E是正方形ABCD内部一点，BE＝BA，连接AE，CE，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F． （1）依题意补全图形，求∠CEF的度数； （2）连接DF，用等式表示线段AF，DF，CF之间的数量关系，并证明． 36．（2024•海淀区校级期末）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 37．（2024•大兴区期末）已知：如图，四边形ABMC是正方形，AD＝AC，∠BAD＝α（0°＜α＜90°，连接DB，DC，BC． （1）求∠CDB的度数； （2）作BE⊥CD于点E，连接AE，用等式表示线段AE，BD，CD之间的数量关系，并证明． 38．（2023•朝阳区期末）如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）求证：BC＝DF； （2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 特殊的平行四边形【五大题型】 【题型1 特殊平行四边形的边角计算问题】 1．（2024•海淀区期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2，则AC长为（　　） A． B．4 C． D．8 解：∵四边形ABCD是矩形，∠AOD＝120°， ∴AC＝BD，∠OAD＝∠0DA＝（180°﹣120°）÷2＝30°， 又∵AB＝2， ∴BD＝2AB＝2×2＝4， ∴AC＝4， 答案：B． 2．（2024•西城区校级期末）如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝CD，则∠BEC的度数为（　　） A．22.5° B．60° C．67.5° D．75° 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠DBC＝45°， ∵BE＝CD， ∴BE＝BC， ∴∠BEC＝∠BCE＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°， 答案：C． 3．（2023•东城区校级期末）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边DC落在对角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线F处．若AB＝6，AD＝8，则ED的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．2 解：在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8， ∴DC＝6， ∴AC10， 根据折叠可得：△DEC≌△FEC， ∴FC＝DC＝6，DE＝FE， 设ED＝x，则FE＝x，AF＝AC﹣CF＝4，AE＝8﹣x， 在Rt△AEF中：（AF）2+（EF）2＝AE2， 42+x2＝（8﹣x）2， 解得：x＝3， 答案：A． 4．（2024•怀柔区期末）如图，正方形ABCD中，E是AB边上一点，F是BC延长线上一点，AE＝CF，连接DE，DF，EF，M为EF中点，连接DM，CM．若∠ADE＝α，则∠CMF＝（　　） A． B．30°﹣α C．45°﹣α D．α 解：在BC上截取CP＝CF，连接PE，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC＝AB＝BC，∠A＝∠B＝∠DCF＝∠ADC＝90°， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴DE＝DF，∠CDF＝∠ADE＝α， ∴∠CDF+∠CDE＝∠ADE+∠CDE，即∠EDF＝∠ADC＝90°， ∵DE＝DF，∠EDF＝90°， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∵∠CDF＝α，∠DCF＝90°，∠MFC＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF﹣∠DFE＝180°﹣α﹣90°﹣45°＝45°﹣α， ∵点M是EF的中点，CP＝CF， ∴MC是△EPF的中位线， ∴CM∥EP， ∴∠BPE＝∠MCB， ∵AB＝BC，AE＝CP＝CF ∵BE＝BP， ∵∠B＝90°， ∴∠BEP＝∠BPE＝45°， ∴∠MCB＝∠BPE＝45°， ∵∠MFC＝45°﹣α， ∴CMF＝∠MCB﹣∠MFC＝45°﹣（45°﹣α）＝α， 答案：D． 5．（2024•朝阳区期末）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠BEC＝　30　 °． 解：正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°， ∵△ADE为等边三角形， ∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠AED＝∠ADE＝60°， ∴AB＝AE，∠BAE＝∠BAD+∠EAD＝150°， ∴， 同理，∠DEC＝15°； ∴∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠DEC＝60°﹣15°﹣15°＝30°； 答案：30． 6．（2024•昌平区期末）如图，已知四边形ABCD是矩形，AB＝6，点E在AD上，DE＝2．若EC平分∠BED，则BC的长为 　10　 ． 解：∵EC平分∠BED， ∴∠BEC＝∠CED， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠DEC＝∠BCE， ∴∠BEC＝∠BCE， ∴BE＝BC， ∵BE2＝AB2+AE2， ∴BC2＝36+（BC﹣2）2， ∴BC＝10， 答案：10． 7．（2024•房山区校级期末）如图，点E为正方形ABCD外一点，且ED＝CD，连接AE，交BD于点F．若∠CDE＝40°，则∠DFC的度数为 　110°　 ． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADC＝90°， ∴∠ADB＝∠BDC＝45°， ∵DC＝DE， ∴AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA， ∵∠ADE＝90°+40°＝130°， ∴∠DAE25°， ∴∠AFD＝180°﹣25°﹣45°＝110°， 在△ADF和△CDF中， ∵， ∴△ADF≌△CDF（SAS）， ∴∠DFC＝∠AFD＝110°， 答案：110°． 8．（2024•海淀区期末）如图，将面积为25的正方形ABCD的边AD的长度增加a，变为面积为22的矩形AEGF．若正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等，则a的值是 　　 ． 解：∵正方形ABCD的面积为25， ∴正方形ABCD的边长为5， 由题意得：DF＝a，AF＝5+a， ∵正方形ABCD和矩形AEGF的周长相等， ∴2（AE+AF）＝5×4， ∴AE＝5﹣a， ∵矩形AEGF的面积为22， ∴AE•AF＝22，即（5﹣a）（5+a）＝22， 解得：a1，a2， ∵a＞0， ∴a， 答案：． 9．（2024•顺义区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD于点O，O为AC中点．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE．若AC＝8，BC＝5，求CE的长． （1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， ∵O为AC中点， ∴OA＝OC， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OCAC8＝4，OB＝ODBD，AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD， 在Rt△BCO中， OB3， ∴BD＝2OB＝6， ∵BE＝AB， ∴CD＝BE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CE＝BD＝6， 即CE的长为6． 10．（2023•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度． （1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC且AD＝BC， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， ∴AD＝EF， ∵AD∥EF， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴四边形AEFD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10， ∴AD＝AB＝BC＝10， ∵EC＝4， ∴BE＝10﹣4＝6， 在Rt△ABE中，AE， 在Rt△AEC中，AC， ∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC， ∴OEAC． 【题型2 特殊平行四边形的判定问题】 11．（2023•昌平区校级期末）在下列条件中，能判定四边形为矩形的是（　　） A．两组对边分别平行 B．四个内角度数相等 C．对角线长度相等 D．对角线互相垂直 解：A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B、四个内角度数相等的四边形是矩形，故选项B符合题意； C、对角线长度相等的四边形不一定是平行四边形，故选项C不符合题意； D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故选项D不符合题意； 答案：B． 12．（2024•丰台区期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．如果只添加一个条件即可证明四边形AEFD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB⊥AD B．∠BAD＝60° C．AD＝EF D．CD＝2AD 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴DFCD，AEAB， ∴DF＝AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当CD＝2AD时，则AD＝DF， ∴四边形AEFD是菱形， 答案：D． 13．（2024•大兴区期末）已知四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD∥BC，下列判断中错误的是（　　） A．如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形 B．如果AB∥CD，OA＝OB，那么四边形ABCD是矩形 C．如果AD＝BC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 D．如果OA＝OC，AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形 解：A、如果AB＝CD，AC＝BD，那么四边形ABCD是等腰梯形，不一定矩形，符合题意； B、如果AD∥BC，OA＝OB，则四边形ABCD是平行四边形，又AC＝BD，那么四边形ABCD是矩形；不符合题意； C、如果AD∥BC，AD＝BC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；不符合题意； D、如果AD∥BC，OA＝OC，则四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，那么四边形ABCD是菱形；不符合题意； 答案：A． 14．（2024•朝阳区期末）满足下列条件的四边形一定是正方形的是（　　） A．对角线互相平分的四边形 B．有三个角是直角的四边形 C．有一组邻边相等的平行四边形 D．对角线相等的菱形 解：A选项，对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A选项不符合题意； B选项，有三个角是直角的四边形是矩形，故B选项不符合题意； C选项，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故C选项不符合题意； D选项，对角线相等的菱形是正方形，故D选项符合题意； 答案：D． 15．（2024•石景山区期末）如图，▱ABCD中，BE⊥AD于E，F为BC上一点，请添加一个条件，使得四边形BEDF是矩形，这个条件可以为 　DF⊥BC（答案不唯一）　 ． 解：添加DF⊥BC， 理由：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥AD， ∵BE⊥AD， ∴BE∥DF， ∴四边形BEDF是平行四边形， ∵BE⊥AD， ∴∠BED＝90°， ∴四边形BEDF是矩形． 答案：DF⊥BC（答案不唯一）． 16．（2023•房山区校级期末）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，这个条件可以是 　AB＝AD（答案不唯一）　 （写出一个条件即可）． 解：这个条件可以是AB＝AD（答案不唯一）， 理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD， ∴四边形ABCD是正方形， 答案：AB＝AD（答案不唯一）． 【题型3 特殊平行四边形中的点的坐标问题】 17．（2024•朝阳区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的横坐标是（　　） A．4 B．2 C．5 D．4 解：连接AC， ∵点A（4，﹣2），点C（1，2）， ∴AC5， ∵四边形ABCO是矩形， ∴OB＝AC＝5， ∴点B的横坐标为5， 答案：C． 18．（2024•西城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点D在x轴上，边BC在y轴上，若点A的坐标为（2，3），则C点的坐标为（　　） A．（0，﹣2） B．（0，﹣1.5） C．（0，﹣1） D．（﹣2，0） 解：∵A（2，3）， ∴OD＝2，AD＝3， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AD＝3， 在Rt△ODC中，OC1， ∴C（0，﹣1）． 答案：C． 19．（2024•海淀区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC，O为坐标原点，点C在x轴上，A的坐标为（﹣3，4），则顶点B的坐标是（　　） A．（﹣5，4） B．（﹣6，3） C．（﹣8，4） D．（2，4） 解：∵A（﹣3，4）， ∴OA5， ∵四边形OABC是菱形， ∴AO＝CB＝OC＝AB＝5， 则点B的横坐标为﹣3﹣5＝﹣8， 故B的坐标为：（﹣8，4）， 答案：C． 20．（2024•东城区校级期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2），顶点B，C在第一象限，且点C的纵坐标为1，则点B的坐标为（　　） A．（2，3） B．（，3） C．（，2） D．（，3） 解：延长BC交x轴于H， ∵菱形OABC的顶点A的坐标为（0，2）， ∴OA＝OC＝BC＝2，AO∥BC， ∴∠BHO＝∠AOH＝90°， ∵点C的纵坐标为1， ∴CH＝1，BH＝3， ∴OH， ∴点B（，3）， 答案：D． 21．（2024•石景山区校级期末）矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　（﹣3，3）　 ． 解：在矩形ABCD中A（﹣3，2），C（0，3），B（0，2）． ∴点D的横坐标为﹣3，纵坐标为3． ∴点D的坐标为（﹣3，3）． 答案：（﹣3，3）． 22．（2024•西城区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，AB⊥y轴于点B．以AB为边作菱形ABCD，若点C在x轴上，则点D的坐标为 　（2，0）或（4，0）　 ． 解：如图， ∵点，AB⊥y轴于点B， ∴AB＝3，OB＝2， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝CD＝AB＝3， 分两种情况： ①当点C在x轴负半轴时，OC1， ∴OD＝CD﹣OC＝3﹣1＝2， ∴D（2，0）； ②当点C在x轴正半轴时，OC1， ∴OD＝CD+OC＝3+1＝4， ∴D（4，0）； 综上所述，点D的坐标为（2，0）或（4，0）， 答案：（2，0）或（4，0）． 23．（2024•怀柔区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADC＝60°，AO＝2，以O为坐标原点，AC与BD所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系xOy，则点D的坐标为 　（2，0）　 ． 解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O， ∴AD＝CD，CO＝AO＝2， ∵∠ADC＝60°， ∴△ACD是等边三角形， ∴AD＝AC＝2AO＝4， ∵∠AOD＝90°， ∴DO2， ∴D（2，0）， 答案：（2，0）． 24．（2023•海淀区校级期末）如图，在菱形ABCD中，点C在x轴上，点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2），则点C的坐标为 　（3，0）　 ． 解：如图，连接AC、BD交于点E，BD交y轴于点F， 则OC＝EF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BE＝DEBD， ∵点D的坐标为（7，2），点B的坐标为（﹣1，2）， ∴BF＝1，DF＝7，BD∥x轴， ∴BD＝BF+DF＝8， ∴BE＝DE＝4， ∴OC＝EF＝BE﹣BF＝4﹣1＝3， ∵点C在x轴上， ∴点C的坐标为：（3，0）， 答案：（3，0）． 【题型4 特殊平行四边形中的面积问题】 25．（2024•海淀区校级期末）如图，四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°，BD＝8，则菱形ABCD的面积是（　　） A． B． C． D．64 解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝60°， ∴BC＝CD，OA＝OC，OB＝ODBD8＝4，AC⊥BD， ∴△BCD是等边三角形， ∴BC＝BD＝8， ∴OC4， ∴AC＝OC＝8， ∴四边形ABCD的面积AC•BD88＝32． 答案：C． 26．（2023•海淀区校级期末）小雨在参观故宫博物院时，被太和殿窗棂的三交六惋菱花图案所吸引，他从中提取出一个含角的菱形ABCD（如图1所示）．若AB的长度为a，则菱形ABCD的面积为（　　） A． B． C．a2 D． 解：过A作AH⊥BC于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝a， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AHABa， ∴菱形ABCD的面积＝BC•AHa2． 答案：B． 27．（2024•顺义区校级期末）在直线L上依次放着三个正方形，已知斜放的正方形的面积为2，正放的两个正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　） A． B．1 C．2 D．4 解：如图，S1＝AB2，S2＝DE2，AC2＝2，AC＝CD，∠ABC＝∠ACD＝∠DEC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°， ∴∠BAC＝∠DCE， 在△ABC和△CED中 ∴△ABC≌△CED（AAS）， ∴BC＝DE， 在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2＝2， ∴DE2+AB2＝2， 即S1+S2＝2， 答案：C． 28．（2024•东城区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若OA＝4，OH＝2，则菱形ABCD的面积为（　　） A．8 B．16 C．24 D．32 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴BD＝2OH， ∵OH＝2， ∴BD＝4， ∵OA＝4， ∴AC＝8， ∴菱形ABCD的面积AC•BD16． 答案：B． 29．（2023•顺义区期末）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝16，S2＝9，AC，则AB的长为 　1　 ． 解：∵S1＝16，S2＝9， ∴S3＝S1+S2＝16+9＝25， ∴BC5， ∵AC， ∴AB． 答案：1． 30．（2023•房山区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为BC的中点，连接OE，若，OA＝4，则AB＝　2　 ，菱形ABCD的面积是 　16　 ． 解：∵菱形ABCD对角线AC与BD交于点O， ∴DO⊥CO，AC＝2OA＝2OC＝8， ∵E是BC边上的中点， ∴OE是△CAB的中位线， ∴AB＝2OE＝2， ∴OB2， ∴BD＝2OB＝4， ∴则菱形的面积8×4＝16， 答案：2，16． 31．（2023•东城区期末）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E，F分别在BC，CD上，则△EFC的面积为 　1　 ． 解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵△AEF是等边三角形， ∴AE＝AF， 在Rt△ABE和Rt△ADF中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）， ∴BE＝DF， ∴CE＝CF，∠C＝90°， 即△ECF是等腰直角三角形， 由勾股定理得CE2+CF2＝EF2， ∴EC， ∴△EFC的面积为EC•CF1． 答案：1． 32．（2023•门头沟区期末）如图，在矩形ABCD中，过对角线BD中点的两条直线交AB、CD于E、F，交AD，BC于点H、G，若矩形的边长为4和2，则图中阴影部分的面积为 　4　 ． 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴OB＝OD，∠BOE＝∠DOF， 又∵∠OBE＝∠ODF， 在△AOE和△COF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴S△BOE＝S△DOF， 同理可得△DOH≌△BG，四边形AEOH≌四边形CFOG， ∴S阴影＝S△BCD； ∵S△BCDBC•CD＝4，故S阴影＝4． 答案：4． 33．（2024•西城区期末）如图，在▱ABCD中，FA⊥AB交CD于点E，交BC的延长线于点F，且CF＝BC，连接AC，DF． （1）求证：四边形ACFD是菱形； （2）若AB＝5，，求四边形ACFD的面积． （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵点F在BC的延长线上，且CF＝BC， ∴AD∥CF，AD＝CF， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵CD∥AB，FA⊥AB交CD于点E， ∴∠CEF＝∠ABF＝90°， ∴FA⊥CD， ∴四边形ACFD是菱形． （2）解：∵四边形ACFD是菱形，CD＝AB＝5， ∴DE＝CECD，AE＝FE， ∵∠DEF＝90°，DF， ∴FE6， ∴FA＝2FE＝12， ∴S四边形ACFDFA•CD12×5＝30， ∴四边形ACFD的面积为30． 34．（2024•石景山区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点，以BC，CD为一组邻边作▱BCDE，ED与AB交于点O，连接AE，BD． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）若，∠EAD＝120°，求菱形AEBD的面积． （1）证明：在△ABC中，∠ABC＝90°，D为AC中点， ∴AD＝BD＝CDAC， ∵四边形BCDE是平行四边形， ∴BE＝CD，BE∥CD， ∴BE＝AD，BE∥AD， ∴四边形AEBD是平行四边形， ∵AD＝BD， ∴四边形AEBD是菱形； （2）解：∵，四边形BCDE是平行四边形， ∴DE＝BC＝4， ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE，OEDE＝2，∠EAO∠DAE＝60°， ∴∠AEO＝30°， ∴AE＝2AO， ∵AE2＝AO2+OE2， ∴（2AO）2＝AO2+（2）2， ∴AO＝2， ∴AB＝4， ∴菱形AEBD的面积AB•DE． 【题型5 特殊平行四边形中的线段数量关系问题】 35．（2024•东城区校级期末）如图，点E是正方形ABCD内部一点，BE＝BA，连接AE，CE，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F． （1）依题意补全图形，求∠CEF的度数； （2）连接DF，用等式表示线段AF，DF，CF之间的数量关系，并证明． 解：（1）如图， ∵正方形ABCD， ∴AB＝BC，∠ABC＝90°， ∵BE＝BA， ∴AB＝BE＝BC． ∴设∠BAE＝∠BEA＝x，∠BEC＝∠BCE＝y， ∵四边形ABCE的内角和为360°， ∴2x+2y+90＝360． ∴x+y＝135． ∴∠AEC＝135°， ∴∠CEF＝45°； （2）数量关系是 ，如图，作DH⊥DF，交AF于点H． ∴∠ADH＝∠CDF＝90°﹣∠HDC， ∵∠EFC＝90°， 又∵∠CEF＝45°， ∴∠CEF＝∠CFE＝45°， ∴△EFC是等腰直角三角形． ∴EF＝FC． ∵∠DAB＝90°， 设∠BAE＝∠BEA＝m，∠BEC＝∠BCE＝n． ∴∠DAH＝90°﹣m， ∵∠DCE＝90°﹣n， ∴∠FCD＝45°﹣（90°﹣n）＝n﹣45°， 又∵m+n＝135， ∴n＝135﹣m． ∴∠FCD＝90°﹣m． ∴∠DAH＝∠DCF．正方形ABCD， ∴AD＝DC， 在△DAH和△DCF中， ， ∴△DAH≌△DCF（AAS）． ∴AH＝CF，DH＝DF． ∴△DHF是等腰直角三角形． ∴， ∵AF＝HF+AH，． 36．（2024•海淀区校级期末）如图1，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，且点E不与C、D重合，过点A作AE的垂线交CB延长线于点F，连接EF． （1）计算∠AEF的度数； （2）如图2，过点A作AG⊥EF，垂足为G，连接DG．用等式表示线段CF与DG之间的数量关系，并证明． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝∠DAB＝90°， ∴∠D＝∠ABF＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°， ∵AE⊥AF， ∴∠EAF＝90°， ∴∠BAE+∠BAF＝90°， ∴∠DAE＝∠BAF， ∴△ADE≌△ABF（ASA）， ∴AF＝AE， ∴△AEF是等腰直角三角形 ∴∠AEF＝45°； （2）CFDG．理由如下： 如图2，取CE的中点M，连接GM，GC， ∵△AEF是等腰直角三角形，AG⊥EF， ∴G是EF的中点， ∴AGEF， 同理，在Rt△EFC中，CGEF， ∴AG＝CG， ∵AD＝CD，DG＝DG， ∴△ADG≌△CDG（SSS）， ∴∠ADG＝∠CDG， ∵∠ADG+∠CDG＝90°， ∴∠ADG＝∠GDC＝45°； ∴GM为△GEC的中位线， ∴GM∥CF，GMCF， ∴∠DMG＝∠DCB＝90°， 在Rt△DGM中，∠GDM＝∠ADG＝45°， ∴△DMG为等腰三角形， ∴DM＝GM， ∴DM2+GM2＝DG2＝2GM2， ∴DGGM， ∵GMCF， ∴DGCF， ∴2DGCF，即CFDG． 37．（2024•大兴区期末）已知：如图，四边形ABMC是正方形，AD＝AC，∠BAD＝α（0°＜α＜90°，连接DB，DC，BC． （1）求∠CDB的度数； （2）作BE⊥CD于点E，连接AE，用等式表示线段AE，BD，CD之间的数量关系，并证明． 解：（1）∵四边形ABMC是正方形，AD＝AC， ∴AB＝AD＝AC，∠BAD＝α． ∴， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAC＝90°+α， ∴， ∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝45°； （2）， 证明：作AF⊥AE交CD于点F． ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAC． ∵BE⊥CD，∠BDC＝45°， ∴∠DBE＝45°， ， ∵∠BAD＝α， ∴∠ABE＝∠ABD﹣45°， ， ∵AB＝AC， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AE＝AF，BE＝CF， ∴， ∵CD＝DE+EF+CF ＝DE+CF+EF ＝DE+BE+EF ＝2DE+EF． ∴． 38．（2023•朝阳区期末）如图，四边形ABCD是矩形（AB＜AD），∠DAB的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F． （1）求证：BC＝DF； （2）G是EF的中点，连接DG，依题意补全图形，用等式表示线段DA，DC，DG之间的数量关系，并证明． （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠AFD， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠DAF＝∠AFD， ∴AD＝DF， ∴BC＝DF； （2）解：AD2+CD2＝2DG2． 证明：连接BD，BG，CG， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∵AF平分∠DAB， ∴∠BAF＝∠DAF， ∴∠BAE＝∠AEB， ∵∠ABE＝90°， ∴∠BAE＝∠AEB＝45°， ∴AB＝BE＝DC， ∵∠BCF＝90°，∠CEF＝∠AEB＝45°， ∴∠F＝45°， ∵G是EF的中点， ∴EG＝CG＝FG，∠ECG＝∠FCG＝45°， ∴∠BEG＝∠DCG＝135°， ∵BC＝DF， ∴△DCG≌△BEG（SAS）， ∴BG＝DG，∠DGC＝∠BGE， ∵∠CGE＝90°， ∴∠BGD＝90°， ∴△BDG是等腰直角三角形， ∴BD2＝2DG2， ∵AB2+AD2＝BD2，AB＝CD， ∴AD2+CD2＝2DG2． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$