专题5 平行四边形（考点解码舱 题型透视镜 双阶训练场）2024-2025学年八年级下册数学人教版期末复习登顶手册：三维突破指南

八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题5 平行四边形 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.平行四边形的概念及表示方法 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形表示方法平行四边形用符号“"表示；平行四边形ABCD，作记”ABCD" 平行四边形定义的理解 (1)由定义知平行四边形的两组对边分别平行; （2)由定义知如果四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形 【例1】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）中，两个相邻的角，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，若，则的度数为 ． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．若，，，则的长为 ． 【变式2-1】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 知 识知 点知 2.平行四边形的性质定理1 平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等，如图所示，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=CD,AD=BC 平行四边形的两条邻边之和等于平行四边形周长的一半。 【例3】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）平行四边形的周长为40，，那么的长度是(  ) A．12 B．16 C．18 D．24 【变式3-1】（2024·山东济南·一模）如图，中，E是的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：． 【变式3-2】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图平行四边形中，，，，且，则平行四边形的周长是（    ） A． B． C． D．8 知 识知 点知 3.平行四边形的性质定理2 平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等如图所示，在口ABCD中， ∠A=∠C,∠B=∠D. 平行四边形的邻角互补 【例4】（22-23八年级下·浙江金华·期末）已知平行四边形两内角和为70度，则该平行四边形的最大内角为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（21-22八年级下·辽宁大连·期末）若平行四边形中两内角的度数比为2∶3，则其中较小的内角是(    )． A．36° B．45° C．60° D．72° 知 识知 点知 4.平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。利用平行四边形的性质定理可以证得两条平行线之间的距离处处相等， 如图所示，直线a∥b，过直线a上任意两点A，B向直线b作垂线，分别交直线b于点C,D,那么线段 AC,BD的长度都是平行线α，b之间的距离.这时易得四边形ACDB为平行四边形，由平行四边形的性质定理1可得AC=BD,故两条平行线之间的距离处处相等。 （1） 距离是指垂线段的长度，它是正值：(2)当两条平行线确定后，这两条平行线之润的距离也随之确定，不随位置的不同而改变：(3)平行线的距再处处相等，因此在作平行四边形的高时·可根据需要灵活选择位置；(4)夹在两条平行线之间的平行线段相等. 【例5】（20-21七年级下·河北石家庄·期末）如图．点，分别在直线，上，且，．有两种说法： ①线段的长是，两点之间的距离； ②线段的长是平行线，之间的距离． 关于这两种说法，正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①，②都正确 C．①错误．②正确 D．①，②都错误 知 识知 点知 5.平行四边形的性质定理3 平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分，如图所示，在ABCD 中，AC，BD 相交于点O.则OA= OC,OB=OD. （1)平行四造形的两条对角线装多行四边形分成的四个小三角形中，相对的两个三角形全等，且四个小三角形的面积相等；相邻两个小三角形的周长之差等于平行四边形的邻边之差， （2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段以对角线的交点为中点、且这条直线等分平行四边形的周长和面积， 【例6】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为 ． 【变式6-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【变式6-3】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：． 知 识知 点知 6.平行四边形的判定方法——定义法 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 【例7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【变式7-1】（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形．    【变式7-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 知 识知 点知 7.平行四边形的判定定理1 平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图所示，在四边形 ABCD中，若AB=DC.AD=BC.则四边形ABCD是平行四边形， 【例8】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 知 识知 点知 8.平行四边形的判定定理2 平行四近形的判定定理 2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 如图所示，在四边形ABCD中，若∠A=∠C,∠B=∠D,则四边形ABCD 是平行四边形 【例9】（17-18八年级下·福建三明·期末）如图，在平行四边形中，分别是，的角平分线．求证：四边形是平行四边形．    知 识知 点知 9.平行四边形的判定定理3 平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图所示，在四边形AB=CD中，若AO=CO.BO=DO.则四边形ABCD 是平行四边形， 定理中的“对角线五相平分”不要误以为是“对角线相等"，要注意区分 【例10】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形． 【变式10-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形对角线交于点，且为中点，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【变式10-2】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． 知 识知 点知 10.平行四边形的判定定理4 平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 如图所示：在四边形ABCD 中,若 AD∥BC,且 AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形， 这是判定平行四边形的一个重要方法，也是常用的种方法，这种方法只需要用一组对边即可，这组对边应满足条件：平行且相等 判定条件“平行且相等”指的是同一组对边，而不是一组对边相等，另一组对边平行 【例11】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，是四边形的对角线，E，F为线段上两点，连接，，若，，求证：四边形是平行四边形． 【变式11-1】（24-25八年级下·吉林·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，；求证：四边形是平行四边形． 【变式11-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 知 识知 点知 111.平行四边形的判定与性质的综合应用 平行四边形的判定方法较多，大致可分为三类：（1)根据边判断；(2)根据角判断；（3）根据对角线判断.具体选择方法见下表。 已知条件 选择判定方法 边 一组对边相等 判定定理1或4 一组对边平行 判定定理4或定义法 角 两组对角分别相等 判定定理2 对角线 对角线互相平分 判定定理3 解决有关平行四边形的问题主要有两种情况： (1)直接运用平行四边形的性质解决某些间题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段之间的倍数关系等。 (2)先判定一个四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质去解决某些间题 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形 一组对边相等，一组对角相等的四过形不一定是平行四边形， 两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形。 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【例12】（23-24八年级下·全国·期末）已知：如图平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【变式12-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 知 识知 点知 12.三角形的中位线及其定理 定义：连接三角形两边中点的线段呼傲三角形的中位线 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半， 如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，则线段DE是△ABC的中位线，且 DE∥BC.DE=BC （1）三角彩有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相同的在置类系与数量关系(“第三边"是指“中位线“不连接的一边），三角形的中位线定理为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了重要依据。 【例13】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（22-23八年级下·四川广安·期末）点O为内一点，D、E、F、G分别为线段、、、的中点，求证： (1)，； (2)四边形为平行四边形． 第2部分 题型透视镜 题型一 利用平行四边形的性质求解 【例1】（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（2024·广东潮州·一模）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-2】（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 【变式1-4】（19-20八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为 ． 题型二 利用平行四边形的性质证明 【例2】（20-21八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且，求证：． 【变式2-1】（21-22八年级下·广东清远·期末）如图，在中 ，平分，交于点 F， 交的延长线于点E． 求证． 【变式2-2】（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 【变式2-3】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别过点B、D作，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)连结，若，，求的长． 题型三 平行四边形性质的其他应用 【例3】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【变式3-1】（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【变式3-2】（22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 ． 题型四 判断能否构成平行四边形 【例4】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式4-1】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 题型五 添一个条件成为平行四边形 【例5】（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形 中，，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·湖南常德·二模）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 题型六 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例6】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【变式6-1】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 题型七 利用平行四边形性质和判定的综合应用 【例7】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 【变式7-1】（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【变式7-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【变式7-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 题型八 平行四边形中的动点问题 【例8】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式8-1】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【变式8-2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 题型九 与三角形中位线有关的求解问题 【例9】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 【变式9-1】（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【变式9-2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 题型一十 与三角形中位线有关的证明 【例10】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 【变式10-1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 【变式10-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 题型一十一 三角形中位线的实际应用 【例11】（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到的中点，通过测量得，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 3．（2024·安徽芜湖·二模）如图，平行四边形的对角线交于点，若，的周长为29，则的值为（    ）    A．18 B．36 C．38 D．39 4．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 5．（21-22九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线AG交BC于点E．若，，则BF的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 7．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（   ）    A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，平行四边形的对角线的垂直平分线交于点E，连接．若平行四边形的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）在平行四边形中，，，那么 度． 10．（21-22八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分，交DE于点F，若，则DF的长为 ． 11．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 ． 12．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，把一张平行四边形纸片沿对折，使点落在处，与相交于点，若，则等于 ． 三、解答题 13．（21-22八年级下·福建厦门·期中）如图所示，已知点，在的对角线上，且．连接，． 求证：四边形是平行四边形． 14．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 15．（20-21八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，延长到点E，延长到点F，使，连接交边于点G，交边于点H．求证：． 提高训练场 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图， 的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 3．（22-23八年级下·上海宝山·期中）点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 4．（21-22八年级上·山东淄博·期末）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（    ） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4） 5．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 6．（21-22八年级下·山西临汾·期中）如图，在中，，从的顶点B引两边的垂线，则的度数为（　　）    A．70° B．110° C．20° D．80° 7．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（    ）      A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 9．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 10．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    11．（23-24八年级下·全国·期末）如图：在四边形中，，且，，P，Q分别从A，C同时出发，P以的速度由A向D运动，Q以的速度由C向B运动， 秒时直线将四边形截出一个平行四边形． 12．（22-23八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在▱中，对角线，交于点，，，过点作的平分线的垂线，垂足为点，若点在的垂直平分线上，是直线上的动点，则的最小值为 ．    三、解答题 13．（22-23八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接相交于点O，，则的周长等于_________． 14．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 15．（21-22八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，点D是边BC的中点，点E在内，AE平分，交AB于G，点F在边AB上，． (1)若四边形EFBD的面积为6，则的面积是_________； (2)求证：四边形BDEF是平行四边形； (3)若，判断BF，AB，CE之间具有怎样的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级下册期末登顶手册：三维突破指南 专题5 平行四边形 第1部分 考点解码舱 知 识知 点知 1.平行四边形的概念及表示方法 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形表示方法平行四边形用符号“"表示；平行四边形ABCD，作记”ABCD" 平行四边形定义的理解 (1)由定义知平行四边形的两组对边分别平行; （2)由定义知如果四边形中两组对边分别平行，那么这个四边形就是平行四边形 【例1】（22-23八年级下·辽宁大连·期末）中，两个相邻的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平行四边形的性质可得，，可求得∠A，即可求得∠C的度数． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行、对角相等是解题的关键． 【变式1-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）在平行四边形中，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据平行四边形中，得到，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：65． 【例2】（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以点、为圆心，大于的一半长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交的延长线于点．若，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查作角平分线、平行四边形的性质，熟练掌握角平分线的定义、平行四边形的性质是解答本题的关键．由作图过程可知，为的平分线，可得．由平行四边形的性质可得，，则，进而可得，再根据可得答案． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ． 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（22-23八年级下·吉林四平·期末）如图，在平行四边形中，，，平分交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形为平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ，， ． 知 识知 点知 2.平行四边形的性质定理1 平行四边形的性质定理1：平行四边形的对边相等，如图所示，若四边形ABCD是平行四边形，则AB=CD,AD=BC 平行四边形的两条邻边之和等于平行四边形周长的一半。 【例3】（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·期末）平行四边形的周长为40，，那么的长度是(  ) A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】此题考查平行四边形的性质．根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等”解答即可． 【详解】解：的周长为40，， 设为，为，可得：， 解得：， ， 故选：A． 【变式3-1】（2024·山东济南·一模）如图，中，E是的中点，连结并延长交的延长线于点F．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识点，根据题意得，，进而得，证即可． 【详解】证明：∵平行四边形 ∴， ∴ ∵E为AB中点 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式3-2】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图平行四边形中，，，，且，则平行四边形的周长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得到，根据两直线平行内错角相等可得到，已知的度数，从而可推出是等腰直角三角形，根据勾股定理可用含有的式子表示出的长，同理可表示出，则不难求得平行四边形的周长． 【详解】解：四边形是平行四边形，此题主要考查学生对平行四边形的性质及等腰直角三角形的性质的综合运用能力． ， ， ， ， ， ，， 同理：， 平行四边形的周长． 故选：D． 知 识知 点知 3.平行四边形的性质定理2 平行四边形的性质定理2：平行四边形的对角相等如图所示，在口ABCD中， ∠A=∠C,∠B=∠D. 平行四边形的邻角互补 【例4】（22-23八年级下·浙江金华·期末）已知平行四边形两内角和为70度，则该平行四边形的最大内角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的对角相等，邻角互补即可解决问题． 【详解】解：平行四边形有两个内角之和为， 则这两个角一定为对角， 这两个角等于， 另外两个角等于， 这个平行四边形的最大内角为， 故选：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考基础题． 【变式4-1】（21-22八年级下·辽宁大连·期末）若平行四边形中两内角的度数比为2∶3，则其中较小的内角是(    )． A．36° B．45° C．60° D．72° 【答案】D 【分析】根据平行四边形性质得出AD∥BC，推出∠A+∠B＝180°，设∠A＝3x，∠B＝2x，代入求出即可． 【详解】解：设∠A＝3x，∠B＝2x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， ∴2x+3x＝180°， 解得：x＝36°， ∴∠B＝2×36°＝72°， 故选：D． 【点睛】本题主要考查对平行线的性质，平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，能推出∠A+∠B＝180°是解此题的关键． 知 识知 点知 4.平行线之间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。利用平行四边形的性质定理可以证得两条平行线之间的距离处处相等， 如图所示，直线a∥b，过直线a上任意两点A，B向直线b作垂线，分别交直线b于点C,D,那么线段 AC,BD的长度都是平行线α，b之间的距离.这时易得四边形ACDB为平行四边形，由平行四边形的性质定理1可得AC=BD,故两条平行线之间的距离处处相等。 （1） 距离是指垂线段的长度，它是正值：(2)当两条平行线确定后，这两条平行线之润的距离也随之确定，不随位置的不同而改变：(3)平行线的距再处处相等，因此在作平行四边形的高时·可根据需要灵活选择位置；(4)夹在两条平行线之间的平行线段相等. 【例5】（20-21七年级下·河北石家庄·期末）如图．点，分别在直线，上，且，．有两种说法： ①线段的长是，两点之间的距离； ②线段的长是平行线，之间的距离． 关于这两种说法，正确的是（    ） A．①正确，②错误 B．①，②都正确 C．①错误．②正确 D．①，②都错误 【答案】B 【分析】由两点之间的距离及平行线间的距离的定义可直接进行判断． 【详解】解：∵，， ∴①线段AB的长是点A到点B的距离，故正确； ②线段AB的长是直线，之间的距离，故正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查两点间的距离和平行线间的距离，熟练掌握两点间的距离和平行线间的距离的定义是解题的关键． 知 识知 点知 5.平行四边形的性质定理3 平行四边形的性质定理3：平行四边形的对角线互相平分，如图所示，在ABCD 中，AC，BD 相交于点O.则OA= OC,OB=OD. （1)平行四造形的两条对角线装多行四边形分成的四个小三角形中，相对的两个三角形全等，且四个小三角形的面积相等；相邻两个小三角形的周长之差等于平行四边形的邻边之差， （2)若一条直线过平行四边形两条对角线的交点，则这条直线被一组对边所截的线段以对角线的交点为中点、且这条直线等分平行四边形的周长和面积， 【例6】（24-25八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，、相交于点O，交于点E，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质．先证明是对角线的中垂线，可得，再进一步利用三角形的周长公式可得答案． 【详解】解：∵在中，O是对角线的交点，且， 是对角线的中垂线， ， 的周长为． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25八年级上·全国·期末）如图， 的对角线相交于点O， 且， 过点O作， 交于点M．如果的周长为18， 那么的周长是 ． 【答案】36 【分析】本题考查了平行四边形的性质与线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握平行四边形与线段垂直平分线的性质． 由四边形是平行四边形，可得，又由，可得，然后由的周长为18，求得平行四边形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∵的周长为18， ∴， ∴平行四边形的周长是：． 故答案为：36． 【变式6-2】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，在平行四边形中，，若，，则的长是（     ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质可得，，再由勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-3】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，的对角线，相交于点，过点的直线分别交、的延长线于点，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 知 识知 点知 6.平行四边形的判定方法——定义法 定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 【例7】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形．转动其中一张纸条，四边形始终是平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，正确把握两组对边分别相等的四边形是平行四边形是解题关键．根据平行四边形的判定解答即可． 【详解】解：由题意可知，，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， 故选：A． 【变式7-1】（21-22八年级下·广东江门·期中）如图，在四边形中，．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】根据分别得到，，根据平行四边形的定义即可得到结论． 【详解】证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的定义是解题的关键． 【变式7-2】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）已知：四边形中，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的判定与性质，根据平行线的性质得到，再得到，推出，即可得出答案，掌握平行四边形的判定法则是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 知 识知 点知 7.平行四边形的判定定理1 平行四边形的判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形 如图所示，在四边形 ABCD中，若AB=DC.AD=BC.则四边形ABCD是平行四边形， 【例8】（23-24九年级下·河北石家庄·开学考试）如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 知 识知 点知 8.平行四边形的判定定理2 平行四近形的判定定理 2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 如图所示，在四边形ABCD中，若∠A=∠C,∠B=∠D,则四边形ABCD 是平行四边形 【例9】（17-18八年级下·福建三明·期末）如图，在平行四边形中，分别是，的角平分线．求证：四边形是平行四边形．    【答案】见解析 【分析】证明即可解决问题； 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴． ∴ 又∵分别是，的角平分线， ∴． ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 知 识知 点知 9.平行四边形的判定定理3 平行四边形的判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形 如图所示，在四边形AB=CD中，若AO=CO.BO=DO.则四边形ABCD 是平行四边形， 定理中的“对角线五相平分”不要误以为是“对角线相等"，要注意区分 【例10】（24-25八年级下·广东广州·期中）如图，已知是平行四边形的一条对角线，于M，于N，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 在平行四边形中，利用平行四边形的性质得， ，，再证明．得到，从而可得出．即可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出结论． 【详解】证明：连接交于O． ∵于M，于N， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴． ∴． ∴， ∴， 即． ∴四边形是平行四边形． 【变式10-1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图，四边形对角线交于点，且为中点，．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】四边形是平行四边形，理由见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 根据题意证明得到，根据对角线相互平分的四边形是平行四边形即可求证． 【详解】解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形． 【变式10-2】（24-25八年级下·浙江·期中）如图，在四边形中，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形的面积为． 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由平行线的性质可得，然后证明，则有，再结合即可求证； （）由平行四边形性质得，，，然后由勾股定理求出，则，最后通过平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 知 识知 点知 10.平行四边形的判定定理4 平行四边形的判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形， 如图所示：在四边形ABCD 中,若 AD∥BC,且 AD=BC,则四边形ABCD是平行四边形， 这是判定平行四边形的一个重要方法，也是常用的种方法，这种方法只需要用一组对边即可，这组对边应满足条件：平行且相等 判定条件“平行且相等”指的是同一组对边，而不是一组对边相等，另一组对边平行 【例11】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，是四边形的对角线，E，F为线段上两点，连接，，若，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先由“边角边”证明，则，那么，即可通过一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【变式11-1】（24-25八年级下·吉林·期中）如图，点，，，在同一条直线上，，，；求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．由，，可得四边形是平行四边形，得到，由可得，推出，即可证明． 【详解】证明：点，，，在同一条直线上，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 即， ， 又， 四边形是平行四边形． 【变式11-2】（24-25八年级上·山东潍坊·期末）如图，在中，点，分别是，的中点，且于，于． 求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据平行四边形的性质得到，，由平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，再根据，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点，分别是，的中点， ，， ， ，， ， 在和和中， ， ； （2）因为， 所以， 因为，（或因为，所以）， 所以， 四边形是平行四边形． 知 识知 点知 111.平行四边形的判定与性质的综合应用 平行四边形的判定方法较多，大致可分为三类：（1)根据边判断；(2)根据角判断；（3）根据对角线判断.具体选择方法见下表。 已知条件 选择判定方法 边 一组对边相等 判定定理1或4 一组对边平行 判定定理4或定义法 角 两组对角分别相等 判定定理2 对角线 对角线互相平分 判定定理3 解决有关平行四边形的问题主要有两种情况： (1)直接运用平行四边形的性质解决某些间题，如求角的度数、线段的长度，证明角相等或互补，证明线段之间的倍数关系等。 (2)先判定一个四边形是平行四边形，然后利用平行四边形的性质去解决某些间题 一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形 一组对边相等，一组对角相等的四过形不一定是平行四边形， 两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定四边形是平行四边形。 一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 【例12】（23-24八年级下·全国·期末）已知：如图平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明即可； （2）只要证明，即可 【详解】（1）∵ ， 在和中， ， ∴， ． （2）是平行四边形 ， 又∵ 四边形是平行四边形． 【变式12-1】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)请在图中连接，若恰好平分，求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质得出、，根据平行线的性质得出，求出，根据等腰三角形的判定，然后根据等量代换即可证明结论； （2）如图：连接，由（1）得，，由等腰三角形三线合一可得，再证明，即，再结合即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的平分线， ∴ ∴ ∴（等边对等角）. ∴ （2）解：如图：连接 由（1）得，. ∵恰好平分， ∴（等腰三角形三线合一） 在和中， ∴, ∴（全等三角形的对应边相等）， 又∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）． 知 识知 点知 12.三角形的中位线及其定理 定义：连接三角形两边中点的线段呼傲三角形的中位线 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半， 如图所示，在△ABC中，D、E分别是AB，AC的中点，则线段DE是△ABC的中位线，且 DE∥BC.DE=BC （1）三角彩有三条中位线，每一条中位线与第三边都有相同的在置类系与数量关系(“第三边"是指“中位线“不连接的一边），三角形的中位线定理为证明两条直线平行、两条线段之间的数量关系提供了重要依据。 【例13】（22-23八年级下·四川达州·期末）如图，在中，对角线交于点，点是的中点．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，由平行四边形的性质可得，进而由点是的中点可得为的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解，掌握三角形中位线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， 故选B． 【变式13-1】（24-25八年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 【变式13-2】（22-23八年级下·四川广安·期末）点O为内一点，D、E、F、G分别为线段、、、的中点，求证： (1)，； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据三角形中位线定理直接求解即可； （2）根据三角形中位线定理可得，，结合（1）可得，，从而证得四边形为平行四边形． 【详解】（1）证明：、E分别为线段、的中点， 为中位线， ，； （2）证明：、G分别为线段、的中点，点O为内一点， 为中位线， ，， ，； ，， 四边形为平行四边形． 第2部分 题型透视镜 题型一 利用平行四边形的性质求解 【例1】（21-22八年级下·云南昆明·期末）如图，平行四边形的对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接，，，则下列结论：①；②；③；④．正确的个数有（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明是等边三角形是解决问题的关键． ①先根据角平分线和平行线的性质得：，则，由有一个角是的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②因为，根据平行四边形的面积公式可作判断： ③先根据三角形中位线定理得：，由题意可求，即可判断；④由勾股定理可求，即可求的长，即可判断． 【详解】解：①平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故①正确： ②， ， 故②正确； ③， ， ， ， ， 故③正确； ④在中，，， ， 在中，， ， ， 故④正确； 故选：D， 【变式1-1】（2024·广东潮州·一模）如图，在中，的角平分线交于点E，的角平分线交于点F．若，，则的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据等腰三角形的判定可得，最后根据线段和差求解即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（22-23八年级下·河南新乡·期末）如图，在中，对角线相交于点O，，，，则的长为（    ） A． B．6 C．7 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和平行四边形的性质．先根据勾股定理求出，再根据平行四边形的性质求出，再利用勾股定理求出． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东淄博·期末）如图，过平行四边形对角线的交点O，交于点M，交于点N，若平行四边形的周长为20，，则四边形的周长为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 先利用平行四边形的性质求出，，可利用全等的性质得到，求出，即可求出四边形的周长． 【详解】∵四边形是平行四边形，周长为20， ， ， 在和中， ， ， ， 则四边形的周长， ， 故答案为：14． 【变式1-4】（19-20八年级下·江苏南京·期末）如图，在中，的平分线交于点，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据角平分线与平分线的定义得出，即可解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ． ． 故答案为：． 题型二 利用平行四边形的性质证明 【例2】（20-21八年级下·福建福州·期中）如图，在中，点E，F在对角线上，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，根据平行四边形的性质，证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． 【变式2-1】（21-22八年级下·广东清远·期末）如图，在中 ，平分，交于点 F， 交的延长线于点E． 求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的性质，是解决问题的关键． 由平行四边形的性质得，，，从而，由角平分线得出，从而，进而可证结论成立． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 【变式2-2】（23-24八年级下·山西晋城·期末）如图，在中，是它的一条对角线，点，在上，且，连接，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，掌握平行四边形的性质，全等三角形判定的方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质，运用“边角边”即可求证，由此即可求证． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2-3】（23-24八年级下·浙江嘉兴·期末）如图，在中，分别过点B、D作，，垂足分别为E、F． (1)求证：； (2)连结，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）证明，则； （2）由，，可得，即，由，可求，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 题型三 平行四边形性质的其他应用 【例3】（23-24八年级下·广东清远·期末）如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 【变式3-1】（23-24八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案． 【详解】解：如图，连接， ，四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ∴， 故答案为：． 【变式3-2】（22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，是平行四边形内一点，是正三角形，连结，，若，，且，，则的长是 ． 【答案】 【分析】先根据30度直角三角形的性质求得，，为等边三角形，得，在中利用勾股定理，再结合平行四边形的性质就可得到答案． 【详解】解：，， ，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，， 为等边三角形， ， 在中， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查含30度角的直角三角形的性质，平行四边形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，解题关键是掌握30度直角三角形的性质． 题型四 判断能否构成平行四边形 【例4】（2025八年级下·江苏·专题练习）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，下列条件不能判断四边形是平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、∵， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； D、∵，， ∴四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）观察下图，根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的是（   ） A．只有③ B．只有② C．①② D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边的判定，熟知判定平行四边形的条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定条件逐一判定即可． 【详解】解：①一组对边平行，另一组对边不平行，不是平行四边形； ②一组对边平行，另一组对边相等，不能判断其一定是平行四边形； ③一组对边平行且相等，能判断其一定是平行四边形； 根据所标注的数据能判断其一定是平行四边形的只有③， 故选：A． 题型五 添一个条件成为平行四边形 【例5】（2025·安徽淮北·三模）如图，在四边形 中，，对角线，相交于点，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定方法，全等三角形的判定与性质，利用平行四边形的定义及判定方法逐一分析即可得到答案，熟记平行四边形的判定方法是解本题的关键． 【详解】解：、添加，不能不能判定四边形是平行四边形，原选项符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，原选项不符合题意； 、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，原选项不符合题意， 故选：． 【变式5-1】（2025·湖南常德·二模）如图，四边形的对角线与相交于点O，已知，若要证明四边形为平行四边形，则还需要添加一个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．根据平行四边形的判定，逐项分析即可判断． 【详解】解：A、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； B、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； C、因为，，所以四边形为平行四边形，符合题意； D、添加无法证明四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：C． 题型六 求与已知三点组成平行四边形的点的个数 【例6】（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图是由边长为1的正方形单元格组成的网格，的三个顶点都在网格中的格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若以点A，B，C，D为顶点画平行四边形，请在网格中标出所有D点的位置． 【答案】(1)结论：是直角三角形．见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图一应用于设计作图，勾股定理，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定方法． （1）利用勾股定理以及勾股定理的逆定理判断即可； （2）根据平行四边形的判定作出图形即可． 【详解】（1）解：结论：是直角三角形． 理由：∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图点即为所求． 【变式6-1】（23-24八年级下·辽宁丹东·期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 题型七 利用平行四边形性质和判定的综合应用 【例7】（22-23八年级下·陕西渭南·期末）问题背景：如图，在等边中，、两点分别在边、上，，以为边作等边，连接，，．    问题探究： (1)求证：为等边三角形； (2)求证：四边形为平行四边形； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（）证，得，， 再证，即可得出结论； （）由等边三角形的性质得，， 再证， 然后证，即可得出结论； （）过作于，由（）可知，再由等边三角形的性质得，然后用面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，，                            ∵是等边三角形， ∴，，                                             ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，               ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：由（）可知，是等边三角形， ∴，， ∴，              ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）解：如图，过作于，则，    由（）可知，， ∵是等边三角形， ∴，                  ∴， ∴， ∴，                       ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定定理、平行四边形的判定定理、解直角三角形、含角的直角三角形的性质，解题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 【变式7-1】（22-23八年级下·重庆开州·期末）如图，中，是边上任意一点，是中点，过点作交的延长线于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，得，；结合，通过证明得，即可完成证明； （2）过点作于点，由，推导得；结合，，，通过计算得；结合，，，通过计算得；通过关系计算，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵//， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：过点作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键． 【变式7-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）如图，是等边三角形，是边上的高．点在延长线上，连接，且，过A作交的延长线于点，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求四边形的周长． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质． （1）根据等边三角形的性质可得，，然后证明为等边三角形，可得，进而可以证明四边形为平行四边形； （2）根据和勾股定理可得的长，然后证明，进而可得四边形的周长， 【详解】（1）证明：是等边的边上的高， ，， ， ， ， ， 为等边三角形三角形， ， ， ， ， 四边形为平行四边形； （2）解：， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 四边形的周长为：． 【变式7-3】（24-25九年级上·辽宁铁岭·期末）如图，与是等边三角形，连接，取的中点，连接并延长至点，使，连接，，，将绕点顺时针旋转． 【特例感知】 (1)如图①，当点在上，点在上时，则的形状为 ； 【类比迁移】   (2)当绕点顺时针旋转至图②的位置时，此时点在线段的延长线上，请判断的形状，并说明理由； 【方法运用】 (3)若，将由图①位置绕点顺时针旋转，当时，请直接写出的值． 【答案】(1)等边三角形 (2)等边三角形，见解析 (3)或 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，得到，，利用平行线的性质，得到，，，从而推出，最后判定三角形为等边三角形； （2）连接，交分别、于点、，同理可证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，，得到是等腰三角形，最后联合平行线的性质，得到，从而判定三角形为等边三角形； （3）连接、，同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形有，设，则，，先判定是直角三角形，，取的中点，连接，通过，推出，即此时在边上，那么；连接、，同①，可证是直角三角形，，，此时在边上，可得到． 【详解】（1）解：由题意可得，， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 、、三点共线 ，， 是等边三角形 故答案为：等边三角形． （2）解：是等边三角形，理由如下， 如下图，连接，交分别、于点、， ， 四边形是平行四边形 ， 和是等边三角形 ，， 点在线段的延长线上 ，即 ， 是等腰三角形 又， 是等边三角形 （3）解：①如下图，连接、 同（2），可证四边形是平行四边形，是等边三角形 有 设，则， 是直角三角形， 取的中点，连接 此时在边上 ②如下图，连接、 同①，可证是直角三角形，， 此时在边上 综上所述，或． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等，熟练掌握以上知识点，构建合适的辅助线是解题的关键． 题型八 平行四边形中的动点问题 【例8】（22-23八年级下·河南洛阳·期末）如图，等边三角形的边长为，射线，点从点出发沿射线以的速度运动，点从点出发沿射线以的速度运动．当以为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点在的左侧时与当点在的右侧时去分析，由当时，以、、、为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：①当点在的左侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； ②当点在的右侧时，根据题意得：，， 则， ， 当时，四边形是平行四边形， 即， 解得：； 综上可得：当或时，以、、、为顶点四边形是平行四边形． 故选：B． 【变式8-1】（24-25八年级上·山东济南·期末）如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 【变式8-2】（23-24八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，四边形是平行四边形，，，是的中位线，G为上一动点，H为上一动点，点G以的速度从C点向B点运动，同时点H以的速度从D点向C点运动，用表示时间．当t为何值时，四边形是平行四边形？ 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据题意得出点G和点H分别同时运动到的中点时，四边形是平行四边形，即可得到答案． 【详解】解：若四边形是平行四边形， 则，， ∵是的中位线， ∴， ∴， 此时点G和点H分别同时运动到的中点， ∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∴， ∴点G运动到的中点所需时间， 同理，点H运动到的中点所需时间， ∴时，点G和点H分别同时运动到的中点， ∴时，四边形是平行四边形． 题型九 与三角形中位线有关的求解问题 【例9】（23-24八年级下·河南洛阳·期中）如图，是的边的中点，平分，于点，延长交于点，已知，，，则的周长为 ． 【答案】41 【分析】本题考查的是三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质，证明，得到，，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：平分，， ， 在和中， ， ， ，， 是的边的中点， 是的中位线， ， 的周长， 故答案为：41． 【变式9-1】（23-24八年级下·青海西宁·期末）如图，在平行四边形中，，，点是边上的动点，连接，，是的中点，是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，由三角形中位线定理可得，当时，有最小值，即有最小值，由直角三角形的性质可求解． 【详解】解：如图，过点A作于N， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E、F分别为、的中点， ∴， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴当点P与点N重合时，的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为：． 【变式9-2】（24-25八年级上·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，点是对角线的中点，点和点分别是与的中点．若，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查三角形的中位线的性质，等边对等角，熟记三角形的中位线的定义及定理是解题的关键． 根据中位线定理推出，，然后由，得到，然后根据等边对等角求解即可． 【详解】∵在四边形中，是对角线BD的中点，，分别是， 的中点， ，分别是与的中位线， ，， ， ， ． 题型一十 与三角形中位线有关的证明 【例10】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）如图，点E为平行四边形的边上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接．H为的中点，连接，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)连接，交于点O，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由平行四边形的性质得，，再证是的中位线，得，，证出，，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）连接、、，由三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，，． ，， 是的中位线， ，． 为的中点，， ，． ，． ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接、、， ，， ，． ∵， ． ∴四边形是平行四边形， ，． ， ∴， ∵， ∴． 【变式10-1】（23-24八年级下·陕西汉中·期末）如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 【答案】证明见解析 【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形的对边且 ，得到四边形是平行四边形，证得结论． 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】证明：∵是的两条中线， ∴点D、E分别是边的中点， 又∵F、G分别是的中点， ， 且 ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【变式10-2】（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，平分， 于点E， 点F是的中点． (1)如图1，的延长线与边相交于点 D， 求证：； (2)如图2，探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、等腰三角形的判定和性质． （1）先根据, 得, 再根据角平分线的定义得出, 进而得出, 所以, 根据等腰三角形的三线合一, 推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. （2）延长交的延长线于根据角平分线得到得出, 根据两角和为, 证明，根据等腰三角形的“三线合一”，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题. 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵于点E， ∴， ∴， ∴， ∴是的中点， 又∵点F是的中点， ∴是的中位线， ∴； （2） 证明如下： 如图中，延长交的延长线于. ∵, ∴, ∴, ∵ 平分, ∴, ∴, ∴, ∵, ∴, ∵是的中点, ∴是中位线 ． 题型一十一 三角形中位线的实际应用 【例11】（2024·广东东莞·模拟预测）为了倡导全民健身，某小区在公共活动区域安装了健身器材，其中跷跷板很受欢迎．如图，点O为跷跷板的中点，支柱垂直于地面，垂足为C，．当跷跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．过点B作垂直底面于点D，判断出是的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得． 【详解】解：如图，过点B作垂直底面于点D， ， ， 点O为跷跷板的中点， 是的中位线， ， ， 故选：B． 【变式11-1】（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）如图，要测量池塘两岸相对的，两点间的距离，可以在池塘外选一点，连接，，分别取，的中点，，测得米，则的长是 米．    【答案】120 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质， 根据题意可知是的中位线，再根据三角形中位线的性质得出，进而得出答案即可． 【详解】解：∵点D，E分别是的中点， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴． 故答案为：120． 第3部分 双阶训练场 基础训练场 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）如图所示，某数学小组为测量池塘两侧两点之间的距离，在空地上另取一点，并找到的中点，通过测量得，则（    ） A．15 B．30 C．45 D．60 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半计算即可． 【详解】∵的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，理解平行四边形的所有性质是解题的关键．直接利用平行四边形的对边平行，对边相等，对角相等等性质分别判断可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴C选项不符合题意； 故选：C． 3．（2024·安徽芜湖·二模）如图，平行四边形的对角线交于点，若，的周长为29，则的值为（    ）    A．18 B．36 C．38 D．39 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的对角线互相平分可得的周长等于的周长，可得,从而可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴， 故选：B． 4．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，，则的取值范围是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，平行四边形的性质，先证明，，再结合三角形的三边关系可得答案. 【详解】解：如图所示： ∵四边形是平行四边形，，， ，， 在中，由三角形的三边关系得： 即， 故选A 5．（21-22九年级上·湖北咸宁·阶段练习）如图，在中，用直尺和圆规作的平分线AG交BC于点E．若，，则BF的长为（    ） A．5 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】设AE与BF相交于点H，由作图可知AB=AF，由角平分线的定义和平行线的性质可得AB=BE=5，再结合等腰三角形三线合一的性质可得AH=EH=AE=4，最后利用勾股定理可得BH，进而可得出答案． 【详解】解：设AE与BF相交于点H， 由作图可知AB=AF， ∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG=∠DAG， ∴AH⊥BF，BH=FH， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ADBC， ∴∠BEA=∠DAE， ∴∠BAE=∠BEA， ∴AB=BE=5， ∴AH=EH=AE=4， 在Rt△ABH中，由勾股定理得， BH==3， ∴BF=2BH=6． 故选：B． 【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的定义、平行四边形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握基本性质是解答本题的关键． 6．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，点，为定点，定直线，是上一动点，点，分别为，的中点，对于下列各值：①线段的长；②的周长；③的大小；④直线，之间的距离．其中会随点的移动而不改变的是（   ） A．①② B．①④ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】根据三角形中位线定理判断即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴，， ∴线段的长不变，直线，之间的距离不变，故①④符合题意， 而、的长随点的运动而改变，的大小随点的运动而改变，故②③不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． 7．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，称为第1个三角形，它的周长是1，以它的三边中点为顶点组成第2个三角形，再以第2个三角形的三边中点为顶点组成第3个三角形，以此类推，则第2022个三角形的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的中位线定理，找规律求解，每一条中位线均为其对边的长度的，因此新三角形周长是前一个三角形周长的． 【详解】解：周长为1， ∵每条中位线均为其对边的长度的， ∴第2个三角形对应周长为； 第3个三角形对应的周长为； 第4个三角形对应的周长为； … 以此类推，第n个三角形对应的周长为； ∴第2022个三角形对应的周长为，即， 故选：B． 【点睛】此题考查了中位线定理；熟练掌握三角形中位线定理，找出每一个新的三角形周长是上一个三角形周长的是解决问题的关键． 8．（24-25八年级下·河南濮阳·期中）如图，平行四边形的对角线的垂直平分线交于点E，连接．若平行四边形的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，由平行四边形的性质得出是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质，可得，又，继而可得的周长等于． 【详解】解：如下图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴的周长为：． 故选：D． 二、填空题 9．（22-23八年级下·上海浦东新·阶段练习）在平行四边形中，，，那么 度． 【答案】150 【分析】根据平行四边形的性质可知：，，得到，根据已知条件得出方程，求出x值，即可得到． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：150． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质，学会用方程思想思考问题，属于中考常考题型． 10．（21-22八年级下·湖北襄阳·期末）如图，在中，D、E分别为AB、AC的中点，CF平分，交DE于点F，若，则DF的长为 ． 【答案】3 【分析】由三角形中位线定理可得DE=5，DE∥BC；再由平分条件可得CE=EF=2，则可求得DF的长． 【详解】∵D、E分别为AB、AC的中点，， ∴，，DE∥BC， ∴∠EFC=∠FCB． ∵CF平分， ∴∠ECF=∠FCB， ∴∠EFC=∠FCB， ∴EF=CE=2， ∴DF=DE−EF=5−2=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，角平分线的定义，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，由平行与平分条件得到CE=EF是关键． 11．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图，中，D、E分别是、的中点，、交于点O，F、G分别是、中点，连接，若，，则四边形的周长是 ． 【答案】13 【详解】本题考查三角形中位线定理、平行线定理、平行四边形的判定，根据三角形中位线定理和平行线定理可得，，，，证得四边形是平行四边形，即可求解． 解：∵D、E、F、G分别是、、、的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴，， ∴四边形的周长为， 故答案为：13． 12．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，把一张平行四边形纸片沿对折，使点落在处，与相交于点，若，则等于 ． 【答案】/148度 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，掌握平行四边形对边平行以及折叠的性质是解题的关键． 根据折叠以及平行四边形中，那么，再由平行的性质即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， ， 由翻折可得，， ， 故答案为：． 三、解答题 13．（21-22八年级下·福建厦门·期中）如图所示，已知点，在的对角线上，且．连接，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】先证明，得，，则，得，再根据平行四边形的判定定理即可得到结论． 【详解】解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ； ，， ， ， 四边形是平行四边形．    【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 14．（22-23八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在中，对角线、交于点O，过点O，并与、分别交于点E、F，，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质： （1）先根据平行四边形的性质得出，，再根据证明即可； （2）根据平行四边形对角线互相平分，可得，再根据推出，进而求出，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， 由（1）知， ， ， ， 即的周长为18． 15．（20-21八年级下·陕西宝鸡·期末）如图，在平行四边形中，延长到点E，延长到点F，使，连接交边于点G，交边于点H．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的性质可得出，利用ASA即可证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是掌握平行四边形的对边平行的性质及全等三角形的判定与性质． 提高训练场 一、单选题 1．（23-24八年级下·北京·期中）如图，在平行四边形中，，的平分线交于E，交的延长线于点F，（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，角平分线的定义，先由平行四边形的性质得到，，再根据角平分线的定义和平行线的性质证明，得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于E，交的延长线于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图， 的对角线相交于点O，点E，F分别是线段的中点．若，的周长是，则的长为（　　） A．5 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理以及平行四边形的性质的知识，先根据平行四边形的性质得到，，再结合的周长即可求出的长度，最后利用三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵的对角线相交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点E，F分别是线段的中点， ∴， 故选：C． 3．（22-23八年级下·上海宝山·期中）点A、B、C、D在一个平面内，若从①；②；③；④．这四个条件中选两个，但不能推导出四边形是平行四边形的选项是（　　） A．①② B．①④ C．②④ D．①③ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可选①③；故D不符合题意； 两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可选②④；故C不符合题意； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可选①②或③④；故A不符合题意； 一组对边平行另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形．故B符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关． 4．（21-22八年级上·山东淄博·期末）如图，已知▱ABCD三个顶点坐标是A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1），那么第四个顶点D的坐标是（    ） A．（3，1） B．（3，2） C．（3，3） D．（3，4） 【答案】B 【分析】过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N，求出△DCN≌△BAE，根据全等三角形的性质得出BE=DN，AE=CN，根据A、B、C的坐标求出OM和DM即可． 【详解】 解： 过B作BE⊥x轴于E，过D作DM⊥x轴于M，过C作CF⊥BE于F，DM和CF交于N， 则四边形EFNM是矩形， 所以EF＝MN，EM＝FN，FN∥EM， ∴∠EAB＝∠AQC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∴∠AQC＝∠DCN， ∴∠DCN＝∠EAB， 在△DCN和△BAE中 ， ∴△DCN≌△BAE（AAS）， ∴BE＝DN，AE＝CN， ∵A（﹣1，0）、B（﹣2，﹣3）、C（2，﹣1）， ∴CN＝AE＝2﹣1＝1，DN＝BE＝3， ∴DM＝3﹣1＝2，OM＝2+1＝3， ∴D的坐标为（3，2）， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质，点的坐标与图形性质等知识点，能正确作出辅助线是解题的关键． 5．（21-22八年级下·山东济南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，线段DE取最小值，然后证明四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴BC⊥AB， ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD＝OE，OA＝OC，CD∥AE， ∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC， ∴OD∥AB， ∵BD∥AE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∴DE＝AB＝3， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定以及垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 6．（21-22八年级下·山西临汾·期中）如图，在中，，从的顶点B引两边的垂线，则的度数为（　　）    A．70° B．110° C．20° D．80° 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质，垂线的定义以及四边形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵从的顶点B引两边的垂线， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键． 7．（22-23八年级下·广西桂林·期中）如图，在中，，，，过的中点E作，垂足为点F，与的延长线相交于点H，则的面积是（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得到，，求出、、，根据全等得出，，根据三角形的面积公式求的面积，即可求出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 为中点， ， ，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查对平行四边形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，三角形的面积，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行计算是解此题的关键． 8．（24-25八年级上·山东威海·期末）已知如图，在中，，点E为的中点，连接，，，以下结论正确的有（   ） ． ①为等腰三角形② ③④若， ⑤若，将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F，则为直角三角形． A．①②③④⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】根据题意得到，即可判断①；根据平行四边形的性质即可判断②；根据等边对等角得到，，然后结合平行线的性质得到，，进而求出，然后利用三角形内角和定理求出，即可判定③；若，得到是等边三角形，然后根据等边对等角和三角形外角的性质得到，然后求出，进而得到，即可判断④； 根据题意得到点F在线段上，进而可判断⑤． 【详解】∵，点E为的中点， ∴ ∴为等腰三角形，故①正确； ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形 ∴ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，故③正确； 若， 又∵ ∴是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，故④正确； ∵将点A绕点B顺时针旋转，点A的对应点为点F， ∴点F在线段上， ∵ ∴为直角三角形，故⑤正确． 综上所述，正确的有①②③④⑤． 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角，等边三角形的性质和判定，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 9．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）如图，直线过平行四边形对角线的交点O，分别交于E、F，若平行四边形的面积是12，则与的面积之和为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，进而可证明得到，则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．（22-23八年级下·上海杨浦·期中）如图，已知平行四边形的对角线相交于点交边于点，若的周长为15厘米，则平行四边形的周长为 厘米．    【答案】30 【分析】根据题意可知是的垂直平分线，得,再由的周长为15厘米求出厘米，再根据平行四边形周长公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形, ∴ 又 ∴是的垂直平分线， ∴, ∵的周长为15厘米， ∴厘米， ∴厘米，即厘米， ∴平行四边形的周长厘米， 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形的周长以及平行四边形的周长，正确求出厘米是解答本题的关键． 11．（23-24八年级下·全国·期末）如图：在四边形中，，且，，P，Q分别从A，C同时出发，P以的速度由A向D运动，Q以的速度由C向B运动， 秒时直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即可. 根据题意设秒时，直线将四边形截出一个平行四边形，.要使成平行四边形，则就有或，列方程并解方程即可求出t值. 【详解】解：根据题意设t秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 则 要使构成平行四边形 则：或 进而可得： 或 解得或 故答案为：2或3 12．（22-23八年级下·辽宁锦州·期末）如图，在▱中，对角线，交于点，，，过点作的平分线的垂线，垂足为点，若点在的垂直平分线上，是直线上的动点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接，，，，，判断出的最小值为线段的长，以及是直角三角形，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，，，，，    ， ， 的最小值的长； 四边形是平行四边形，， ，， ， ， 由点和点关于直线的对称， 知，， ， 为等边三角形， ， ， ，， ， 是的平分线，， ， ， ， ， 在中， ， 的最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短路线问题，平行四边形的性质，等边三角形的判定，直角三角形的判定，勾股定理，能将两线段和的最小值转化为一条线段的长是解题的关键． 三、解答题 13．（22-23八年级下·江苏镇江·期中）如图，在四边形中，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接相交于点O，，则的周长等于_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明即可； （2）根据平行四边形的性质可得，即可得到的周长． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键． 14．（24-25八年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，点是边的中点，连接并延长与的延长线交于． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，勾股定理； （1）根据得到，即可得到，从而得到，即可得到，即可得到证明； （2）根据得到，结合即可得到，从而得到为等边三角形，即可得到答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， 点是边的中点， ， 在和中， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形， ∴ ， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 的面积． 15．（21-22八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，点D是边BC的中点，点E在内，AE平分，交AB于G，点F在边AB上，． (1)若四边形EFBD的面积为6，则的面积是_________； (2)求证：四边形BDEF是平行四边形； (3)若，判断BF，AB，CE之间具有怎样的数量关系． 【答案】(1)3 (2)见解析 (3) 【分析】（1）延长CE交AB于点G，证明△AEG≌△AEC（ASA），得EG＝EC，再由三角形中位线定理得DE∥AB，则四边形BDEF是平行四边形，即可求解； （2）由全等三角形的性质得EG＝EC，再由三角形中位线定理得DE∥AB，然后由EF∥BC，即可得出四边形BDEF是平行四边形； （3）由平行四边形的性质得BF＝DE，再由三角形中位线定理DE＝BG，则BF＝BG，再证明△ACG是等边三角形，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长CE交AB于点G，如图所示： ∵AE⊥CE， ∴∠AEG＝∠AEC＝90°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠GAE＝∠CAE， 在△AEG和△AEC中， ， ∴△AEG≌△AEC（ASA）， ∴EG＝EC， ∵点D是边BC的中点， ∴DE为△BCG的中位线，BD＝CD， ∴DE∥AB， 又∵EF∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形， ∴平行四边形BDEF的面积＝2△DEC的面积， ∵四边形EFBD的面积为6， ∴△DEC的面积为3； 故答案为：3； （2）证明：由（1）得：△AEG≌△AEC（ASA）， ∴EG＝EC， ∵点D是边BC的中点， ∴DE为△BCG的中位线， ∴DE∥AB， 又∵EF∥BC， ∴四边形BDEF是平行四边形； （3）解：结论：，证明如下： ∵△AEG≌△AEC（ASA）， ∴AG＝AC，EG＝EC， ∵∠BAC＝60°， ∴△ACG是等边三角形， ∴AG＝CG＝2CE， 由（2）得：四边形BDEF是平行四边形，DE为△BCG的中位线， ∴BF＝DE，DE＝BG， ∴BF＝BG， ∴BF＝（AB﹣AG）＝（AB﹣2CE）， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、三角形面积以及角平分线定义等知识；本题综合性强，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明△AEG≌△AEC是解题的关键，属于中考常考题型． 学科网（北京）股份有限公司 $$