期末必刷题01 易错题（24题型66题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（鲁教版）

期末必刷题01 易错题（24题型66题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 添加一个条件使之成为特殊平行四边形 题型二 已知对角线长度求菱形的面积 题型三 特殊平行四边形的证明 题型四 二次根式有意义的条件 题型五 二次根式的性质与化简 题型六 已知同类二次根式求参数 题型七 二次根式的混合运算 题型八 二次根式的化简求值 题型九 根据一元二次方程的定义求参数 题型十 将一元二次方程化为一般形式 题型十一 已知一元二次方程的解求参数 题型十二 判断解一元二次方程的错误步骤 题型十三 根的判别式 题型十四 公式法解一元二次方程 题型十五 一元二次方程根与系数的关系 题型十六 成比例线段 题型十七 平行线分线段成比例 题型十八 相似图形的识别 题型十九 添加条件使两个三角形相似 题型二十 相似三角形面积比等于相似比的平方 题型二十一 位似图形的识别 题型二十二 求位似图形的坐标 题型二十三 位似图形的性质 题型二十四 画位似图形 题型一 添加一个条件使之成为特殊平行四边形 1．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形D．当时，是正方形 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 3．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 4．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 题型二 已知对角线长度求菱形的面积 5．菱形两条对角线长分别为，则菱形的面积是 ． 题型三 特殊平行四边形的证明 6．如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形． 7．如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 8．如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 9．如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 10．如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 11．如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 题型四 二次根式有意义的条件 12．已知，则的值是 ． 13．已知，则的值为 ． 题型五 二次根式的性质与化简 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 15．化简： ． 16．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 题型六 已知同类二次根式求参数 17．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 18．如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 19．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 题型七 二次根式的混合运算 20．计算 (1) (2) 21．计算： 22．计算： (1) (2) 题型八 二次根式的化简求值 23．已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 24．（1）已知，求下列各式的值： ① ②；③． ④ （2）已知，求代数式的值； 25．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 题型九 根据一元二次方程的定义求参数 26．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 27．若是关于的一元二次方程，则 ． 题型十 将一元二次方程化为一般形式 28．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 29．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 题型十一 已知一元二次方程的解求参数 30．已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 31．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 32．已知是一元二次方程的一个根，则 题型十二 判断解一元二次方程的错误步骤 33．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 34．小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程：，下面是他的解法： ，， (1)填空：小亮是在第__________步开始出现错误的，这一步错误的原因是：_________． (2)请给出该方程正确的求解过程． 题型十三 根的判别式 35．若一元二次方程有实数根的话，则 36．已知关于的方程，下列说法：①当时，方程无解；②当时，方程有两个相等的实数根；③当时，方程有两个相等的实数根；④当时，方程有两个不相等的实数根．其中错误的是： （只填序号） 37．已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是 ． 38．已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是 ． 题型十四 公式法解一元二次方程 39．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 40．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 题型十五 一元二次方程根与系数的关系 41．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 42．已知一元二次方程的两个根是，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 43．若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．4 B．1 C．0 D． 44．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 题型十六 成比例线段 45．已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 46．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 47．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 题型十七 平行线分线段成比例 48．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 49．如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 50．如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 题型十八 相似图形的识别 51．人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A．B．C．D． 52．下面几对图形中，相似的是（   ） A．B．C． D． 题型十九 添加条件使两个三角形相似 53．如图所示，给出下列条件：①；②；③；④；⑤其中单独能够判定的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 54．如图，是的边上一点，下列结论正确的个数是（   ） ①若，则②若，则③若，则④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十 相似三角形面积比等于相似比的平方 55．若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（   ） A． B． C． D． 56．如图，在中，点D和点E分别在边上，，，若的面积是2，则的面积为（    ） A．18 B．16 C．8 D．6 题型二十一 位似图形的识别 57．方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 58．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二十二 求位似图形的坐标 59．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点A的对应点的坐标是（      ） A． B． C．或 D．或 60．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（　　） A．或 B． C． D．或 题型二十三 位似图形的性质 61．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 62．如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（   ） A．直线一定经过点O B． C． D． 63．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 64．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的（   ） A． B．若，则 C． D． 题型二十四 画位似图形 65．如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧按放大，画出的一个位似图形； (2)画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的； (3)与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标；若不是，请说明理由． 66．在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． (2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． $$期末必刷题01 易错题（24题型66题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一 添加一个条件使之成为特殊平行四边形 题型二 已知对角线长度求菱形的面积 题型三 特殊平行四边形的证明 题型四 二次根式有意义的条件 题型五 二次根式的性质与化简 题型六 已知同类二次根式求参数 题型七 二次根式的混合运算 题型八 二次根式的化简求值 题型九 根据一元二次方程的定义求参数 题型十 将一元二次方程化为一般形式 题型十一 已知一元二次方程的解求参数 题型十二 判断解一元二次方程的错误步骤 题型十三 根的判别式 题型十四 公式法解一元二次方程 题型十五 一元二次方程根与系数的关系 题型十六 成比例线段 题型十七 平行线分线段成比例 题型十八 相似图形的识别 题型十九 添加条件使两个三角形相似 题型二十 相似三角形面积比等于相似比的平方 题型二十一 位似图形的识别 题型二十二 求位似图形的坐标 题型二十三 位似图形的性质 题型二十四 画位似图形 题型一 添加一个条件使之成为特殊平行四边形 1．如图，四边形是平行四边形，下列结论错误的是（  ） A．当时，是菱形 B．当时，是菱形 C．当时，是矩形 D．当时，是正方形 【答案】D 【分析】本题主要考查菱形、矩形及正方形的判定，熟练掌握菱形、矩形及正方形的判定定理是解题的关键；因此此题可根据菱形、矩形及正方形的判定定理可排除选项． 【详解】解：A、当时，可根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； B、当时，可根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”可判定是菱形，故不符合题意； C、当时，可根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”可判定是矩形，故不符合题意； D、当时，可根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可判定是矩形，不能得到是正方形，说法错误，故符合题意； 故选D． 2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（   ） A．当，是矩形 B．当，是菱形 C．当，是菱形 D．当，是正方形 【答案】D 【分析】本题考查了对矩形、菱形和正方形的判定，根据矩形、菱形和正方形的判定即可选出答案. 【详解】解：A选项：根据矩形的判定“一个角是直角的平行四边形是矩形”，故选项A正确，不符合题意； B选项：根据菱形的判定“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”，故B选项正确，不符合题意； C选项：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C选项正确，不符合题意； D选项：对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是正方形，故D选项不正确，符合题意. 故选D. 3．如图，四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（    ） A．当时，平行四边形是菱形 B．当时，平行四边形是矩形 C．当时，平行四边形是菱形 D．当且时，平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形，菱形，正方形的判定，熟练掌握矩形的判定定理、菱形的判定定理，正方形的判定定理是解此题的关键． 根据有一个角等于的平行四边形是矩形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，有一组邻边相等且对角线垂直的平行四边形是正方形，逐一判定． 【详解】A．当时，无法确定平行四边形是菱形，故该选项不正确，符合题意； B．当时，平行四边形是矩形，故该选项正确，不符合题意； C．当时，平行四边形是菱形，故该选项正确，不符合题意； D．当且时，平行四边形是正方形，故该选项正确，不符合题意． 故选A． 4．如图，已知点D在△ABC的BC边上，DEAC交AB于E，DFAB交AC于F，若添加条件 ，则四边形AEDF是矩形；若添加条件 ，则四边形AEDF是菱形；若添加条件 ，则四边形AEDF是正方形． 【答案】 ∠BAC＝90° AD平分∠BAC ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC（答案不唯一） 【分析】先利用平行四边形的判定方法得到四边形AEDF为平行四边形，然后根据矩形、菱形和正方形的判定方法添加条件． 【详解】解：∵DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F， ∴四边形AEDF为平行四边形， ∴当∠BAC＝90°时，四边形AEDF是矩形； 当AD平分∠BAC时，四边形AEDF是菱形； ∠BAC＝90°且AD平分∠BAC，四边形AEDF是正方形． ,∠BAC＝90°， 故答案为∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，∠BAC＝90°且AD平分∠BAC． 【点睛】本题考查了正方形的判定：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；先判定四边形是菱形，再判定这个菱形有一个角为直角．也考查了菱形和矩形的判定，掌握判定定理是解题的关键． 题型二 已知对角线长度求菱形的面积 5．菱形两条对角线长分别为，则菱形的面积是 ． 【答案】21 【分析】本题考查了菱形的面积计算公式，解题的关键是牢记公式．已知对角线的长度，根据菱形的面积计算公式即可计算菱形的面积． 【详解】解：由题意得，菱形的面积是， 故答案为：21． 题型三 特殊平行四边形的证明 6．如图，中，，，．将沿射线方向平移，得到，A，，的对应点分别是D，E，F，连接．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定，勾股定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质和勾股定理是解题的关键． 根据平移的性质可得，，再在中利用勾股定理求出，根据四条边都相等的四边形是菱形得到结论． 【详解】证明：由平移变换的性质得： ，， ，，， ， ， 四边形是菱形． 7．如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 连接，交于点O，证明平行四边形是菱形，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论． 【详解】证明：如图，设交于点O， ∵，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 8．如图，在中，，是的中点，是的中点，，交的延长线于点，连接．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的性质与判定，三线合一定理，掌握其性质定理是解决此题的关键． 先证明≌，再证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定方法即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵，是的中点， ∴， ∴四边形是矩形． 9．如图，菱形的对角线与相交于点O，的中点为E，连接并延长至点F，使得，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)96 【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，根据菱形的性质证明，则四边形是矩形； （2）由菱形的性质得，由矩形的性质得，则6，，所以，则． 【详解】（1）证明：∵的中点为E， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形，对角线与相交于点O， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． （2）解：∵，， ∴，， ∴， ∴6， ∴， ∴， ∴菱形的面积为96． 【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得及是解题的关键． 10．如图，在矩形中，的平分线交于的平分线交于，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了正方形的判定，矩形的性质，熟练掌握正方形的判定定理是解题关键．首先结合矩形的性质证明四边形是平行四边形，再根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”证明四边形是矩形，然后根据“邻边相等的矩形为正方形”证明四边形是正方形． 【详解】证明：如下图， 四边形是矩形， ， ． 平分， ， ， ； 同理可得， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 11．如图，已知四边形是正方形，为对角线上一动点，连接，过点作，交射线于点，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)连接，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点作于点，于点，根据正方形的性质有，接着证，得出，最后根据四边形是矩形，问题得证 （2）连接，先证，得出，在中，利用勾股定理即可得证． 【详解】（1）证明：如答图，过点作于点，于点， 则． 是正方形对角线上的点， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 四边形是矩形， 矩形是正方形； （2）证明：如答图，连接， 由题意，知， 由（1）知，四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，构造辅助线是解题的关键． 题型四 二次根式有意义的条件 12．已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，根据二次根式有意义的条件可得，进而得到，则可求出的值． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 13．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 题型五 二次根式的性质与化简 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的化简，绝对值的化简，熟练掌握实数的大小比较，绝对值的化简是解题的关键． 先判断，，，化简计算即可． 【详解】解：根据题意得，，， ∴ ∴ ． 故选：A． 15．化简： ． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式等知识．熟练掌握二次根式有意义的条件，利用二次根式的性质进行化简，完全平方公式是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件得到，再根据二次根式的性质化简，再去绝对值，进行加减计算． 【详解】解：由题意得，， ∴ ∴ ， 故答案为：0． 16．把的根号外的适当变形后移入根号内，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件得到， 再根据二次函数的性质化简即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， ∴； 故选：D． 题型六 已知同类二次根式求参数 17．若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类二次根式，化简二次根式，熟知被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式是解题的关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义进行求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ， ， 故答案为：4． 18．如果最简二次根式与能够合并，那么的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，根据最简二次根式与能够合并可知这两个二次根式的被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴， ∴， 故选：B． 19．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ， 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的化简，同类二次根式的定义，解二元一次方程组，正确掌握同类二次根式的定义得到方程组是解题的关键． 根据二次根式的定义得到，求出a与b的值即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：；． 题型七 二次根式的混合运算 20．计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化简，再利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： （2）． 21．计算： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键；先计算二次根式的乘除法，再计算加减法即可． 【详解】解： ． 22．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，积的乘方的应用； （1）先计算二次根式的乘法与除法运算，化简二次根式，再合并即可； （2）先把原式化为，再进一步的计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 题型八 二次根式的化简求值 23．已知：，分别求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，正确把a、b分母有理化是解题的关键． （1）先把a、b分母有理化，再求出的值，根据计算求解即可； （2）根据（1）所求，结合计算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 24．（1）已知，求下列各式的值： ① ②；③． ④ （2）已知，求代数式的值； 【答案】（1）①；②1；③14；④；（2） 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，代数式求值，配方法，掌握平方差公式、完全平方公式的各种变形是解题的关键． （1）①代入计算即可； ②代入计算即可； ③利用完全平方公式即可解答； ④先通分，再计算即可； （2）根据配方法把化为，再计算即可． 【详解】解：（1）①； ②； ③； ④； （2） ， 把代入可得． 25．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，涉及平方差公式应用，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先求出，，然后将变形，再整体代入求值即可； （2）先将变形，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 题型九 根据一元二次方程的定义求参数 26．若关于的方程（为常数）是一元二次方程，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，注意二次项系数不为零；根据二次项系数不为零即可求解． 【详解】解：∵关于的方程（为常数）是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：． 27．若是关于的一元二次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一般地，形如（a、b、c是常数，且）的方程叫做一元二次方程．由此可解． 【详解】解：由题意知， 解得， ， 故答案为：1． 题型十 将一元二次方程化为一般形式 28．方程化为一元二次方程的一般形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式． 【详解】解：， ，即， ∴， ∴方程化为一元二次方程的一般形式是． 故选：A． 29．将方程化成一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a，b，c是常数，且，分别方程的是二次项系数，一次项系数和常数项；把方程化为一元二次方程的一般形式，据此即可求解． 【详解】解：方程化为一元二次方程的一般形式为：，则二次项系数，一次项系数和常数项分别是； 故选：B． 题型十一 已知一元二次方程的解求参数 30．已知是方程的一个根，则代数式的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解的意义，由题意可得，将原式变形后代入数值计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 31．已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想． 将代入原方程求出，然后整体代入代数式求解即可． 【详解】解：将代入方程， 得，即， ∴， 故选：C． 32．已知是一元二次方程的一个根，则 【答案】13 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键；由题意易得，然后整体代入进行求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，即， ∴； 故答案为13． 题型十二 判断解一元二次方程的错误步骤 33．嘉嘉解一元二次方程的过程如下． 解：整理得，① ，② ，③ 方程有两个不相等的实数根， ，④ ．⑤ (1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2)， 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握解法是关键； （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误 （2）解：整理得， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ． 34．小亮在进行解一元二次方程的练习时，遇到这样一个方程：，下面是他的解法： ，， (1)填空：小亮是在第__________步开始出现错误的，这一步错误的原因是：_________． (2)请给出该方程正确的求解过程． 【答案】(1)2，两边除以时可能为0 (2)见解析 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法解一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据解一元二次方程的方法求解判断即可； （2）利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）填空：小亮是在第2步开始出现错误的， 这一步错误的原因是：两边除以时可能为0； （2）正确的求解过程如下： ， ， ， 则， 或， 解得，． 题型十三 根的判别式 35．若一元二次方程有实数根的话，则 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解当方程有两个不相等的实数根，当方程有两个相等的实数根，当方程没有实数根是解答关键． 根据当方程有两个不相等的实数根，当方程有两个相等的实数根来求解． 【详解】解：一元二次方程有实数根， ． 故答案为：． 36．已知关于的方程，下列说法： ①当时，方程无解； ②当时，方程有两个相等的实数根； ③当时，方程有两个相等的实数根； ④当时，方程有两个不相等的实数根． 其中错误的是： （只填序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，当时，找出．①当时，找出方程，解方程发现方程有一个实数根，从而判断①不正确；②将代入中，得出，由此得出②不正确；③将代入中，得出，由此得出③正确；④结合①可知当时，方程有一个实数根，从而得出④不正确，结合上面所述即可得出结论． 【详解】解：当时，． ①当时，原方程为， 解得：，故①不正确； ②当时，， 方程有两个不相等的实数根，故②不正确； ③当时，， 方程有两个相等的实数根，故③正确； ④当，时，方程有一个解，故④不正确； 综上，错误的是①②④． 故答案为：①②④． 37．已知一次函数经过第一、三、四象限，则关于的方程根的情况是 ． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，还涉及到一次函数的图象与性质．由直线经过第一、三、四象限，求得，，根据根的判别式得到，据此可得答案． 【详解】解：∵直线经过第一、三、四象限， ∴，， ∴， 关于的方程， ∴， 则关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 38．已知、、是的三边长，那么关于的方程的根的情况是 ． 【答案】没有实数根 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，一元二次方程根的判别式，不等式的性质等知识， 由三角形三边关系可得出，，然后代入根的判别式且利用不等式的性质可得出， 进而即可得出答案． 【详解】解：∵、、是的三边长， ∴，, ∴，, 关于的方程， ， ∴关于的方程无实数根， 故答案为：没有实数根． 题型十四 公式法解一元二次方程 39．以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A、，则，故该选项不正确，不符合题意； B、，则，故该选项不正确，不符合题意； C、，则，故该选项不正确，不符合题意； D、，则，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 40．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了，，得到，则她求解的一元二次方程是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了公式法求解一元二次方程，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义． 根据求根公式，可找出，，的值，从而可求解． 【详解】解：由题意得，，，， ∴该一元二次方程为， 故选：A． 题型十五 一元二次方程根与系数的关系 41．若，是方程的两个根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， 故选：A． 42．已知一元二次方程的两个根是，，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“是一元二次方程的两根时，”是解题的关键．根据根与系数的关系（韦达定理）可直接求出根的和与积，进而代入表达式计算即可． 【详解】解：由方程可知，根的和， 根的积， 将和代入， 得：． 故选：D． 43．若一元二次方程的一个根是，则另一个根是（   ） A．4 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：设另一个根是m， ∵一元二次方程的一个根是， ∴， ∴． 故选：D 44．如果实数、（）分别满足，，则的值等于（   ） A． B． C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 由，可得，可得，可得，是方程的两个根，，，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，而，， ∴，是方程的两个根， ∴，， ∴； 故选：C． 题型十六 成比例线段 45．已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质：内项之积等于外项之积是解决问题的关键．根据比例的性质对各选项进行判断． 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 46．若一张地图的比例尺是，在地图上量得甲、乙两地的距离是，则甲、乙两地的实际距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例尺，用到的知识点是比例的性质，解题的关键是根据性质列出方程，注意单位的换算．设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得，求出的值，再把单位换算为即可． 【详解】解：设甲、乙两地的实际距离是，根据题意得： ，解得， ． 故选：D． 47．下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】本题考查比例线段的概念．注意掌握在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等． 由题意根据比例线段的概念：如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，依次对各选项进行分析判断． 【详解】解： A．，这四条线段不成比例，故不符合题意； B．，这四条线段成比例；符合题意； C．，这四条线段不成比例，故不符合题意； D．，这四条线段不成比例，故不符合题意； 故选：B． 题型十七 平行线分线段成比例 48．如图， 在中， ， ， 则下列式子一定正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，平行四边形的性质，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴，， ∴， 故选项B正确，符合题意； ∵， ∴， 故选项C错误，不符合题意； ∵ ∴， 故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 49．如图，点D、E、F分别在的边、、上，连接、、，交于点，四边形为平行四边形，则下列式子一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理，由平行四边形的性质可得，，，再根据平行线分线段成比例定理逐项分析即可得解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，故A选项正确，符合题意； 因为，故D选项不正确，不符合题意； ，故B选项不正确，不符合题意； ，而不一定等于，故C选项不正确，不符合题意； 故选：A． 50．如图，若，则下列各式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴错误的是选项D； 故选D． 题型十八 相似图形的识别 51．人们出行方式越来越丰富，以下四组中，不相似的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似图形的定义，解题关键是熟练掌握相似图形的定义． 结合相似图形的定义对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状相同，符合相似定义，不符合题意，选项错误； 选项，两个图形形状不同，不符合相似定义，符合题意，选项正确． 故选：． 52．下面几对图形中，相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A，B，D三个选项中的图形形状不同，不相似； C选项中的两个图形形状相同，相似； 故选：C． 题型十九 添加条件使两个三角形相似 53．如图所示，给出下列条件： ①；②；③；④；⑤ 其中单独能够判定的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】题中判定，出现相似符号，则对应的边和对应角已经固定好，分别是AB与AC，AC与AD，BC与CD，∠A是公共角，∠ABC与∠ACD，∠ACB与∠ADC.所以找条件时务必找准这些对应边和对应角的关系，利用合适的判定定理去证明. 再就是这种形式，务必化成比例的形式方便证明. 【详解】①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确 ④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；⑤中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确；故选B． 【点睛】本题解题关键是，注意和与相似的表达方式是不一样的，有相似符号说明边和角已经固定对应好了，只需要运用两组角对应相等的两个三角形相似和两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似的判定定理去判断. 54．如图，是的边上一点，下列结论正确的个数是（   ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； 若，仅结合， 无法证明，故结论④错误． 综上所述，结论正确的个数是2． 故选：B． 题型二十 相似三角形面积比等于相似比的平方 55．若两个相似三角形面积之比为，则它们的对应中线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的面积之比得到相似比，即可解答，掌握相似三角形的面积之比是相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴两个相似三角形相似比为， ∴它们的对应中线之比为． 故选：C． 56．如图，在中，点D和点E分别在边上，，，若的面积是2，则的面积为（    ） A．18 B．16 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质．根据，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，的面积是2， ∴． 故选：A 题型二十一 位似图形的识别 57．方框中的两个图形不是位似图形的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相较于一点． 【详解】解：对应点的连线相较于一点的两个相似多边形叫位似图形． 据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形； 而D的对应点的连线不能相较于一点，故不是位似图形， 故选：D． 58．下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或共线），像这样的两个图形叫做位似图形． 根据位似图形的定义进行判断即可解答． 【详解】根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 综上分析可知：与成位似图形有3个． 故选：C． 题型二十二 求位似图形的坐标 59．在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点A的对应点的坐标是（      ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查位似的性质，掌握位似的性质，用点坐标乘以相似比（正数相似比，负数相似比）是解题的关键．根据位似比的性质可知，用点A的坐标分别乘以即可求解． 【详解】解：∵，相似比为 ， ∴点A的对应点的坐标是或， 故选：D． 60．在平面直角坐标系中，已知点，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标是（　　） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】此题考查了位似图形的性质，此题比较简单，注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 据此即可求解点的对应点的坐标． 【详解】解：已知点，以原点为位似中心，相似比为2，把放大，则点的对应点的坐标为：或，即或， 故选：A． 题型二十三 位似图形的性质 61．如图在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点，若点的对应点，则的面积与的面积之比是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的概念和性质，相似三角形的性质，掌握相似三角形面积比等于相似比的平方式是解题关键．先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与积之比． 故选：C． 62．如图，已知与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，若点C是的中点，则下列判断错误的是（   ） A．直线一定经过点O B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查位似图形，相似三角形的性质，根据位似的性质，位似比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行判断即可． 【详解】解：∵与是位似图形，经过对应点B与E，C与F的两直线交于点O，点C是的中点， ∴直线一定经过点O，，位似比为：， ∴与的相似比为， ∴，， ∴，； 故判断错误的是选项D； 故选D． 63．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点O为位似中心，在网格中画，使与位似，A，B的对应点分别为，，且与的位似比为，则下列说法不正确的是（   ） A．点的坐标为 B． C．与的周长之比为 D．与的面积之比为 【答案】D 【分析】本题考查位似图形的性质、位似图形与相似图形的关系等知识点，掌握相关性质成为解题的关键． 根据位似图形的定义画出图形，再根据位似的性质逐项分析判断即可． 【详解】解：如图， A． 点的坐标为，原选项正确，不符合题意； B． 根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意； C． 由与的位似比为，则与的周长之比为，原选项正确，不符合题意； D． 由与的位似比为，则与的面积之比为，原选项错误，符合题意． 故选：． 64．如图，已知与是以点为位似中心的位似图形，位似比为，下列说法错误的（   ） A． B．若，则 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换、相似三角形的判定与性质，由位似图形的概念得出，，，，从而得出，，再由相似三角形的性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，位似比为， ∴，，，，故A正确； ∴，，，故D错误； ∴，， ∴，故C正确； 若，则，即，故B正确； 故选：D． 题型二十四 画位似图形 65．如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，在y轴的右侧按放大，画出的一个位似图形； (2)画出将向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到的； (3)与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心点M，并写出点M的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析，点M的坐标为． 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似； （1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可； （2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）连接，，由交点可得位似中心，从而可得答案. 【详解】（1）解：如图，即为所作图形； ； （2）解：如图，即为所作图形； （3）解：由作图可知，，是相似三角形， 又因为对应点所连直线经过同一个点， 所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为． 66．在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为、、，位置如图所示． (1)将绕点O顺时针旋转 得到，作出，并写出点的坐标 ． (2)将的三个顶点坐标分别乘以，得到对应的点、、，请画出，并判断与具有怎样的位置关系？并请直接写出与的位似中心的坐标以及相似比． 【答案】(1)图见解析， (2)图见解析，与位似，位似中心为原点，相似比为 【分析】本题考查的是画旋转图形，位似图形的含义； （1）分别确定绕点O顺时针旋转 后的对应点，再顺次连接即可；再根据的位置可得其坐标； （2）先将的三个顶点坐标分别乘以，描出对应的点、、，再顺次连接，结合位似图形的含义可得答案； 【详解】（1）解：如图，即为所求做的三角形； ∴ （2）解：由题意得：， 如图，即为所要求做的三角形． 与位似，位似中心为原点，相似比为． $$