一、试卷结构说明&二、答题注意事项&三、答题规范&四、数学必备知识-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

中考心法·河南数学 数 学 第五场　数学 一、试卷结构说明 试卷总分：１２０分　考试时间：１００分钟 题型 题号 难易度（２０２３河南中招考试试题） 选择题 （共３０分） １－８（每小题３分） 容易题 ９，１０（每小题３分） 中档题 填空题 （共１５分） １１－１３（每小题３分） 容易题 １４，１５（每小题３分） 中档题 解答题 （共７５分） １６－１８，２１（１６题１０分， 其余每小题９分） 容易题 １９，２０，２２（１９，２０每小题９分， ２２题１０分） 中档题 ２３（１０分） 较难题 二、答题注意事项 １．“一填二看”：一填，即在试卷和答题卡的规定位置填写姓名、准考证号等关 键信息，避免因信息不全而影响考试成绩；二看，即通览全卷，做到心中有数． ２．审题与答题： （１）审题时一定要细心，要看清楚题目要求，如题目要求是选择“正确的 一项”还是“错误的一项”； （２）对于有图的题，要将题干和图形结合起来考虑，最好将题干中的关键 信息标注在图形上； （３）解答题是按步骤给分，因此要写出文字解答或证明过程以及演算步骤 或推理过程，书写规范、标准；先理清思路再下笔，避免作答到一半因思 路受阻而过度涂改或答题空间不足而影响得分； （４）所有题目，不留一空，如果是不会做的试题，对于选择题，选出一个你 认为可能性最大的选项；对于解答题，首先将“解”写在答题处第一行， 然后再根据自己的理解能写多少写多少，阅卷老师也会酌情给分． ４６ 中考心法·河南数学 数 学 三、答题规范 １．实数的混合计算 （１）先写“解：原式＝”； （２）分步体现：平方根、立方根、绝对值、负指数幂、零指数幂等； （３）结果化为最简（如：整数，最简二次根式，最简分数…）． ２．整式化简求值 （１）先写“解：原式＝”； （２）化简后，结果一般为整式（不含乘除运算），各项降次排序； （３）再求值，例如：“当ｘ＝２时，原式＝…”． ３．分式化简 （１）分步体现：通分、除法变乘法的过程等，不跳步； （２）结果化为最简分式或整式． ４．统计题 （１）补全统计图：条形图上标注数字，扇形图内标注百分比； （２）平均数、众数、中位数要带单位； （３）估计与决策：看清总数，写好算式，记得作答． ５．尺规作图 （１）先写“解：如解图，…即为所求”； （２）看清求作的几何量：点、线段、直线…，字母标清； （３）先用直尺和圆规完成作图过程，保留每个作图过程的痕迹，痕迹要轻，再 用黑色签字笔描图． ６．实际应用题 （１）要按照“设、列、解、验、答”的格式书写； （２）要注意“单位”“精确度要求”“参考数据”这些细节；带单位的计算题或 应用题，最后结果必须带单位，特别是应用题解题结束后一定要写符合 题意的“答”； （３）方案问题一定要将符合条件的方案罗列出来． ７．几何测量题 （１）审题注意：①认真审题，标清数据（注意是否单位统一）； ②观察图形，理清关系（相似、三角函数）； （２）解答注意：①描述清楚辅助线作法； ②把已知条件翻译成数学语言罗列出来； ③在审题过程中明确所考考点（相似、三角函数）； ④最后要作答； ５６ 中考心法·河南数学 数 学 （３）检查注意：①所答非所问； ②精确到小数点位数还是保留根号； ③符合实际意义． 四、数学必备知识 １．一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图象与性质（一次函数图象一条倾斜的 直线） （１）判断倾斜方向、增减性看 ｋ：ｋ＞０，图象必过第一、三象限，ｙ随 ｘ的增 大而增大；ｋ＜０，图象必过第二、四象限，ｙ随ｘ的增大而减小； （２）判断与ｙ轴交点位置看 ｂ：ｂ＞０，图象交于 ｙ轴的正半轴，必过第一、二 象限；ｂ＝０，图象过原点；ｂ＜０，图象交于 ｙ轴的负半轴，必过第三、四 象限； （３）与ｙ轴交点：令ｘ＝０，求ｙ值，交点坐标为（０，ｂ）； （４）与ｘ轴交点：令ｙ＝０，求ｘ值，交点坐标为（－ｂｋ，０）． ２．一次函数解析式的确定 （１）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设一次函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）； ②代：将已知点的坐标代入函数解析式，解方程或方程组； ③解：求出ｋ与ｂ的值，得到函数解析式； （２）常见类型： ①已知两点确定解析式； ②已知两组函数对应值确定解析式； ③平移转化型：如已知函数图象是由 ｙ＝２ｘ的图象平移所得到的，且经 过点（０，１），则可设要求函数的解析式为 ｙ＝２ｘ＋ｂ，再把点（０，１）代入 即可． ３．一次函数图象的平移 （１）直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ 向左平移ｍ（ｍ＞０） → 个单位长度 直线ｙ＝ｋ（ｘ＋ｍ）＋ｂ； （２）直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ 向右平移ｍ（ｍ＞０） → 个单位长度 直线ｙ＝ｋ（ｘ－ｍ）＋ｂ； （３）直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ 向上平移ｍ（ｍ＞０） → 个单位长度 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ＋ｍ； （４）直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ 向下平移ｍ（ｍ＞０） → 个单位长度 直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ－ｍ． 简记为“左加右减，上加下减”，左右平移只给ｘ加减，上下平移给整体加减． ６６ 中考心法·河南数学 数 学 ４．反比例函数的图象与性质（反比例函数图象双曲线） 图象 性质 解析式 ①图象分别位于第 一、三象限； ②在每一个象限内， ｙ随 ｘ的增大而 减小 ①图象分别位于第 二、四象限； ②在每一个象限内， ｙ随 ｘ的增大而 增大 共性： ①图象关于直线 ｙ ＝±ｘ成轴对称； 关于原点成中心 对称； ②图象上任意一点 Ｐ（ｘ，ｙ）的横、纵 坐标之积均为 ｋ，即ｘｙ＝ｋ ｙ＝ｋｘ （ｋ＞０） ｙ＝ｋｘ（ｋ＜０） ５．反比例函数ｋ的几何意义 （１）过双曲线上任意一点向坐标轴作垂线段，垂线段与坐标轴围成的矩形的 面积为｜ｋ｜．如图，Ｓ矩形ＡＢＯＣ＝２，Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＡＣＯ＝１． （２）常见的面积类型： ７６ 中考心法·河南数学 数 学 ６．二次函数的图象与性质（二次函数图象抛物线） 解析式 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ ｙ＝ａ（ｘ－ｘ１）（ｘ－ｘ２） 大 致 图 象 ａ＞０ 开口 向上 ａ＜０ 开口 向下 对称轴 直线ｘ＝－ｂ２ａ 直线ｘ＝ｈ 直线ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ 顶点坐标 （－ｂ２ａ， ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ） （ｈ，ｋ） — 最 值 ａ＞０ ｘ＝－ｂ２ａ时， ｙ有最小值 ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ｘ＝ｈ时， ｙ有最小值ｋ ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ 时， ｙ有最小值 ａ＜０ ｘ＝－ｂ２ａ时， ｙ有最大值 ４ａｃ－ｂ２ ４ａ ｘ＝ｈ时， ｙ有最大值ｋ ｘ＝ ｘ１＋ｘ２ ２ 时， ｙ有最大值 增 减 性 ａ＞０ 在对称轴左侧时，ｙ随ｘ的增大而减小；在对称轴右侧时，ｙ随 ｘ的增大而增大 ａ＜０ 在对称轴左侧时，ｙ随ｘ的增大而增大；在对称轴右侧时，ｙ随 ｘ的增大而减小 ８６ 中考心法·河南数学 数 学 ７．二次函数图象的平移规律 平移前的解析式 ｙ＝ａ（ｘ－ｈ）２＋ｋ（ａ≠０） 示意图 平 移 后 的 解 析 式 向左平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度 ｙ１＝ａ（ｘ－ｈ＋ｍ） ２＋ｋ 向右平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度 ｙ２＝ａ（ｘ－ｈ－ｍ） ２＋ｋ 向上平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度 ｙ３＝ａ（ｘ－ｈ） ２＋ｋ＋ｍ 向下平移ｍ（ｍ＞０）个单位长度 ｙ４＝ａ（ｘ－ｈ） ２＋ｋ－ｍ 规律总结 左右平移：给ｘ左加右减；上下平移：给 等号右边整体上加下减．简记为“左加 右减，上加下减” ８．二次函数 ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）与一元二次方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的关系： 二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ≠０）的图象与 ｘ轴交点的横坐标是一元二次方 程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０的根． （１）当Δ＝ｂ２－４ａｃ＞０时，一元二次方程有两个不相等的实数根； （２）当Δ＝ｂ２－４ａｃ＝０时，一元二次方程有两个相等的实数根； （３）当Δ＝ｂ２－４ａｃ＜０时，一元二次方程无实数根． ９．函数与方程（组）、不等式（组）的关系 示意图 方程（组）解的情况 不等式（组）解集的情况 图① 图② 如图①，结合图象得 方程ｋｘ＋ｂ＝ｍ的解 为ｘ＝ｐ； 如图②，结合图象得 方 程 组 ｋｘ＋ｂ＝ｙ， ｋ１ｘ＋ｂ１＝{ ｙ的 解 为 ｘ＝ｐ， ｙ＝{ ｑ 如图①，结合图象得不等式 ｋｘ＋ｂ＞ｍ的解集为ｘ＞ｐ； 如图②，结合图象得不等式 ｋｘ＋ｂ＞ｋ１ｘ＋ｂ１的解集为 ｘ＞ ｐ；不等式 ｋｘ＋ｂ＜ｋ１ｘ＋ｂ１的 解集为ｘ＜ｐ ９６ 中考心法·河南数学 数 学 图③ 图④ 如图③，结合图象得 方程 ｋ ｘ＝ｍ的解为 ｘ＝ｐ； 如图④，结合图象得 方程 ｋ１ ｘ＝ｋ２ｘ＋ｂ的 解为ｘ１＝ｎ，ｘ２＝ｍ 如图③，结合图象得不等式 ｋ ｘ＞ｍ的解集为０＜ｘ＜ｐ；不 等式 ｋ ｘ＜ｍ的解集为ｘ＞ｐ； 如图④，结合图象得不等式 ｋ１ ｘ＞ｋ２ｘ＋ｂ的解集为０＜ｘ＜ ｍ或ｘ＜ｎ；不等式 ｋ１ ｘ＜ｋ２ｘ＋ｂ 的解集为ｘ＞ｍ或ｎ＜ｘ＜０ 图⑤ 图⑥ 如图⑤，结合图象得 方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ｍ 的解为 ｘ１ ＝ｐ，ｘ２ ＝ｑ； 如图⑥，结合图象得 方程 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝ ｋｘ＋ｂ１的解为 ｘ１＝ ｎ，ｘ２＝ｍ 如图⑤，结合图象得不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞ｍ的解集为ｘ＞ｐ 或ｘ＜ｑ；不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＜ ｍ的解集为ｑ＜ｘ＜ｐ； 如图⑥，结合图象得不等式 ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＞ｋｘ＋ｂ１的解集为 ｘ＞ｍ或ｘ＜ｎ；不等式 ａｘ２＋ｂｘ ＋ｃ＜ｋｘ＋ｂ１的解集为 ｎ＜ｘ ＜ｍ １０．平行线＋角平分线产生的等腰三角形 （１）如图①，在△ＡＢＣ中，ＥＦ∥ＢＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，则 △ＢＥＤ和△ＣＦＤ均为等腰三角形，且△ＡＥＦ的周长 ＝ＡＥ＋ＡＦ＋ＥＦ＝ ＡＢ＋ＡＣ； 　　　 （２）如图②，在△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＡＢ，ＤＦ∥ＡＣ，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，ＣＤ平分∠ＡＣＢ，则 △ＢＥＤ和△ＣＦＤ均为等腰三角形，且△ＤＥＦ的周长＝ＤＥ＋ＤＦ＋ＥＦ＝ＢＣ． ０７ 中考心法·河南数学 数 学 １１．等腰三角形中的分类讨论 （１）当顶角和底角不确定时，需要进行分类讨论，且需要用三角形内角和定理 检验； 若等腰三角形中有一个角为７０°，则可以是以下两种情况： 　　　　　　　　　 （２）当腰长与底边长不确定时，需要进行分类讨论，且需要用三角形三边关系 检验． 若等腰三角形其中两边长为５和６时，则可以是以下两种情况： 　　　　　　　　　 １２．直角三角形中的分类讨论 （１）已知直角三角形两边长求第三边长时，若没有确定直角边和斜边，需要分类讨论； 若直角三角形的两边长是３和４，求第三边长则分为以下两种情况： （２）已知三角形为直角三角形，若没有确定直角顶点，需要分类讨论． 若△ＡＢＣ是直角三角形，没有确定直角顶点时，则分为以下三种情况： １３．构造特殊直角三角形的几种辅助线作法 １７ 中考心法·河南数学 数 学 简记：有特殊角３０°，４５°，６０°，作垂线，构造直角三角形． １４．相似三角形的性质 （１）相似三角形对应角相等； （２）相似三角形对应边成比例； （３）相似三角形对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相 似比； （４）相似三角形的周长比等于相似比； （５）相似三角形的面积比等于相似比的平方． １５．相似三角形的判定 （１）有平行截线———用判定定理一； （２）有一对等角———找 另一对等角， 该角两边对应成比例{ ； （３）有两边对应成比例———找 夹角相等， 第三边对应成比例{ ； （４）直角三角形———找 一对锐角相等， 两组直角边对应成比例， 斜边及一组直角边对应成比例 { ； （５）等腰三角形———找 顶角相等， 一对底角相等， 底和腰对应成比例 { ． １６．特殊角的锐角三角函数值 ｓｉｎ３０°＝１２　　　　　　ｓｉｎ４５°＝ 槡２ ２　　　　　　ｓｉｎ６０°＝ 槡３ ２ ｃｏｓ３０°＝槡３２ ｃｏｓ４５°＝ 槡２ ２ ｃｏｓ６０°＝ １ ２ ｔａｎ３０°＝槡３３ ｔａｎ４５°＝１ ｔａｎ６０°＝槡３ ２７ 中考心法·河南数学 数 学 １７．平行四边形中的几个解题模型 （１）如图①，ＡＦ平分∠ＢＡＤ，则可利用平行线的性质结合等角对等边得到 △ＡＢＦ为等腰三角形，即ＡＢ＝ＢＦ； （２）平行四边形的一条对角线把其分为两个全等的三角形，如图②中 △ＡＢＤ≌△ＣＤＢ； 两条对角线把平行四边形分为两组全等的三角形，如图②中△ＡＯＤ≌ △ＣＯＢ，△ＡＯＢ≌△ＣＯＤ； 根据平行四边形的中心对称性，可得经过对称中心 Ｏ的线段与对角线 和边所组成的居于中心对称位置的三角形全等，如图②中△ＡＯＥ≌ △ＣＯＦ；图②中阴影部分的面积为平行四边形面积的一半； （３）如图③，已知点Ｅ为ＡＤ上一点，根据平行线间的距离处处相等，可得 Ｓ△ＢＥＣ＝Ｓ△ＡＢＥ＋Ｓ△ＣＤＥ； （４）如图④，根据平行四边形面积的求法，可得ＡＥ·ＢＣ＝ＡＦ·ＣＤ． 　 １８．平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系 ３７ 中考心法·河南数学 数 学 １９．已知圆内一条弦和其对应的圆心角，求其对应的圆周角时要分情况讨论 情况一：圆周角的顶点在弦所对的 优弧上 情况二：圆周角的顶点在弦所对的 劣弧上 ∠β＝１２∠α ∠β＝１８０°－ １ ２∠α ２０．已知圆心到两条平行弦的距离，求两条平行弦间的距离时需要分情况讨论 已知弦ＡＢ和弦ＣＤ的长，⊙Ｏ的半径长，若ＡＢ∥ＣＤ，求两条弦之间的距离ｄ 情况一：当两条弦位于圆心同侧时 情况二：当两条弦位于圆心异侧时 利用勾股定理，在 Ｒｔ△ＯＢＥ中求 出ＯＥ，在Ｒｔ△ＯＤＦ中求出ＯＦ，ｄ＝ ＯＦ－ＯＥ 利用勾股定理，在 Ｒｔ△ＯＢＥ中求出 ＯＥ，在 Ｒｔ△ＯＤＦ中求出 ＯＦ，ｄ＝ ＯＦ＋ＯＥ ２１．点在圆上运动时，相关计算需要分情况讨论 已知ＡＢ为⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝２ｒ，Ｃ在⊙Ｏ上，ＣＤ⊥ＡＢ于点 Ｄ，ＣＤ＝ｈ， ＯＤ＝ｍ，求ＡＣ的长 ４７ 中考心法·河南数学 数 学 情况一：当点Ａ，Ｄ在圆心同侧时 情况二：当点Ａ，Ｄ在圆心异侧时 ＡＤ＝ｒ－ｍ，ＡＣ＝ （ｒ－ｍ）２＋ｈ槡 ２ ＡＤ＝ｒ＋ｍ，ＡＣ＝ （ｒ＋ｍ）２＋ｈ槡 ２ ２２．扇形弧长与面积的计算 圆的周长 Ｃ＝２πｒ 扇形的弧长 ｌ＝ｎπｒ１８０ 圆的面积 Ｓ＝πｒ２ 扇形面积 Ｓ＝ｎπｒ ２ ３６０＝ １ ２ｒｌ　 ｒ为⊙Ｏ的半径， ｎ°为 ) ＡＢ所对的圆心角的度数， ｌ是扇形ＡＯＢ的弧长 ２３．阴影部分面积的计算 直接和差法 构造和差法 等积转换法 Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＡＢＣ－Ｓ扇形ＢＯＥ 连接ＯＣ，Ｓ阴影 ＝ Ｓ扇形ＡＯＣ－Ｓ△ＡＯＣ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＡＥ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形之和 ＝ πｒ２ ２ 连接ＥＣ，Ｓ阴影 ＝Ｓ△ＢＣＥ＋ Ｓ扇形ＤＣＥ－Ｓ扇形ＣＢＥ Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＢＡＢ′ ５７