第02讲 平面向量中数量积的运算与应用（思维导图+知识串讲+5大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 平面向量中数量积的运算与应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. , 向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). 3、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 4、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 5、数量积的坐标运算与几何表示 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【常用结论】 (1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． (2)两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 【考点一：数量积的运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】由题得. 故选：B． 2．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知向量．若，则的值为（    ） A．10 B．6 C．3 D． 【答案】A 【分析】应用向量线性运算及数量积的坐标表示列方程求参数值. 【详解】由题设，则，可得. 故选：A 3．（24-25高一下·四川·期中）已知等边三角形ABC的边长为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】确定向量之间的夹角，根据数量积的定义计算，即可得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的边长为2， 则的夹角为，以及的夹角也为， 则，同理， 故， 故选：D.. 4．（24-25高一下·河南·期中）已知在边长为的正方形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算与数量积的定义直接求解即可. 【详解】 . 故选：B. 5．（24-25高一下·天津和平·期中）已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设，，根据平面向量的线性运算可得，进而利用平面向量的数量积的运算律求解即可. 【详解】设，，则， 点D，E分别是边AB，BC的中点，， ，， 则， ． 故选：B. 6．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】根据平面向量共线定理求出，再由平面向量的线性运算和数量积的定义求解即可. 【详解】因为，分别为，的中点，所以，， 有，所以， 分别过作，则， 所以，在直角三角形中，易得， 设， 因为D，O，F三点共线，所以，即， 故， ， 故选：D. 【考点二：模的运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北·开学考试）已知，，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】根据向量的数量积运算列方程，求得，进而求得. 【详解】因为，解得， 则， 则， 则 故选：A 2．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期中）已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（  ） A．2 B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据模长公式即可求解. 【详解】, 故选：D 3．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的模长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】 . 故选：B 4．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】先根据题意确定两两之间的夹角，然后根据模长公式求解即可. 【详解】因为平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，所以，所以 所以. 故选：B 5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】借助向量线性运算法则与三点共线定理可得，再利用向量数量积公式计算即可得解. 【详解】令，，由，， 则，， 则， 由、、三点共线，故，即， 即，则 ， 解得，即的长为. 故选：C. 6．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）是的外心，，存在，使.若，则的长为（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】B 【分析】取的中点，得到，由向量的数量积的几何意义，得到，，再由，结合条件代入即可求得即可. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 因为是的外心，所以，且， 则， ， 又因为，且， 所以 ，所以，即的长为. 故选：B. 【考点三：夹角的运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得的坐标，再根据向量夹角的坐标计算公式，求解即可. 【详解】由题可得：，故， 又，， 故. 故选：D. 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出，再根据平面向量的夹角公式求解即可. 【详解】因为，，且， 所以， 设向量与的夹角为， 则. 故选：B. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】由与的夹角是钝角，得，解得， 且与的夹角不等于， 则与不反向共线，即，解得， 所以实数m的取值范围是， 故选：B 4．（24-25高一下·广西·期中）已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量数量积的线性运算与模长计算即可得，再根据向量夹角余弦公式即可得夹角大小. 【详解】已知，由得， 两边平方可得，所以， 则，可得， 则，由于，所以, 故与夹角的大小等于. 故选：C． 5．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 【考点四：垂直问题】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由向量加法的坐标运算得到，由得，由向量数量积的坐标运算求得的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以， 故选：C. 2．（24-25高一下·重庆涪陵·阶段练习）已知单位向量的夹角为与垂直，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据数量积的定义求出，依题意可得，根据数量积的运算律计算可得； 【详解】因为单位向量、的夹角为，所以， 又与垂直，所以，即， 即，解得， 故选：C. 3．（24-25高一下·天津·期中）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据及可构建方程组，解得. 【详解】∵，∴ ①， ②， 由①②解得，∴ ， 故选：A. 4．（2024高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】由题意，求出，的坐标，利用向量垂直的坐标表示列示求出，进而求出. 【详解】因为，，所以，， 又，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得，所以，所以． 故选：A． 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，，得，，化简后结合向量的夹角公式可求得结果. 【详解】因为，所以， 所以，① 因为，所以， 所以，② 由②①，得，则， 所以，得，所以， 因为， 是两个非零向量， 所以， 因为，所以. 故选：C 6．（23-24高一上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 【考点五：投影向量的求法】 一、单选题 1．（2025·湖南·二模）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 【答案】D 【分析】计算，根据投影向量的计算公式直接计算即可. 【详解】因为，所以， 在上的投影向量为. 故选：D 2．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量公式即可得解. 【详解】在上的投影向量为. 故选：A 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知中，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数量积为0可知进而求出三角形边长，再由投影向量定义计算可得结果. 【详解】根据题意可得，由勾股定理可知； 则在上的投影向量为. 故选：C 4．（24-25高一上·湖北襄阳·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据投影向量的定义，即可求解. 【详解】在方向上的投影向量为，即，① 在方向上的投影向量为，即，② 由①②得，又，所以. 故选：C 5．（24-25高一下·山东威海·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用得到，再利用投影向量的公式代入求出的等式即可求得结果. 【详解】因为，所以两边平方得到：， 在方向上的投影向量为， 故选：D 6．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知利用数量积的运算律得，则有，进而结合几何性质利用投影向量的概念求解即可. 【详解】由两边平方得，即，所以. 因为为中点，所以在向量上的投影向量为. 故选：C 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面向量共线定理及基本定理得到方程组，解得即可. 【详解】因为，共线，所以设， 又，是两个不共线的向量，所以，解得. 故选：B 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用向量的中线公式及向量的线性运算，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，由题知， 所以，则， 故选：D 3．（24-25高一下·陕西渭南·期中）若向量满足，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示和数量积的运算律列式求解. 【详解】由，得， 因此，所以. 故选：B 4．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】B 【分析】先利用向量坐标运算得到相应的向量，再计算向量共线所满足的关系式，看是否为0，得到结论. 【详解】A选项，由于，故不共线， 所以A、B、C三点不共线，A错误； B选项，， 由于，故共线，A、B、D三点共线，B正确； C选项，， 由于，故不共线，A、C、D三点不共线，C错误； D选项，，故不共线，B、C、D三点不共线，D错误. 故选：B 5．（24-25高一下·北京·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形ABCD中，M是AB的中点，得到，从而利用向量基本定理得到. 【详解】平行四边形ABCD中，M是AB的中点，故， 则，所以， . 故选：A 6．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量公式计算得出，再根据夹角余弦公式计算求解. 【详解】因为向量，，且向量在向量上的投影向量为， 则，所以， 所以. 故选：C. 7．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，，，为线段上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三点共线求出，利用向量的线性运算用表示，结合数量积的运算律可得结果. 【详解】 ∵，∴， ∵，∴， ∵三点共线，∴，故， ∴. ∵， ∴， ∵，，， ∴. 故选：B. 8．（24-25高一下·云南·期中）若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据共线向量定理的推论得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为是的边上的一点（不包含端点）且， 可得，，， 则， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C 二、多选题 9．（24-25高一下·广东江门·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，在上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 【答案】ACD 【分析】根据判断A，根据向量共线的坐标表示判断B，根据投影向量的定义判断C，根据且不同向判断D. 【详解】对于A：若，则，解得，故A正确； 对于B：若，则，解得，故B错误； 对于C：当时，，所以，， 所以在上的投影向量为，故C正确． 对于D：当与夹角为锐角时，则，解得，此时向量不同向， 所以当与的夹角为锐角时，的取值范围为，故D正确； 故选：ACD． 10．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用向量运算求得，，然后利用结合数量积运算律建立方程求解判断C，由向量线性运算得，然后结合数量积的运算律及模的运算求解判断D，利用平面向量基本定理和三点共线的向量推论求得判断A，利用向量的线性运算求得判断B. 【详解】因为，， 所以 ，所以，故C正确； 因为，所以，故D正确； 设，则，又三点共线， 所以， 由平面向量基本定理得，解得，所以， 则， 所以，故A正确，B错误. 故选：ACD. 三、填空题 11．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知平面向量、满足，，且，则 ． 【答案】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质得出，即可求出的值. 【详解】因为平面向量、满足，，且， 则， 故，因此. 故答案为：. 12．（24-25高一下·江苏常州·期中）设平面向量 若则平面向量的坐标是 .(写出其中一个的坐标) 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据向量的夹角公式即可求解. 【详解】设， 由则，故，化简可得， 取，则， 故， 故答案为：（答案不唯一） 13．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，，若，则 ，若存在实数 m，使得方向相反，则t的取值范围为 . 【答案】 3 【分析】利用相等相量的坐标相等可求的值；利用，，求解可得t的取值范围. 【详解】因为向量，，若，则且，解得； 存在实数m，使得，方向相反， 即存在实数，使得，，可得且， 解得， 由得：，所以t的取值范围为 故答案为：①3；②. 14．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 【答案】7 【分析】利用余弦定理求出，然后由两边平方即可得解. 【详解】在中，由余弦定理得， 因为为边上的中线，所以， 所以， 所以，即的长为7. 故答案为：7 15．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 【答案】且 【分析】由两向量的夹角为锐角得两向量的数量积大于0且两向量不共线求解即可． 【详解】因， 由，解得， 若与的夹角为锐角， 则，且与不共线， 由，即，解得， 由与不共线，可得， 故实数的取值范围为且. 故答案为：且. 16．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知中的边，，，若为边上的动点，则 ． 【答案】 【分析】利用基底表示出，结合数量积的运算可得答案. 【详解】依题意设。， 则，， 所以 因为， 所以， 所以. 故答案为：2 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 平面向量中数量积的运算与应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平面向量的数量积 1、平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积）， 记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0． 　　　　　　　　　　　　　　　 2、平面向量数量积的几何意义 投影向量：设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量称为向量a在向量b上的投影向量. , 向量a在向量b上的投影向量为(|a|cosθ). 3、数量积的运算律 已知向量、、和实数，则： ①；②；③． 4、数量积的性质 设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则 ①．②． ③当与同向时，；当与反向时，． 特别地，或． ④．⑤． 5、数量积的坐标运算与几何表示 已知非零向量，，为向量、的夹角． 结论 几何表示 坐标表示 模 数量积 夹角 的充要 条件 的充要 条件 与 的关系 (当且仅当时等号成立) 【常用结论】 (1)在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0． (2)两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线； 两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线． 【考点一：数量积的运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知向量与的夹角为，，，则的值为（      ） A． B． C． D． 2．（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知向量．若，则的值为（    ） A．10 B．6 C．3 D． 3．（24-25高一下·四川·期中）已知等边三角形ABC的边长为，则（    ） A．3 B． C．6 D． 4．（24-25高一下·河南·期中）已知在边长为的正方形中，点满足，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津和平·期中）已知是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 6．（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【考点二：模的运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·湖北·开学考试）已知，，且，则（    ） A．4 B．2 C． D．1 2．（24-25高一下·宁夏石嘴山·期中）已知单位向量与单位向量的夹角为45°，则（  ） A．2 B． C． D．1 3．（24-25高一下·北京·期中）已知平面向量与的夹角为，，，则（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·浙江·期中）设平面内三个非共线的单位向量两两之间的夹角相等，则（    ） A．1 B． C．5 D． 5．（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）在ABC中，，，，与BE的交点为，若，则的长为（   ） A． B． C．2 D． 6．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）是的外心，，存在，使.若，则的长为（    ） A．5 B． C． D．4 【考点三：夹角的运算】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·阶段练习）若向量，满足，，且，则向量与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·全国·课后作业）已知，若与的夹角是钝角，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·广西·期中）已知均为单位向量，若，则与夹角的大小等于（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【考点四：垂直问题】 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏连云港·阶段练习）已知向量，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·重庆涪陵·阶段练习）已知单位向量的夹角为与垂直，则（    ） A． B． C． D．1 3．（24-25高一下·天津·期中）已知向量满足，，且，则（    ） A． B． C． D．1 4．（2024高一·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，点，，，若，则（    ） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）设， 是两个非零向量，且， ， 则与的夹角是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【考点五：投影向量的求法】 一、单选题 1．（2025·湖南·二模）已知，则在上的投影向量为（    ） A． B． C．. D． 2．（24-25高一下·河南信阳·期中）已知向量，的夹角为，且，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江温州·期中）已知中，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖北襄阳·期末）已知平面向量与满足：在方向上的投影向量为在方向上的投影向量为，且，则（   ） A．2 B．3 C． D．4 5．（24-25高一下·山东威海·期中）若非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·江苏苏州·期中）已知中，为的中点，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·阶段练习）已知，是两个不共线的向量，向量，共线，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山东枣庄·期中）在中，为中点，点为上靠近点的一个三等分点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西渭南·期中）若向量满足，且，则（    ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，则（   ） A．A、B、C三点共线     B．A、B、D三点共线 C．A、C、D三点共线 D．B、C、D三点共线 5．（24-25高一下·北京·期中）如图，在平行四边形ABCD中，M是AB的中点，DM与AC交于点N，设，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·福建泉州·期中）已知向量，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，，，为线段上一点，且满足，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·云南·期中）若是的边上的一点（不包含端点），且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 二、多选题 9．（24-25高一下·广东江门·期中）已知向量，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时，在上的投影向量为 D．当与的夹角为锐角时，的取值范围为． 10．（24-25高一下·山东青岛·期中）如图，在梯形ABCD中，，，，，，，AC交BM于，则（   ）    A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一下·吉林长春·期中）已知平面向量、满足，，且，则 ． 12．（24-25高一下·江苏常州·期中）设平面向量 若则平面向量的坐标是 .(写出其中一个的坐标) 13．（24-25高一下·北京·期中）已知向量，，若，则 ，若存在实数 m，使得方向相反，则t的取值范围为 . 14．（23-24高一下·重庆·期中）已知的内角的对边分别为，若则边上的中线的长为 . 15．（24-25高一下·天津·期中）已知，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 . 16．（24-25高一下·上海闵行·期中）已知中的边，，，若为边上的动点，则 ． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$