第01讲 平面向量基本定理、共线定理及等和线的应用（思维导图+知识串讲+4大考点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

第01讲 平面向量基本定理、共线定理及等和线的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点02 平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 知识点03 平面向量共线定理 1、已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 4、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 知识点04 等和线 1、定义：平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1）当等和线恰为直线AB时，k=1； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，； （3）当直线AB在点O与等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，k=0； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 【考点一：平面向量基本定理】 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在平面内，不共线向量与构成的四边形中，E，F分别是，的中点.若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】利用平面向量基本定理和向量的运算即可求解. 【详解】由题意有 所以. 故选：C. 2．（24-25高三上·安徽·开学考试）在中，，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形，利用向量的加减数乘运算，将待求向量用基向量和表示即得. 【详解】 如图所示，由题意， . 故选：C. 3．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为一组基底，根据向量的线性运算求，即可得. 【详解】由题意可得： ， 又因为，即， 所以. 故选：B. 4．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据题意，由向量的线性运算可得的表达式，又由向量共线的性质设，即，变形整理可得结论； 【详解】根据题意； 又因为，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【答案】C 【分析】由向量加法及数乘的几何意义得，再由向量共线的结论有，最后应用“1”的代换及基本不等式求最小值. 【详解】由题意，，又共线，则， 且，所以， 当且仅当时取等号，即的最小值为9. 故选：C 【考点二：平面向量共线定理】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川遂宁·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先根据向量共线得充分性成立，再由向量共线不一定有两向量的数量关系成立，即必要性不成立. 【详解】因为，所以同向共线，故， 因为，所以同向共线或反向共线，所以不一定能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三点共线得出向量共线，再根据平行的坐标运算计算求参. 【详解】向量，所以， 因为三点共线，所以，所以， 则. 故选：B. 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）设与是两个不共线向量，且向量与共线，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量共线结合与是两个不共线向量，即可计算求出参数. 【详解】因为向量与共线， 则存在，使， 又因与是两个不共线向量，则，解得. 故选：B. 4．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【分析】先得到，，然后得到即可判断B正确；对于ACD，说明对应的向量不共线即可排除. 【详解】因为， 所以，， 因为，所以A，B，D三点共线，故B符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，B，C三点不共线，故A不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即B，C，D三点不共线，故C不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，C，D三点不共线，故D不符合题意； 故选：B. 5．（24-25高一下·山东烟台·期中）在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据向量的线性运算法则，化简得到，结合，列出方程组，求得的值，即可得到答案. 【详解】因为三点共线，设， 又因为， 可得 ， 因为，可得，可得. 故选：D. 6．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】分析可知向量、不共线，根据题意可知，所以存在实数使，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，结合可解得的值. 【详解】因为，，且， 所以向量、不共线，且向量，方向相反， 所以存在实数使， 即， 所以，整理得，解得或， 又，所以. 故选：B. 【考点三：平面向量共线定理及其推论】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三点共线定理，依题意可得，，根据平面向量三点共线定理计算可得. 【详解】由， 由已知，则， 根据平面向量三点共线定理得，解得. 故选：A 2．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即. 故选：C 3．（24-25高一下·四川·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用共线定理结合平行四边形法则和已知条件，设，用平面向量基本定理求出的值，进而求的值. 【详解】因为在上，所以与共线， 设，因为，所以， 又D是BC的中点，所以，所以， ， ， 所以， 所以，即，所以，故 所以， 故选：C 4．（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合三点共线的结论及平面向量基本定理，将、向量都用、表示，进而得到，再利用边的关系得到面积比例即可. 【详解】因为、、三点共线，，所以， 又因为，所以， 设，则， 即，消可解得，所以，所以， 所以，又，所以， 所以. 故选：B. 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三点共线求得的等量关系式，结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 又，， 所以， 因为，，三点共线，所以， 由图可知，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为. 故选：D 6．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C    【考点四：等和线的应用】 一、单选题 1．设是边上的点，,若，则 =（ ） 【解析】因为，所以，因为，所以，由于此时等和线为，所以，即. 2．在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ） A. B. C. D. 【解析】 ，则， 所以，则 答案：C 3．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为是内一点，且 所以O为的重心 在内（不含边界），且当M与O重合时，最小，此时 所以，即 当M与C重合时，最大，此时 所以，即 因为在内且不含边界 所以取开区间，即 所以选B 二、填空题 4．设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 【解析】如图,取中点,则 此时的等和线为平行于的直线显然,当点与点重合时,最小为1,当点与重合时,最大, 由于, 所以, 于是的最大值为 所以的取值范围是. 5．如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________ 【解析】：连接因为正六边形， 由对称性知道 ，设与交于点，与交于点， 当在上时，在上射影最小为； 当与重合时，在上射影最大为； 则 设则 则 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据三点共线得出向量共线，再根据平行的坐标运算计算求参. 【详解】向量，所以， 因为三点共线，所以，所以， 则. 故选：B. 2．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平面向量的基本定理和基底的概念逐项判断两个向量是否共线即可. 【详解】对于A选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故A不合题意； 对于B选项， 假设存在实数使得，则，，无解，所以不共线，可以作为平面的基底，故B正确； 对于C选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故C不合题意； 对于D选项，因为，所以共线，不能作为平面向量的基底，故D不合题意. 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江·期中）中，点是上靠近点的五等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的基底，结合向量线性求解. 【详解】由点是上靠近点的五等分点，得，则， 所以. 故选：C 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算求得，进而由，可得，求解即可. 【详解】由得，由三点共线，得， 又不共线，则，所以. 故选：A. 5．（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知，，且，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用共线向量定理及坐标计算模列式求出的坐标. 【详解】由，，设，由，得， 解得，所以的坐标为或. 故选：D 6．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图形特征及向量线性关系计算判断. 【详解】由题意得，∽，所以， 所以，所以. 故选：A. 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形的几何性质，由向量的线性运算，可得答案. 【详解】 由为的中点，则， 由，则， 由图可知，则， 可得，所以. 故选：C. 8．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量的线性运算直接化简可得解. 【详解】由已知为线段上一点， 设，， 则， 又， 则， 所以， 则， 解得， 故选：D. 9．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算将用表示出来，根据向量共线和平面向量基本定理可得结果. 【详解】 因为， 所以 ， 因为三点共线， 所以，则. 故选：B. 10．（24-25高一下·四川·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用取特殊位置上的点来分析对应的变量，通过能取到的特殊值，来排除各选项，最后作出正确判断. 【详解】    当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故AC错误； 当点在四边形的点处时，有， 对应，可知，此时有，故D错误； 故选：B. 11．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由共线、共线分别可得、，进而得，最后由且共线求参数. 【详解】由共线，则，， 所以①， 由共线，则，， 所以②， 由①②知：，则，故， 由，则， 由共线，则，可得. 故选： 12．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据平面向量基本定理及共线向量定理的推论，由三点共线得，且，再根据“1”的代换，运用基本不等式可得答案. 【详解】由，可得， 由三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 13．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】由题意得，结合三点共线即可判断AB，由基本不等式即可判断CD. 【详解】 由为线段上一点，得， 而点在线段上，则，A B错误； 由，得，解得，当且仅当取等号，C正确； ，当且仅当时取等号，D错误. 故选：C 二、填空题 14．在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________. 【解析】连接，交于G，∵共线，则，且 记，则， 15．在平行四边形中,,为的三等分点,为与的交点,为边上一动点,为内一点(含边界),若,则的取值范围是 . 【解析】如图,作,则.过点作直线的平行线,由及等和线定理,易知 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 平面向量基本定理、共线定理及等和线的应用 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 知识点02 平面向量基本定理的应用 1、平面向量基本定理唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线； ②当时，与共线； ③当时，； 知识点03 平面向量共线定理 1、已知，若，则A，B，C三点共线，反之亦然. 2、若A、B、C三点共线存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在唯一的实数，使得； 存在，使得． 3、中线向量定理 如图所示，在中，若点D是边BC的中点，则中线向量，反之亦正确． D A C B 4、线段定比分点的向量表达式 如图所示，在中，若点是边上的点，且（），则向量．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握． D A C B 知识点04 等和线 1、定义：平面内一组基底及任一向量，，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线. （1）当等和线恰为直线AB时，k=1； （2）当等和线在O点和直线AB之间时，； （3）当直线AB在点O与等和线之间时，； （4）当等和线过O点时，k=0； （5）若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数. 2、证明步骤 如图1，为所在平面上一点，过作直线，由平面向量基本定理知： 存在，使得 下面根据点的位置分几种情况来考虑系数和的值 ①若时，则射线与无交点，由知，存在实数，使得 而，所以，于是 ②若时， （i）如图1，当在右侧时，过作，交射线于两点，则 ，不妨设与的相似比为 由三点共线可知：存在使得： 所以 （ii）当在左侧时，射线的反向延长线与有交点，如图1作关于的对称点，由（i）的分析知：存在存在使得： 所以，于是 综合上面的讨论可知：图1中用线性表示时，其系数和只与两三角形的相似比有关。 我们知道相似比可以通过对应高线、中线、角平分线、截线、外接圆半径、内切圆半径之比来刻画。因为三角形的高线相对比较容易把握，我们不妨用高线来刻画相似比，在图1中，过作边的垂线，设点在上的射影为，直线交直线于点，则 (的符号由点的位置确定)，因此只需求出的范围便知的范围 一般解题步骤：（1）确定单位线（当时的等和线）；（2）平移等和线，分析何处取得最值； （3）从长度比计算最值. 【考点一：平面向量基本定理】 一、单选题 1．（24-25高一下·山东济宁·期中）如图，在平面内，不共线向量与构成的四边形中，E，F分别是，的中点.若，则（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25高三上·安徽·开学考试）在中，，则 （    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广西来宾·阶段练习）已知E，F分别是平行四边形ABCD的边BC和CD的中点，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·吉林延边·期中）如图中G为重心，PQ过G点，，则（   ）    A．3 B．2 C．1 D． 5．（24-25高一下·天津静海·阶段练习）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，，则的最小值（    ） A．2 B．8 C．9 D．18 【考点二：平面向量共线定理】 一、单选题 1．（24-25高一下·四川遂宁·期中）设为两个非零向量，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25高一下·江苏无锡·期中）设与是两个不共线向量，且向量与共线，则（   ） A．0 B． C． D． 4．（23-24高一下·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 5．（24-25高一下·山东烟台·期中）在中，，M是AN上一点，且，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·云南文山·期中）已知向量，，且与方向相反，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【考点三：平面向量共线定理及其推论】 一、单选题 1．（23-24高一下·四川南充·期末）在中，，是线段上的一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北十堰·期中）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高一下·四川·期中）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，，AD与CE交于点O，若，则的值是（ ） A． B．2 C． D． 4．（24-25高一下·四川乐山·阶段练习）如图，在中，与CE的交点为，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·贵州遵义·阶段练习）如图，在中，，过点的直线分别交直线，于不同的两点，.设，，其中，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【考点四：等和线的应用】 一、单选题 1．设是边上的点，,若，则 =（ ） 2．在中，点D是线段BC上任意一点，且满足，若存在实数m和n，使得，则m+n=（ ） A. B. C. D. 3．已知是内一点，且，点在内（不含边界），若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 4．设长方形的边长分别是,点是内(含边界)的动点,设,则的取值范围是_________ 5．如图，正六边形，是内（包括边界）的动点，设，则的取值范围是____________ 一、单选题 1．（24-25高一下·福建三明·期中）已知向量，若三点共线，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高一下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若 是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·浙江·期中）中，点是上靠近点的五等分点，设，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·安徽滁州·期中）是平面内不共线的两向量，已知，若三点共线，则的值为（    ） A． B． C． D．3 5．（24-25高一下·陕西榆林·期中）已知，，且，则的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 6．（24-25高一下·安徽·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，与对角线相交于点，记，，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）若点D在的边上，且，M是的中点，，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，在中，在线段上，满足，为线段上一点，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）在中，，点在上，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·四川·期中）如图，在平行四边形中，为的中点，点在四边形内部（包含边界），若，则的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 11．（24-25高一下·江苏扬州·期中）如图，已知分别是边上的点，且满足，，与交于点，连接并延长交于点．若，则实数的值为（ ） A．2 B． C． D．3 12．（24-25高一下·安徽池州·期中）在中，点在边上，且满足，点为上任意一点，若实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高一下·山东济宁·阶段练习）在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是（    ） A． B． C．的最大值为 D．的最小值为 二、填空题 14．在平行四边形中ABCD中，E和F分别是CD和BC边上的中点，且,其中，则___________. 15．在平行四边形中,,为的三等分点,为与的交点,为边上一动点,为内一点(含边界),若,则的取值范围是 . 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$