10.1.1 有限样本空间与随机事件（同步课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第二册）

人教A版2019必修第二册 10.1.1 有限样本空间与随机事件 第十章 概率 章前导读 通过上一章的学习可知，许多实际问题都可以用数据分析的方法解决，即通过随机抽样收集数据，在选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本数据中提取需要的信息，估计总体的统计规律，进而解决相应的问题。 从中可以看到，用样本推断总体，当样本量较小时，每次得到的结果不同；但如果有足够多的数据时，就能从中发现一些规律。 例如：你每天记录从家里到学校的时间（精确到分）不可预知；如果你记录一周，你会发现每天所用的时间各不相同；但你记录一个月、一个学期甚至更多，此时你通过数据分析就可以发现，所用的时间具有相对的稳定分布规律。 又如：从装有一些装有白球、红球的袋子中随机抽取一个，事先不能确定它的颜色；有放回的重复摸取多次，记录每次摸到球的颜色，从记录的数据中就可以发现一些规律，例如红球与白球的大概比例，进而就能知道每次摸到红球、白球的可能性大概是多少。 章前导读 这类现象的共性是：就一次观测而言，出现哪种结果具有偶然性，但在大量的重复观测下，各个结果出现的频率缺具有稳定性。这类现象叫做随机现象，它是概率论的研究对象。 概率论是研究随机现象数量规律的数学分支. 概率是对随机事件发生可能性大小的度量，它已渗透到我们的日常生活中，成为一个常用词汇. 本章我们将在初中的基础上，结合具体实例，继续研究刻画随机事件的方法；通过古典概型中随机事件概率的计算，加深对随机现象的认识和理解；通过构建概率模型解决实际问题，提高用概率的方法解决问题的能力. 在初中，我们已经初步了解了随机事件的概念，并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的概率，本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算，探究随机事件概率的性质. 学习目标 1 2 3 结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，培养数学抽象的核心素养 理解随机事件与样本点的关系；会判断一个事件是必然事件还是不可能事件 会用符号表示试验的基本结果，培养数学抽象的核心素养. 新课导入 研究某种随机现象的规律，首先要观察它所有可能的基本结果. （1）将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况； （2）从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数； （3）在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命； （4）从一批发芽的水稻种子中随机选取一些，观察分蘖数； （5）记录某地区七月份的降水量. 例如： 概念生成 随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验： (1)试验可以在相同条件下重复进行； (2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； (3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 可重复性 可预知性 随机性 新知探究 问题1 体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同分别标号0、1、2、 …、9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码. 这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果？ 样本点 样本空间 有限样本空间 概念生成 有限样本空间 随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示. 所有样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示. 若一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω={ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间. 我们还可以从集合论的角度理解随机试验结果与样本空间的关系 … Ω 样本点 样本空间 典例分析 例1 投掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间. 解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果， 所以试验的样本空间可以表示为： Ω＝{正面朝上，反面朝上}. Ω={h，t}，其中，h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上” Ω={1，0}，其中，1表示“正面朝上”，0表示“反面朝上” 或者： 样本空间的表达形式不唯一，样本点可用数字、字母、文字或者坐标表示，但是运用其他形式时要做说明 典例分析 例2 投掷一枚骰(tóu)子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间. 解：因为落地时朝上面的点数有1, 2, 3, 4, 5, 6共6个可能的基本结果， 实际问题数学化 用i表示“朝上的面的点数为 i ” 所以试验的样本空间可以表示为 Ω＝{1, 2, 3, 4, 5, 6}. 典例分析 例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间. 解法2：用1表示硬币“正面朝上”， 用0表示硬币“反面朝上”， 样本空间则可简单表示为 Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}． Ω={(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)}. 解法1： 第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x, y)表示. 样本空间则可表示为 0 1 第一枚 第二枚 1 1 0 0 对于只有两个可能结果的随机试验，一般用1和0表示这两个结果. 找样本点的方法有：列举法、列表法、树状图法。 学以致用 教材P231 写出下列各随机试验的样本空间： (1) 采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别； (2) 采用抽签的方式，随机选择一 名同学，观察其ABO血型； (3) 随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别； (4) 射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况； (5) 射击靶3次，观察中靶的次数. 解： (1) 样本空间Ω＝{男, 女}. (2) 样本空间Ω＝{A, B, O, AB}. (3) 样本空间Ω＝{(男, 男), (男, 女), (女, 女), (女, 男)}. (4) 用1表示“中靶”，用0表示“脱靶”，则样本空间为 Ω＝{(1,1,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (0,0,0)}. (5) 样本空间Ω＝{0,1,2,3}. 概念生成 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示. 随机事件(事件)：样本空间Ω的子集. 基本事件：只包含一个样本点的事件. 随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示. 事件A发生：当且仅当A中某个样本点出现. 必然事件：在每次试验中总有一个样本点发生. Ω为必然事件. 不可能事件：在每次试验中都不会发生. 为不可能事件. 随机事件的相关概念 必然事件与不可能事件不具有随机性. 为了方便统一处理，将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形. 这样，每个事件都是样本空间Ω的一个子集. 概念辨析 随机事件 必然事件 不可能事件 随机事件 必然事件 随机事件 随机事件 不可能事件 （1）某地1月1日刮西北风； （2）当x是实数时，x2＋1≥1； （3）手电筒的电池没电，灯泡发亮； （4）一个电影院某天的上座率超过50%. （5）如果a＞b，那么a- b＞0； （6）从分别标有数字l,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签; （7）某电话机在1分钟内收到2次呼叫； （8）随机选取一个实数x，得|x|<0. 指出下列事件是必然事件，不可能事件，还是随机事件. 随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 必然事件：在一定条件下必然发生的事件。 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。 典例分析 例4 如右图，一个电路中有A, B, C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效. 把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常. (1) 写出试验的样本空间； (2) 用集合表示下列事件： M＝“恰好两个元件正常”； N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”. A C B 典例分析 (1) 写出试验的样本空间； 解：(1)分别用x1, x2和x3表示元件A, B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用 (x1, x2, x3)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态. A C B 0 1 元件A 0 1 0 1 元件B 0 1 0 1 0 1 0 1 元件C 可能结果 可借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果，如下图. 000 001 010 011 100 101 110 111 Ω＝{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1, 0,1), (0,1,1), (1,1,1)}. 则样本空间为 典例分析 (2) 用集合表示下列事件： M＝“恰好两个元件正常”； N＝“电路是通路”；T＝“电路是断路”. A C B Ω＝{(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1, 0,1), (0,1,1), (1,1,1)}. 解：“恰好两个元件正常”等价于(x1, x2, x3) ∈Ω，且x1, x2, x3中恰有两个为1， ∴M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}； “电路是通路”等价于(x1, x2, x3) ∈Ω ，x1=1，且x2, x3中至少有一个是1， ∴N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)} “电路是断路”等价于(x1, x2, x3) ∈Ω，x1=0，或x1=1, x2=x3=0． ∴T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,0,0)}． 学以致用 教材P231 2. 如图，由A, B两个元件分别组成串联电路(图(1) )和并联电路(图(2) )，观察两个元件正常或失效的情况. (1) 写出试验的样本空间; (2) 对串联电路，写出事件M=“电路是通路”包含的样本点; (3) 对并联电路，写出事件N=“电路是断路”包含的样本点. A B (1) B A (2) 解：(1)分别用x1, x2表示元件A, B的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1, x2)表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间为 Ω={(1,1), (1,0), (0,1), (0,0)}. (2) 事件M=“电路是通路”包含的样本点为(1,1). (3) 事件N=“电路是断路”包含的样本点为(0,0). 学以致用 教材P231 3. 袋子中有9个大小和质地相同的球，标号为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 从中随机摸出一个球. (1) 写出试验的样本空间; (2) 用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”，事件B=“摸到球的号码大于4”，事件C=“摸到球的号码是偶数”. 解：(1) 样本空间为Ω={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2) 事件A用集合表示为{1,2,3,4}； 事件B用集合表示为{5,6,7,8,9}； 事件C用集合表示为{2,4,6,8}. 能力提升 题型一 随机试验与有限样本空间 例题1 写出下列试验的样本空间. (1)同时掷三枚质地均匀的正方体骰子，记录三枚骰子出现的点数之和； [解析] 该试验的样本空间 ，4，5， ，17， . (2)从含有两件正品 ， 和两件次品 ， 的四件产品中任取两件， 观察取出产品的结果； [解析] 该试验所有可能的结果如图所示， 因此，该试验的样本空间 , , , , , . 能力提升 题型一 随机试验与有限样本空间 例题1 写出下列试验的样本空间. (3)用红、黄、蓝三种颜色给图中的三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，观察涂色的情况. [解析] 该试验所有可能的结果如图所示， 用1，2，3分别表示红色、黄色与蓝色三种颜色，则该 试验的样本空间,,, . 方法总结 写试验的样本空间时的具体方法 能力提升 写试验的样本空间时的关键是找样本点，具体方法如下： （1）列举法：适用于样本点个数少，可以把样本点一一列举出来的情况，但列举时必须按一定的顺序，要做到不重不漏. （2）列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本点归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.列表法的优点是准确、全面、不易遗漏. （3）画树状图法：适用于较复杂问题中的样本点个数的求解问题，一般试验需要分步（两步及两步以上）完成时，其结果可以用树状图表示. 能力提升 题型二 事件类型的判断 例题2 在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？ (1)如果 ， 都是实数，那么 ； (2)从分别标有1，2，3，4，5，6的6张号签中任取一张，得到4号签； (3)没有氧气，种子发芽； (4)某电话总机在30分钟内接到15个电话； (5)同种电荷，相互排斥. [解析] （1）任意实数都满足加法的交换律，故此事件是必然事件. （2）从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件既不是必然事件，也不是不可能事件. （3）种子发芽的三个基本条件：适宜的温度，适量的水分，充足的氧气.没有氧气，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件. （4）在30分钟内接到15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件既不是必然事件，也不是不可能事件. （5）根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，此事件是必然事件. 综上可知， 是必然事件，（3）是不可能事件. 能力提升 题型二 事件类型的判断 例题3 已知袋中有大小、形状完全相同的5张红色卡片和2张蓝色卡片，从中任取3张， 则下列判断不正确的是( ) A. 事件“都是红色卡片”是随机事件 B. 事件“都是蓝色卡片”是不可能事件 C. 事件“至少有1张蓝色卡片”是必然事件 D. 事件“有1张红色卡片和2张蓝色卡片”是随机事件 [解析] 事件“至少有1张蓝色卡片”不一定会发生，故不是必然事件， 故C中判断错误. C 能力提升 题型三 随机事件的表示 例题4 已知在所有考试中，小明同学的语文、数学、英语这三科的成绩都是优秀或良好，现随机抽取一次考试成绩,记录小明同学的语文、数学、英语这三科成绩的情况. (1)写出该试验的样本空间； (2)用集合表示下列事件： “至少有两科成绩为优秀”； “三科成绩不都相同”. [解析] 分别用 , ,表示语文、数学、英语的成绩,则样本点表示为 ，用1表示优秀，用0表示良好. (1)该试验的样本空间 ,,,,,,, . (2) ， ， ， . ， ， ， ， ， . 能力提升 题型三 随机事件的表示 例题5 在试验 “将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷两次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义. (1)事件 ， ， ， ， ， ； [解析] 事件 所含的样本点中的第二个数都为3,且样本空间中第二个数为3的样本点都在事件 中,故事件 的含义为“第二次掷出的点数为3”. (2)事件 ， ， ， ， ； [解析] 事件 所含的样本点中两个数的和均为6,且样本空间中两个数的和为6的样本点都在事件 中,故事件 的含义为“两次掷出的点数之和为6”. 能力提升 题型三 随机事件的表示 例题5 在试验 “将一枚质地均匀的正方体骰子连续抛掷两次，观察每次掷出的点数”中，指出下列随机事件的含义. (3)事件 ,, , , , ,, . [解析] 事件 所含的样本点中两个数的差的绝对值都为2,且样本空间中两个数的差的绝对值为2的样本点都在事件 中,故事件 的含义为“两次掷出的点数之差的绝对值为2”. 课堂小结 1. 样本空间有关概念： (2) 样本点与样本空间. 2. 随机事件有关概念： (1) 基本事件: 只包含一个样本点的事件. 随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示. (3) 事件A发生： 当且仅当A中某个样本点出现. (4) 必然事件： 在每次试验中总有一个样本点发生. (5) 不可能事件： 在每次试验中都不会发生. (2) 随机事件(简称事件)： 样本空间Ω的子集. (1) 随机试验的概念及其特点； 主讲： 人教A版2019必修第二册 感谢聆听 $$