清单09 利用导数研究函数单调性、极值、最值（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）（期末复习知识清单）高二数学下学期人教B版

清单09 利用导数研究函数单调性、极值、最值 清单01 函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 求可导函数单调区间的一般步骤： ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 清单02 含参函数讨论单调性 1.讨论的分类标准：①最高次的系数是否为0；②导数等于0有根还是无根； ③多根情况要比较两根大小；④根是否在定义域或指定的区间内 2.讨论单调性的步骤：第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。 若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0； 第三步：令，确定分类点：①是否存在根；②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断，分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 清单03 函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 清单04 函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求单调区间（） 【例1】已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 【变式1-2】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1-4】函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（   ）    A． B．和 C．和 D．和 【考点题型二】求函数的极值（点）、最值（） 【例2】函数的极值点是 ． 【变式2-1】已知函数，其图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值． 【变式2-2】已知函数，则的极小值为 . 【变式2-3】函数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-4】已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为 . 【考点题型三】函数与导函数图象的关系（） 【例3】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 【考点题型四】已知含参函数的单调情况求参数（） 【例4】已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式4-4】若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】根据极值（点）求参数（） 【例5】已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知函数的极大值为1，则（    ） A． B． C．1 D．3 【变式5-2】已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【变式5-3】已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-4】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【考点题型六】根据最值求参数（） 【例6】已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-1】设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 【变式6-2】已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【变式6-4】已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 【考点题型七】利用函数的单调性解不等式（） 【例7】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【变式7-3】已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式7-4】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为 ． 【考点题型八】不等式恒成立问题（） 【例8】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【变式8-1】（多选）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【变式8-2】已知函数. (1)若为函数的极大值点，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【变式8-3】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 【变式8-4】已知函数在和处取得极值． (1)求、的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【考点题型九】含参函数讨论单调性（） 【例9】已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 【变式9-1】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【变式9-2】已知函数. (1)若，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性. 【变式9-3】已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【变式9-4】已知函数. (1)当时，求曲线的经过点的切线方程； (2)讨论的单调区间. 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单09 利用导数研究函数单调性、极值、最值 清单01 函数的单调性 函数单调性的判定方法： 设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 注意： ①利用导数研究函数的单调性，要在函数的定义域内讨论导数的符号； ②在某个区间内，()是函数在此区间内单调递增(减)的充分条件，而不是必要条件.例如，函数在定义域上是增函数，但. 求可导函数单调区间的一般步骤： ①确定函数的定义域； ②求，令，解此方程，求出它在定义域内的一切实数； ③把函数的间断点的横坐标和的各实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数的定义域分成若干个小区间； ④确定在各小区间内的符号，根据的符号判断函数在每个相应小区间内的增减性. 函数在区间上单调与求函数单调区间 单调递增；单调递增； 单调递减；单调递减. 清单02 含参函数讨论单调性 1.讨论的分类标准：①最高次的系数是否为0；②导数等于0有根还是无根； ③多根情况要比较两根大小；④根是否在定义域或指定的区间内 2.讨论单调性的步骤：第一步：求函数的定义域； 第二步：求导函数，导函数是分式一般先通分，并且考虑能不能因式分解。 若导函数带分母，通分因式分解彻底后，判断导数分子最高次项系数是否含有参数，若有，则可以讨论该参数为0和不为0； 第三步：令，确定分类点：①是否存在根；②根比较大小； 第四步：利用数轴穿根法判断，分定义域的每个区间的导数的正负情况； 第五步：进行综上所述，情况相同的要合在一起 清单03 函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 清单04 函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 【考点题型一】求单调区间（） 【例1】已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 所以函数的单调递减区间为，结合选项可知只有D符合题意. 故选：D 【变式1-1】已知函数满足，则的单调递增区间为（   ） A．， B．， C． D． 【答案】B 【详解】求导得：，再令得： ， 再由，令得; ，联立上两式可得：， 故， 由，满足解得：或， 所以的单调递增区间为，， 故选：B． 【变式1-2】函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为，又， 令，解得，所以的单调递增区间为. 故选：D 【变式1-3】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为R，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，选项AC不满足； 当时，，此时恒成立，B不满足，D符合题意. 故选：D 【变式1-4】函数的大致图象如图所示，则函数的单调递增区间是（   ）    A． B．和 C．和 D．和 【答案】D 【详解】由题可知，由图可知当时，， 当，，所以的解集为. 故选：D. 【考点题型二】求函数的极值（点）、最值（） 【例2】函数的极值点是 ． 【答案】3 【详解】的定义域为，所以， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点. 故答案为：3 【变式2-1】已知函数，其图象在点处的切线方程为． (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1) (2)最大值为20，最小值为0 【详解】（1）由可得：. 所以在点处切线的斜率为， 因为在点处切线方程为， 所以切线的斜率为0，且， 所以，即，解得， 所以． （2）由（1）知， 则. 令得或3， 易知上在单调递增，在上在单调递减，在上在单调递增. 所以在处，取得极大值，在处取得极小值. 又因为， ， 所以在上的最大值为20，最小值为0． 【变式2-2】已知函数，则的极小值为 . 【答案】 【详解】因为，所以， 当 时，，故 ， 所以， 当 时，，故 ， 所以， 综上，当时，恒成立，故在区间上单调递增， 又因为，， 即，所以的图象关于直线对称， 故在区间 上单调递减，故为的极小值点，的极小值为 . 故答案为： 【变式2-3】函数满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，要求的最大值，只需考虑的情况即可， 令，求导得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故所求为. 故选：B. 【变式2-4】已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为 . 【答案】 【详解】因为原不等式的解集是且， 故、为的零点， 则或（舍） 所以， 则， ，得或；，得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 则的极大值为. 故答案为：. 【考点题型三】函数与导函数图象的关系（） 【例3】函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 由图像可知， 当，单调递减，所以， 当，单调递增，所以， 又当，，当时，，当，， 所以当，，，即， 当，，，即， 综上所述，的解集为，故A正确. 故选：A 【变式3-1】如图是函数及其导函数在同一坐标系中的图象，则图象正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，若递减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应恒为负值，且从左往右是呈现先增后减的趋势，导函数图象不符合题意； 若递减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得A错误； 对于B，若先增后减的曲线为函数图象，则其导函数的图象应呈现先为正后为负的趋势，导函数图象不符合题意； 若先增后减的曲线为导函数图象，则函数的图象应呈现先增后减的趋势，此时原函数图象不符合题意，可得B错误； 对于C，过原点的曲线为导函数的图象时，另一条曲线符合的图象，即C正确； 对于D，若先减后增图像为导函数的图象时，则另一条曲线应呈现先增后减再增的趋势，显然的图象不符合； 若先减后增为原函数的图象时，则另一条曲线应呈现先为正后为负的变化规律，显然的图象不符合，即D错误. 故选：C 【变式3-2】已知函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象可得： 当时，函数单调递增，则， 当时，函数单调递减，则． 当时，函数单调递增，则， 由①或② 解①得，，解②得，， 综上，不等式的解集为. 故选：A． 【变式3-3】设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由的图象可知，当时，函数单调递增，则，故排除C，D； 当时，先递增，再递减最后递增，所以所对应的导数值应该先大于0， 再小于0，最后大于0，排除B. 故选:A. 【变式3-4】（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 【答案】AC 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误， 故选：AC 【考点题型四】已知含参函数的单调情况求参数（） 【例4】已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递增， 所以，对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为，， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式4-1】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在区间上不单调， 则在区间上有零点， 所以，得（舍）， 故，使得函数在上递减，在上递增， 所以实数a的取值范围为. 故选：B. 【变式4-2】已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，且，都有即， 记， 则由单调性的定义知，函数在上单调递增， 则需满足：在上单调递增①， 在上单调递增②， 且 ③， 对于①，要使在上单调递增， 则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增， 所以在上单调递增时，； 对于③，，所以； 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：B 【变式4-3】已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 【变式4-4】若函数在存在单调减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以， 因为函数在存在单调减区间，所以有解， 即有解，则， 又，且， 当时，， 所以，解得，即实数a的取值范围为. 故选：B 【考点题型五】根据极值（点）求参数（） 【例5】已知函数恰有一个极值点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，当时，在上恒成立，不存在极值点，不符合题意，舍去； 所以必有，令，得， 当时，；当时，，即恰好有一个极小值点， 符合题意，故a的取值范围是. 故选：C. 【变式5-1】已知函数的极大值为1，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【详解】， 当时，恒成立，此时单调递减，无极大值； 故， 令得或，令得， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 解得， 故选：C 【变式5-2】已知函数在处取得极小值，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 【答案】A 【详解】求导得，则， 解得：或， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极小值， 当时，， 由于，，，， 所以函数在时有极大值，故舍去， 故选：A. 【变式5-3】已知函数的极小值是，则实数（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，令得或， 当时，，在R上单调递增，无极值； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 解得； 当即时， 时，，单调递增， 时，，单调递增， 时，，单调递减， 得在处取得极小值，即， 不满足题意； 综上，实数. 故选：C. 【变式5-4】若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，求导可得， 由题意可得函数存在唯一变号零点，则方程存在唯一解， 即方程存在唯一解， 令，求导可得，由，解得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 当时，，则，当时，， 易知当，即时，方程存在唯一解， 当时，，易知方程的解为， 由当时，，，则，同理可得当时，， 所以此时函数无极值点，不符合题意； 当时，，易知函数在上单调递增，符合题意. 故选：B. 【考点题型六】根据最值求参数（） 【例6】已知是函数的导函数，若，且在上的最大值为5，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 所以，解得，所以，则， 所以当时，所以在上单调递增， 所以，解得. 故选：D 【变式6-1】设函数，若在上的最大值不小于4，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】的定义域为，， ，，，在上单调递增， 故在上的最大值为，即. 故答案为： 【变式6-2】已知函数在内有最小值，则实数的取值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，函数在处取得极小值，即最小值， 又函数在内有最小值，则，解得， 所以实数的取值可以是. 故选：D 【变式6-3】已知函数，当时，的最小值为，则实数的值为 . 【答案】/ 【详解】因为，，则， 若，则，可知在内单调递增，无最小值，不合题意； 若，则，可知在内单调递减， 则在内最小值为，解得，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则在内最小值为，解得； 综上所述：. 故答案为：. 【变式6-4】已知函数（其中为常数）在处取得极值. (1)当时，求的极值； (2)若在上的最大值为2，求的值. 【答案】(1)极大值为：，极小值 (2)或. 【详解】（1）因为，所以， 因为函数在处取得极值，， 当时，，， ，随的变化情况如下表： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 所以的单调递增区间为，；单调递减区间为， 极大值为：，极小值， （2）当时，由，可知， ，， 易知当时，，当时，， 所以，在单调递增，在单调递减， 此时最大值为，不符合题意， 当时，由，得到， 所以， 令，，， 因为在处取得极值，所以， 当时，易得在上恒成立， 在上单调递减； 所以在区间上的最大值为， 令，解得， 当，； 当时，易得在恒成立， 在上单调递增， 所以，解得，符合； 当时， 由得，由得 所以在上单调递减，上单调递增， 所以最大值2可能在或处取得，而， 所以， 解得，与矛盾 当时，可以在恒成立， 所以在单调递减， 所以最大值2可能在处取得，而，矛盾 综上所述，或. 【考点题型七】利用函数的单调性解不等式（） 【例7】已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，,因为， 所以， 由，则，所以为奇函数. 易知， 因为（当且仅当，即时等号成立）， （当且仅当，即时等号成立），所以，所以在上单调递增. 由，得，故， 所以， 即，令，求导得, 因为，所以恒成立，且，所以解，得：， 故选:B. 【变式7-1】已知函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，定义域为，所以为奇函数， ，因为，所以，所以在上单调递增， 所以， 又单调递增，所以，即解集为. 故选：A. 【变式7-2】已知函数为偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】当时, ， 因为，所以，所以， 所以当时，单调递增； 又函数为偶函数，所以当时，函数单调递减， 所以， 等价于， 等价于， 平方可得：， 解得：或， 所以解集为：， 故答案为： 【变式7-3】已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 【变式7-4】已知定义在上的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以函数是上的增函数， 因为，所以， 则不等式等价于， 即，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【考点题型八】不等式恒成立问题（） 【例8】已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）， 当时，，函数在上单调递减； 当时，由得，由得，所以函数在，上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）恒成立等价于，即． 令，当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即． 所以的取值范围为． 【变式8-1】（多选）已知不等式恒成立，则实数k的可能取值为（   ） A．2 B．0 C．1 D． 【答案】ACD 【详解】 由题知，不等式恒成立，设，， 即直线恒在函数图象的上方，直线恒过点，，当时，，当时，， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减， ∴当时，，，当时，， 在同一坐标系中作出函数与直线的图象， 设直线与函数的图象相切时切点为，，解得或； ∴当直线与函数的图象相切时切线斜率为2或，由图知，， 故选：ACD． 【变式8-2】已知函数. (1)若为函数的极大值点，求的值； (2)若，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数的定义域为，则， 因为为函数的极大值点，则，解得， 此时，， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 此时，函数在处取得极大值，合乎同意. 综上所述，. （2）对任意的，，可得， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. 【变式8-3】已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若对恒成立.求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）因为，则， 令，可得或， 所以当或时，当时， 所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式8-4】已知函数在和处取得极值． (1)求、的值； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为，则， 函数在和处取得极值． ，，联立解得：，． 且当，，，则， 由可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，合乎题意. 因此，，． （2）由（1）知在单调递增，在单调递减， 故当时，， 要使得对任意，不等式恒成立，则需， 故，即，解得或， 的取值范围是． 【考点题型九】含参函数讨论单调性（） 【例9】已知函数，． (1)若在处的切线方程为，求实数m的值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由，． 依题意， ， 解得 . （2）的定义域为，， 当时，恒有 ，故的单调递减区间为， ②当时，令，得， 由，得；由，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【变式9-1】已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，函数，可得 且， 故曲线在点处的切线方程. （2）由函数，其定义域为， 且， ① 若，可得 当时，可得；当时，可得， 所以在上单调递增，在上单调递减； ② 若时，则，令，可得或， 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，即时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，即时，令，可得或； 令，可得，所以在上递增，在上递减； 当时，令，可得，令，可得， 所以在上递增，在上递减， 综上可得：当时，在上递增，在上递减； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上递增，在上递减. 【变式9-2】已知函数. (1)若，求函数在的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，所以，则，， 故当，函数在的切线方程为，即. （2）因为，其中， 当时，，由得；由得. 当时，令， 令得，， 当时，由得；由得. 当，即时，由得； 由得. 当，即时，对任意的恒成立； 当，即时，由得， 由得. 综上，当时，函数的增区间为，减区间为； 当时，函数的增区间为、，减区间为； 当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为、，减区间为. 【变式9-3】已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）由，所以， 所以，又， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）由，定义域为， 当时，令得或， （i）时，，，令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； (ii)时，，所以在上单调递减； （iii）当时，即，， 令，得， 令，得或， 所以的递增区间为，递减区间为，； 当时，令，得；令，得， 所以的递增区间为，递减区间为； 综上所述， 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，在上单调递减； 当时，的递增区间为，递减区间为，； 当时，的递增区间为，递减区间为. 【变式9-4】已知函数. (1)当时，求曲线的经过点的切线方程； (2)讨论的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，则， 设切点横坐标为，则，， 所以在点处的切线方程为：， 由于该切线经过点，则， 即， 所以该切线方程为; （2）由求导得： ， 因为定义域，所以令，得， 当时，有，， 又有，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时， ， 所以在区间上单调递增； 综上：当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，在区间上单调递增 8 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$