专题04 三角形（考点串讲，7个常考点+4种模型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（华东师大版2024）

七年级数学下学期·期末复习大串讲 串讲04 三角形 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 七大常考点：知识梳理+典例剖析 四大模型技巧点拨+举一反三 四大易错易混经典例题 精选5道期末真题对应考点练 目 录 考点透视 考点透视 考点透视 考点透视 考点1　三角形的三边关系 1. 如图①， M 是铁丝 AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ ABC ，且∠ B ＝30°，∠ C ＝100°，如图②，则下列说法正确的是(　C　) C 考点透视 A. 点 M 在 AB 上 B. 点 M 在 BC 的中点处 C. 点 M 在 BC 上，且距点 B 较近，距点 C 较远 D. 点 M 在 BC 上，且距点 C 较近，距点 B 较远 2. [2024杭州期末]圆圆要用一根笔直的铁丝从两处弯曲后围成一个三角形.如图，铁丝 AB 的长度为1 m，圆圆从 M ， N 两处弯曲，其中 AM ＜ AN ，她不能成功的是(　D　) A. 20 cm＜ AM ＜30 cm B. 30 cm＜ AM ＜40 cm C. 40 cm＜ AM ＜50 cm D. 50 cm＜ AM ＜60 cm D 考点2　三角形的重要线段 3. 如图， CD ⊥ AD 于点 D ，已知∠ ABC 是钝角，则(　B　) A. 线段 CD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 B. 线段 CD 是△ ABC 的 AB 边上的高线 C. 线段 AD 是△ ABC 的 BC 边上的高线 D. 线段 AD 是△ ABC 的 AC 边上的高线 B 4. 如图， AD 是△ ABC 的中线， AB ＝4， AC ＝3.若△ ACD 的周长为8，则△ ABD 的周长为 ⁠. 9　 考点3　三角形的内角和 5. [2023聊城中考]如图，分别过△ ABC 的顶点 A ， B 作 AD ∥ BE . 若∠ CAD ＝25°，∠ EBC ＝80°，则∠ ACB 的度数为(　B　) A. 65° B. 75° C. 85° D. 95° B 6. 如图，在△ ABC 中，∠ A ＝70°，∠ C ＝30°， BD 平分∠ ABC 交 AC 于点 D ， DE ∥ AB ，交 BC 于点 E ，则∠ BDE 的度数是(　B　) A. 30° B. 40° C. 50° D. 60° B 考点4　利用三角尺解三角形外角 7. 一副三角尺如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是(　B　) A. 80° B. 95° C. 100° D. 110° B 8. [2023十堰中考]一副三角尺按如图所示放置，点 A 在 DE 上，点 F 在 BC 上，若∠ EAB ＝35°，则∠ DFC ＝ ⁠. 100°　 考点5　多边形的边和角的相关计算 9. 【新考向·传统文化】[2023兰州中考]如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中，如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1＝(　A　) A. 45° B. 60° C. 110° D. 135° A 10. [2023铜仁期中]如图，奇奇先从点 A 出发前进4 m，向右转15°，再前进4 m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点 A 时，一共走了 m. 96　 考点6　三角形的稳定性 11. 下列多边形具有稳定性的是(　D　) A B C D D 12. [2023吉林中考]如图，钢架桥的设计中采用了三角形的结构，其数学道理是 ⁠. 三角形具有稳定性　 考点7　三角形的折叠问题 13. [2023淄博期末]如图，将△ ABC 沿 DE ， EF 翻折，顶点 A ， B 均落在点 O 处，且 EA 与 EB 重合于线段 EO ，若∠ CDO ＋∠ CFO ＝100°，则∠ C 的度数为(　A　) A. 40° B. 41° C. 42° D. 43° A 14. 【新考法·操作探究】如图，一个四边形纸片 ABCD ，∠ B ＝∠ D ＝90°，把纸片按如图所示折叠，使点 B 落在 AD 边上的点B'处， AE 是折痕.如果∠ C ＝130°，求∠ AEB 的度数. 解：由折叠的性质可知∠AB'E＝∠ B ＝90°，∠ AEB ＝ ∠BEB'，∴∠DB'E＝90°. ∵∠ B ＝∠ D ＝90°，∠ C ＝130°， ∠DB'E＋∠ D ＋∠ C ＋∠B'EC＝360°， ∴∠B'EC＝360°－∠DB'E－∠ D －∠ C ＝50°. ∵∠B'EC＋∠BEB'＝180°， ∴∠BEB'＝130°.∴∠ AEB ＝65°. 类型1　8字形模型 1. 如图， AB 和 CD 相交于点 O ，∠ A ＝∠ C ，则下列结论中不能完全确定正确的是(　D　) A. ∠ B ＝∠ D B. ∠1＝∠ A ＋∠ D C. ∠2＞∠ D D. ∠ C ＝∠ D D 题型剖析 2. 【学科素养·模型观念】如图①，已知线段 AB ， CD 相交于点 O ，连接 AC ， BD ，我们把形如这样的图形称为“8字形”. (1)求证：∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D ； (1)证明：在△ AOC 中，∠ A ＋∠ C ＝180°－∠ AOC . 在△ BOD 中，∠ B ＋∠ D ＝180°－∠ BOD . ∵∠ AOC ＝∠ BOD ， ∴∠ A ＋∠ C ＝∠ B ＋∠ D . (2)如图②，若∠ CAB 和∠ BDC 的平分线 AP 和 DP 相交于点 P ，与 CD ， AB 分别相交于点 M ， N . ①以线段 AC 为边的“8字形”有 个，以点 O 为交点的“8字形”有 个； 3　 4　 ②若∠ B ＝100°，∠ C ＝120°，求∠ P 的度数. (2)解：②∵在△ AMC 和△ DMP 中， ∠ C ＋∠ CAM ＝∠ P ＋∠ PDM ， 在△ BDN 和△ PAN 中，∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PAN ， ∴∠ C ＋∠ CAM ＋∠ B ＋∠ BDN ＝∠ P ＋∠ PDM ＋∠ P ＋∠ PAN ＝2∠ P ＋∠ PDM ＋∠ PAN . ∵ AP 平分∠ BAC ， DP 平分∠ BDC ，∴∠ CAM ＝∠ PAN ，∠ BDN ＝∠ PDM ， ∴∠ C ＋∠ B ＝2∠ P ，即120°＋100°＝2∠ P ，∴∠ P ＝110°. 类型2　飞镖模型 3. 如图，∠ ABD ，∠ ACD 的平分线交于点 P ，若∠ A ＝48°，∠ D ＝10°，则∠ P 的度数为(　A　) A. 19° B. 20° C. 22° D. 25° A 4. [2023秦皇岛期中]一个零件的形状如图中阴影部分.按规定∠ A 等于90°， ∠ B ，∠ C 分别等于29°和21°的零件是合格零件，检验人员量得∠ BDC＝141°，就断定这个零件不合格.你能说明理由吗？ 解：理由：如图，延长 BD 交 AC 于点 E . 根据三角形的外角性质可知， ∠ CED ＝∠ A ＋∠ B ，∠ BDC ＝∠ CED ＋∠ C ， ∴∠ BDC ＝∠ A ＋∠ B ＋∠ C ＝90°＋29°＋21°＝140°， ∴检验人员量得∠ BDC ＝141°，可断定这个零件不合格. 5. 【新考向·开放性问题】如图，在四边形 ABCD 中，∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°，求∠ BCD 的度数. 下面是学习小组的同学们交流时得到的解决问题的三种方法： 方法一：作射线 AC ； 方法二：延长 BC 交 AD 于点 E ； 方法三：连接 B D. 请选择上述一种方法，求∠ BCD 的度数. 解：选择方法一：如图①，作射线 AC 并在线段 AC 的延长线上任取一点 E . ∵∠ BCE 是△ ABC 的外角，∴∠ BCE ＝∠ B ＋∠ BAE . 同理可得∠ DCE ＝∠ D ＋∠ DAE ， ∴∠ BCD ＝∠ BCE ＋∠ DCE ＝∠ B ＋∠ BAE ＋∠ D ＋∠ DAE ＝∠ B ＋∠ BAD ＋∠ D . ∵∠ BAD ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. ∵∠ BED 是△ ABE 的外角，∴∠ BED ＝∠ B ＋∠ A . 同理可得∠ BCD ＝∠ BED ＋∠ D ， ∴∠ BCD ＝∠ B ∠ A ＋∠ D . ∵∠ A ＝55°，∠ B ＝30°，∠ D ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. 选择方法二：如图②，延长 BC 交 AD 于点 E . 选择方法三：如图③，连接 BD . 在△ ABD 中，∠ A ＋∠ ABD ＋∠ ADB ＝180°， ∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ CBD ＋∠ ADC ＋∠ BDC ＝180°， ∴∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ADC ＝180°－∠ CBD －∠ BDC . 在△ BCD 中，∠ BCD ＝180°－∠ CBD －∠ BDC ， ∴∠ BCD ＝∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ADC . ∵∠ A ＝55°，∠ ABC ＝30°， ∠ ADC ＝20°， ∴∠ BCD ＝105°. 类型3　角内翻模型 6. 把△ ABC 沿 EF 对折，折叠后的图形如图所示，∠ A ＝60°，∠1＝96°，则∠2 的度数为(　B　) A. 30° B. 24° C. 25° D. 26° B 7. 如图，将△ ABC 纸片沿 DE 折叠，使点 A 落在点A'处，且BA'平分∠ ABC ，CA'平分∠ ACB ，若∠BA'C＝120°，则∠1＋∠2的度数为(　D　) A. 90° B. 100° C. 110° D. 120° D 8. 【新考法·操作探究】如图，在△ ABC 中，∠ C ＝46°，将△ ABC 沿直线 l 折叠，使点 C 落在点 D 的位置，则∠1－∠2的度数是(　B　) A. 23° B. 92° C. 46° D. 无法确定 B 9. 【思想方法分类讨论】[2024邢台期末]如图，在△ ABC 中，∠ A ＝64°，∠ B ＝90°，∠ C ＝26°.点 D 是 AC 边上的定点，点 E 在 BC 边上运动，沿 DE 折叠△ CDE ，点 C 落在点 G 处.当△ DEG 的三边与△ ABC 的三边有一组边平行时，∠ ADG ＝ ⁠ ⁠. 26°或38°或52°或64°或116°或142°　 点拨：如图①，当 DE ∥ AB 时， DE ⊥ CG . ∵∠ DGC ＝∠ C ＝26°， ∴∠ ADG ＝∠ DGC ＋∠ C ＝52°. 如图②，当 DG ∥ AB ，且点 G 在 BC 下方时， ∠ ADG ＝180°－∠ A ＝180°－64°＝116°. 如图③，当 DG ∥ BC 时，∠ ADG ＝∠ C ＝26°. 如图④，当 EG ∥ AC 时，∠ ADG ＝∠ G ＝∠ C ＝26°. 如图⑤，当 EG ∥ AB ，且点 G 在 BC 上方时， ∠ CFE ＝∠ A ＝64°，∠ CEG ＝∠ B ＝90°. 由折叠的性质可知， ∠ DEG ＝∠ DEC ＝45°，∠ EDG ＝∠ CDE ， ∴∠ EDF ＝∠ C ＋∠ DEC ＝26°＋45°＝71°， ∴∠ CDE ＝180°－∠ EDF ＝109°， ∴∠ ADG ＝∠ EDG －∠ EDF ＝∠ CDE －∠ EDF ＝109°－71°＝38°. 如图⑥，当 DG ∥ AB ，且点 G 在 BC 上方时，∠ ADG ＝∠ A ＝64°. 如图⑦，当 EG ∥ AB ，且点 G 在 BC 下方时， ∠ GEB ＝∠ B ＝90°， ∴∠ CEG ＝90°. 由折叠的性质得∠ DEC ＝∠ DEG ＝ ＝135°，∠ GDE ＝∠ CDE . ∵∠ C ＝26°，∴∠ GDE ＝∠ CDE ＝180°－135°－26°＝19°， ∴∠ ADG ＝180°－19°－19°＝142°. 综上，∠ ADG 的度数为26°或38°或52°或64°或116°或142°. 类型4　角平分线模型 10. [2023石家庄期中](1)如图①，在△ ABC 中，∠ ABC 的平分线 BO 与∠ ACB 的平分线 CO 交于点 O ，求证：∠ BOC ＝90°＋ ∠ A ； (1)证明：∵∠ ABC 与∠ ACB 的平分线相交于点 O ， ∴∠ OBC ＝ ∠ ABC ，∠ OCB ＝ ∠ ACB . ∴∠ OBC ＋∠ OCB ＝ (∠ ABC ＋∠ ACB ). ∴在△ OBC 中，∠ BOC ＝180°－(∠ OBC ＋∠ OCB ) ＝180°－ (∠ ABC ＋∠ ACB )＝180°－ (180°－∠ A ) ＝90°＋ ∠ A . (2)如图②，在△ ABC 中， E 是边 BC 的延长线上一点，∠ ABC 的平分线 BO 与∠ ACE 的平分线 CO 交于点 O ，求证：∠ BOC ＝ ∠ A ； (2)证明：∵∠ ABE 的平分线 BO 与∠ ACE 的平分线 CO 交于点 O ， ∴∠ ABO ＝∠ CBO ＝ ∠ ABC ，∠ ECO ＝∠ ACO ＝ ∠ ACE . ∴∠ BOC ＝∠ ECO －∠ OBC ＝ ∠ ACE － ∠ ABC ＝ (∠ ACE －∠ ABC )＝ ∠ A . (3)如图③，在△ ABC 中， D 是边 AB 的延长线上一点， E 是边 AC 的延长线上一点，∠ CBD 的平分线 BO 与∠ BCE 的平分线 CO 交于点 O . 写出∠ A 与∠ BOC 的数量关系，并证明你的结论. (3)解：∠ BOC ＝90°－ ∠ A . 证明：∵ BO ， CO 分别是△ ABC 的外角∠ CBD ，∠ BCE 的平分线， ∴∠ CBD ＝2∠ CBO ＝∠ ACB ＋∠ A ， ∠ BCE ＝2∠ BCO ＝∠ ABC ＋∠ A . ∴2∠ CBO ＋2∠ BCO ＝2∠ A ＋∠ ABC ＋∠ ACB ＝∠ A ＋180°. ∴∠ CBO ＋∠ BCO ＝ ∠ A ＋90°. 又∵∠ CBO ＋∠ BCO ＋∠ BOC ＝180°， ∴∠ BOC ＝180°－(∠ CBO ＋∠ BCO )＝90°－ ∠ A . 易错易混 易错点一：画钝角三角形的高时出错 1.如图,在△ABC 中,作出边 AC 上的高 BE 正解:如图,过点B作边AG所在直线的垂线，重足为E 易错点二：确定等腰三角形的边长时,易忽略三角形的三边关系而出错 2.己知在等腰三角形 ABC 中,其中一边长为 4,周长为 17,则其底边长为( ） A.4 B.9 C.4或9 D.不存在 正解:当4为腰长时，它的底边长为17-4-4=9.4+4＜9∴不能构成三角形:当4为底边长时,它的腰长为(17-4)÷2=6.5..4+6.5>6.5...能构成等腰三角形.综上所述,其底边长为 4.故选 A. A 易错点三:忽视三角形的形状而漏解 3.在△ABC中，∠ABC=∠C,BD是边AC上的高，∠ABD=40°求∠C的度数 易错点四：在处理多边形的“截角”问题时漏解 4.从如图所示的五边形中截去一个三角形,得到一个三角形和一个新多边形,那么这个新多边形的内角和等于多少度?请画图说明 分两种情况 ①如图①,新多边形为四边形,则其内角和为 360°; ②如图② 新多边形为五边形,则其内角和为(5-2)x180°=540° 如图③,新多边形为六边形，则其内角和为(6-2)x180°=720° 综上所述,这个新多边形的内角和等于 360°或540°或720° 1. [2024汕尾期末]下列长度的三条线段能组成三角形的是(　C　) A. 4，4，8 B. 2，5，9 C. 4，6，9 D. 3，5，8 C 押题预测 2.（2023秋•鞍山期末）图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=( ____ )度． A.270° B.300° C.360° D.400° C 【解析】解：由多边形的外角和等于360度， 可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360度． 故选：C． 3. [2024佛山期末]在探究证明“三角形的内角和等于180°”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于180°”的是(　D　) D A. 如图①，过点 C 作 EF ∥ AB B. 如图②，延长 AC 到 F ，过点 C 作 CE ∥ AB C. 如图③，过 AB 上一点 D 作 DE ∥ BC ， DF ∥ AC D. 如图④，过点 D 作 DE ∥ BC 4.（2023秋•鞍山期末）如图，△ABC中，∠B=40°，∠C=30°，点D为边BC上一点，将△ADC沿直线AD折叠后，点C落到点E处，若DE∥AB，则∠ADE的度数为 ______ ． 【解析】解：∵∠B=40°，∠C=30°， ∴∠BAC=110°， 由折叠的性质得， ∠E=∠C=30°，∠EAD=∠CAD，∠ADE=∠ADC， ∵DE∥AB，∴∠BAE=∠E=30°，∴∠CAD=40°， ∴∠ADE=∠ADC=180°-∠CAD-∠C=110°， 110° 故答案为：110°． 46 5.（2023秋•榆阳区校级期末） 如图，A，B分别是∠MON两边OM，ON上的动点(均不与点O重合)． (1)如图1，当∠MON=58°时，△AOB的外角∠NBA，∠MAB的平分线交于点C，则∠ACB=　　°； (2)如图2，当∠MON=n°时，∠OAB，∠OBA的平分线交于点D，则∠ADB=　　° (用含n的式子表示)； (3)如图3，当∠MON=α(α为定值，0°＜α＜90°)时，BE是∠NBA的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点F．随着点A，B的运动，∠F的大小会改变吗？如果不会，求出∠F的度数(用含α的式子表示)；如果会，请说明理由． 47 __________ 【解析】解：(1)∵∠MON=58°， ∴∠OBA+∠OAB=122°． ∴∠NBA+∠MAB=238°． ∵BD、AD分别为∠NBA、∠MAB的平分线， ∴∠DBA= NBA，∠DAB= ∠MAB． ∴∠DBA+∠DAB= ×(∠NBA+∠MAB)=90°+ 58°． ∴∠ADB=180°-(90°+ 58°)=90°- 58°=61°． 故答案为：61． (2)∵∠MON=n°， ∴∠OBA+∠OAB=180°-n°． ∵BC、AC分别为∠OBA、∠OAB的平分线， ∴∠ABC= ∠OBA，∠BAC= ∠OAB， 48 ∴∠ABC+∠BAC= ×(∠OBA+∠OAB)= (180°-n°)． ∴∠ACB=180°- (180°-n°)=90°+ n°． 故答案为：(90+ n)． (3)∠F的大小不变，∠F= α． 理由如下：∵∠NBA-∠BAO=∠MON=α， 又BE是∠ABN的平分线，AF是∠OAB的平分线， ∴∠EBA= ∠NBA，∠BAF= ∠BAO， ∴∠F=∠EBA-∠BAF= (∠NBA-∠BAO)= α． 49 $$