第2课时 菱形的判定-【中考123】2024-2025学年八年级下册数学全程导练（人教版）

第十八章 第2课时 菱形的判定 ⊙过基础知识要点分类练 ⊙过能力「规律方法综合练 知识点1菱形的判定定理1 4,如图，已知四边形ABCD内有一点E,AE=BE 1.顺次连接矩形各边中点，能够得到一个( =DE=BC=DC,AB=AD,若∠C=100°，则 A.矩形 B.菱形 ∠BAD的度数是 () C.正方形 D.梯形 A.25° B.50 C.60° D.80° 2.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折 叠，使点C落在点E处，BE与AD交于点F. 线段BF与DF相等吗？请说明理由. 4题图 5题图 5.如图，在平行四边形ABCD中，AE,CF分别是 ∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍 2题图 无法判定四边形AECF是菱形的是() A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=60° D.AC是∠EAF的平分线 6.如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交 AB于点E,DF∥AB交AC于点F,且AD交EF 于点0，则∠AOF= 7.如图，将两条等宽的长方形纸条交叉叠放，重 叠部分是一个四边形ABCD.若AD=6cm, 知识点2菱形的判定定理2 ∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等 3.如图，在△ABC中，AB=AC,AD是边BC上的 于 高，在AD的延长线上取一点E,连接BE,CE. (1)求证：△ABE≌△ACE; (2)当AE与AD满足什么数量关系时，四边形 ABEC是菱形？并说明理由。 6题图 7题图 8.如图，分别以Rt△ABC的斜边AB,直角边AC 为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE, F为AB的中点，DE与AB交于点G,EF与AC 交于点H,∠ACB=90°，∠BAC=30°.给出如 3题图 下结论：①EF⊥AC;②四边形ADFE为菱形； ③AD=4MG,④FPH=4BD.其中正确的结论为 (填序号) 8题图 49 。中春123。全程号练了数学·八年级下册 9.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点 。过提升拓展探究创新练 D,AE平分∠BAC,分别与BC,CD交于点E, 11.如图，在□ABCD中，AB⊥AC,AB=1, F,HE⊥AB于点H,连接FH.求证：四边形 CFHE是菱形. BC=√5，对角线AC,BD相交于点O,将直线 AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点 E,F. (1)求证：当旋转角为90°时，四边形ABEF 是平行四边形； 9题图 (2)在旋转过程中，求证：线段AF与CE总 保持相等； (3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱 形吗？如果不能，请说明理由：如果能， 说明理由并求出此时AC绕点O顺时针 旋转的度数. 11题图 10.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AC平分 ∠BAD,CE∥AD交AB于点E. (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若E是AB的中点，试判断△ABC的形 状，并说明理由， 10题图 ⊙.50(2)解：四边形DBEC是平行四边形， 9.(1)证明：如答图，连接AC. ∴.CE∥BD. :四边形ABCD是菱形，∠BAD=I20°，△AEF为 ∴.∠DBA=∠E=50 等边三角形. 四边形ABCD是菱形， ·∠1+∠EAC=60°，∠3+∠E4C=60°， ∴.∠B0A=90°， .∠1=∠3. .∠BA0=40. ∠BAD=120°， 3.3844.B5.56.2或6 .∠ABC=60°， 7.(1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴，∠BAC=∠DAC .△ABC和△ACD为等边三角形， EF⊥AC, .∠4=60°，AB=AC. 六AE=AM=24B=2D, .∠ABC=∠4， .AM DM. ,.△ABE≌△ACF (2)解：如答图，连接BD,:四边形ABCD是菱形， .BE =CF. .AB∥CD.DB⊥AC. (2)解：四边形AECF的面积不变，△CEF的面积发生变化 :EF⊥AC,∴EF∥DB, 理由如下： ·.四边形EBDF是平行四边形， 由(1)得△ABE≌△ACF,.S△E=SACr FD=B=之B=2AB=4, S网边卷5Cr=S△+Sar=S么r+S△E=Sar是 定值， .菱形ABCD的周长为16. 如答图，作AH⊥BC于点H,则BH=2, asm四=5aw=号BC,AM=45 由垂线段最短可知，当等边△AEF的边AE与BC垂 7题答图 直时，边AE最短，故△AEF的面积会随者AE的变化 8.(1)证明：，四边形ABCD是菱形， 而变化.且当AE最短时，等边△AEF的面积最小 .AB=AD.∠BAC=∠DAC,AE=AE Saer=S边Be一Sagr,则此时△CEF的面积最 ∴，△BAEO△DAE 大，Sar=5. .∠ABE=∠ADE .∠ABE+∠CBE=∠ABC ∠APD+∠ADE=1809-∠DAB. ∠ABE+∠CBE=18O°-∠DAB, ,∴.∠APD=∠CBE. (2)解：点P在AB的中点时，△ADP的面积等于菱形 9题答图 ABCD面积的子理由如下： 第2课时菱形的判定 1.B 如答图，过点D作DG⊥AB于点G, 2.解：BF=DF理由如下： .AP DG=4B DG. DF∥BC. AP=AB,即点P运动到AB的中点时，△ADP的 ∴.∠FDB=∠CBD 由折叠知∠FBD=∠CBD, 面积等于菱形ABCD面积的子 .∠FBD=∠FDB. ∴.BF=DF 3.(1)证明：AB=AC,D是BC的中点， ,∴，∠BAE=∠CAE. G PB AB=AC.AE =AE 8题答图 .△ABE≌△ACE. ·11 数学·八年级下册·参考答案 (2)解：当E=240(或4D=DE或DE=方)时。 18.2.3正方形 L.(1)证明：四边形ABCD是正方形， 四边形ABEC是菱形. .AD=BC=DC.∠ADC=∠DCB=90 ,AE=2AD.∴.AD=DE :△DEC是等边三角形， D是BC的中点.BD=CD ∴.DE=CE=DC,∠EDC=LECD=60°， .四边形ABEC是平行四边形 .∠ADE=∠BCE=30°， AD是边BC上的高， ,∴.△ADE≌△BCE. .AE⊥BC, (2)解：由(1)知△CBE是等腰三角形，∠ECB=30°， ∴，四边形ABEC为菱形 ∴，∠EBC=75° ,AD∥BC. 4.B5.C6.90°7.185cm28.①3④ ∴.∠AFB=∠EBC=75 9.证明：，∠ACB=90°，AE平分∠BAC,HE⊥AB. 2.证明：(1)：G,F分别是BE,BC的中点， .CE=HE. :AE=AE,.R△ACE≌R△AHE GF/Bc且cF=EC ∴.AC=AH.∠CEA=∠HEA. 又H是EC的中点，EH=EC, .AE平分∠CAB,∴.∠CAF=∠HAF. AF=AF,∴△CAF≌△HAF,.CF=HF GF∥EH且GF=EH. ∴四边形EGFH是平行四边形. CD⊥AB,HE⊥AB,CD∥HE, (2)G,H分别是BE,EC的中点， ∴.∠CFE=∠HEA.,.∠CFE=∠CEA. .CF=CE...CE=HE CF=HF, cH/Bc且GM=C 四边形CFHE是菱形. 10.(1)证明：.AB∥CD,CE∥AD :EF1BC且BF=2BC, ,.四边形AECD是平行四边形，∠EAC=∠ACD ∴EF⊥GH且EF=GH, ,AC平分∠BAD,,∠EAC=∠DAC. .平行四边形EGFW是正方形 3.A4.C .∠ACD=∠DAC,,AD=CD. 5.B6.327.58.12 ,∴.平行四边形AECD是菱形. 9.证明：四边形ABCD是正方形 (2)解：△ABC为直角三角形.理由如下： ∴.AB=AD,∠BAD=∠ADC=90P,AB∥CD, :四边形AECD是菱形， .∠I+∠EMD=90. ∴.AE=CE,∠EAC=∠ECA .DE⊥AG, E是AB的中点，.AE=BE, .∠AED=90°，∠2+∠EMD=90°， ·CE=BE,∠B=∠BCE ∠1=∠2. ,∠EMC+∠ACE+∠B+∠BCE=180°. .·AG=DE+HG,AG=AH+HG ∴.2∠ACE+2∠BCE=180°. :DE=AH, .∠ACE+∠BCE=90°，即∠ACB=90°， ,.△AED≌△BHA. ∴.△ABC是直角三角形. .∠DEA=∠AHB=90°， 11.(1)证明：当旋转90时，∠A0F=∠BA0=90°， .∠AEF=∠AHB=90, ∴.EF∥BH..∠ABH=∠AFD ∴.EF∥AB .·AB∥CD 四边形ABCD是平行四边形， .∠CDE=∠AFD, .AF∥BE. .∠ABH=∠CDE. ,∴.四边形ABEF是平行四边形 (2)证明：AD∥BC.∠FAO=∠EC0. A0=C0,∠A0F=∠COE, ,∴.△AOF≌△COE. .AF CE. (3)解：可能.由(2)知△AOF≌△G0E.∴0F=0E, 9题答图 10解：(1)0E=0F.理由如下： ,∴.四边形BEDF是平行四边形. .MN∥B, 当EF⊥BD时，四边形BEDF是菱形. ,∠OEC=∠BCE.∠OFC=∠GCF :AB=1,BC=5,∠BAC=90°， CE平分∠BCO,CF平分∠GCO, .AC=2,A0=AB=1. .∠OCE=∠BCE,∠OCF=∠GCF. ∴.∠A0B=45°， ,∠OCE=∠OEC,∠DCF=∠OFC. 即顺时针旋转45©时四边形BEDF是菱形. .E0=CO,F0=C0..E0=F0. ·12·