暑假作业02 空间向量求线线角、线面角、面面角及空间距离（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02 空间向量求线线角、线面角、面面角及空间距离 1． 直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 2． 空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. 3． 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 4． 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 5． 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 6． 空间两点间的距离公式 若，，则 =. 7． 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求出、，设平面的一个法向量为，利用法向量与平面垂直的坐标表示即可求解. 【详解】由题，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，得. 故选：B 2．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间中点到平面距离公式求解. 【详解】， 点到平面的距离， 故选：A. 3．直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三棱柱的性质，建立空间直角坐标系，结合向量的坐标运算和向量夹角公式，即可求解. 【详解】根据题意，以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，令， 则，，，，所以，， 设与所成角为，则，所以与所成角为. 故选：C. 4．如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出平面的法向量和直线AB的方向向量，计算两向量夹角余弦值即可得解. 【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以令，得， 因为，所以， 故直线AB与平面所成角的正弦值为．    故选：D. 5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得 【详解】如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，令， 则， 设平面的法向量为， ∵，，则， 令，则，∴， 又平面的法向量为， 故， 设平面与平面所成角为，，则， 故平面与平面夹角的正弦值为. 故选：C. 6．正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，由是异面直线与的公垂线段列出方程求解得，即可求得的长． 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设， 因为是异面直线与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以， 所以异面直线与间的距离为， 故选：C． 7．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面APQ的法向量坐标，利用点到平面距离的向量公式计算即得. 【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 因点P，Q分别为平面，平面的中心，则， 于是，， 设平面的法向量为， 则， 故可取，又， 则点B到平面APQ的距离为. 故选：B. 8．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为中点，则点到直线的距离（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立如图所示空间直角坐标系，求出，利用空间点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系， 由题意可得， 则， 所以点到直线的距离为， 故选：A. 9．（多选）在直三棱柱中，，，，为的中点，则（    ）    A． B．平面 C．平面 D．直线与所成角为 【答案】AC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断各选项即可. 【详解】由题意，以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 可得， 则， 对于A，由，则，故A正确； 对于B，设平面的一个法向量为， 则，取，得， 由于不存在实数，使得，则与不平行，故B错误； 对于C，由，则， 因为平面，所以平面，故C正确； 对于D，由， 则直线与所成角不为，故D错误. 故选：AC．    10．（多选）如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（   ） A．四面体的体积为 B．三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C．异面直线，所成的角是60° D．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 【答案】AD 【分析】根据三棱锥的体积公式即可判断A；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，判断，，是否共面即可判断B；利用向量法即可判断C；利用向量法求出正方体内切球的球心平面的距离，再利用勾股定理求出截面圆的半径，即可判断D. 【详解】对于A，三棱锥的高为，底面积， 所以，故A正确； 对于B，如图以点为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则， 故， 假设向量，，共面， 故存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得， 所以向量，，共面， 所以三个向量，，不可以构成空间向量的一组基，故B错误； 对于C，，， 则，所以， 所以，故C错误； 对于D，设正方体内切球的球心为，则，， 则， 设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以点到平面的距离， 又正方体内切球得半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面圆的半径， 所以平面截该正方体的内切球所得截面的面积为，故D正确. 故选：AD. 11．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.（   ） A．与平面所成角的正弦值为 B．与所成角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．和平面的距离为 【答案】BCD 【分析】建立如图空间直角坐标系，由线面角的正弦公式可得A错误；由异面直线夹角公式可得B正确；由空间点线距离公式可得C正确；由空间线面距离公式可得D正确. 【详解】 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， 对于A，设平面的法向量为， ，设与平面所成角为 所以，故A错误； 对于B，，设与所成角为， 则，故B正确； 对于C，， 由点到直线的距离公式可得，故C正确； 对于D，设平面的法向量为，， 则， 取，则， 由可得平面，所以和平面的距离即为点到平面的距离， 由点到直线的距离公式可得，故D正确. 故选：BCD 12．（多选）如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 【答案】AC 【分析】对于A，由线面平行的判定定理证明即可；对于B，由空间向量判断异面直线垂直即可；对于C，由平面法向量求解即可；对于D，由点到平面的距离公式计算即可. 【详解】对于A，由于，分别是的中点， 所以平面平面， 所以平面，故A正确； 对于B，， 故，， 故与不垂直，进而可得与不垂直，故B错误； 对于C，由，所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以平面的一个法向量，故C正确； 对于D，易知， 结合C选项可得点到平面的距离为，故D错误. 故选：AC． 13．已知，，，则点C到直线的距离为 . 【答案】 【分析】先求出与同方向的单位向量，再求，代入点到直线的距离公式计算即得. 【详解】因为，，， 所以，， 则与同方向的单位向量为， 又，则，， 故点到直线的距离为：. 故答案为：. 14．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】由有，即，进而得解出即可. 【详解】由有，即，即， 故答案为：. 15．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【分析】连接交于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别得到平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 16．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为CD的中点，二面角为直二面角． (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明出，平面ABCD，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到垂直关系； （2）求出平面的法向量，利用线面角求解公式得到答案； 【详解】（1）因为，O为CD的中点， 所以． 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PCD， 所以平面ABCD． 因为，，，所以． 取的中点，连接，则， 以点O为坐标原点，OD，OE，OP所在直线分别为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，． ，， 因为， 所以． （2）设平面PAB的一个法向量为， 则，即， 解得，令，则，则． 设直线PC与平面PAB所成的角为， 又， 则， 所以直线PC与平面PAB所成的角的正弦值为． 17．如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. (1)证明平面； (2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由菱形的性质以及三角形中位线定理可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据面面角的向量公式，可得答案. 【详解】（1）连接，交于，连接，作图如下： 在菱形，因为，所以为的中点， 在中，因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2）记的中点为，连接，由题意可知平面， 在菱形中，由，则，易知为等边三角形， 由为的中点，则，由平面， 则， 以为原点，分别以所在是直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由，，则， 易知，则，且， 由图可得，，，， 则，， 设平面的法向量，由（1）易知， 则，令，则， 所以平面的一个法向量， 由图易知为平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为，则. 1．已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面平面可得点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，根据点与圆的位置关系可求得AP的最小值. 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径. ∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，，∴平面平面， ∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，， ∴，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，故， ∴点到平面的距离为， ∴圆的半径为， 由得，， ∴， ∴的最小值为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是确定点的轨迹为平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，结合条件计算圆的半径，结合点与圆的位置关系可求最值. 2．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意建立空间直角坐标系，设A关于平面的对称点为，求出、和平面的法向量，进而利用A与到平面的距离相等得①，再由得②从而求出，接着由 结合两点间距离公式即可得解. 【详解】由题意可以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以， 设A关于平面的对称点为，则，， 设平面的法向量，则，， 令，则，所以， 所以A与到平面的距离即①， 又，所以②，所以由①②得， 所以由可得，所以， 所以， 当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】思路点睛：建立空间直角坐标系，利用向量法解决，设A关于平面的对称点为，利用A与到平面的距离相等和求出，接着由 结合两点间距离公式求出即可得解. 3．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则最小值为 B．若平面，则 C．若，则到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 【答案】AD 【分析】建立空间直角坐标系，可得到各点坐标，对于A，求出平面的法向量，根据线面平行可得，再借助基本不等式即可得解；对于B，借助空间向量计算即可；对于C，利用点到平面距离公式计算即可；对于D，利用空间向量夹角公式计算即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则有 ， 则，， 对于A： 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，故 因为，平面， 所以，得， 又因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：，则， 若平面，则有，即， 解得，故B错误； 对于C：若，则， 则到平面的距离为，故C错误； 对于D：，当，时，， 则 ， 当时，， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 故，即，故D正确. 故选：AD. 4．（多选）正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（   ） A．若，，则平面 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．若，，则二面角的正弦值的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据共线定理可知三点共线，再由面面平行性质可判断A正确，利用共面定理以及面面平行并求得点到平面的距离可知三棱锥的体积为定值，可得B错误，再利用点到线的距离的向量求法计算可得C正确，利用二面角的向量求法得出其正弦值的表达式，再由的范围即可求得D正确. 【详解】对于A，由可得，且可知三点共线； 可知点在线段上，连接，如下图所示： 由正方体性质可知，又平面，平面， 所以平面； 同理可得平面， 又，且平面， 因此可得平面平面，又因为平面， 所以平面，即A正确； 对于B，若，可知四点共面，即点在平面内， 由A选项中的分析可知，平面平面，如下图所示： 此时点到平面的距离为正方体对角线的三分之一，即； 又三角形是边长为的正三角形，其面积为， 则三棱锥的体积为定值，即B错误； 对于C，以为坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以，，，； 又，因此，即； 所以， 则点到直线的距离为， 显然当时，距离最小为，即C正确； 对于D，若，，由选项C分析可知； 则，又； 设平面的一个法向量为， 则，解得，令，则， 因此； 易知平面的一个法向量为， 则二面角的正弦值为， 又因为，，可知，当时信任不是最小值， 所以时，， 易知当时，， 即二面角的正弦值的最小值为，可得D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用空间直角坐标系，将二面角的正弦值表示成关于的表达式，再结合其范围利用不等式性质可求出结果. 5．（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（   ） A．为的中点时，平面平面 B．为的中点时，异面直线与之间的距离为 C．存在点，使得直线与平面所成的角为 D．为所在直线的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【分析】由几何体性质利用面面垂直的判定定理即可判断A正确，建立空间直角坐标系并求得平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法可得B正确，由线面角的向量求法得到方程，根据方程无解可判断C错误，以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则由三角形三边关系可知当三点共线时取得最大值为，可判断D正确. 【详解】对于A，由题可知，半圆柱和三棱柱的底面在同一平面内，由圆柱性质可知平面， 又平面，， 为的中点，， ，，，，即， 又，是平面内的相交直线，平面， 又平面，平面平面，故A正确； 对于B，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， 当为中点时，，，， 设平面的一个法向量为，则； 取，则，，所以， 所求异面直线与之间的距离为，故B正确； 对于C，设点，，，其中，0， 由射影定理知，，即， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，所以， 若直线与平面所成的角为， 则， 由知，代入上式整理得，此方程无解， 所以不存在点，使得直线与平面所成的角为，即选项C错误； 对于D，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则中点（即弧所在圆的圆心）的坐标为， 如图， 以为旋转轴将四边形旋转至四边形位置，则平面平行于底面，且，， 则由三角形两边之差小于第三边可知，当，（在延长线上）三点共线时取得最大值为， 又弧所在圆圆心为，半径为2， ，故D正确． 故选：ABD. 6．如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； (3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线PB与平面所成角为 (3) 【分析】（1）取中点为，证明平面即可； （2）以为原点建立直角坐标系，求以及平面的法向量，利用即可； （3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，建系，设，则可求点坐标，利用直线PC与AB所成角的余弦值向量求法得出，再建系求两个平面的法向量进而求其夹角. 【详解】（1）取中点为，连接，因为， 所以， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2）因为平面平面，平面平面， ，平面， 所以平面，所以两两互相垂直， 以为原点，以为基底，建立空间直角坐标系，     则，， 则， 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以， 设直线PB与平面所成角为，则， 又，则， 所以直线PB与平面所成角为， （3）以为原点，以直线为轴，直线为轴，垂直于平面所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 因为为等腰三角形，，所以， 则， 设，则， 则， 故， 所以或（舍去）， 所以两两互相垂直， 由（2）知平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则，取，得， 所以. 7．如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）在平面图形中，先证，则折叠后，，，利用线面垂直的判定定理判定线面垂直. （2）根据两两垂直，故可以以为原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求直线与平面所成角的三角函数值. （3）先求平面的法向量，再求平面的法向量（用表示），根据二面角的正弦值求的值. 【详解】（1）在图1中，连接，交于点，，. 因为，，，，且， 所以，，. 因为，所以.    所以图2中，，，平面，所以平面. 平面.所以. （2）又因为，由，即，所以. 所以两两垂直，以为原点，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，，. 因为为中点，所以. 所以，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设直线与平面所成的角为， 则. （3）因为，所以 所以，即. 则，，，. 设平面的法向量为， 则， 取. 设平面的法向量为， 则, 取. 设二面角为，由得：. 即， 整理得：， 解得：或. 8．如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点. (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先证平面，在根据线面平行的性质定理可得. （2）先证，，两两垂直，再以为原点，建立空间直角坐标系，求平面和平面的法向量，用向量法求二面角的三角函数值. （3）设，求平面的法向量，利用点到平面的距离的向量求法表示出，再结合不等式求它的最小值. 【详解】（1）因为，平面，平面， 所以平面. 又平面，平面平面. 所以. （2）如图： 取中点，连接. 因为平面，平面，所以. 在四边形中，，且， 所以四边形为矩形，所以平面. 又在和中，，，. 所以（）. 所以，. 故，，两两垂直，所以以为原点，建立如图空间直角坐标系. 当为中点时，，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，取，可得 故. 设平面的法向量为， 则，取，得， 得. 所以. 所以二面角的正弦值为：. （3）设，（），，则，，. 设平面的法向量为，则 ， 令，则，取. 则到平面的距离为：， 到平面的距离为：， 所以 设，则 那么（当且仅当即时取“”） 所以. 1．在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 【答案】D 【分析】由求出平面的法向量，利用空间向量的垂直和共线的坐标性质判断平面的法向量与直线的方向向量之间的关系，判断直线与平面的位置关系. 【详解】因为，， 所以平面的法向量为， 由题意可知，则，说明与不垂直. 由，说明与不平行，与既不垂直也不平行， 所以直线与平面相交但不垂直， 故选：D. 2．（多选）在空间直角坐标系中，已知点（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点关于平面对称，则 B．若点关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据两点关于平面对称，求判断A的真假；根据两点关于轴对称，求判断B的真假；利用向量垂直，判断C的真假；利用空间两点间的距离共判断D的真假. 【详解】对A：因为关于平面对称，所以，所以，故A错误； 对B：因为关于轴对称，所以，所以，故B正确； 对C：因为，所以，即，故C正确； 对D：因为，所以， 两式相减得：即，故D错误. 故选：BC 3．空间直角坐标系下，空间内任何平面都具有一般方程，这如平面中的直线方程形式相似，可得向量为平面的法向量.而空间中的直线，可以使用平面相交或两点确定.若已知过的直线方向向量，则就是该直线所对应的标准方程.若已知空间内两点和，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】/ 【分析】由题意求得平面的一个法向量，求得直线的一个方向向量，利用向量法求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】平面的一个法向量为， 因为空间内两点和， 所以直线的一个方向向量为， 所以. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：根据定义求出直线的一个方向向量，和平面的法向量，是解决本题的关键. 4．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法求平面与平面的夹角即可. 【详解】 设正八面体的棱长为，连接、相较于点，连接， 根据正八面体的性质可知为正方形，，平面， 建立如图所示，以为坐标原点， 分别以、、为、、轴的空间直角坐标系， ，，，， 所以，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， ，， 设平面的法向量为， 所以，，令， 则有：，所以， 设平面与平面夹角为，则， 平面与平面夹角的余弦值为. 故选：D 5．在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)求原点到平面的距离； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球半径为，且球面经过坐标原点，利用（2）的结论求该四面体的体积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）先得到的法向量，在上任取点，得到，结合点到平面的距离公式，即可求解； （2）不妨设，在平面内取一点，得到的坐标，再由平面的法向量，结合向量的距离公式，即可化简得到点平面的距离公式； （3）根据题意，分别联立平面的方程，解方程组，求得交点，，和，设球心为，结合，求得球心，以及，利用点平面的距离公式，求得三棱锥的高，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面的法向量，     在平面上任取点，可得， 设原点到平面的距离为，则， 故原点到平面的距离为. （2）由点到直线的距离公式， 类比：点平面的距离公式为， 证明如下： 不妨设，在平面内取一点， 则向量， 取平面的一个法向量， 所以点到平面的距离为：. （3）由方程组，解得，即交点， 同理可得，其它交点，，，         因为四面体外接球半径， 设球心为，则， 即有，解得，即球心， 又由， 解得或（舍去），所以， 则到平面即的距离为， 又因为，，，可得， 所以是正三角形，所以， 所以三棱锥的体积为. 6．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.    (1)证明：平面； (2)设平面平面，点. （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据折叠图形的性质结合勾股定理逆定理得和，即可证得平面； （2）（i）以点为坐标原点，、为轴和轴建立空间直角坐标系，由∥据题意得，进而得再求出平面的一个法向量的坐标，由直线与平面所成角的条件列式求出即可得答案； （ii）由（i）知及题意得到，，，再利用棱锥的体积公式结合等体积法即可得解. 【详解】（1）由题意得，，， 所以，即， ∵，所以，即， 又平面，所以平面； （2）（i）∵,平面,平面,所以平面, 又平面,平面平面，所以    以点为坐标原点，、为轴和轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 ∵，∴,∴， 设平面的法向量为， 则  即 令得,∴， 记直线与平面所成角为,则， 化简得，解得，所以. （ii）由（i）知，， ,即(三等分点)， 又∵平面， ∴，∴(三等分点)， ∵，，∴四边形为平行四边形， ∴即(四等分点)， ∴ 又∵ ∴. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：120min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业02 空间向量求线线角、线面角、面面角及空间距离 1． 直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或共线，则称此向量a为直线l的方向向量． (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量． (3)方向向量和法向量均不为零向量且不唯一． 2． 空间位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，ν，则 (1)线线平行：l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； 线面平行：l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； 面面平行：α∥β⇔u∥ν⇔u＝kν，k∈R. (2)线线垂直：l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； 线面垂直：l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； 面面垂直：α⊥β⇔u⊥ν⇔u·ν＝0. 3． 两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角θ的范围为(0，]，公式为cos θ＝ 4． 直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β， 则sin θ＝|cos β|＝. 5． 求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2) 如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 |cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 6． 空间两点间的距离公式 若，，则 =. 7． 点到平面的距离 （为平面的法向量，是经过面的一条斜线，）. 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知空间中，点，则平面的一个法向量为（   ） A． B． C． D． 2．若平面过点且该平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．直三棱柱中，，，则与所成角为 （    ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在直三棱柱中，，，点是棱的中点，则平面与平面夹角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 6．正方体的棱长为1，是异面直线与的公垂线段，点M在上且N在上，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（    ） A． B． C． D． 8．在正四棱柱中，，点E在线段上，且，点F为中点，则点到直线的距离（   ） A． B． C． D． 9．（多选）在直三棱柱中，，，，为的中点，则（    ）    A． B．平面 C．平面 D．直线与所成角为 10．（多选）如图，若正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（   ） A．四面体的体积为 B．三个向量，，可以构成空间向量的一组基 C．异面直线，所成的角是60° D．平面截该正方体的内切球所得截面的面积为 11．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点E是的中点.（   ） A．与平面所成角的正弦值为 B．与所成角的余弦值为 C．点到直线的距离为 D．和平面的距离为 12．（多选）如图所示，在棱长为2的正方体.中，E，F分别为棱和的中点，则以D为原点，DA，DC，所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．是平面的一个法向量 D．点到平面的距离为 13．已知，，，则点C到直线的距离为 . 14．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 15．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 16．在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，为CD的中点，二面角为直二面角． (1)求证：； (2)求直线PC与平面PAB所成角的正弦值； 17．如图，四棱锥中，底面为菱形，为的中点. (1)证明平面； (2)若在平面上的射影为中点，且，求平面与平面夹角的余弦值. 1．已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在直三棱柱中，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，且点满足，则下列说法正确的是（    ） A．若平面，则最小值为 B．若平面，则 C．若，则到平面的距离为 D．若，时，直线与平面所成角为，则 4．（多选）正方体中，点P满足，若正方体棱长为1，则下列正确的有（   ） A．若，，则平面 B．若，则三棱锥的体积为定值 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．若，，则二面角的正弦值的最小值为 5．（多选）如图所示的空间几何体是由高度相等的半个圆柱和直三棱柱组合而成，，，是上的动点.则（   ） A．为的中点时，平面平面 B．为的中点时，异面直线与之间的距离为 C．存在点，使得直线与平面所成的角为 D．为所在直线的动点，则的最大值为 6．如图1，是等边三角形，为等腰直角三角形，，将沿AC翻折到的位置，且点不在平面内（如图2），点为线段PB的中点． (1)证明：； (2)当平面平面时，求直线PB与平面所成角大小； (3)若直线PC与AB所成角的余弦值为时，设平面与平面的夹角为，求的值． 7．如图1，在矩形中，，点为的中点，将沿折起到的位置（如图2），使得.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)设，若二面角的正弦值为，求实数的值. 8．如图，在四棱锥中，平面，.点在棱上且与不重合，平面交棱于点. (1)求证：； (2)若为棱的中点，求二面角的正弦值； (3)记点到平面的距离分别为，求的最小值. 1．在空间向量中，我们给出了定义向量的“外积”运算规则：对于空间向量和，.已知，，平面的法向量，直线的方向向量，则直线与平面的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．直线在平面内 D．相交但不垂直 2．（多选）在空间直角坐标系中，已知点（与点不重合），则下列结论正确的是（   ） A．若点关于平面对称，则 B．若点关于轴对称，则 C．若，则 D．若，则 3．空间直角坐标系下，空间内任何平面都具有一般方程，这如平面中的直线方程形式相似，可得向量为平面的法向量.而空间中的直线，可以使用平面相交或两点确定.若已知过的直线方向向量，则就是该直线所对应的标准方程.若已知空间内两点和，则直线与平面所成角的正弦值为 . 4．六氟化硫是一种无机化合物，常温常压下为无色无味无毒不燃的稳定气体.化学式为，在其分子结构中，硫原子位于中心，六个氟原子均匀分布在其周围，形成一个八面体的结构.如图所示，该分子结构可看作正八面体，记为，各棱长均相等，则平面与平面夹角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，任何一个平面都能用方程表示．（其中，，，且），且空间向量为该平面的一个法向量．有四个平面，，， (1)求原点到平面的距离； (2)根据点到直线的距离公式，类比出到平面的距离公式，并利用法向量和投影向量的相关知识证明． (3)若四个平面，，，围成的四面体的外接球半径为，且球面经过坐标原点，利用（2）的结论求该四面体的体积． 6．如图，矩形中为中点，将沿着折叠至.    (1)证明：平面； (2)设平面平面，点. （i）当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为； （ii）在满足条件（i）的情况下，过作一截面，与棱分别交于点，且平面，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为，求. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$