暑假作业03 两个基本计数原理、排列组合（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业03 两个基本计数原理、排列组合 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 3.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.组合数公式 ===(∈N*，，且). 5.排列数与组合数的关系 . 6.求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．某学校组织课外实践活动，现有5条不同的路线供高一、高二、高三3个年级选择，每个年级从中任意选择一条路线，最终确定3个年级的课外实践活动总方案．则不同的活动方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（    ） A．81 B．64 C．24 D．12 3．某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 4．甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 5．现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 6．某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（    ） A．630种 B．360种 C．240种 D．180种 7．现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（    ）有种？ A．20 B．38 C．70 D．74 8．某高校就业指导小组计划安排甲、乙等6人去4家不同的公司进行实习工作，每家公司至少安排1人，每人只去一家公司，则甲、乙去同一家公司的不同安排方法总数为（    ） A．180 B．240 C．360 D．480 9．某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（    ） A．560种 B．616种 C．672种 D．728种 10．有辆车停放于个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有（    ）种不同的停放方法？ A． B． C． D． 11．要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 12．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 13．《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（   ）种不同的排版方式． A．120 B．240 C．480 D．720 14．五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．125种 D．243种 15．某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（   ） A．55 B．66 C．78 D．132 16．2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．180种 D．300种 17．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 18．在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（    ） A．60种 B．72种 C．120种 D．144种 19．光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班各派3名学生分别参加这三个主题的竞答.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中选派3位，已知甲不参加“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有（    ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 20．为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 1．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示） 2．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 3．将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成 个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为 . 4．如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5．平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 6．为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方案》，鼓励学生多读书、品经典，社区举办了“图书在哪”的抽奖活动．如图，在一个的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书．则在所有可能的情况中，能抽中的图书数目最多为 ，所有可能的图书排列方式总数为 ． 1．某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有 种安排方式.（答案用数字表示） 2．到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（   ） A．所有不同的排法种数为120种 B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 3．总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 4．如图，将个整数放入的宫格中，使得任意一行及任意一列的乘积为2或－2，记将个整数放入的宫格有种放法，则 ， ． 5．（1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答） （2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答） （3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”（满足），这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答） 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：90min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业03 两个基本计数原理、排列组合 1.分类计数原理（加法原理） . 2.分步计数原理（乘法原理） . 3.排列数公式 ==.(，∈N*，且)．注:规定. 4.组合数公式 ===(∈N*，，且). 5.排列数与组合数的关系 . 6.求解排列应用问题方法汇总 直接法 把符合条件的排列数直接列式计算 优先法 优先安排特殊元素或特殊位置 捆绑法 把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 插空法 对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 定序问题除法处理 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 对于某些顺序一定的元素(m个)的排列问题，可先把这些元素与其他元素一起(共n个)进行排列，然后用总排列数A除以m个顺序一定的元素之间的全排列数A，即得到不同排法种＝A. 间接法 正难则反、等价转化的方法 分组分配 平均分组、部分平均分组 1．对不同元素的分配问题 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数． (2)对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数． (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数． 隔板法 将个相同元素放入个不同的盒内，且每盒不空，则不同的方法共有种。解决此类问题常用的方法是“隔板法”，因为元素相同，所以只需考虑每个盒子里所含元素个数，则可将这个元素排成一列，共有个空，使用个“挡板”进入空档处，则可将这个元素划分为个区域，刚好对应那个盒子 环排问题 (1) 把 个不同的元素围成一个环状，排法总数为 (2) 个不同的元素围成一圈， 个元素相邻，符合条件的排列数为 (3) 个不同的元素围成一圈， 个元素不相邻 ，符合条件的排列数为 涂色问题 涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色”，在处理涂色问题时，可按照选择颜色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的颜色（还要注意两两不相邻的情况），先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．某学校组织课外实践活动，现有5条不同的路线供高一、高二、高三3个年级选择，每个年级从中任意选择一条路线，最终确定3个年级的课外实践活动总方案．则不同的活动方案有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】A 【分析】根据分步计数乘法原理求解. 【详解】完成这件事情可分三步： 第一步：高一学生选择一条线路，有5种选法； 第二步：高二学生选择一条线路，有5种选法； 第三步：高三学生选择一条线路，有5种选法. 根据分步计数乘法原理，完成这件事情的方法有：种. 故选：A 2．学校组织游学，学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往，3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（    ） A．81 B．64 C．24 D．12 【答案】B 【分析】利用分步计数原理即可求解. 【详解】学生可以从华山、衡山、恒山、嵩山四个景点中任选一处前往， 则每人有4种选法，所以3个好朋友的选法共有种， 故选：B. 3．某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题给条件用捆绑法即可，再根据分步乘法计算可得排列种数. 【详解】4位任课老师站在一起的排法种数为， 将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有， 再根据分步乘法得排列种数为. 故选：A. 4．甲、乙两位老师带领六位同学分别去、两所学校参加交流活动，甲、乙老师将去往不同的学校，甲老师的队伍中至少需要有两位学生，乙老师的队伍中至少需要有三位学生，且所有学生均参与活动，则不同的参会方案的种数为（  ） A．50 B．60 C．70 D．80 【答案】C 【分析】分两种情况，求出每种情况下的方案数相加可得结果. 【详解】甲老师的队伍有3位学生，乙老师的队伍有3位学生的情况有种， 甲老师的队伍有2位学生，乙老师的队伍有4位学生的情况有种情况， 故不同的参会方案的种数为. 故选：C 5．现有四所学校，每所学校出2名教师参加学科比武大赛，现有4名教师得奖，获奖教师中恰有2名教师来自同一学校的有（    ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B 【分析】利用分步乘法计数原理，组合计数问题列式求解. 【详解】从4所学校任取1所的2名教师，再从余下3所学校取2所，并分别取1名教师， 所求的不同方法种数为. 故选：B 6．某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（    ） A．630种 B．360种 C．240种 D．180种 【答案】B 【分析】分物理学科2人参会，3人参会和4人参会进行求解. 【详解】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会， 有种， 物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会， 有种， 物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会， 有种， 所以共有种不同的参会方案. 故选：B 7．现有8名社工，参加两个社区工作，每个社区4人，其中甲、乙、丙、丁四人是好友关系。他们希望在工作时，至少有一名好友相伴，试问：这样的工作安排方案共（    ）有种？ A．20 B．38 C．70 D．74 【答案】B 【分析】利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理可求解. 【详解】由甲、乙、丙、丁四人是好友关系，至少有一名好友相伴，可分为两类， （1）把4名好友分在同一个社区，另4人在一个社区有2种不同的方法， （2）有两名好友在1个社区，另2名好名在另一个社区有种， 综上所述：共有种不同的分配方法. 故选：B. 8．某高校就业指导小组计划安排甲、乙等6人去4家不同的公司进行实习工作，每家公司至少安排1人，每人只去一家公司，则甲、乙去同一家公司的不同安排方法总数为（    ） A．180 B．240 C．360 D．480 【答案】B 【分析】分两种情况，成员人数分组为3，1，1，1和分组为2，2，1，1，利用排列组合知识将两种情况下的安排方法数求出，相加即可. 【详解】将这6名成员分成四组，再分配到不同的公司，若成员人数分组为3，1，1，1， 先从剩余的4人选择1人和甲，乙一组，其他人各自为一组，再进行分配， 则不同的安排方法种数为种； 若成员人数分组为2，2，1，1，甲，乙为一组，再从剩余4人中选择2人为一组，其他2人各自为1组， 则不同的安排方法种数为种， 故不同的安排方法共有种． 故选：B 9．某公司有12名员工，其中4名是经理，8名是普通员工.现在需要从12名员工中选出6人组成一个至少有2名经理的项目小组，则不同的选择方案共有（    ） A．560种 B．616种 C．672种 D．728种 【答案】C 【分析】根据题意，至少有2名经理包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理，利用分类，分步乘法原理求解. 【详解】“至少有2名经理”包含三种情况：有2名经理，有3名经理，有4名经理， 情况一，选2名经理和4名员工，选法有：种； 情况二，选3名经理和3名员工，选法有：种； 情况三，选4名经理和2名员工，选法有：种； 所以不同的选择方案共有：. 故选：C. 10．有辆车停放于个并排的车位中，若乙车必须与甲车相邻停放，那么请问有（    ）种不同的停放方法？ A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用分步乘法原理，先将甲乙视为整体排列，再与剩余车辆排列可得. 【详解】先将甲乙两辆车相邻，有种排法， 然后将其视为一个整体，与剩下的辆车放进个并排的车位中，有种排法； 最后由分步计数原理可知，共有种排法. 故选：C. 11．要将4辆汽车并排停放在5个车位上，其中甲、乙两辆汽车车体较宽需要放在一起并占用3个车位，其他两辆汽车各占1个车位，则不同的停车方法种数为（    ） A．6 B．10 C．12 D．20 【答案】C 【分析】根据捆绑法和排列数的计算，可得答案 【详解】. 故选：C. 12．某校致力于打造“书香校园”，以此来提升学生的文化素养．现准备将7本不同的书全部分配给甲、乙、丙、丁4个不同的班级，要求每个班级均有书，且甲班的书比乙班多，丙班至少2本，则不同的分配方案有（    ） A．630种 B．840种 C．1470种 D．1480种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理，结合排列组合以及分步乘法计数原理即可求解. 【详解】根据题意甲乙丙丁四个班的书可以按照3，1，2，1或者2，1，2，2或者2，1，3，1三种方式分配， 故总的分配方案有种． 故选：C 13．《哪吒之魔童闹海》票房一路飙升，现暂列全球影史票房榜第5名，影片中角色魅力十足．假如要为哪吒、李靖、殷夫人、敖丙、太乙真人、申公豹这6位角色制作宣传海报，要求哪吒和敖丙不能相邻出现在海报上，那么一共有（   ）种不同的排版方式． A．120 B．240 C．480 D．720 【答案】C 【分析】不相邻问题用插空法，先将其余位角色全排列，再将哪吒和敖丙插空. 【详解】首先将李靖、殷夫人、太乙真人、申公豹这位角色全排列，有种排法， 再将哪吒和敖丙插入到所形成的个空中的个空，有种排法， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的排版方式． 故选：C 14．五一期间甲、乙、丙、丁、戊五个同学计划在本地一日游，若每人计划只去“新四军纪念馆、大丰麋鹿自然保护区、西溪旅游文化景区”这三个景点中的一个景点，则不同的游览方法共有（    ） A．40种 B．60种 C．125种 D．243种 【答案】D 【分析】应用分步乘法计数原理求不同的游览方法数. 【详解】由题设，每人都有3种选择，故5个人不同的游览方法有种. 故选：D 15．某班级共有44位同学，在一次春季研学活动中，要按学号顺序抽取两位同学担任活动的负责人，并使抽到的学号将其余同学仍按学号顺序自然分成三组，且要求每组的人数均大于零且是3的倍数，则两位负责人的选取方法种数是（   ） A．55 B．66 C．78 D．132 【答案】C 【分析】由题意减去担任负责人的两人，再将三人看作一人，利用隔板法，可得答案. 【详解】从位同学中抽取两人当负责人，则还剩人， 若按学号从小到大分成大三组人数分别为，其中， 则，解得， 由隔板法可得两位负责人的选取方法种数是. 故选：C. 16．2025年春节，国产电影《哪吒之魔童闹海》火遍全球，更是于2月18日登顶全球动画榜．甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡，每位同学只去一个地方，每个地方至少去1人，则不同的安排方法有（   ） A．120种 B．150种 C．180种 D．300种 【答案】B 【分析】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2，进行求解． 【详解】将五位同学分成三组，各组人数分别为1,1,3或1,2,2． 当各组人数为1,1,3时，共有种安排方法； 当各组人数为1,2,2时，共有种安排方法， 所以不同的安排方法有种． 故选:B. 17．系统的登录密码由个字符组成，其中前位是大写字母、、、的某种排列，后位是不相同的数字，则可能的密码总数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倍缩法可得出前个位置的排法种数，利用排列计数原理可得出后两位的排法种数，再利用分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，前个位置中有两个位置安排字母，有种， 然后从中选择两个不同的数字排最后两个位置，有种， 由分步乘法计数原理可知，可能的密码种数为. 故选：C. 18．在一次数学复习课上，黑板上从左至右分别为直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线5道题．现有6名学生去黑板上作答，甲乙同学先后作答同一道题，丙同学作答的题目不能与甲乙作答的题目相邻，则6名学生的答题方案有（    ） A．60种 B．72种 C．120种 D．144种 【答案】D 【分析】法一利用插空法即可；法二根据甲乙同学先后作答同一道题分类应用乘法原理结合排列数计算求解. 【详解】法一：先将甲乙看作一个整体，要求其与丙不相邻，先排列其余三人共有种，再将甲乙整体和丙插入个空隙中有种， 最后将甲乙排序有种， 则共有答题方案有种. 法二：甲乙同学先后作答同一道题是直线或抛物线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 甲乙同学先后作答同一道题是圆、椭圆、双曲线，丙同学作答的题目是椭圆，其他人作答其他剩下的题，共有； 所以共有答题方案有种. 故选：D. 19．光正实验学校高二年级拟举行“诗词”、“历史”、“地理”三场不同主题的知识竞答活动，要求各班各派3名学生分别参加这三个主题的竞答.某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中选派3位，已知甲不参加“诗词”主题的竞答活动，则该班不同的选派方法有（    ） A．9种 B．12种 C．15种 D．18种 【答案】D 【分析】由已知分甲被选中和甲未被选中两种情况，分别求解即可. 【详解】若甲被选中，甲只能选择“历史”或“地理”，共种选择， 然后从乙、丙、丁中选人，分配到剩下的个主题，共种选派方法， 所以方法总数为； 若甲未被选中，将乙、丙、丁人分配到个主题，共有种选派方法； 所以该班不同的选派方法有种. 故选：. 20．为迎接元宵节，某广场将一个圆形区域分成五个部分（如图所示），现用4种颜色的鲜花进行装扮（4种颜色均用到），每部分用一种颜色，相邻部分用不同颜色，则该区域鲜花的摆放方案共有（    ） A．48种 B．36种 C．24种 D．12种． 【答案】A 【分析】满足条件的涂色方案可分为区域同色，且和其它区域不同色和区域同色两类，且和其它区域不同色，结合分步乘法计数原理，分类加法计数原理求解即可 【详解】满足条件的摆放方案可分为两类， 第一类区域同色，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 第二类，区域同色两类，且和其它区域不同色的摆放方案， 满足条件的方案可分四步完成， 第一步，先摆区域有种方法， 第二步，摆放区域有3种方法， 第三步，摆放区域有2种方法， 第四步，考虑到区域不同色，且4种颜色都要用到，摆放区域有1种方法， 由分步乘法计数原理可得第一类中共有种方案， 根据分步加法计数原理可得该区域鲜花的摆放方案共有种， 故选：A. 1．某环保局派遣包括张三，李四，王五在内的12名工作人员到A，B，C三个镇开展环境保护的宣传工作，每个镇至少派遣3人，因工作需要，张三，李四，王五3人要派遣到同一个镇，则不同的派遣方案共有 种．（结果用数字表示） 【答案】 【分析】分类讨论人员的分组情况并依次求出对应的不同分组方法数，再将各组安排到三个镇，结合排列组合数及分类分步计数求不同的派遣方案数. 【详解】先分类讨论人员分组情况： 当张三､李四､王五所在组恰有3人时，余下9人分成2组，有210种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有4人时，先从其他9人中选1人到这组，再将余下8人分成2组，有种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有5人时，先从其他9人中选2人到这组，余下7人分成2组，有种方法； 当张三､李四､王五所在组恰有6人时，先从其他9人中选3人到这组，余下6人分成2组，有种方法． 再将三组人员分配到三个镇： 因为这三组分配到三个地区有种方法， 所以安排方法总数为． 故答案为： 2．为了协调城乡教育资源的平衡，政府决定派甲、乙、丙等六名教师去往包括希望中学在内的三所学校支教（每所学校至少安排一名教师）.受某些因素影响，甲乙教师不被安排在同一所学校，丙教师不去往希望中学，则不同的分配方法有（    ）种. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】采用分类与分步计数原理，先排丙共有种分法，再分为甲、丙在同一所学校和甲、丙不在同一所学校两类，每类分别讨论，最后相加得到结果. 【详解】先将丙安排在一所学校，有种分法； 若甲、丙在同一所学校，那么乙就有种选法， 剩下3名教师可能分别有3、2、1人在最后一所学校（记为X校）， 分别对应有1（3人均在X校）、（2人在X校，另1人随便排）、 （1人在X校，另2人分在同一所学校或不在同一所学校）， 共种排法； 若甲、丙不在同一所学校，则甲有种选法， 若乙与丙在同一所学校，则剩下3名教师按上面方法有19种排法； 若乙与丙不在同一所学校，则有剩下3人可分别分为1、2、3组， 分别有、、种排法，故共有： 种排法. 故选：B. 3．将2个“0”、2个“1”和2个“2”这6个数，按从左到右的顺序排成一排，则能构成 个自然数，在所有构成的自然数中，第一位数为1的所有自然数之和为 . 【答案】 60 3333330 【分析】分析可知第一位数只能是1和2，根据部分平均分组问题结合组合数运算求解；分析可知第一位数为1共有30个自然数，第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法，进而运算求解. 【详解】因为要构成自然数，所以第一位数只能是1和2，故共有个自然数； 第一位数为1共有30个自然数， 第二位排0，1，2，分别有、、种排法； 根据对称性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法； 所以，所有第一位数为1的自然数之和为. 故答案为：60；3333330. 【点睛】关键点点睛：根据对称性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分别有12、6、12种排法，进而可得结果. 4．如图是一个的九宫格，小方格内的坐标表示向量，现不改变这些向量坐标，重新调整位置，使得每行、每列各三个向量的和为零向量，则不同的填法种数为 ． 【答案】72 【分析】要使得每行、每列各三个向量的和为零向量，根据对称性，确定所在的行和列只能排， 再按分步乘法计数原理进行求解即可. 【详解】 1 2 3 4 5 6 7 8 9 首先对的九宫格每个位置标注数字， 第一步先排，一共9个位置，因此有种排法， 根据对称性知，所在的行和列只能排， 不妨设在1位置， 第二步排2位置，则从选一个，因此有种排法， 则3位置的数也定下来了， 第三步排4位置，则从剩余的两个中挑一个，因此有种排法， 接着排7位置，7位置是中剩余的最后一个， 相当于所在的行和列都定下来了， 则使得每行、每列各三个向量的和为零向量，其他四个位置的向量排法是唯一的， 因此按分步乘法计数原理知，（种） 因此共有72种排法， 故答案为：72. 5．平面直角坐标系上将横、纵坐标都为整数的点记为格点，点从格点出发，每次运动到另一格点时，沿水平或竖直方向移动一个单位，则点经过6次移动回到格点的移动路径总数为（    ） A．81 B．200 C．400 D．480 【答案】C 【分析】依题意可按照分类加法计数原理将问题分成四类，再利用组合数计算即可. 【详解】根据题意可知点从格点出发，可沿上、下、左、右四个方向移动； 若点经过6次移动回到格点可分为以下四种情况： 第一种：在六步移动过程中选择3步向上，另外3步向下，共有种； 第二种：选择3步向左，另外3步向右，共有种； 第三种：选择2步向上，另外2步向下，1步向左，1步向右，共有种； 第四种：选择1步向上，另外1步向下，2步向左，2步向右，共有种； 因此共有种. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题关键在于可将回到出发点的问题转化为在六步移动过程中，向左右、上下的相反方向的移动步数相等，再利用组合计数问题计算可得结果. 6．为积极响应教育部印发的《全国青少年学生读书行动实施方案》，鼓励学生多读书、品经典，社区举办了“图书在哪”的抽奖活动．如图，在一个的方格表中，按如下规则放置了一些图书，小方格中的数字表示与其有公共顶点的小方格的图书的总本数，且有数字的小方格上没有图书，其余方格内无限制，且每一个方格只能放1本图书．则在所有可能的情况中，能抽中的图书数目最多为 ，所有可能的图书排列方式总数为 ． 【答案】 11 192 【分析】根据数字的约束，确定哪些方格可以放置图书，通过分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目，使用排列组合的方法，计算所有满足条件的图书放置方式的总数. 【详解】如图所示，灰色代表图书位置，此时有11本图书，接下来说明不可能有12本图书，考虑数字控制的区域，假设有一种方式可以达到8本图书，首先左上角区域只有2本图书（下图左），在大图中去掉后变成了下图中间的样子，并且图中应有6本图书．类似的，下方数字2代表周围单元格中有2本图书，再去掉后形如下方右侧图形，此时需要填4本图书，但只剩下三个空方格，矛盾！故最多有7本，结合不受限制的区域，最多能抽中本书． 接下来求所有可能的方法数． 情形一： 如图所示，？处有图书时，在左上数字2的周围有两种情形，若数字3右侧方格无图书，则4周围的图书排布方式已经固定，此时下方数字2的排布方式也被固定，此时中间数字3周围只有两本图书，矛盾！所以中间数字3右侧必有图书． 此时如上右图阴影区域中有且仅有一本图书，故下方数字2左侧或右侧有一本图书．若下方数字2左侧有一本图书，则右侧没有图书，此时4周围的图书排布已经固定，则此时3周围图书也已经符合题意，只有一种情形． 若下方数字2右侧有一本图书，此时考虑下方数字2周围还应存在的一本图书的位置，若在2右上方，即上左图中☆位置，则满足题意，并且此时3周围也满足题意，4周围还剩一本图书，共有两种选择，共两种；若不在2右上方，则4周围图书的排布已经符合题意，3周围还应有一本图书，共有两种选择． 综上，在情形一中，根据分类加法和分步乘法计数原理，共有种可能． 情形二： 如图所示，？处无图书时，左上数字2的图书排布被固定，与情形一类似讨论，可知3右侧必有图书，此时根据3周围应还有2本图书得到下方的2左右两侧均无图书（否则下方2周围图书数目大于2），故4周围的图书排列方式被固定，所以3周围还应有一本图书，共有两种选择． 故情形二共有2种可能．所以共有种． 故答案为：①11；②192. 【点睛】关键点点睛：分析每个数字的约束，确定可以放置图书的方格，并计算最大可能的图书数目. 1．某电影院要在一天的A、B、C、D、E五个不同的时段分别安排《哪吒之魔童闹海》、《唐探1900》、《误杀3》、《封神第二部：战火西岐》、《射雕英雄传：侠之大者》、《长空之王》等6部电影中的一部，每部电影在当天的五个时段中至多只安排一次，若A时段不安排《哪吒之魔童闹海》，E时段不安排《长空之王》，那么共有 种安排方式.（答案用数字表示） 【答案】 【分析】根据正难则反的思想，先求出不受限制条件下所有安排种数，然后排除三类不满足条件的所有安排种数即可得解. 【详解】在排片不受时段限制的条件下，总共有种安排方式， 不满足题意的安排方式： 第一类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段不安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《长空之王》，则有种安排方式；若安排《长空之王》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第二类，A时段不安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》： 若五个时段都不安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；若安排《哪吒之魔童闹海》，则有种安排方式；则该类共有种安排方式； 第三类，A时段安排《哪吒之魔童闹海》且E时段安排《长空之王》：共有种安排方式， 综上，满足条件的安排方式共有：种， 故答案为： 2．到了毕业季，某科技创新兴趣小组内的5名同学要站在一排进行拍照留念，则下列说法正确的是（   ） A．所有不同的排法种数为120种 B．如果甲同学和乙同学必须相邻，则所有不同的排法种数为48种 C．如果甲同学不站在第一个位置，也不在最后一个位置，则所有不同的排法种数为48种 D．如果甲和丙不能相邻，则所有不同的排法种数为72种 【答案】ABD 【分析】对A，5个人全排列；对B，相邻问题捆绑法；对C，利用特殊元素法，先安排特殊元素甲，再安排其它人；对D，不相邻问题插空法求解. 【详解】对于A，5名同学排一排共有种不同排法，故A正确； 对于B，相邻问题捆绑法，共有种排法，故B正确； 对于C，先排甲，有3个位置可选，再排另外4人有种，共有种排法，故C错误； 对于D，先将除了甲丙之外的三人排好有种，再插空甲丙有种，共有种排法，故D正确. 故选：ABD. 3．总共有13个大小颜色重量外观等都一样的小球，如图所示①、②、③号三个足够大的杯子，其中①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球，问总共有（    ）种放小球方法 A．120 B．84 C．45 D．36 【答案】D 【分析】将其转化为隔板法解决即可. 【详解】已知①号杯子至少放一个小球，②号杯子至少放两个小球，③号杯子至少放三个小球. 我们先在②号杯子中放个小球，在③号杯子中放个小球， 这样就满足了每个杯子的最少放置要求.此时总共放了个小球， 还剩下个小球. 将问题转化为标准隔板法问题： 现在要把这10个相同的小球放入①、②、③号三个杯子中，且每个杯子至少放个小球. 这就相当于在10个小球形成的个间隔中插入个隔板， 将其分成组，每组对应一个杯子. 根据隔板法公式，所以方法数为. 根据组合数公式，可得（种）. 故选：D. 4．如图，将个整数放入的宫格中，使得任意一行及任意一列的乘积为2或－2，记将个整数放入的宫格有种放法，则 ， ． 【答案】 32 【分析】根据题意可以得到，进而得到宫格中的放置共有，根据正负号和正负号共有种情况，推出通项公式，求出；再由通项公式裂项相消求出结果. 【详解】根据题意可以得到， 所以得到宫格中的放置共有， 根据正负号和正负号共有种情况， 则通项公式， 则; 因此， 所以 . 故答案为：； 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用排列公式和分步乘法原理得到，再利用裂项求和即可得到答案. 5．（1）现将学号分别为1，2，3，4，5，6，7号的七名同学站成一排，如果学号为1，2的两人之间恰好有3个人，有多少种不同的排法？（用数字作答） （2）由1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成没有重复数字的七位数，且奇数数字从小到大排列（由高数位到低数位），这样的七位数有多少个？（用数字作答） （3）从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任选5个组成一个没有重复数字的“五位凸数”（满足），这样的“五位凸数”有多少个？（用数字作答） 【答案】（1）720种；（2）210个；（3）126种 【分析】（1）先排学号为1，2的两人，再排中间3人，最后排剩余的2人，即可得解； （2）结合排列数，利用缩倍法解决定序问题； （3）先选5个数字，再根据“五位凸数”的定义利用分步乘法原理确定其排列方式即可. 【详解】（1）先排学号为1，2的两人，有种； 再在其余5人中选择3人站在学号为1，2的两人之间，有种； 再将这5人看作整体与另外2人排成一排，有种； 由分步计数原理知，共种排法； （2）不考虑限制条件，有个七位数； 则4个奇数的位置一定，共有个七位数； （3）先从7个数字中选出5个数字，有种； 将选出的5个数中的最大数排在最中间，有1种； 在选出的5个数中的其余4个数中，选择2个排在中间数的左边，有种； 将选出的5个数中的剩下的2个数，排在中间数的右边，有1种； 由分步计数原理知，共种排法. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$