第2讲 命题与量词讲义-2026届高三数学一轮复习

命题与量词 1．命题 能够判断真假的陈述语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 判断一个语句是不是命题，就看它是否符合“陈述句”和““可判断”这两个条件． 2．全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词：“任意”“所有”“每一个”等表示所述事物的全体，用符号“∀”表示； (2)常见的存在量词：“存在”“有”“至少有一个”等表示所述事物的个体或部分，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题与存在量词命题 (1)含有全称量词的命题叫全称量词命题． 全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． (2)含有存在量词的命题叫存在量词命题（特称命题）． 存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 4．命题的否定（“非p”，“¬p”） (1)全称命题的否定是特称命题；即：的否定为“” (2)特称命题的否定是全称命题．即：的否定为“” 常见的一些词语和它的否定词如下表： 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 存在 至少有两个 一个都没有 注意：p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q． 1．对命题的否定形式的理解(判断) (1)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．( ) (2)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则¬p：∃n∈ N,2n≤1 000．( ) (3)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则¬p：∃x∉A,2x∉B．( ) (4)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则¬p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0．( ) 考点一 命题的概念和判断 【例1】1．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②23；③一个数不是正数就是负数；④x2；⑤这座山真险啊！ A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤ 2．设非空集合，满足，则下列选项正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【训练1】1．判断下列命题的真假： （1）所有能被6整除的整数都是3的倍数； （2）关于的方程有且只有一个实数根。 （3）质数都是奇数； （4）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （5）若则。 2．（多选）下列命题是真命题的是（ ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 考点二 命题的真假求参数 【例2】1．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 2．已知命题“”为假命题，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【训练2】1．“若x2,则p”为真命题，p不能是( ) A．x3 B．x1 C．x0 D．x-1 2．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 3．已知命题p：“∃x0∈R，使得x＋2ax0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足( ) A．[－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 4．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________．（答案不唯一） 5．若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点三 含有一个量词的命题否定（量词和结论都要否定） 【例3】1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 2．已知命题p：“∃x0∈(0，＋∞)，x0＞”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________．(填“真”或“假”) 【训练3】1．已知命题p：∃x0＞1，x－1＞0，那么¬p是( ) A．∀x＞1，x2－1＞0 B．∀x＞1，x2－1≤0 C．∃x0＞1，x－1≤0 D．∃x0≤1，x－1≤0 2．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________． 3．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0． 4．（24新高考二）已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 充分条件与必要条件 1．充分条件．必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏q且q⇏p 注意：弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且A⇏B； 而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B且B ⇏ A； 考点一 充分条件．必要条件 【例1】1．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是( ) A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件 B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件 C．x∈P是x∈Q 的充分必要条件 D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件 2．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件． 3．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 规律方法：判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p． 【训练1】1．“x>2”是“<”的________条件． 2．设，，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．“有实根”是“”的_____________； 4．“四边形的对角线互相平分”的 条件是“四边形为矩形”； 5．“”是“”的 条件； 6．指出是的 条件； 7．不等式x－＞0成立的一个充分不必要条件是( ) A．－1＜x＜0或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．x＞－1 D．x＞1 8．（19天津理）设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．（20天津）设，则“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（23天津）“”是“”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 11．（23北京）若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（24天津）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点二 利用充分条件．必要条件求参数 【例2】1．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________． 2．设条件：实数满足；条件：实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________． 等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 【训练2】1．若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是__________.（写出满足条件的一个值即可） 2．若集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－2＜x＜a}，则“”的充要条件是( ) A． a＞－2 B．a≤－2 C．a＞－1 D．a≥－1 3．已知命题： ，命题： . （1）若，求实数的值； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 4．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 5．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 命题与量词 1．命题 能够判断真假的陈述语句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题． 判断一个语句是不是命题，就看它是否符合“陈述句”和““可判断”这两个条件． 2．全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词：“任意”“所有”“每一个”等表示所述事物的全体，用符号“∀”表示； (2)常见的存在量词：“存在”“有”“至少有一个”等表示所述事物的个体或部分，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题与存在量词命题 (1)含有全称量词的命题叫全称量词命题． 全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”． (2)含有存在量词的命题叫存在量词命题（特称命题）． 存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）． 4．命题的否定（“非p”，“¬p”） (1)全称命题的否定是特称命题；即：的否定为“” (2)特称命题的否定是全称命题．即：的否定为“” 常见的一些词语和它的否定词如下表： 原词语 等于 大于 小于 是 都是 任意 至多有一个 至多有一个 否定词语 不等于 小于等于 大于等于 不是 不都是 存在 至少有两个 一个都没有 注意：p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或非q． 1．对命题的否定形式的理解(判断) (1)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√) (2)命题p：∃n0∈N,2n0＞1 000，则¬p：∃n∈ N,2n≤1 000．(×) 【解析】¬p：∀n∈ N,2n≤1 000． (3)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集，若命题p：∀x∈A,2x∈B，则¬p：∃x∉A,2x∉B．(×) 【解析】¬p：∃x∈A,2x∉B． (4)已知命题p：若x＋y＞0，则x，y中至少有一个大于0，则¬p：若x＋y≤0，则x，y中至多有一个大于0．(×) 【解析】¬p：若x＋y＞0，则x，y中都不大于0． 考点一 命题的概念和判断 【例1】1．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②23；③一个数不是正数就是负数；④x2；⑤这座山真险啊！ A．①②③ B．①③④ C．①②⑤ D．②③⑤ 【答案】A 【解析】①②③都是可以判断真假的陈述句，是命题；x2无法判断真假，④不是命题；这座山真险啊！是感叹句，⑤不是命题．综上可得，题中所给语句是命题的是①②③． 2．设非空集合，满足，则下列选项正确的是（    ） A．，有 B．，有 C．，使得 D．，使得 【答案】B 【解析】，，当⫋时，，使得，故A错误； ，，必有，即，必有，故B正确； 由B正确，得，必有，，使得错误，即C错误； 当时，不存在，使得，故D错误，综上只有B是正确的．故选：B． 【训练1】1．判断下列命题的真假： （1）所有能被6整除的整数都是3的倍数； （2）关于的方程有且只有一个实数根． （3）质数都是奇数； （4）钝角三角形的内角至少有一个是钝角； （5）若则． 【答案】（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题；（5）假命题； 【解析】假命题的判断可以使用“举反例法”． 若判断为真命题，则需证明． 2． （多选）下列命题是真命题的是（ ） A．若，那么 B．若，那么 C．若，那么 D．若，那么 【答案】BCD 【解析】对于A，，但可能不属于B,故A错误； 对于B，若，则是A,B公共元素，故B对； 对于C，若，则是A,B公共元素,必，故C对； 对于D，若，那么，故D对． 考点二 命题的真假求参数 【例2】1．若命题“∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 【答案】(－∞，－1)∪(3，＋∞) 【解析】∵∃x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题， ∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，∴a－1＞2或a－1＜－2，∴a＞3或a＜－1．　 2．已知命题“”为假命题，则实数a的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原命题改成真命题“”，∴， ∵在处取最小值为，∴a的取值范围是． 【训练2】1．“若x2,则p”为真命题，p不能是( ) A．x3 B．x1 C．x0 D．x－1 【答案】A 【解析】“若x2,则p”为真命题，那么p对应的范围应该包含x2，故选A． 2．若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”是真命题，则实数a的取值范围是________． 【答案】[－8,0] 【解析】当a＝0时，不等式显然成立；当a≠0时，由题意知 得－8≤a＜0．综上，－8≤a≤0． 3．已知命题p：“∃x0∈R，使得x＋2ax0＋1＜0成立”为真命题，则实数a满足( ) A．[－1,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1) 【答案】B 【解析】“∃x0∈R，x＋2ax0＋1＜0”是真命题，即不等式x2＋2ax＋1＜0有解， ∴Δ＝(2a)2－4＞0，得a2＞1，即a＞1或a＜－1． 4．能说明“若a﹥b，则”为假命题的一组a，b的值依次为_________．（答案不唯一） 【答案】1,－1（答案不唯一） 【解析】使“若a﹥b，则”为假命题则使“若a﹥b，则”为真命题即可， 只需取即可满足所以满足条件的一组的值为1,－1 5．若命题“”是假命题，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为命题“，”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 若，即或，当时，不等式为，恒成立，满足题意； 当时，不等式为，不恒成立，不满足题意； 当时，则需要满足，即，解得， 综上所述，的范围是，故选：B. 考点三 含有一个量词的命题否定（量词和结论都要否定） 【例3】1．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，“”的否定是，故选：B 2．已知命题p：“∃x0∈(0，＋∞)，x0＞”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)． 【答案】∀x∈(0，＋∞)，x≤ ；假 【解析】全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：∀x∈(0，＋∞)，x≤． 【训练3】1．已知命题p：∃x0＞1，x－1＞0，那么¬p是( ) A．∀x＞1，x2－1＞0 B．∀x＞1，x2－1≤0 C．∃x0＞1，x－1≤0 D．∃x0≤1，x－1≤0 【答案】B 【解析】特称命题的否定为全称命题，所以¬p：∀x＞1，x2－1≤0，故选B． 2．命题：“对任意k＞0，方程x2＋x－k＝0有实根”的否定是________． 【答案】存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根 【解析】将“任意”改为“存在”，“有实根”改为“无实根”， 所以原命题的否定为“存在k＞0，使方程x2＋x－k＝0无实根”． 3．写出下列命题的否定，并判断其真假： (1)p：∀x∈R，x2－x＋≥0； (2)q：所有的正方形都是矩形； (3)r：∃x0∈R，x＋2x0＋2≤0； (4)s：至少有一个实数x0，使x＋1＝0． 【解析】(1)¬p：∃x0∈R，x－x0＋＜0，假命题．(2)¬q：至少存在一个正方形不是矩形，假命题． (3) ¬r：∀x∈R，x2＋2x＋2＞0，真命题．(4)¬s：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． 4．（24新高考二）已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，综上，和都是真命题.故选：B. 充分条件与必要条件 1．充分条件．必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏q且q⇏p 注意：弄清先后顺序：“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A，且A⇏B； 而“A是B的充分不必要条件”则是指A⇒B且B ⇏ A； 考点一 充分条件．必要条件 【例1】1．若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是( ) A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件 B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件 C．x∈P是x∈Q 的充分必要条件 D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立．故选A． 2．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，即m≤． 3．已知p：，那么p的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】有题意可得，选项为条件，p为结论，所以选项范围要比p范围小，故C． 规律方法：判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p． 【训练1】1．“x>2”是“<”的________条件． 【答案】充分不必要 【解析】<，则－＝<0，解得x<0或x>2，所以“x>2”是“<”的充分不必要条件 2．设，，则“”是“”的（ ） A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，满足但不满足，故由，，则“”推不出“”，而能推出，故“”是“”的必要而不充分条件． 3．“有实根”是“”的_____________； 【答案】必要不充分条件 【解析】因为“有实根”，所以△=≥0，不一定成立；但时，△=≥0一定成立，所以“有实根”是“”的必要不充分条件． 4．“四边形的对角线互相平分”的 条件是“四边形为矩形”； 【答案】充分不必要 【解析】满足“四边形的对角线互相平分”是平行四边形，平行四边形不一定是矩形， 但矩形一定是平行四边形，所以“四边形的对角线互相平分”的充分不必要条件是“四边形为矩形”； 5．“”是“”的 条件； 【答案】充分不必要 【解析】能推出；但当，A可能为B的真子集，如， 所以“”是“”的充分不必要条件． 6．指出是的 条件． 【答案】必要不充分 【解析】当时，A,B不一定相等，还可能A是B的子集，如； 当时，，综上所述，是的必要不充分条件． 7．不等式x－＞0成立的一个充分不必要条件是( ) A．－1＜x＜0或x＞1 B．x＜－1或0＜x＜1 C．x＞－1 D．x＞1 【答案】D 【解析】画出直线y＝x与双曲线y＝的图象(图略)，两图象的交点为(1,1)，(－1，－1)， 依图知x－＞0时，－1＜x＜0或x＞1，显然x＞1⇒x－＞0；但x－＞0推不出x＞1，故选D． 8．（19天津理）设，则“”是“”的( ) A．充分而不必要条件, B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】化简不等式，可知 推不出；由能推出， 故“”是“”的必要不充分条件，故选B． 9．（20天津）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件． 10．（23天津）“”是“”（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 由，得，当时，不成立，充分性不成立； 由，则，即，显然成立，必要性成立； 所以“”是“”的必要不充分条件． 11．（23北京）若，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】充分性：因为，且，所以，所以； 必要性：因为且，所以，即，即， 所以，所以“”是“”的充要条件． 12．（24天津）设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当， 所以二者互为充要条件.故选：C． 考点二 利用充分条件．必要条件求参数 【例2】1．若“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，则a的最大值为________． 【答案】－1　 【解析】 x2>1，得x<－1，或x>1.又“x2>1”是“x<a”的必要不充分条件，知由“x<a”可以推出“x2>1”， 反之不成立，所以a≤－1，即a的最大值为－1． 2．设条件：实数满足；条件：实数满足且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】设，可解得：， 设可解得：，是的必要不充分条件 是的必要不充分条件 等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 【训练2】1．若“”是“”的必要不充分条件，则的值可以是__________．（写出满足条件的一个值即可） 【答案】0（答案不唯一，满足即可） 【解析】由于“”是“”的必要不充分条件，所以，所以的值只需小于即可. 故答案为：0（答案不唯一，满足即可） 2．若集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|－2＜x＜a}，则“”的充要条件是( ) A． a＞－2 B．a≤－2 C．a＞－1 D．a≥－1 【答案】C 【解析】A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|－2＜x＜a}，如图所示：∵，∴a＞－1． 3．已知命题： ，命题： . （1）若，求实数的值； （2）若是的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】(1)2；(2) 实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）. 【解析】（1）B={x|x2﹣4x+3≥0}={x|x≤1，或x≥3}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，由A∩B=∅，A∪B=R，得 ，得a=2，所以满足A∩B=∅，A∪B=R的实数a的值为2； （2）因p是q的充分条件，所以A⊆B，且A≠∅，所以结合数轴可知，a+1≤1或a﹣1≥3，解得a≤0，或a≥4， 所以p是q的充分条件的实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪[4，+∞）． 4．已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－a2≤0(a>0)．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】[9，＋∞) 【解析】p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q⇏p， ∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有且两个等号不同时成立，解得a≥9. 因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)． 5．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】 【解析】∵p是q的必要不充分条件，∴q⇒p，且p⇏q等价于p⇒q，且q⇏ p. 记p：A＝{x||4x－3|≤1}＝，q：B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0|＝{x|a≤x≤a＋1}， 则从而且两个等号不同时成立，解得0≤a≤.故所求实数a的取值范围是. 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