暑假作业01 空间向量的运算及坐标表示（巩固培优）高二数学苏教版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业01 空间向量的运算及坐标表示 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量) ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 4．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 6．（多选）已知空间向量，则（       ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 7．（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 9．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 10．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 11．已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 12．已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 13．已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 14．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：    (1)； (2)． 15．如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 1．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 2．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为 ． 5．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 1．已知空间两点，，点在直线上运动，则 . 2．光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．在空间直角坐标系中，点P坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为．如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：,,．则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为 .    4．（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，共线 B．若，则，共线 C．若，，则，，共面 D．若，，则，，共面 5．（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若三点共线，则 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 暑假作业01 空间向量的运算及坐标表示 1．空间向量及其有关概念 概念 语言描述 共线向量 (平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 共面向量 平行于同一个平面的向量 共线向量定理 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在λ∈R，使a＝λb 共面向量定理 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb 空间向量基本定理及推论 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组{x，y，z}使得p＝xa＋yb＋zc. 推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对平面ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1 2．数量积及坐标运算 (1)两个空间向量的数量积： ①a·b＝|a||b|cos〈a，b〉 ②a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量) ③设a＝(x，y，z)，则|a|2＝a2，|a|＝. (2)空间向量的坐标运算： a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3) 向量和 a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 向量差 a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 数量积 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a∥b⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R，b≠0) 垂直 a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 夹角公式 cos〈a，b〉＝ 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．如图，在平行六面体中，下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量相等及线性运算法则计算可得. 【详解】由向量相等可知: ，故A正确； ，故B正确； ，,则，所以，故C错误； ，故D正确； 故选：C. 2．若构成空间的一组基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用向量共面的判定方法可得答案. 【详解】因为构成空间的一组基底，所以不共面； 由于，所以，，共面，A不正确； 由于，所以，，共面，B不正确； 由于，所以，，共面，D不正确； 对于C，不存在实数，使得成立，所以，，不共面. 故选：C 3．已知空间向量，，，若向量共面，则实数的值为（   ）. A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】利用共面向量的性质，得到三个向量之间的关系，再利用待定系数法解得未知量． 【详解】因为向量共面，所以存在实数使得， 即 所以，解得，. 故选：C． 4．设，，向量，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可. 【详解】设、，向量，且， ，解得， 又因为，所以，解得， 所以， 故选：． 5．如图，三棱锥中，，，，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的运算法则求解即可. 【详解】如图所示： . 故选：B 6．（多选）已知空间向量，则（       ） A． B．可以为空间的一组基底 C． D． 【答案】AC 【分析】A选项，利用空间向量模长的坐标计算出A正确；B选项，求出，所以，，共面，B错误；C选项，计算出，C正确；D选项，利用空间向量数量积运算法则得到D错误. 【详解】对于A，，故A项正确； 对于B，设，即，解得，， 即，所以，，共面，不能作为空间的一组基底，B错误； 对于C，，所以，故C项正确； 对于D，，故D错误. 故选：AC. 7．（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由基底的概念逐项判断即可. 【详解】对于A：因为，共面，不能构成基底； 对于B：设，所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故B正确； 对于C：设，显然无解，所以能构成空间的一个基底，C正确； 对于D：设，则， 所以，无解， 所以是不共面的向量，能构成空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 8．（多选）已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 【答案】AC 【分析】根据空间向量共面定理判断A，利用特殊值判断B、D，根据空间向量基本定理判断C. 【详解】对于A：因为，， 所以， 因为，所以， 所以向量，，共面，故A正确． 对于B、D：若，，，则，，共面， 令，则，，，可为任意实数， 此时由，， 得不到，也得不到，故B、D错误； 对于C：若，，不共面，由，， 则，，，故C正确； 故选：AC 9．已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量运算法则可求. 【详解】∵，∴， 即，解得. 故答案为：. 10．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则 ． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，利用共面向量定理列式计算得解. 【详解】由四点共面，得， 而向量，，， 则，又不共面， 因此，解得， 所以. 故答案为： 11．已知空间中三点、、，设，. (1)若向量与互相垂直，求的值； (2)若，且与共线，求向量. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出向量、的坐标，进而求出向量的坐标，由题意可得出，结合空间向量数量积的坐标运算可得出关于的等式，解之即可； （2）设，其中，求出的值，利用向量模的性质求出的值，即可得出向量的坐标. 【详解】（1）由题意可得，， 所以，， 因为向量与互相垂直，则，解得. （2）由题意可得，则， 因为与共线，设，其中，则，解得， 当时，；当时，. 综上所述，或. 12．已知向量. (1)求； (2)求； (3)求向量与的夹角． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算及向量模的坐标表示求解； （2）根据空间向量的数量积的坐标运算求解； （3）根据空间向量垂直的坐标表示计算即可得解. 【详解】（1）∵， ， . （2）， ， 则. （3）， ， ， 则， 所以向量与的夹角为. 13．已知向量，，． (1)若，求； (2)若三个向量，，不能构成空间的一个基底，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量数量积的坐标运算求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出； （2）根据三个向量不能构成空间的一个基底可知这三个向量共面，利用向量共面的性质列出方程求解的值. 【详解】（1）已知，，可得,解得. 所以，则. 根据向量模的计算公式可得. （2）已知，，, 先求出. 因为三个向量不能构成空间的一个基底，所以这三个向量共面. 即存在实数，使得，则. 由此可得方程组.由可得，将其代入中，得到，解得. 把代入，可得. 再把，代入， 可得，解得. 14．如图，在六棱柱中，底面是正六边形，设，，．若，，，求：    (1)； (2)． 【答案】(1)23 (2)7 【分析】（1）根据正六边形与六棱柱的几何性质，利用向量的线性运算，用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律求解. （2）利用统一基底表示向量，结合数量积的定义以及运算律，可得答案. 【详解】（1）依题意，底面为正六边形，连接对角线且交点记为，如图：    ， ， 由，则， 由，则， ，， . （2）由（1）知， 因此 ， 所以. 15．如图，三棱锥中，，分别是，上的点，且，，设，，． (1)试用，，表示向量； (2)已知，，且，若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）借助空间向量线性运算法则计算即可得； （2）由题意可得，结合数量积公式计算即可得. 【详解】（1） ． （2）由可得， 即， 即， 即， 即，． 1．在棱长为的正方体中，、、分别为、、中点，、分别为直线、上的动点，若、、共面，则的最小值为 . 【答案】 【分析】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点、，其中、，利用空间向量共面可得出，然后二次函数的基本性质结合空间向量数量积的坐标运算可求得的最小值. 【详解】以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 设点、，其中、， 易知、，则，，， 因为、、共面，则存在、，使得， 即，解得，所以，，即， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 2．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 3．在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出正方体的外接球的半径，可得出，求出的取值范围，进而可求得的取值范围. 【详解】设正方体的外接球的球心为，设球的半径为， 则，可得，所以，， ， 当点与正方体的侧面或底面垂直时，的长取最小值，即， 当点与正方体的顶点重合时，的长取最大值，即， 所以，，所以，. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量数量积取值范围的求解，注意到为的中点，结合向量数量积的运算性质得出，将问题转化为求的取值范围，进而求解. 4．已知空间向量、、满足：，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据得到，根据求出，从而得到 【详解】因为，所以， 故， ， 故， . 故答案为： 【点睛】平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路： ①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解； ②数化，即利用平面向量的运算，向量中的不等关系把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解. 5．空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴（轴、轴、轴）正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作. (1)若，，求的斜坐标； (2)在平行六面体中，，，，如图，以为基底建立“空间斜坐标系”. ①若，求向量的斜坐标； ②若，且，求. 【答案】(1)； (2)①，②2. 【分析】（1）利用斜坐标的定义及向量的线性运算可得结果. （2）①设，，分别为与，，同方向的单位向量，根据题意得点为的中点，利用空间向量的线性运算表示，即可得到坐标. ②用，，表示，根据求出的值，即可得到. 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的斜坐标为. （2）设，，分别为与，，同方向的单位向量， 则，，，. ①由题意得，点为的中点. . ②由题意得，， 由得，， 由得，， ∴， ∴， 解得， 则 1．已知空间两点，，点在直线上运动，则 . 【答案】 【分析】因为点P在直线上运动，则存在非零实数，使得，即可求解． 【详解】解：依题意得，， 因为点P在直线上运动，则存在非零实数，使得， 得，则， 得，得， 故答案为： 2．光源经过平面反射后经过，则反射点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点关于平面的对称点为，得到点为与平面的交点，令，结合，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于平面的对称点为，可得， 则点为与平面的交点， 令，则，且， 又由， 所以，解得，所以. 故选：D. 3．在空间直角坐标系中，点P坐标可记为：定义柱面坐标系，在柱面坐标系中，点P坐标可记为．如图所示，空间直角坐标与柱面坐标之间的变换公式为：,,．则在柱面坐标系中，点与点两点距离的最小值为 .    【答案】 【分析】先将两点的空间直角坐标求出来，结合向量的模、正弦函数的最值即可得解. 【详解】由题意点与点的空间直角坐标分别为， 所以，等号成立当且仅当. 故答案为：. 4．（多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A．若，则，共线 B．若，则，共线 C．若，，则，，共面 D．若，，则，，共面 【答案】ABC 【分析】根据共线向量的定义即可判断AB；根据共面向量的定义即可判断CD. 【详解】对A，因为，所以，共线，故A正确； 对B，因为，所以，共线，故B正确； 对C，因为，所以，，共面，故C正确； 对D，设，则，该方程组无解，故，，不共面，故D错误， 故选：ABC. 5．（多选）已知A，B，C，D是空间直角坐标系中的四点，P是空间中任意一点，则（   ） A．若与关于平面对称，则 B．若，则A，B，C，D共面 C．若，则A，B，C，D共面 D．若三点共线，则 【答案】BD 【分析】对于A：利用“关于谁对称谁不变”即可求出B点坐标即可判断，对于B：利用共面向量定理可得B正确；对于C：利用共面向量定理的推论即可验证；对于D：利用共线向量定理即可求得结果. 【详解】对于A，A与B关于平面对称，则，故A错误； 对于B，由共面向量定理易知得B正确； 对于C，因为，故C错误； 对于D，，因为A，B，C共线，所以共线， 所以，所以，故D正确． 故选：BD． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$