（期末复习）第二单元《认识三角形和四边形》(知识梳理+易错点拨+13个考点讲练+压轴题训练 共51题）2024-2025学年北师大版数学四年级下学期金牌培优讲义

2024-2025学年北师大版数学四年级下学期金牌培优讲义 第二单元《认识三角形和四边形》 期末真题汇编复习加油站（学生版） （知识梳理+易错点拨+13个考点讲练+压轴题专练 共51题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 模块二 高频易错考点点拨 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·广东清远·期末）英德江湾大桥的外观设计运用了三角形的知识，这是因为三角形具有（    ）性。 A．美观 B．稳定 C．不稳定 D．灵活 【精练题01】（23-24四年级下·陕西宝鸡·期末）下面的图形中，（    ）不变形，具有稳定性。 A． B． C． D． 【精练题02】（23-24四年级下·辽宁营口·期末）在长方形木框中加钉木条（如下图所示），（    ）能使木框不变形。 A． B． C． D． 重难点考点02：三角形的分类 【精讲题】（22-23四年级下·四川成都·期末）如图，有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备( )的共同特点。 【精练题01】（23-24四年级下·广东河源·期末）一个三角形至少有( )个锐角，至多有( )个锐角。 【精练题02】（23-24四年级下·山西吕梁·期末）如图，已知直线l垂直于线段，直线l上有一点可沿直线上下移动，当与不重合时，连接可围成很多不同的三角形，它的形状（    ）。 A．不可能是等腰三角形 B．一定是直角三角形 C．可能是锐角三角形 D．可能是钝角三角形 重难点考点03：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·广东惠州·期末）一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的一条腰长是多少分米？ 【精练题01】（22-23四年级下·广东清远·期末）小明用一根铁丝刚好围成一个边长是15厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，三角形的边长是多少厘米？ 【精练题02】（23-24四年级下·甘肃定西·期末）用一根长48厘米的铁丝围成一个底边长14厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是( )厘米。 重难点考点04：画三角形 【精讲题】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）在下面方格图中画出一个等腰钝角三角形。 【精练题01】（23-24四年级下·山西晋城·期末）下面的方格纸上已画出三角形的一条边，请按要求把它们补充完整。 【精练题02】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 重难点考点05：三角形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·广西桂林·期末）填出下面各角的度数。         ∠C＝( )°       ∠A＝( )° 【精练题01】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )°，原来这张纸片的形状是( )三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图，直角梯形ABCD中，连接BD，分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，请说明∠1＝∠2＝∠3的理由。 重难点考点06：多边形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·辽宁大连·期末）笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。 列式计算：180°×6－360°＝720° （1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。 （2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 【精练题02】（23-24四年级下·广东深圳·期末）如图，已知，那么在三角形中是多少度？若沿图中的虚线剪去，则的度数是多少？ 重难点考点07：三角形三边关系 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）把一根长18cm的吸管剪成3段（每段的长度都是整厘米），用这3段吸管能围成一个等腰三角形，可以有( )种不同的剪法。 【精练题01】（23-24四年级下·广西桂林·期末）一个等腰三角形的三条边都是整厘米数，且周长是20厘米，它的底边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）有5根小棒，长度分别是4厘米、4厘米、5厘米、5厘米、8厘米，任选三根小棒搭三角形，可以搭出( )种不同的等腰三角形。 重难点考点08：平行四边形的概念及特点 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）把图形补画完整。 【精练题01】（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝45°。则阴影部分的周长是( )cm。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图中，梯形有( )个，平行四边形有( )个，∠1＝( )°。 重难点考点09：平行四边形的不稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·广东茂名·期末）花工叔叔要给花园围上篱笆，（    ）种围法最牢固。 A． B． C． D． 【精练题01】（21-22四年级下·山西晋城·期末）下列平面图形中具有稳定不易变形的特性并广泛应用于生活中的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．三角形 D．平行四边形 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）下图中，要给一块地围上篱笆，选用图( )的方法更牢固，理由是( )。 重难点考点10：梯形的概念及特点 【精讲题】（22-23四年级下·广东深圳·期末）请像三角形分类这样（如图），完成四边形的分类吧！（包括A四边形、B平行四边形、C长方形、D正方形、E梯形）（填写字母）。 【精练题01】（22-23四年级下·广东深圳·期末）画一画，分一分。 （1）在点子图上画一个钝角三角形。 （2）画一条线把图①分成一个梯形和一个平行四边形。​ 【精练题02】（23-24四年级上·陕西延安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 重难点考点11：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【精讲题】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）先在下面方格图中画出一个直角梯形，再将梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【精练题01】（23-24四年级下·山西运城·期末）用两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形，已知每个梯形的周长都是40厘米，梯形的一条腰长8厘米，则平行四边形的周长是多少厘米？（先根据题意画出示意图，再解答） 【精练题02】（23-24四年级下·陕西西安·期末）画一个梯形，在画好的梯形中画一条线段将原图分成两个直角梯形。 重难点考点12：四边形的分类及关系 【精讲题】（23-24四年级下·广东深圳·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 A．等腰三角形是特殊的等边三角形 B．直角三角形是特殊的三角形 C．正方形是特殊的长方形 D．长方形是特殊的平行四边形 【精练题01】（23-24四年级下·福建泉州·期末）下面各图中，能正确表示图形分类的是（    ）。 A． B． C． D． 【精练题02】（23-24四年级下·广东深圳·期末）淘气画了如下的韦恩图表示四边形、正方形、梯形、平行四边形和长方形五者之间的关系。那么②号是 ，③号是 ，⑤号是 。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（23-24四年级下·四川成都·期末）如图，被长方形遮住的三角形是（    ）。 A．一定是钝角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是锐角三角形 D．直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都有可能 2．（23-24四年级下·浙江金华·期末）图中被遮住的三角形一定不是（    ）。    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 3．（23-24四年级下·四川成都·期末）建房子的屋顶常用三角形结构，俗称“人字梁”。现在已经有了两根均为4.5米的木料，再选下面一根（    ）木料合适。 A．10米 B．9.5米 C．9米 D．7.5米 4．（23-24四年级下·浙江丽水·期末）如右图，线段BC外有一点A，点A沿着虚线左右移动的过程中，所形成的三角形ABC是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均可能 5．（23-24四年级下·广东惠州·期末）晓晓用彩纸做一个直角三角形的书签，其中一个锐角的度数是40°，另一个锐角的度数是( )°。 6．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）淘气制作了一个形状是等腰三角形的风筝，已知一个底角30°，它的顶角度数是( )。 7．（23-24四年级下·山西运城·期末）如图，线段AB和线段AD的长度相等，则∠2＝( )°。 8．（23-24四年级下·浙江金华·期末）一个三角形的其中两个内角分别是92°、44°，这个三角形按角分是( )角三角形，按边分是( )三角形。 9．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）一个三角形有两条边都是6厘米，第三条边一定大于6厘米。( )（判断对错） 10．（23-24四年级下·陕西西安·期末）军军用5厘米、1厘米、1厘米的3根小棒围成了一个等腰三角形。( )（判断对错） 11．（23-24四年级下·广东韶关·期末）算一算，∠1的度数是多少？ 12．（23-24四年级下·陕西西安·期末）计算下面三角形中∠1的度数。 13．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）一根铁丝可以折成长23.2厘米，宽6.8厘米的长方形，若把它折成一个等边三角形，这个三角形的边长最长多少厘米？ 14．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为15.2厘米的等边三角形，如果把它折成一个宽5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 15．（22-23四年级下·四川成都·期末）“数学来源于生活又运用于生活”，你能用所学的数学知识解释下面的生活现象吗？ $$2024-2025学年北师大版数学四年级下学期金牌培优讲义 第二单元《认识三角形和四边形》 期末真题汇编复习加油站（教师版） （知识梳理+易错点拨+13个考点讲练+压轴题专练 共51题） 学科网知识店铺：勤勉理科资料库 班级： 姓名： 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 资料简介 同学你好，一学期接近尾声，相信你一定学有所获！在期末考试来临之际，编者老师给你准备了一套快速提分方案。这套资料用简洁明了，深入简出的方式帮助你梳理本学期各个单元知识点，同时结合近两年各地名校期末真题充分强化解题能力，拓宽各类题型认知，重温旧知的同时感知常考易错类题型，相信你肯定对已学的知识有新的认识和理解！期末考试取得满意成绩 模块一 重点难点知识梳理 知识点01：三角形 定义：三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。三角形有3条边、3个角和3个顶点。 内角和：任意一个三角形的内角和都等于180°。这个性质可以通过多种方法进行验证，例如使用量角器测量每个角的度数并相加，或者将三角形的三个角撕下来并拼在一起形成一个平角。 底和高：从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。一个三角形有三组不同的底和高。 三角形的分类： 按角分类：三角形可以分为锐角三角形（三个角都小于90°）、直角三角形（有一个角是90°）和钝角三角形（有一个角大于90°）。直角三角形中两个锐角的度数和等于90°，钝角三角形中两个锐角的度数和小于90°。 按边分类：三角形可以分为等边三角形（三条边长度相等）、等腰三角形（有两条边长度相等）和不等边三角形（三条边长度都不相等）。 三角形的稳定性：三角形具有稳定性，即三角形的形状和大小在不受外力作用时不会改变。这种特性使得三角形在建筑、工程等领域有广泛的应用。 三角形三边的关系：三角形任意两边长度的和大于第三边。 等腰三角形和等边三角形和等腰直角三角形： 两条边相等的三角形是等腰三角形，相等的两条边叫做腰，另外一条边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，底和腰的夹角叫做底角，两个底角相等，等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴。 三条边都相等的三角形是等边三角形，三条边都相等，三个角也 都相等（每个角都是 60°，所有等边三角形的三个角都是60°。）等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴。 有一个角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，它的底角等于45°，顶角等于90° 等腰三角形的顶角=180°－底角×2 等腰三角形的底角=（180°－顶角）÷2 一个三角形最大的角是 60 度，这个三角形一定是等边三角形。 多边形的内角和=180°×（边数－2） 知识点02：平行四边形 定义：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。平行四边形的对边平行且相等，对角相等。 底和高：从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。一个平行四边形有无数条高。 平行四边形的特性：平行四边形具有不稳定性，即形状和大小容易受外力作用而改变。这种特性使得平行四边形在电动伸缩门、铁拉门、伸降机等物体上有广泛的应用。 平行四边形的分类：根据角度的不同，平行四边形可以分为矩形、菱形、正方形等。 知识点03：梯形的认识 1.定义：只有一组对边平行的四边形叫梯形。平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边叫做梯形的腰，从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高（无数条）。 2.梯形的分类及特征：两条腰相等的梯形叫等腰梯形，它的两个底角相等，等腰梯形是轴对称图形，有一条对称轴；有一个角是直角的梯形叫直角梯形，直角梯形有两组邻边互相垂直 3.两个（完全一样）的梯形可以拼成一个平行四边形。 模块二 高频易错考点点拨 易错点知识点01：三角形 三角形的定义理解： 易错点：误认为过同一条直线上的三个点就能构成三角形。实际上，这三个点不能在同一直线上，否则无法形成三角形。 解决策略：强调三角形的定义，明确三个顶点不能在同一直线上。 三角形的高： 易错点：误认为从三角形的一个顶点到对边的任何线段都是高。实际上，只有垂直于对边的线段才是三角形的高。 解决策略：通过图示和实例明确三角形高的定义，强调垂直性。 三角形的分类： 易错点：混淆三角形的分类标准，例如将三角形错误地分为等边三角形、直角三角形和钝角三角形。实际上，这些分类的标准不相同，无法这样分类。 解决策略：明确三角形的分类标准，如按角分类或按边分类，并给出相应的实例。 易错知识点02：平行四边形 平行四边形的特性： 易错点：误认为平行四边形具有稳定性。实际上，平行四边形具有不稳定性，形状和大小容易受外力作用而改变。 解决策略：通过实验或生活实例展示平行四边形的不稳定性。 平行四边形的高： 易错点：误认为平行四边形只能从一个顶点向对边作高。实际上，平行四边形有无数条高，可以从任意一边上的任意一点向对边作高。 解决策略：通过图示和实例展示平行四边形的高的多种画法。 易错知识点03：梯形 梯形的定义： 易错点：误认为只有一组对边平行的四边形就是梯形。实际上，梯形的定义中并没有限定另一组对边是否平行或相等。 解决策略：强调梯形的定义，明确只有一组对边平行的四边形才是梯形。 梯形的腰和底： 易错点：混淆梯形的腰和底。实际上，梯形的平行边是底，不平行的一边是腰。 解决策略：通过图示和实例明确梯形腰和底的区别。 直角梯形： 易错点：误认为直角梯形只有一条腰与底垂直。实际上，直角梯形是指有一条腰与底垂直的梯形。 解决策略：通过图示和实例明确直角梯形的定义和特征。 模块三 重点难点考点精讲练 重难点考点01：三角形的稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·广东清远·期末）英德江湾大桥的外观设计运用了三角形的知识，这是因为三角形具有（    ）性。 A．美观 B．稳定 C．不稳定 D．灵活 【答案】B 【思路点拨】三角形具有稳定性；三角形稳定，因为它三条边首尾相接，形成了稳定结构。三角形的三个角固定了三条边的位置，使得整个结构在受力时，力的分布更加均匀，不易发生形变。其次，三角形的三条边相互支撑，一旦其中一条边受到拉力或压力，其他两条边会产生反作用力，相互抵消，从而保持整个结构的稳定。这种力的平衡状态使得三角形结构在受力时能够均匀分散压力，提高了结构的抗压能力和稳定性。据此解答即可。 【规范解答】英德江湾大桥的外观设计运用了三角形的知识，这是因为三角形具有稳定性。 故答案为：B 【精练题01】（23-24四年级下·陕西宝鸡·期末）下面的图形中，（    ）不变形，具有稳定性。 A． B． C． D． 【答案】C 【思路点拨】三角形具有稳定性，三角形的三条边确定后，它的形状和大小就确定了，不会因为外力的作用而轻易改变。而长方形、平行四边形、菱形等四边形，它们的形状容易在外力作用下发生改变。 【规范解答】三角形具有稳定性，而长方形、平行四边形、菱形不具有稳定性。 故答案为：C 【精练题02】（23-24四年级下·辽宁营口·期末）在长方形木框中加钉木条（如下图所示），（    ）能使木框不变形。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】四边形易变形，三角形具有稳定性，不易变形，哪个木框中有三角形，那么哪个就不变形，据此解答。 【规范解答】 A．，易变形。 B．，易变形。 C． ，易变形。 D．，有三角形，不变形。 故答案为：D 重难点考点02：三角形的分类 【精讲题】（22-23四年级下·四川成都·期末）如图，有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备( )的共同特点。 【答案】钝角三角形 【思路点拨】三角形按边分类，可分为：等边三角形（三条边都相等的三角形）、等腰三角形（有两条边相等的三角形）、不等边三角形（三条边都不相等的三角形）；三角形按角分类，可分为：锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）、直角三角形（有一个角是直角的三角形）、钝角三角形（有一个角是钝角的三角形），据此解答即可。 【规范解答】①和⑥都是直角三角形； ②和④都是锐角三角形； ③号和⑤号都是钝角三角形。 有6个三角形，把它们分成三类，其中③号和⑤号是同一类，是因为这两个三角形都具备钝角三角形的共同特点。 【精练题01】（23-24四年级下·广东河源·期末）一个三角形至少有( )个锐角，至多有( )个锐角。 【答案】 2 3 【思路点拨】根据题意可知，一个三角形中如果有1个角是钝角，其余两个角的度数之和就小于90°，这两个角就都是锐角。所以一个三角形至少有2个锐角，至多有3个锐角。 【规范解答】一个三角形至少有2个锐角，至多有3个锐角。 【精练题02】（23-24四年级下·山西吕梁·期末）如图，已知直线l垂直于线段，直线l上有一点可沿直线上下移动，当与不重合时，连接可围成很多不同的三角形，它的形状（    ）。 A．不可能是等腰三角形 B．一定是直角三角形 C．可能是锐角三角形 D．可能是钝角三角形 【答案】B 【思路点拨】已知直线l垂直于线段AB，∠CAB一定是直角，所以这个三角形一定是直角三角形，据此解答。 【规范解答】已知直线l垂直于线段AB，直线l上有一点C可沿直线上下移动，当C与A不重合时，连接CB可围成很多不同的三角形，它的形状一定是直角三角形。 故答案为：B 重难点考点03：等腰三角形和等边三角形的认识及特征 【精讲题】（23-24四年级下·广东惠州·期末）一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么这个等腰三角形的一条腰长是多少分米？ 【答案】9分米 【思路点拨】等边三角形的三条边的长度都相等，等腰三角形的两条腰长度相等。由题意得，一根铁丝正好围成一个边长为8分米的等边三角形，那么可以用8乘3算出这根铁丝的长度。如果用这根铁丝围成一个底边为6分米的等腰三角形，那么直接用这根铁丝的长度减去底边长即可算出两条腰的长度，再除以2即可算出一条腰的长度。 【规范解答】8×3＝24（分米） （24－6）÷2 ＝18÷2 ＝9（分米） 答：这个等腰三角形的一条腰长是9分米。 【精练题01】（22-23四年级下·广东清远·期末）小明用一根铁丝刚好围成一个边长是15厘米的正方形，如果用这根铁丝围成一个等边三角形，三角形的边长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【思路点拨】等边三角形的三条边都相等，先根据正方形的周长＝边长×4，求出正方形的周长，即铁丝的长度，再除以3就是等边三角形的边长。 【规范解答】15×4÷3 ＝60÷3 ＝20（厘米） 答：三角形的边长是20厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·甘肃定西·期末）用一根长48厘米的铁丝围成一个底边长14厘米的等腰三角形，这个等腰三角形的腰长是( )厘米。 【答案】17 【思路点拨】等腰三角形的两个腰长相等，根据题意可知，围成的等腰三角形的周长是48厘米，用周长减去底边的长度再除以2，即可求出腰长，据此解答。 【规范解答】（48－14）÷2 ＝34÷2 ＝17（厘米） 因此，这个等腰三角形的腰长是17厘米。 重难点考点04：画三角形 【精讲题】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）在下面方格图中画出一个等腰钝角三角形。 【答案】见详解 【思路点拨】等腰钝角三角形的两腰相等，且顶角为钝角，因此可先选择一个点画出一个钝角，以这个点为端点，在这个钝角的两条边取相同长度的线段，再连接两个点，即可画出一个等腰钝角三角形。 【规范解答】画图如下： 【精练题01】（23-24四年级下·山西晋城·期末）下面的方格纸上已画出三角形的一条边，请按要求把它们补充完整。 【答案】见详解 【思路点拨】等腰钝角三角形：有两条边相等，一个角是钝角的三角形。等腰锐角三角形：有两条边相等，三个角都是锐角的三角形。据此作图。 【规范解答】 【精练题02】（23-24四年级下·四川成都·期末）画出谜语中提到的两个图形。 我有一个大家族，兄弟姐妹无数个。个个都有稳定性，生活当中应用多。 虽说我们是家人，各有不同的特色，大哥有一个直角，小妹两腰一样多。 【答案】见详解 【思路点拨】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。直角三角形中有一个直角，等腰三角形的两条腰相等。则谜语中大哥是直角三角形，小妹是等腰三角形。据此画图。 【规范解答】 （答案不唯一） 重难点考点05：三角形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·广西桂林·期末）填出下面各角的度数。         ∠C＝( )°       ∠A＝( )° 【答案】 42 30 【思路点拨】根据题意，在左图中，三角形内角和为180°，且∠B＝90°，∠A＝48°，因此∠C＝180°－90°－48°＝42°。在右图中，同样利用三角形内角和为180°，给出∠B＝55°，∠C＝25°，与∠B相邻的角是180°－55°＝125°，可得∠A＝180°－125°－25°＝30°。 【规范解答】根据分析可知： ∠B＝90° ∠A＝48° ∠C＝180°－90°－48°＝42° ∠B＝55° 与∠B相邻的角是180°－55°＝125° ∠C＝25° ∠A＝180°－125°－25°＝30° 【精练题01】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角是( )°，原来这张纸片的形状是( )三角形。 【答案】 69 等腰 【思路点拨】三角形内角和等于180°，已知另外两个内角分别是69°和42°，用180°－69°－42°＝69°，求出第三个角的度数，根据三角形的分类，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有两个角度数相等的三角形是等腰三角形，据此解答即可。 【规范解答】180°－69°－42° ＝111°－42° ＝69° 三个内角都小于90°，这是一个锐角三角形，有两个角度数相等，也是一个等腰三角形。 一张三角形纸片被撕去了一个角，这个角是69°，原来这张纸片的形状是等腰三角形。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图，直角梯形ABCD中，连接BD，分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，请说明∠1＝∠2＝∠3的理由。 【答案】见详解 【思路点拨】由于三角形内角和为180°，已知直角梯形ABCD中，连接BD，分割成一个直角三角形和一个等腰三角形，那么∠BAD＝90°，∠ABC＝90°，∠1＋∠ABD＋∠BAD＝180°，所以∠1＋∠ABD＝90°，∠2＋∠ABD＝∠ABC＝90°，所以∠1＝∠2；又因为等腰三角形中两个底角相等，所以∠2＝∠3；所以∠1＝∠2＝∠3。 【规范解答】因为三角形内角和为180°，∠BAD＝90°，∠ABC＝90°；所以180°－∠BAD＝90°，∠1＋∠ABD＝90°，∠2＋∠ABD＝∠ABC＝90°所以∠1＝∠2；等腰三角形中两个底角相等，所以在三角形BDC中∠2＝∠3；所以∠1＝∠2＝∠3。 重难点考点06：多边形的内角和 【精讲题】（23-24四年级下·辽宁大连·期末）笑笑根据三角形的内角和是180°，用下面的方法得到六边形的内角和。 列式计算：180°×6－360°＝720° （1）结合图，想一想，180°×6求的是什么？_________。算式中减去的360°指的是什么？请在图中标出来。 （2）你还有其它方法得出这个六边形的内角和吗？请把你的方法在图中画出来，并写出计算过程。 【答案】（1）6个三角形的内角和； 如图： （2）如图： 180°×4＝720° 【思路点拨】（1）六边形由中心点引6条辅助线，把六边形分割成6个三角形，每个三角形的内角和是180°，所以180°×6求的是6个三角形的内角和；6个三角形中心角的和是周角，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°，由此可知六边形的内角和等于180°×4＝720°。 【规范解答】（1）由分析可知，180°×6求的是6个三角形的内角和，算式中减去的360°指的是6个三角形中心的角的和360°。 （2）把六边形添加3条辅助线，将六边形分割成4个三角形，每个三角形的内角和是180°， 180°×4＝720° 【精练题01】（23-24四年级下·四川成都·期末）把长方形剪掉一个角（如图），那么新图形①的内角和是( )。 【答案】540°/540度 【思路点拨】由图可知，长方形剪掉一个角后，变为了一个五边形。 如图，这个五边形可以分割成3个三角形，三角形的内角和为180°，那么五边形的内角和就等于3个三角形的内角之和。据此解答。 【规范解答】180°×3＝540° 故新图形①的内角和是540°。 【精练题02】（23-24四年级下·广东深圳·期末）如图，已知，那么在三角形中是多少度？若沿图中的虚线剪去，则的度数是多少？ 【答案】122°；238° 【思路点拨】 根据三角形内角和是180°，用三角形的内角和度数减去的度数，即可求出的度数；将三角形剪去后得四边形，如图：连接EN，四边形MNGE分成两个三角形，用三角形的内角和×2即可求出四边形的内角和，再用四边形的内角和减去的度数和，即可求出的度数和。据此解答即可。 【规范解答】＝180°－58°＝122° 180°×2＝360° 360°－122°＝238° 答：是122°，的度数是238°。 重难点考点07：三角形三边关系 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）把一根长18cm的吸管剪成3段（每段的长度都是整厘米），用这3段吸管能围成一个等腰三角形，可以有( )种不同的剪法。 【答案】4 【思路点拨】对于围成等腰三角形，我们知道等腰三角形有两条边长度相等。同时，根据三角形的特性：任意两边之和大于第三边。已知吸管总长度是18厘米，要把它剪成3段来围成等腰三角形，我们可以从等腰三角形腰长的可能情况入手，依次分析是否能满足三角形三边关系。因为每段长度都是整厘米数，且两腰长度相等，我们可以从腰长最小的情况开始尝试。 【规范解答】情况一：假设腰长是5厘米，因为是等腰三角形，所以另一条腰也是5厘米。那么底边长就是18－5－5＝8（厘米） 此时判断三边关系：5＋5＝10（厘米），10＞8；5＋8＝13（厘米），13＞5；8－5＝3（厘米），3＜5，满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可以围成等腰三角形。 情况二：假设腰长是6厘米，另一条腰同样是6厘米。底边长为18－6－6＝6（厘米） 三边关系判断：6＋6＝12（厘米），12＞6；6－6＝0（厘米），0＜6，满足三角形三边关系，能围成等腰三角形（这是一个等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形）。 情况三：假设腰长是7厘米，另一条腰也是7厘米。底边长是18－7－7＝4（厘米） 三边关系：7＋7＝14（厘米），14＞4；7＋4＝11（厘米），11＞7；7－4＝3（厘米），3＜7，满足条件，可以围成等腰三角形。 情况四：假设腰长是8厘米，另一条腰同样是8厘米。底边长为18－8－8＝2（厘米） 三边关系：8＋8＝16（厘米），16＞2；8＋2＝10（厘米），10＞8；8－2＝6（厘米），6＜8，满足三角形三边关系，可以围成等腰三角形。 如果腰长是4厘米，那么底边长是18－4－4＝10厘米，4＋4＝8（厘米），8＜10，不满足任意两边之和大于第三边，不能围成三角形。 腰长再小就更不满足条件了。 所以，用这3段吸管能围成一个等腰三角形，可以有4种不同的剪法。 【精练题01】（23-24四年级下·广西桂林·期末）一个等腰三角形的三条边都是整厘米数，且周长是20厘米，它的底边最长是( )厘米，最短是( )厘米。 【答案】 8 2 【思路点拨】根据题意，首先明确等腰三角形的两条腰相等，三角形的三边关系，任意两边之和大于第三边。对于等腰三角形来说，这需要满足两条腰边之和大于底边，同时底边和一条腰边之和也要大于另一条腰边。因为三条边都是整厘米数，两边之和大于第三边，那么20÷2＝10，5＋5＝10，腰一定要大于5，假设腰为6，底的长度为：20－6×2＝8（厘米），所以底边最长是8厘米。假设底边为1厘米，那么腰长为：（20－1）÷2＝9.5（厘米），不符合题意；当底边为2厘米时，（20－2）÷2＝9（厘米），符合题意；所以底最短是2厘米； 【规范解答】根据分析可知： 20－6×2 ＝20－12 ＝8（厘米） （20－2）÷2 ＝18÷2 ＝9（厘米） 20－9×2 ＝20－18 ＝2（厘米） 一个等腰三角形的三条边都是整厘米数，且周长是20cm，它的底边最长是8厘米，最短是2厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江丽水·期末）有5根小棒，长度分别是4厘米、4厘米、5厘米、5厘米、8厘米，任选三根小棒搭三角形，可以搭出( )种不同的等腰三角形。 【答案】3/三 【思路点拨】等腰三角形的两腰相等，4厘米、4厘米、5厘米、5厘米、8厘米中，腰长可以是4厘米，也可以是5厘米，当4厘米是腰长时，两边之和大于第三边，4＋4＝8（厘米），8＞5厘米，此时4厘米、4厘米，5厘米可以组成等腰三角形；当腰长是5厘米时，5＋5＝10（厘米），10＞8＞4，所以4厘米、5厘米，5厘米可以组成等腰三角形，5厘米、5厘米，8厘米可以组成等腰三角形；据此解题。 【规范解答】4＋4＝8（厘米） 8＞5；此时腰长是4厘米，底边是5厘米； 5＋5＝10（厘米） 10＞8＞5；此时腰长是5厘米，底边是8或者4厘米； 有5根小棒，长度分别是4厘米、4厘米、5厘米、5厘米、8厘米，任选三根小棒搭三角形，可以搭出3种不同的等腰三角形。 重难点考点08：平行四边形的概念及特点 【精讲题】（23-24四年级下·浙江金华·期末）把图形补画完整。 【答案】见详解 【思路点拨】平行四边形两组对边平行且相等，据此补齐平行四边形即可；梯形有一组对边平行另一组对边不平行，据此补齐梯形即可。 【规范解答】 如图：（梯形画法不唯一） 【精练题01】（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图，平行四边形ABCD中，∠B＝45°。则阴影部分的周长是( )cm。 【答案】16.48 【思路点拨】根据图示发现∠B＝45°，而且∠B在直角三角形中，所以三角形ABF是一个等腰直角三角形，它的特点是两腰相等，所以AF＝BF，阴影部分是一个长方形，它的周长＝（AF＋FC）×2，那么AF＋FC＝BF＋FC＝BC＝8.24cm，所以周长是8.24×2＝16.48cm。 【规范解答】由分析可知：8.24×2＝16.48（cm） 即平行四边形ABCD中，∠B＝45°。则阴影部分的周长是16.48cm。 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）如图中，梯形有( )个，平行四边形有( )个，∠1＝( )°。 【答案】 3 2 30 【思路点拨】梯形的特征：只有一组对边平行的四边形；平行四边形的特征：有两组对边分别平行的四边形，根据特征找到梯形和平行四边形。∠1和60°，90°的角组成三角形，内角和是180°，所以∠1＝180°－90°－60°。 【规范解答】如图： ∠1＝180°－90°－60°＝30° 即梯形有3个，平行四边形有2个，∠1＝30°。 重难点考点09：平行四边形的不稳定性及应用 【精讲题】（23-24四年级下·广东茂名·期末）花工叔叔要给花园围上篱笆，（    ）种围法最牢固。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】希望围的篱笆牢固，则需要结合所围成的图形，考虑它们的稳定性。三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，例：埃及金字塔、钢轨、三角形框架等都以三角形形状建造。平行四边形具有不稳定性，生活中也有广泛应用，例如活动挂架。 【规范解答】A．篱笆间形成了正方形，不具有稳定性，因此围成的篱笆不太牢固； B．篱笆间形成了三角形，三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点，因此围成的篱笆牢固； C．篱笆间形成了平行四边形，具有不稳定性，因此围成的篱笆不牢固。 D．篱笆间形成了长方形，不具有稳定性，因此围成的篱笆不太牢固； 故答案为：B 【精练题01】（21-22四年级下·山西晋城·期末）下列平面图形中具有稳定不易变形的特性并广泛应用于生活中的是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．三角形 D．平行四边形 【答案】C 【思路点拨】三角形稳定性是指三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。而四边形具有不稳定性；据此进行解答。 【规范解答】A．长方形是四边形，具有不稳定性； B．正方形是四边形，具有不稳定性； C．三角形具有稳定性；     D．平行四边形是四边形，具有不稳定性； 故答案为：C 【精练题02】（23-24四年级下·浙江金华·期末）下图中，要给一块地围上篱笆，选用图( )的方法更牢固，理由是( )。 【答案】 ② 三角形具有稳定性 【思路点拨】根据三角形具有稳定性而四边形具有不稳定性的特征。①和③围成的图形为四边形，而四边形有容易变形的特点，②中围成的图形为三角形，三角形具有稳定性，由此可知，②的围法更牢固些。 【规范解答】要给一块地围上篱笆，选用图②的方法更牢固，理由是三角形具有稳定性。 重难点考点10：梯形的概念及特点 【精讲题】（22-23四年级下·广东深圳·期末）请像三角形分类这样（如图），完成四边形的分类吧！（包括A四边形、B平行四边形、C长方形、D正方形、E梯形）（填写字母）。 【答案】见详解 【思路点拨】首先明确再同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形。平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形。四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。根据四边形的特点、分类及识别即可解答。 【规范解答】根据分析可知： 常见的四边形有长方形、正方形、平行四边形、梯形。长方形对边平行且相等，邻边互相垂直，4个角都是直角，有2条对称轴。正方形对边平行且相等，邻边互相垂直且相等，4条边相等，4个角都是直角，有4条对称轴。平行四边形对边平行且相等，没有对称轴。梯形只有一组对边平行，直角梯形有2个直角，等腰梯形有1条对称轴。正方形是特殊的长方形，长方形、正方形都是特殊的平行四边形。 【精练题01】（22-23四年级下·广东深圳·期末）画一画，分一分。 （1）在点子图上画一个钝角三角形。 （2）画一条线把图①分成一个梯形和一个平行四边形。​ 【答案】见详解 【思路点拨】本题考查了钝角三角形、梯形以及平行四边形的特征及画法。 （1）钝角三角形最大的角是一个大于90度的角，据此画图即可； （2）根据平行四边形和梯形的特征画线即可。 【规范解答】根据分析可知： （画法不唯一） 【精练题02】（23-24四年级上·陕西延安·期末）下列说法正确的是（    ）。 A．两个直角三角形一定能拼成一个平行四边形 B．平行四边形的一个角是直角时，这个图形是长方形或正方形 C．角的两边越长，这个角就越大 D．任何一个四边形不是平行四边形，就是梯形 【答案】B 【思路点拨】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，把平行四边形对角连线会分成两个完全相同的三角形； 平行四边形的两组对边分别平行且相等，对角相等；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形是长方形；正方形两组对边分别平行且相等、四个角都是直角； 角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关，叉开得越大，角越大，叉开得越小，角越小； 四边形的特点：四边形就是四条线段围成的图形，有四条边，四个角；只有一组对边平行的四边形是梯形；不存在对边平行的四边形是不规则四边形。两组对边分别平行的四边形是平行四边形四边形；除了梯形和平行四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、 【规范解答】 A．两个完全一样的直角三角形才能拼成一个平行四边形，如图：这两个直角三角形就不能拼成一个平行四边形；原题说法不正确，不符合题意； B．长方形与平行四边形不同的是长方形的四个角都是直角，如果平行四边形的一个角是直角，那么其他三个角也是直角，这就符合长方形的特征，就是长方形了，当原来的平行四边形的邻边也相等时，它就成为一个正方形，所以原题说法正确，符合题意。 C．角的大小与两边的长短无关，只与边叉开的大小有关；原题说法不正确，不符合题意； D．如图：，除了梯形和平行四边形是四边形之外，还有很多，如长方形、正方形、不规则四边形等；原题说法不正确，不符合题意。 故答案为：B 重难点考点11：直角梯形和等腰梯形的概念及特点 【精讲题】（23-24四年级下·安徽安庆·期末）先在下面方格图中画出一个直角梯形，再将梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【思路点拨】根据梯形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行的两边叫做梯形的底边，长的一条底边叫下底，短的一条边叫上底，另外两边叫腰，直角梯形是指有一个角是直角的梯形，首先画一个直角，直角的两条边，一条是梯形的下底，一条是梯形的腰，再画一条梯形的上底，上底的一个端点与腰的一个端点连接，据此，再用一条线段分别连接上下底两个线段的端点，画出直角梯形即可； 要想将一个梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形，过梯形直角边上底的顶点，作对边的平行线，即可把梯形分成一个直角三角形和一个平行四边形。 【规范解答】 【精练题01】（23-24四年级下·山西运城·期末）用两个完全一样的等腰梯形拼成一个平行四边形，已知每个梯形的周长都是40厘米，梯形的一条腰长8厘米，则平行四边形的周长是多少厘米？（先根据题意画出示意图，再解答） 【答案】图见详解；64厘米 【思路点拨】两个梯形拼成一个平行四边形后，它们的一条腰会重叠，其余边正好围成一个平行四边形，所以平行四边形的周长＝梯形的周长×2－梯形的腰长×2，据此作答。 【规范解答】示意图如图所示： 40×2－8×2 ＝80－16 ＝64（厘米） 答：平行四边形的周长是64厘米。 【精练题02】（23-24四年级下·陕西西安·期末）画一个梯形，在画好的梯形中画一条线段将原图分成两个直角梯形。 【答案】见详解 【思路点拨】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。 【规范解答】作图如下： （答案不唯一） 重难点考点12：四边形的分类及关系 【精讲题】（23-24四年级下·广东深圳·期末）下列说法中，错误的是（    ）。 A．等腰三角形是特殊的等边三角形 B．直角三角形是特殊的三角形 C．正方形是特殊的长方形 D．长方形是特殊的平行四边形 【答案】A 【思路点拨】有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三条边都相等的三角形叫作等边三角形；有一个角是直角的三角形叫作直角三角形；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。长方形不仅两组对边分别平行，而且四个角都是直角；正方形不仅两组对边分别平行，四个角都是直角，而且四条边都相等。据此解答。 【规范解答】A．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形。三条边都相等的三角形叫作等边三角形。所以等边三角形是特殊的等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形，该选项说法错误。 B．直角三角形是特殊的三角形，该选项说法正确。 C．长方形的两组对边分别平行，而且四个角都是直角。正方形不仅两组对边分别平行，四个角都是直角，而且四条边都相等。所以正方形是特殊的长方形，该选项说法正确。 D．两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。而长方形不仅两组对边分别平行，而且四个角都是直角。所以长方形是特殊的平行四边形，该选项说法正确。 故答案为：A 【精练题01】（23-24四年级下·福建泉州·期末）下面各图中，能正确表示图形分类的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【思路点拨】由不在同一直线的三条边首尾相连围成的图形叫做三角形；有2条边相等的三角形叫做等腰三角形；有3条边相等的三角形叫做等边三角形；等腰三角形和等边三角形都属于三角形；等边三角形属于特殊的等腰三角形；三角形根据角可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。 四边形包括平行四边形和梯形；在同一平面内，由不在同一条直线上的四条线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形；平行四边形的两组对边平行且相等，长方形的两组对边平行且相等，4个角都是直角，则长方形是特殊的平行四边形。正方形的两组对边平行，4条边相等，4个角都是直角，则正方形是特殊的长方形，据此解答。 【规范解答】 A．三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形；等边三角形三个内角都是60°，等边三角形是锐角三角形；这个关系不正确。 B． 图中平行四边形包含了梯形，两者应该是相互独立的，这个关系不正确； C．图中等腰三角形和等边三角形是并列关系，没有包含关系，这个关系不正确；     D．长方形是特殊的平行四边形，正方形是特殊的长方形；这个关系正确。 故答案为：D 【精练题02】（23-24四年级下·广东深圳·期末）淘气画了如下的韦恩图表示四边形、正方形、梯形、平行四边形和长方形五者之间的关系。那么②号是 ，③号是 ，⑤号是 。 【答案】 平行四边形 梯形 正方形 【思路点拨】两组对边分别平行的四边形是平行四边形；长方形不仅两组对边分别平行，而且四个角都是直角。所以长方形是特殊的平行四边形；正方形不仅两组对边分别平行，四个角都是直角，而且四条边都相等。所以正方形是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形；只有一组对边平行的四边形是梯形。据此解答。 【规范解答】由分析可知，正方形是特殊的长方形，长方形是特殊的平行四边形。而梯形和平行四边形是两种完全不同的四边形。图中，②包含了④，④包含了⑤，而③和②相互独立。 故②号是平行四边形，③号是梯形，⑤号是正方形。 模块四 优选压轴题强化培优练 1．（23-24四年级下·四川成都·期末）如图，被长方形遮住的三角形是（    ）。 A．一定是钝角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是锐角三角形 D．直角三角形、锐角三角形、钝角三角形都有可能 【答案】D 【思路点拨】三角形按角分类：三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；据此解答。 【规范解答】从图中，只能看到一个角是锐角，其它的两个角中，可以都是锐角，或有一个钝角，或有一个直角；所以被长方形遮住的三角形有可能是直角三角形、锐角三角形、钝角三角形。 故答案为：D 2．（23-24四年级下·浙江金华·期末）图中被遮住的三角形一定不是（    ）。    A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【思路点拨】等腰三角形的两条腰的长度相等，两个底角的度数相等；三边相等的三角形是等边三角形，等边三角形的三个角都是60°；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；据此解答即可。 【规范解答】A．露出的角小于60°，是锐角，如果三角形被遮住的两个角是锐角，则这个三角形就是锐角三角形； B．露出的角小于60°，是锐角，如果三角形被遮住的两个角中有一个是直角，则这个三角形就是直角三角形； C．等腰三角形两个角相等，如果三角形被遮住的两个角中有一个角和露出角相等，则这个三角形就是等腰三角形； D．等边三角形的三个角都等于60°，这个三角形露出的角小于60°，所以这个三角形一定不是等边三角形。 故答案为：D 3．（23-24四年级下·四川成都·期末）建房子的屋顶常用三角形结构，俗称“人字梁”。现在已经有了两根均为4.5米的木料，再选下面一根（    ）木料合适。 A．10米 B．9.5米 C．9米 D．7.5米 【答案】D 【思路点拨】根据题意，人字梁为三角形结构，需满足三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，且任意两边之差小于第三边。以此答题即可。 【规范解答】A．4.5＋4.5＜10，不符合题意。 B．4.5＋4.5＜9.5，不符合题意。 C．4.5＋4.5＝9，不符合题意。 D．4.5＋4.5＞7.5，符合题意。   建房子的屋顶常用三角形结构，俗称“人字梁”。现在已经有了两根均为4.5米的木料，再选下面一根7.5米木料合适。 故答案为：D 4．（23-24四年级下·浙江丽水·期末）如右图，线段BC外有一点A，点A沿着虚线左右移动的过程中，所形成的三角形ABC是（    ）。 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上均可能 【答案】D 【思路点拨】三个角都是锐角的三角形是锐角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；依此选择即可。 【规范解答】 A．此时形成的三角形ABC为锐角三角形。 B．此时形成的三角形ABC为直角三角形。 C．此时形成的三角形ABC为钝角三角形。 D．由此可知，形成的三角形ABC可能为锐角三角形、也可能为直角三角形，还可能为钝角三角形。 故答案为：D 5．（23-24四年级下·广东惠州·期末）晓晓用彩纸做一个直角三角形的书签，其中一个锐角的度数是40°，另一个锐角的度数是( )°。 【答案】50 【思路点拨】三角形的内角和为180°。有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。由题意得，晓晓做了一个直角三角形的书签，其中一个锐角是40°，那么直接用180°减去90°再减去40°即可算出另一个锐角的度数。 【规范解答】180°－90°－40° ＝90°－40° ＝50° 故另一个锐角的度数是50°。 6．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）淘气制作了一个形状是等腰三角形的风筝，已知一个底角30°，它的顶角度数是( )。 【答案】120°/120度 【思路点拨】等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和是180°。已知该等腰三角形的一个底角是30°，因为等腰三角形两底角相等，所以另一个底角也是30°。用180°减去两底角的角度计算出顶角度数。 【规范解答】180°－30°－30° ＝150°－30° ＝120° 淘气制作了一个形状是等腰三角形的风筝，已知一个底角30°，它的顶角度数是120°。 7．（23-24四年级下·山西运城·期末）如图，线段AB和线段AD的长度相等，则∠2＝( )°。 【答案】120 【思路点拨】线段AB和线段AD的长度相等，三角形ABD是等腰三角形，底角∠ABD和∠ADB相等。 在大直角三角形ABC中，三角形内角和是180°，其中一个角是90°，另外两个角相加是90°，所以∠A＝90°－30°＝60°； 由此可推断三角形ABD是一个等边三角形，三个内角都是60°；∠ADB与∠2组成平角180°，据此求出∠2的度数。 【规范解答】在大直角三角形ABC中，∠A＋30°＝90°，所以∠A＝90°－30°＝60°； 因为AB＝AD，∠ABD和∠ADB相等，因为∠A＝60°，则∠ADB＝∠ABD＝∠A＝60°； 所以，∠2＝180°－60°＝120°。 即线段AB和线段AD的长度相等，则∠2＝120°。 8．（23-24四年级下·浙江金华·期末）一个三角形的其中两个内角分别是92°、44°，这个三角形按角分是( )角三角形，按边分是( )三角形。 【答案】 钝 等腰 【思路点拨】按角分类三角形，需要判断三角形最大角的类型。如果最大角是锐角（小于90°），则是锐角三角形；如果最大角是直角（等于90°），则是直角三角形；如果最大角是钝角（大于90°，小于180°），则是钝角三角形。 按边分类三角形，需要根据三角形三个内角的关系判断边的关系。在三角形中，等腰三角形的两腰相等，两个底角度数相等，等边三角形三个角的度数都相等，三条边都相等。三角形的内角和是180°。 所以先求出第三个角的度数，再看角的关系，从而确定边的关系。 【规范解答】（1）按角分：已知三角形其中两个内角分别是92°、44°，因为92°＞90°，且92°是这个三角形中最大的角，根据钝角三角形的定义（有一个角是钝角的三角形是钝角三角形），所以这个三角形按角分是钝角三角形。 （2）按边分：先根据三角形内角和是180°，求出第三个角的度数，即180°－92°－44°＝88°－44°＝44°。因为这个三角形中有两个角都是44°，根据等腰三角形的特征，可知这两个角所对的边长度相等，所以这个三角形按边分是等腰三角形。 9．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）一个三角形有两条边都是6厘米，第三条边一定大于6厘米。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【规范解答】6＋6＝12（厘米），所以第三条边一定小于12厘米； 6－6＝0（厘米），所以第三条边一定大于0厘米。 因此，第三条边的长度应该是大于0厘米且小于12厘米，不一定大于6厘米。原题说法错误。 故答案为：× 10．（23-24四年级下·陕西西安·期末）军军用5厘米、1厘米、1厘米的3根小棒围成了一个等腰三角形。( ) 【答案】× 【思路点拨】根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边。题目中给出的三根小棒长度为5厘米、1厘米、1厘米。若尝试围成等腰三角形，两条1厘米的边之和为2厘米，小于第三边5厘米，无法满足三角形存在的条件。因此，这三根小棒不能组成等腰三角形。 【规范解答】根据分析可知： 军军用5厘米、1厘米、1厘米的3根小棒不能围成了一个等腰三角形。原题说法错误。 故答案为：× 11．（23-24四年级下·广东韶关·期末）算一算，∠1的度数是多少？ 【答案】85° 【思路点拨】三角形的内角和为180°。由图可知，在右边的三角形中，两个内角的度数分别是40°和45°，直接用180°减去这两个角的度数即可算出第三个角的度数。求出的这个角和∠1组成了一个平角，那么直接用180°减去这个角的度数即可算出∠1的度数。 【规范解答】180°－40°－45° ＝140°－45° ＝95° ∠1＝180°－95°＝85° 故∠1的度数是85°。 12．（23-24四年级下·陕西西安·期末）计算下面三角形中∠1的度数。 【答案】∠1＝125° 【思路点拨】三角形的内角和是180°，已知这个三角形中的两个内角分别是28°和27°，用180°减去这两个内角的度数，即可求出∠1的度数，据此列式解答。 【规范解答】∠1＝180°－28°－27° ＝152°－27° ＝125° 13．（23-24四年级下·宁夏银川·期末）一根铁丝可以折成长23.2厘米，宽6.8厘米的长方形，若把它折成一个等边三角形，这个三角形的边长最长多少厘米？ 【答案】20厘米 【思路点拨】因为这根铁丝可以折成长23.2厘米，宽6.8厘米的长方形，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，求出铁丝长度； 由于等边三角形的三条边长度相等，而这根铁丝的长度就是等边三角形的周长，用这根铁丝的长度除以3，即可求出这个三角形的最长边长。 【规范解答】（23.2＋6.8）×2      ＝30×2 ＝60（厘米） 60÷3＝20（厘米） 答：这个三角形的边长最长20厘米。 14．（23-24四年级下·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为15.2厘米的等边三角形，如果把它折成一个宽5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 【答案】17.2厘米 【思路点拨】根据题意，计算铁丝总长度（等边三角形周长）：等边三角形边长为15.2厘米，用边长乘3，求出铁丝的长度；确定长方形周长与铁丝长度相同；利用长方形周长＝（长＋宽）÷2，求长方形的长：长方形的周长×2－宽，已知宽为5.6厘米，代入数据，求出长方形的长即可。 【规范解答】根据分析可知： 15.2×3＝45.6（厘米） 45.6÷2＝22.8（厘米） 22.8－5.6＝17.2（厘米） 答：长方形的长为17.2厘米。 15．（22-23四年级下·四川成都·期末）“数学来源于生活又运用于生活”，你能用所学的数学知识解释下面的生活现象吗？ 【答案】见详解 【思路点拨】（1）三角形具有稳定性，具有稳固、坚定、耐压的特点。许多结构都利用了三角形的稳定性。比如房屋的屋顶架构，自行车的车架。 （2）平行四边形具有易变形的特性，在生活中，伸缩门就是利用平行四边形易变形的特性设计的，还有一些折叠晾衣架，其结构中部分采用平行四边形框架。 【规范解答】（1）由分析可知，自行车的设计利用了三角形的稳定性。（答案不唯一） （2）由分析可知，移动门利用了平行四边形的易变形的特性。（答案不唯一） $$