暑假作业01 平面向量的概念、线性运算及奔驰定理、四心问题的应用（巩固培优）新高一年级数学苏教版

限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 平面向量的概念、线性运算 及奔驰定理、四心问题的应用 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. （1）奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 （2）奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 2．下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 3．下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 4．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．设是两个不共线的向量，已知，，，则（    ） A．A、B、C三点共线 B．B、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．A、C、D三点共线 6．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 8．（多选）给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 9．若，则 ， . 10．已知是两个不共线的向量，向量.若，则 . 11．（1）化简； （2）若，求向量. 12．设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 1．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 2．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 3．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 4．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 5．（多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 6．在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则 . 7．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则 . 1．如图所示，某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成，则（   ） A． B． C． D． 2．航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走 步. 4．（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 5．在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题． (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； (3)若，证明：E，M，F三点共线． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：50min 完成时间： 月 日 天气： 作业01 平面向量的概念、线性运算 及奔驰定理、四心问题的应用 1．向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行． (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量． 2．向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b) 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3. 奔驰定理 如图，已知P为内一点，则有. 由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”. （1）奔驰定理的证明 如图：延长与边相交于点 则 （2）奔驰定理的推论及四心问题 推论是内的一点,且,则 有此定理可得三角形四心向量式 （1）三角形的重心：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1. （2）三角形的垂心：三角形三边上的高的交点叫做三角形的垂心，垂心和顶点的连线与对边垂直. （3）三角形的内心：三角形三条内角平分线的交点叫做三角形的内心，也就是内切圆的圆心，三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r. （4）三角形的外心：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心，也就是三角形外接圆的圆心，它到三角形三个顶点的距离相等. 奔驰定理对于利用平面向量解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，有着决定性的基石作用. 已知点在内部，有以下四个推论： ①若为的重心，则； ②若为的外心，则；或 ③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对. ④若为的垂心，则，或 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 1．下列关于向量说法正确的是（    ） A．零向量没有方向 B．所有单位向量都相等 C．向量的模是一个正实数 D．相反向量的模一定相等 【答案】D 【分析】利用零向量、单位向量和相反向量的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为零向量的方向是任意的，所以A错误； 对于B，单位向量是长度为一个单位的向量，方向可以是任意方向，所以B错误， 对于C，因为的模长为，所以C错误， 对于D，因为相反向量是模长相等，方向相反的两个向量，所以D正确， 故选：D. 2．下列说法正确的是（    ） A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．由于零向量的方向不确定，因此零向量不能与任意向量平行 C．模为1的向量都是相等向量 D．向量的模可以比较大小 【答案】D 【分析】由向量的相关概念逐一判断即可. 【详解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比较大小，故A错； 由于零向量的方向不确定，故规定零向量与任意向量平行，故B错； 长度相等、方向相同的向量称为相等向量，模长为1的向量只规定了长度相等，方向不一等相同，故C错； 向量的模长是一个数量，因此可以比较大小，故D正确. 故选：D. 3．下列各式能化简为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量加法和减法法则，对每个选项进行逐一计算，即可判断和选择. 【详解】对A：，故A错误； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误； 故选：C. 4．在中，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意. 故选：B. 5．设是两个不共线的向量，已知，，，则（    ） A．A、B、C三点共线 B．B、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．A、C、D三点共线 【答案】C 【分析】A. B选项均采用反证法来证明，C选项可得，D选项，也采用反证法，但结合C选项可更快地判断. 【详解】因为，，， A.假设A、B、 C三点共线，则，则存在使得，得，因不共线，则且，此方程组无解，故假设不成立，故A错误； B.假设B、C、D三点共线，则，则存在使得，得，因不共线，则且，此方程组无解，故假设不成立，故B错误； C.，所以A、B、D三点共线，故C正确； D. 假设A、C、D三点共线，由C选项可知，A、B、C、D四点共线，由A选项可知假设不成立，故D错误. 故选：C 6．（多选）下列各式中，结果为零向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据平面线向量加法和减法的运算法则逐一判断即可. 【详解】对于选项A：，选项A不正确： 对于选项B：，选项B正确； 对于选项C：，选项C不正确； 对于选项D：，选项D正确. 故选：BD. 7．（多选）关于非零向量，，下列命题中正确的是（    ） A．若，则. B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】对于A根据向量的定义即可判断，对于B根据共线向量的定义即可判断，对于C由向量共线的性质即可判断，对于D由即可判断. 【详解】对于A：若，只能得到与的模相等，但是方向有可能不相同，故A错误； 对于B：若，则与是相反向量，则，故B正确； 对于C：若，，且，则，故C正确； 对于D：若，，则，即，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选）给出下列命题，不正确的有（ ） A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同 B．若为非零向量，则与同向 C．若，则 D．已知λ，μ为实数，若，则与共线 【答案】CD 【分析】根据向量的相关概念即可判断选项. 【详解】由相等向量的概念可知A正确； 因为，所以与同向，B正确； 若，则不一定平行，C不正确； 若，则与不一定共线，D不正确. 故选：CD 9．若，则 ， . 【答案】 【分析】利用向量的线性运算可得相应的结果. 【详解】因为，故即； 因为，故即，故， 故答案为：，. 10．已知是两个不共线的向量，向量.若，则 . 【答案】-2 【分析】根据向量平行，设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】因为，所以设， 故，解得. 故答案为：-2 11．（1）化简； （2）若，求向量. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用平面向量的线性运算可化简得结果； （2）利用平面向量的线性运算可求出向量. 【详解】（1）； （2）因为，故. 12．设，是两个不共线的向量，如果，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)试确定的值，使和共线； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明向量与共线； （2）两向量与（）共线，所以存在唯一实数实数，使，由此列方程组可解. 【详解】（1）因为， 所以与共线. 因为与有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）因为和共线， 所以存在实数，使. 因为，是两个不共线的向量，所以， 所以. 1．若的三边为a，b，c，有，则是的（ ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【分析】在，上分别取点，，使得，，以，为邻边作平行四边形，即可得到四边形是菱形，再根据平面向量线性运算法则及共线定理得到，，三点共线，即可得到在的平分线上，同理说明可得在其它两角的平分线上，即可判断. 【详解】在，上分别取点，，使得，，则． 以，为邻边作平行四边形，如图，    则四边形是菱形，且． 为的平分线．  ， ，      即， ． ，，三点共线，即在的平分线上， 同理可得在其它两角的平分线上， 是的内心． 故选：B． 2．已知△ABC，向量满足条件，，则△ABC是（    ） A．等腰直角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．直角三角形 【答案】C 【分析】首先由条件判断点是的重心和外心，再根据几何性质判断三角形的形状. 【详解】如图，点是的中点，所以， 因为，即，即， 则点三点共线，且，所以点是的重心， 又，所以点是的外心，则，即， 所以，同理，则， 所以是等边三角形. 故选：C. 3．已知在所在平面内，满足，且，，则点依次是的（    ） A．垂心，外心，内心 B．重心，外心，内心 C．重心，垂心，外心 D．重心，垂心，内心 【答案】D 【分析】根据中线的性质，可得为重心；根据向量垂直，即得到是垂心. 利用数量积的定义可判断为内心. 【详解】 由，则， 取的中点，则， 所以，所以是的重心； 由，得，即， 所以，同理，所以点为的垂心. 由，得，则， 而点在内，则，即，因此平分角， 同理分别平分，从而点是的内心， 故选：D 4．（多选）下列说法中正确的是（    ） A．若，则，且、、、四点构成平行四边形 B．若为非零实数，且，则非零向量与共线 C．在中，若，则点一定在角的平分线上 D．若向量，则与的方向相同或相反 【答案】BC 【分析】利用向量得定义、共线向量得概念判断A、B、D，利用单位向量得定义与加法得平行四边形法则判断与的角平分线的关系，即可判断C. 【详解】对于A，如果在线段上，，为线段的四等分点，满足，且，但、、、四点不能构成平行四边形，故A错误； 对于B，设为非零实数，且，则非零向量与共线，故B正确； 对于C，因为，分别为向量，方向上的单位向量，所以的方向与的角平分线重合， 又，可得向量所在直线与的角平分线重合，所以点一定在角的平分线上，故C正确 对于D，若向量，则与的方向相同或相反，或与中至少有一个为零向量，故D错误. 故选：BC 5．（多选）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O、G、H分别是△ABC的外心、重心、垂心，且M为BC的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用平面向量的线性运算证明选项ABD正确，证明选项C错误即可. 【详解】A. 为重心，所以, 所以, 所以, 所以，所以该选项正确. B.， 由于G是重心，所以，所以， 同理,所以， 所以该选项正确. C.,所以该选项错误. D., 所以,所以该选项正确. 故选：ABD    6．在四边形ABCD中，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足，点Q为线段AB的中点.则 . 【答案】 【分析】若分别为的中点，得到，根据已知得，进而可得，可求结论. 【详解】由，所以， 所以，所以 取分别为的中点，如下图， 则，即，所以，所以， 因为为的中点，所以，又，则， 所以，所以三点共线， 所以，，所以， 所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 7．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则 . 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 1．如图所示，某广场的六边形停车场由4个全等的等边三角形拼接而成，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量的线性运算可求得结论. 【详解】依题意，. 故选：. 2．航天器的轨道校准任务中，在二维定位平面内，控制中心需要将坐标是的卫星进行三次平移（单位：千米）：第一次沿向量补偿平移；第二次沿向量修正平移；第三次沿向量校准平移．若卫星最终精准到达坐标是的同步轨道点，则实数（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据向量平移法则可得点经三次平移后，坐标为，列出方程组求解即可. 【详解】解：因为点沿向量后，坐标为； 点沿向量平移后，坐标为； 点向量平移后，坐标为． 又因为经三次平移后，坐标为， 所以，解得. 故选：C. 3．平面直角坐标系中，点M从原点O出发，每步只能按向量，，运动.若M要走遍以O，，，为顶点的正方形中所有整点（包含边界），至少要走 步. 【答案】28 【分析】作出图象，结合相关点的分布情况，即可得出答案. 【详解】 如图， ， 共需28步. 故答案为：28. 【点睛】思路点睛：作出图象，结合坐标系整数点分布情况，即可作出具体路径. 4．（多选）已知，，且，则在以下各命题中，正确的是（    ） A．当时，的方向与的方向一定相反 B．当时，的方向具有任意性 C． D．当时，的方向与的方向一定相同 【答案】ABD 【分析】根据向量的数乘运算概念判断ABD,再根据向量的模长性质判断C. 【详解】根据实数与向量的积的方向的规定，A正确； 对于B，当时，，零向量的方向具有任意性，故B正确； 对于D，由可得，同为正或同为负， 所以和或者都是与同向，或者都是与反向，所以与是同向的，故D正确； 对于C，，故C错误． 故选：ABD. 5．在四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，，记AC，BD相交于点M．结合平面向量的有关知识回答下列问题． (1)证明：； (2)若，写出2个与共线的向量（不用证明）； (3)若，证明：E，M，F三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)，，，，，，，，． (3)证明见解析 【分析】利用数形结合，结合向量的线性运算，可得答案. 【详解】（1） 证明：因为E为AB的中点，所以， 则， 故． （2） 由，，则四边形为平行四边形， 由向量的概念可得在四边形ABCD中，与共线的向量有 ，，，，，，，，． （3） 证明：设，又因为，所以，， 由（1）知，同理， 其中，所以， 故E，M，F三点共线. 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$