暑假作业02 平面向量的数量积及极化恒等式、投影技巧的应用（巩固培优）新高一年级数学苏教版

限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 平面向量的数量积及极化恒等式、投影技巧的应用 1．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ， 则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影向量 向量在上的投影向量为 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 2. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 4.极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 5.向量投影技巧 向量数量积的几何意义是:一个向量在另一个向量上的投影和这个向量模的积。如果能巧妙的找到投影长度,数量积就能快速算出，且不用知道两个向量的所成角,所以用投影法能有效解决一类问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知是单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 3．已知向量与的夹角为，，，则的值为（      ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，且，则（   ） A．3 B． C．7 D． 5．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）设向量，则（    ） A． B．与的夹角是 C． D．与同向的单位向量是 7．（多选）若单位向量，满足，则（   ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 8．（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 9．已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为 ． 10．如图，已知正方形的边长为3，且，则 ． 11．已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 12．已知向量满足，与的夹角为． (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围． 1．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为 .    3．如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为 ． 4．（多选）在边长为3的正方形中，分别是边上的动点（含端点），且，则的取值可以是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 5．（多选）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．存在最大值为9 D．的最小值为 6．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 1．如图为某折扇展开后的平面示意图，已知，，，则 ． 2．如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点， ，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（   ） A． B． C． D． 3．两个半径分别为的☉M，☉N，公共弦的长为3，如图所示，则= . 4．定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（   ） A．该运算满足交换律，即 B．若向量，共线，则 C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D．对任意向量，有 5．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业02 平面向量的数量积及极化恒等式、投影技巧的应用 1．平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ， 则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b 投影向量 向量在上的投影向量为 几何 意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积 2. 向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 3．平面向量数量积的有关结论 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ. 结论 几何表示 坐标表示 模 |a|＝ |a|＝ 夹角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ 4.极化恒等式 恒等式右边有很直观的几何意义: 向量的数量积可以表示为以这两个向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的，恒等式的作用在于向量的线性运算与数量积之间的联系 如图在平行四边形 中, 则 在上述图形中设平行四边形 对角线交于 点, 则对于三角形来说: 5.向量投影技巧 向量数量积的几何意义是:一个向量在另一个向量上的投影和这个向量模的积。如果能巧妙的找到投影长度,数量积就能快速算出，且不用知道两个向量的所成角,所以用投影法能有效解决一类问题 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．已知是单位向量，满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得到，得到，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且， 可得，可得， 则，又因为，可得， 所以与的夹角为. 故选：B. 2．已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据及可构建方程组，解得. 【详解】∵，∴ ①， ②， 由①②解得，∴ ， 故选：A. 3．已知向量与的夹角为，，，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】由题得. 故选：B． 4．已知向量满足，且，则（   ） A．3 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】根据平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：D. 5．如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，利用即可求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 6．（多选）设向量，则（    ） A． B．与的夹角是 C． D．与同向的单位向量是 【答案】BC 【分析】对于A，分别求出进行判断，对于B，根据向量的夹角公式求解判断即可，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算进行判断. 【详解】对于A，因为，所以，所以A错误， 对于B，因为，所以， 因为，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以， 所以，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以与同向的单位向量是，所以D错误. 故选：BC 7．（多选）若单位向量，满足，则（   ） A． B．与的夹角为 C． D．在上的投影向量为 【答案】BCD 【分析】根据向量运算公式，求得，可判定A不正确；利用向量的夹角公式，可判定B正确；由，可判定C正确；根据投影向量的计算公式，可得判定D正确. 【详解】由单位向量，满足， 对于A中，由， 所以，所以A不正确； 对于B中，由，因为，所以，所以B正确； 对于C中，由，所以，所以C正确； 对于D中，由， 所以在上的投影向量为，所以D正确. 故选：BCD. 8．（多选）已知是三个向量，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AB 【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由数量积的运算公式，可得， 所以，所以A正确； 对于B中，由向量数量积的运算律，可得，所以B正确； 对于C中，，， 所以与不一定相等，所以C错误； 对于D中，由，若向量，此时，而与不一定相等，所以D错误. 故选：AB. 9．已知向量，满足，，，则在方向上的投影数量为 ． 【答案】3 【分析】利用投影数量的定义代入计算可得结果. 【详解】根据题意可得在方向上的投影数量为． 故答案为：3 10．如图，已知正方形的边长为3，且，则 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解. 【详解】正方形的边长为3，. 故答案为： 11．已知向量和，且，求： (1)的值 (2)的值 (3)的夹角的余弦值. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义即可求解； （2）由即可求解； （3）由向量夹角公式即可求解. 【详解】（1）. （2）， （3）， 12．已知向量满足，与的夹角为． (1)求的值； (2)已知，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据向量夹角公式，求出、和，进而求得的值； （2）根据向量运算的分配律展开，再结合已知条件得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【详解】（1）计算，可得. 已知，则. 可得. 所以. 又. 根据向量夹角公式，可得. （2）根据向量运算的分配律展开： 可得： 将，，代入上式可得： 求解不等式. 移项可得，即. 解得. 即的取值范围为. 1．点P在边长为1的正三角形的外接圆上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，然后给出的例子，即可得到的最大值是. 【详解】设外接圆圆心为，则，. ①一方面，我们有 . 故一定有. ②另一方面，当时，有，故在的外接圆上，此时 . 综合①②两个方面，可知的最大值是. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对数量积的运算性质的使用. 2．已知正六边形的边长为4，圆的圆心为该正六边形的中心，圆的半径为2，圆的直径，点在正六边形的边上运动，则的最小值为 .    【答案】8 【分析】将转化为，进而转化为研究最小值问题，利用正六边形的几何性质求解即可. 【详解】    如图所示，由正六边形的几何性质可知，均是边长为4的等边三角形， ， 又,， 当点P位于正六边形各边的中点时，取最小值， 如图为中点，连接，则, 此时， 即的最小值为 8． 故答案为：8． 3．如图，半径为1的扇形中，是弧上的一点，且满足分别是线段上的动点，则的最大值为 ． 【答案】1 【分析】设，表示出即可求解. 【详解】设，由题意， 所以 ， 所以当且仅当时，取得最大值，且. 故答案为：1. 【点睛】关键点点睛：关键是得到，由此即可顺利得解. 4．（多选）在边长为3的正方形中，分别是边上的动点（含端点），且，则的取值可以是（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】ABC 【分析】通过建系，设出点，通过计算得，结合利用基本不等式和三角形三边关系定理即可求得的范围即可判断. 【详解】 如图，以为坐标原点，射线的方向分别为轴､轴的正方向，建立平面直角坐标系. 则.设，其中，因，则 则，. 因为， 故得，解得，当且仅当时，等号成立. 又，当且仅当点或点与点重合时等号成立， 故得，即，又， 所以都满足其范围，不满足其范围，故ABC正确，D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是建立直角坐标系，将问题转化为代数运算，从而结合基本不等式即可得解. 5．（多选）如图所示，在边长为3的等边三角形中，，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．存在最大值为9 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】对于A、B，将分别用表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于C、D，以点为原点建立平面直角坐标系，设，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断. 【详解】对A：因为，且点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以， 则，故A正确； 对B：， 则 ，故B正确； 对C、D：如图，以点为原点建立平面直角坐标系， 则， 因为点在以的中点为圆心，为半径的半圆上， 所以点在单位圆上，且在轴的下半部分， 设， 则， 所以， 因为，所以， 所以当时，取得最大值，故C正确； 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值，故D错误.    故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是建立合适平面直角坐标系，再设，从而写出相关向量，计算其数量积，并结合三角函数的性质得到其范围. 6．极化恒等式实现了向量与数量的转化，阅读以下材料，解答问题. 1.极化恒等式：，公式推导：； 2.平行四边形模式：如图，平行四边形，是对角线交点，则； 3.三角形模式：如图，在中，设为的中点，则.推导过程：由. (1)如图，在边长为2的正方形中，其对称中心平分线段，且，点为的中点，求的值； (2)“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦.”太极和八卦组合成了太极八卦图（如图1）.某太极八卦图的平面图如图2所示，其中正八边形的中心与圆心重合，是正八边形的中心，是圆的一条直径，且正八边形内切圆的半径为，.若点是正八边形边上的一点，求的取值范围； (3)已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由极化恒等式即可求解； （2）连接，根据三角形模式可得，即可求解； （3）由题意可得是等边三角形，所以，再根据向量极化恒等式即可求解. 【详解】（1）. 由极化恒等式可得：. （2）如图，连接. 因为，， 所以. 因为正八边形内切圆的半径为，， 所以. 因为，所以，所以， 即的取值范围是. （3）令（其中）， 则三点共线（如图）， 从而的几何意义表示点到直线的距离为， 这说明是等边三角形，为边上的高，故. 取的中点，则由向量极化恒等式可得， 其中为点到边的距离. 即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值. 1．如图为某折扇展开后的平面示意图，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】由题干中的几何性质，可得向量的模长与夹角，根据数量积的运算律，可得答案. 【详解】由题意可知，与的夹角为， 则 . 故答案为：. 2．如图，不共线且不垂直的单位向量，的夹角为，以点为原点， ，的正方向分别为轴、轴建立坐标系，该坐标系称为斜坐标系.若，则称为在斜坐标系中的坐标，若，向量，在斜坐标系中的坐标分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可得以，，结合平面向量数量积的运算即可求解. 【详解】由题意知，，，所以， 又向量，在斜坐标系中的坐标分别为，， 所以，， 所以. 故选：A. 3．两个半径分别为的☉M，☉N，公共弦的长为3，如图所示，则= . 【答案】9 【分析】取的中点，连接，由向量投影求解即可； 【详解】 取的中点，连接，由圆的性质，得. 为两个圆的公共弦，从而圆心在弦的投影为的中点，进而在上的投影向量的模能够确定，所以由向量的投影定义. 可得：所以， , 故答案为：9 4．定义两个向量，之间的一种运算：，其中是向量，的夹角，则对于非零向量，，下列结论不一定成立的是（   ） A．该运算满足交换律，即 B．若向量，共线，则 C．的值等于以，为邻边的平行四边形的面积 D．对任意向量，有 【答案】D 【分析】根据新定义逐项计算判断即可. 【详解】对于A，根据定义，，故A一定成立； 对于B，若向量，共线，则或，则，所以，故B一定成立； 对于C，以，为邻边的平行四边形的面积为，故C一定成立； 对于D，若且与不共线，则，但，故D不一定成立. 故选：D. 5．正六边形在中国传统文化中象征着 “六合” 与 “六顺” ， 这种形状常被用于各种传统装饰和建筑中，如首饰盒、古建筑的窗户、古井口等. 已知 6 个边长均为 2 的正六边形的摆放位置如图所示， 是这 6 个正六边形内部 (包括边界) 的动点，则 的最大值为（    ） A．12 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【分析】过C作交延长线于E点，则，当C位于D点时，取得最大值，求此时的数量积即可. 【详解】 过C作交延长线于E点，则， 因为 6 个正六边形边长均为 2，如图，当C位于D点时，取得最大值， 此时， ， 故选：C. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$