专题03 三角函数与解三角形（3大基础题型+优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编（北京专用）

专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角变换及求值 题型02三角函数的图象与性质 题型03解三角形 ( 题型01 ) 三角变换及求值 1．（24-25高二上·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·北京朝阳）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·北京东城·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 4．（24-25高二上·北京）已知函数，则的最大值是（　　） A． B．3 C． D．1 5．（24-25高二上·北京）以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角的终边过点，则＝（　　） A． B． C． D．3 6．（24-25高二下）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 ( 题型02 ) 三角函数的图像和性质 1．（2024高二上·北京·学业考试）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·北京海淀·开学考试）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·北京东城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数的部分图像如图所示． （1）函数的最小正周期为 ． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值是 ． 5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为 ． 6．（24-25高二下·北京平谷·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在区间到上的最大值和最小值． 7．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知函数. (1)若，当时，求的最大值和最小值及相应的； (2)若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间. 8．（24-25高二上·北京·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最值． ( 题型03 ) 解三角形 1．（2024高二上·北京·学业考试）在中，，则（    ） A． B． C． D．3 2．（24-25高二上·北京·开学考试）在中，已知，则下列说法正确的是（） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 5．（北京·高考真题）在中，若，则的大小是 ． 6．（高二上·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为 ． 7．（24-25高二上·北京平谷·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. (1)求角C的大小； (2)若，求边长c. 8．（24-25高二上·北京·期中）在中，. (1)求的大小; (2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求和的面积. 条件①; 条件②; 条件③AB边上的高为. 9．（23-24高二上·北京海淀·期末）在锐角中，． (1)求； (2)求周长的最大值． 1．（24-25高一下·北京·期中）已知函数的最小正周期为，若存在，使得，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．（2025·北京朝阳·二模）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数与解三角形 题型概览 题型01三角变换及求值 题型02三角函数的图象与性质 题型03解三角形 ( 题型01 ) 三角变换及求值 1．（24-25高二上·北京·期中）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】. 故选：C 2．（2024·北京朝阳）已知角的终边经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为角的终边经过点，所以， 所以，，所以. 故选：A. 3．（23-24高一下·北京东城·期末）的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】 故选：B 4．（24-25高二上·北京）已知函数，则的最大值是（　　） A． B．3 C． D．1 【答案】B 【解析】因为， 当，即时，的最大值是3. 故选：B. 5．（24-25高二上·北京）以角的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，角的终边过点，则＝（　　） A． B． C． D．3 【答案】D 【解析】由题意角的终边过点，因此， 则由两角差的正切公式得. 故选：D. 6．（24-25高二下）已知角满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得， 则 ， 故选：C． 7．（24-25高三上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，其终边过点，则的值为（    ） A． B． C．1 D．7 【答案】D 【解析】由终边过点，可得， 所以. 故选：D ( 题型02 ) 三角函数的图像和性质 1．（2024高二上·北京·学业考试）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】， 由的图象可知在，上单调递增，上单调递减， 故A正确，BCD均错误. 故选：A. 2．（24-25高二上·北京海淀·开学考试）函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函数的最大值为2，可知，， ，得， 当时，，，得，， 因为，所以， 所以函数的解析式为. 故选：B 3．（23-24高一下·北京东城·期末）将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将函数的图象向右平移个单位得： ， 令，，得， 所以图象的对称中心为，， 当时，取得最小值. 故选：A. 4．（23-24高二下·北京·期中）已知函数的部分图像如图所示． （1）函数的最小正周期为 ． （2）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若函数为偶函数，则的最小值是 ． 【答案】 . . 【解析】空1：由图像可知，，即. 空2：，即， ∴,又过点, ∴，即, 又在原图增区间上， ∴， 向右平移个单位可得, 又为偶函数， ∴，即， ∵， ∴. 故答案为：；. 5．（23-24高二上·北京海淀·期末）已知函数在区间上的最大值为2，则正数的最小值为 ． 【答案】 【解析】对于，令，则， 因为，所以， 结合的图象可知：，解得：. 故的最小值为. 故答案为：. 6．（24-25高二下·北京平谷·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示． (1)求的解析式； (2)求在区间到上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为2，最小值为 【解析】（1）由图象可得，得， 所以，得， 所以， 因为的图象过点，所以， 所以，得， 因为，所以， 所以； （2）由，得， 所以当或时，取得最小值， 当时，取得最大值. 7．（24-25高二上·北京延庆·期末）已知函数. (1)若，当时，求的最大值和最小值及相应的； (2)若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间. 【答案】(1)最大值，，最小值，. (2) 【解析】（1） ， 当时，， 由，可得， 当时，取最大值，此时， 当时，取最小值，此时. （2）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，且，所以， 由，得， 的单调递增区间为. 8．（24-25高二上·北京·期中）已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的单调区间； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)最小值为0，最大值为2. 【解析】（1）因为． 由，所以函数的最小正周期为． （2）由得：． 由得：． 所以函数的单调增区间为；单调减区间为． （3）因为，所以． 所以，函数在上的最小值为0，最大值为2． ( 题型03 ) 解三角形 1．（2024高二上·北京·学业考试）在中，，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】由， 所以. 故选：A 2．（24-25高二上·北京·开学考试）在中，已知，则下列说法正确的是（） A．当时，是锐角三角形 B．当时，是直角三角形 C．当时，是钝角三角形 D．当时，是等腰三角形 【答案】B 【解析】因为，由正弦定理得， 对于，当时，，由且可知，，可得， 所以为钝角三角形,错误； 对于，当时，，即为直角，正确； 对于，当时，，可知不存在，三角形不存在，错误； 对于，当时，，又，所以，所以， 显然不可能是等腰三角形，D错误. 故选：B. 3．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D 4．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）在中，内角所对的边分别为，若，则的形状一定为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【解析】， 由余弦定理可得，则， 则，所以为直角三角形. 故选：A. 5．（北京·高考真题）在中，若，则的大小是 ． 【答案】 【解析】由正弦定理（为外接圆的半径）， 又，所以， 令，则、， 所以， 又，所以． 故答案为： 6．（高二上·期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则的面积为 ． 【答案】 【解析】根据题意，由，根据正弦定理得， 在中，由余弦定理，得， 因为，，，所以，解得或（舍），故， 因此. 故答案为：. 7．（24-25高二上·北京平谷·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，的面积为4. (1)求角C的大小； (2)若，求边长c. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据已知由正弦定理得， 得到， 因为，所以，所以，即． （2）由于，得， 由余弦定理，得， 所以. 8．（24-25高二上·北京·期中）在中，. (1)求的大小; (2)再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得存在且唯一，求和的面积. 条件①; 条件②; 条件③AB边上的高为. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）在中，因为， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）若选①②，存在且唯一，解答如下: 因为，所以， 因为，由正弦定理，则， 又， 所以， 所以； 若选①③，存在且唯一，解答如下: 因为，所以， 因为AB边上的高为，所以， 由正弦定理，则， 又， 所以， 所以； 若选②③，不唯一，不合题意.解答如下： ，AB边上的高为，故， 又，所以或，故有两个解，不符合题意. 9．（23-24高二上·北京海淀·期末）在锐角中，． (1)求； (2)求周长的最大值． 【答案】(1) (2)3 【解析】（1）因为锐角，，所以， 所以，所以，. （2）解法一：由正弦定理可得， 所以 ， 在锐角中，， 所以当，即时，取最大值， . 解法二：由余弦定理可得， 代入得，所以， 因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以. 1．（24-25高一下·北京·期中）已知函数的最小正周期为，若存在，使得，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为， 又因为的最小正周期为，所以，解得， 所以， 令，解得， 则函数的对称轴为， 又因为，且， 所以或， 当时， ， 当时，令，可得的最小值为. 故选：A. 2．（2025·北京朝阳·二模）金刚石是由碳元素组成的单质，具有极高的硬度，在工业中有广泛的应用，如图1所示，组成金刚石的每个碳原子都与其相邻的4个碳原子以完全相同的方式连接．从立体几何的角度，可以认为4个碳原子分布在一个正四面体的4个顶点A，B，C，D处，中间的碳原子处于与这4个碳原子距离都相等的位置（点E处），如图2所示，设，则E到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】沿四面体的两条侧棱和高，切出一块几何体如下图， O是顶点A在下底面的射影，E是正四面体外接球的球心，AO是正四面体的高，OB是下底面的外接圆半径，是球的半径， 则，解得， 在中，， 在中，， 即，即， 解得， 所以， 由于到正四面体各面的距离相等，则E到平面的距离为. 故选：C 3．（24-25高一上·内蒙古鄂尔多斯·期末）当时，函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】由，得， 作出，，的图象，    由图可知，两函数的图象的交点有4个， 则曲线在上的零点个数为4． 故选：C． 4．（2025·北京西城·一模）已知函数．若，则（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】因为，则该函数的最小正周期为， 由可得， 所以，函数的对称轴方程为， 因为，则或， 故选：B. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$