暑假作业03 平面向量基本定理及等和线（系数和）的应用（巩固培优）高一数学苏教版

限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平面向量基本定理及等和线（系数和）的应用 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　 2.形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 3.等和线（系数和） 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，中，，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 5．如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 6．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 7．（多选）在平行四边形ABCD中， 若E，F分别是边AB，AD的中点， 则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 10．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 11．如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 1．已知点为的外接圆圆上一点（不与、重合），且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 . 3．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ；的最小值为 ．    4．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 1．任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，分别取三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，得到如图所示的六角星，点是该六角星的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 3．在内部（不包括边界）有点，满足，请写出一个满足题意的实数的值 .（只要填写一个即可） 4．如图，在△ABC中，，，其中，CP的延长线与AB交于点F．已知，，． (1)若，请用向量，表示向量，并求的值； (2)若，，证明：． 5．如图，在正方形中，是线段的中点，在线段上（不包含端点），线段，相交于点.    (1)若是线段的中点，证明：. (2)若，求的值. (3)若，求的值. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 平面向量基本定理及等和线（系数和）的应用 1.平面向量基本定理 如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （1）．基底e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底． （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　 2.形如条件的应用（“爪子定理”） “爪”字型图及性质： （1）已知为不共线的两个向量，则对于向量，必存在，使得。则三点共线 当，则与位于同侧，且位于与之间 当，则与位于两侧 时，当，则在线段上；当，则在线段延长线上 （2）已知在线段上，且，则 3.等和线（系数和） 如图，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以 于是 综合上面的讨论可知：图中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可. 【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意. 故选：B. 2．如图，中，，点是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据比例关系分解向量即可. 【详解】中，，点是的中点， 则. 故选：D. 3．在中，，．若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量线性运算法则及平面向量基本定理求出、的值，即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以， 所以， 又，、不共线， 所以，所以. 故选：C 4．如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答. 【详解】在中，，即， 又，即， 因此，而点B，P，N共线，于是，解得. 故答案为： 5．如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【详解】根据题意； 又因为，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 故选：A. 6．如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 7．（多选）在平行四边形ABCD中， 若E，F分别是边AB，AD的中点， 则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据要求画出图像，结合图像与向量的线性运算即可判断. 【详解】∵在平行四边形中，， ∴分别为AB、AD的中点， ∴，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 根据三角形法则=，故D正确. 故选：ACD. 8．（多选）如图，在正方形中，为上一点，交于，且为的两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用向量的线性运算以及三角形相似的性质对选项逐一计算即可求解. 【详解】易知，所以，因此A错误； 显然，可得B正确； ，所以C正确； 因为为上靠近的三等分点，所以，利用可得； 所以，即D正确. 故选：BCD 9．（多选）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ABD 【分析】利用基底表示向量判断A；利用数量积的运算律及夹角公式求解判断B；利用共线向量定理推论求解判断C；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断D. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，令，在等边中，， 由选项A得， ，，， ， 因此，B正确； 对于C，由选项A知，，而，， 则，而共线，因此，即，C错误； 对于D，由选项C知，， ，当且仅当时取等号，D正确. 故选：ABD 10．如图，在中，是的中点，是线段上靠近点的三等分点，设，. (1)用向量与表示向量，； (2)若，求证：，，三点共线. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据平面向量基本定理即可写出答案； （2）由，即可写出，结合，可知，由此即可说明，，三点共线. 【详解】（1）因为是的中点，是线段上靠近点的三等分点， 所以，， 因为，， 所以， （2）证明：因为， 所以， 由（1）知，， 所以 所以与平行， 又与有公共点，所以，，三点共线. 11．如图，在等腰梯形中，，，是边上一点（含端点），与交于点，设． (1)若，证明：； (2)若，，求的值； (3)求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)4 (3) 【分析】（1）由三点共线，可知存在实数，使，进而得出，根据平面向量基本定理即可证明； （2）用表示出，根据向量平行及即可求解； （3）用表示出，根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】（1）由三点共线，可知存在实数，使， 即，化简得 结合，由平面向量基本定理得， 所以． （2）在等腰梯形中，由， 可得， 根据，可得， 又，所以， 所以， 因为三点共线，所以向量互相平行， 可得，结合，解得， 所以． （3）由（1）的结论，可得， 过作的垂线，垂足分别为， 因为等腰梯形中，， 所以，可得， 又，得． 所以，， 可得 ， 结合，可得． 1．已知点为的外接圆圆上一点（不与、重合），且线段与边相交于一点，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令为线段与边交点有且，根据题意有且，即可得答案. 【详解】若为线段与边交点，则且， 由题设，在的边外侧，如上图中上， 令，则，而， 所以， 当变大时，外接圆半径趋向无穷大，此时可趋向无穷大， 综上，的取值范围为. 故选：B 2．设点在以为圆心，半径为1的圆弧上运动（包含、两个端点），，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据共线向量基本定理,设,结合条件可求得的等量关系，根据M的位置可求得的范围，同时根据基本不等式，求得的取值范围， 即可得的取值范围。 【详解】 设与相交于,且 由，，三点共线可得 即,所以 又因为 所以 即 当时，,此时 当与(或)点重合时,此时,此时 所以 由基本不等式,可得 当或时, 当x=1且y=1时，x+y=2，xy=1，则 即 【点睛】本题考查了平面向量基本定理、向量共线基本定理的综合应用，注意向量线性运算的转化，属于中档题。 3．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则 ；的最小值为 ．    【答案】 【分析】由题可知，设，化简得出，根据平面向量的基本定理可求出的值；由已知得出，可得出，再将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为为的重心，延长交于点，则为的中点，且，    由重心的几何性质可知， 因为、、三点共线，设，即， 所以，， 因为，，则，， 则， 因为、不共线，所以，，，则，， 故，即，则， 所以， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：；. 4．如图1，“六芒星”由两个全等的正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图2）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（包含内部以及边界），若，则x＋y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论几种特殊情况时的值，再利用图形的对称性即可得解. 【详解】要求x＋y的范围，只需考虑图中6个向量的情况即可，讨论如下： (1)若P在A点，因为，所以； (2)若P在B点，因为，所以； (3)若P在C点，因为，所以； (4)若P在D点，因为，所以； (5)若P在E点，因为，所以； (6)若P在F点，因为，所以. 所以的最大值为， 根据对称性，可知的最小值为， 故的取值范围是. 故选：C. 5．在直角梯形中，分别为 的中点，点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（如图所示）．若，其中，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，设，根据解得，再根据的范围可得答案. 【详解】 建立如图所示平面直角坐标系， 则， 设， ， 因为，所以， 可得，解得， 所以 ， 因为，所以， 可得， 所以. 故选：B. 【点睛】点睛：向量平行(共线)、垂直、线性运算与三角函数的综合此类题型的解答一般是利用向量平行(共线)、垂直关系、线性运算得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解． 6．（多选）如图，在梯形中，，，为线段的中点，与交于点，为线段上的一个动点，则（    ） A． B．向量与共线 C． D．若，则最大值 【答案】ACD 【分析】利用平面向量的基本定理求出关于、的表达式，可判断A选项；利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量共线的基本定理可判断B选项；推导出，可得出、、面积的关系，可判断C选项；分析可知存在，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于的表达式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，由题意可知，，则， 因为为的中点，则，即， 所以，， 因为，则存在，使得， 因为、、三点共线，则存在，使得， 即，可得， 因为、不共线，所以，，解得，故，A对； 对于B选项，， 所以，、不共线，B错； 对于C选项，因为为的中点，则， 因为，则， 故，同理可得， 所以，，C对； 对于D选项，因为为线段上一个动点，则存在，使得， 所以，， 因为、不共线，则，，故， 因此，的最大值为，D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于选择基底，将问题中相关的向量利用基本向量加以表示，再结合平面向量相关知识求解. 1．任意画一个正三角形，并把每一条边三等分，分别取三等分后的各边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，得到如图所示的六角星，点是该六角星的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得解. 【详解】，， 则， 因为，则，，因此，. 故选：B. 2．如图，在中，点O是BC的中点，，分别连接MO、NO并延长，与边AB的延长线分别交于P，Q两点，若，则（    ）    A．2 B．1 C．－2 D．－1 【答案】B 【分析】利用向量共线的推论与线性关系，求解系数再结合向量减法即可求参. 【详解】因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 因为三点共线，所以， 又因为是中点，所以，因为，所以， 所以，则 所以， 所以， 所以. 故选：B. 3．在内部（不包括边界）有点，满足，请写出一个满足题意的实数的值 .（只要填写一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要介于0和1即可） 【分析】分别取是的三等分点，连接，得到四边形为平行四边形，设，得到，根据行四边形法则，要使得在内部，在点在线段上运动，得到，即可得到答案. 【详解】如图所示，取点为的三等分点（靠近点），可得， 再取点为的三等分点（靠近点），点为的三等分点（靠近点）， 分别连接，则，所以四边形为平行四边形， 由，可得，即， 设，可得， 由平行四边形法则，当点在上运动时，可得点在直线， 要使得在内部（不包含边界），在点在线段上运动（不包含端点）， 所以，解得，所以其中一个可以是. 故答案为：（答案不唯一，只要介于0和1即可） 4．如图，在△ABC中，，，其中，CP的延长线与AB交于点F．已知，，． (1)若，请用向量，表示向量，并求的值； (2)若，，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）利用向量的线性运算可得，然后两边同时平方求模； （2）由三点共线，可设，，然后用表示，然后结合，利用平面向量基本定理列方程求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为，，， 所以， 所以； （2）（方法一）由三点共线，可设，． 因为，， 所以． 由（1）得，所以， 所以，以； （方法二）因为，，所以， 所以 ， 因为C，P，F三点共线，所以， 即． 5．如图，在正方形中，是线段的中点，在线段上（不包含端点），线段，相交于点.    (1)若是线段的中点，证明：. (2)若，求的值. (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2)1 (3). 【分析】（1）利用基底表示向量和，再求数量积； （2）首先设，再代入数量积的运算，即可求解； （3）利用基底表示向量，再根据三点共线，即可求解. 【详解】（1）证明：因为分别是线段的中点，所以， 则， 所以 由正方形的性质可知，则 即，故. （2）设，则. 由（1）可知，则. 因为，所以， 解得，则. （3）设，则. 因为，所以. 因为是线段的中点，所以，所以. 因为三点共线，所以，解得， 则，故. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$