加练10 圆-【一战成名新中考·乾坤卷】2024河南中考原创压轴卷（全学科）

乾卷加练·河南数学 数 学 加练１０　圆 （每年考查２－３道，１２－１３分） 一、选择题（每小题３分） （猜押第６题） １．如图，ＡＢ为⊙Ｏ的直径，点Ｃ在⊙Ｏ上，∠Ａ＝ ２４°，则∠Ｂ的度数为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．６６° Ｂ．４８° Ｃ．３３° Ｄ．２４° 第１题图 　　　 第３题图 ２．若四边形 ＡＢＣＤ内接于⊙Ｏ，∠Ａ＝６０°，则 ∠Ｃ的度数为 （　　） Ａ．６０° Ｂ．８０° Ｃ．１００° Ｄ．１２０° 二、填空题（每小题３分） （猜押第１４题） ３．（２０２３新乡市三模）如图，在６×６的网格中， 每个小正方形的边长均为１，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ均 在小正方形的顶点上，线段 ＡＤ与 ) ＡＢＣ交于 点Ｅ，则图中 ) ＢＥ的长为　　　　．（结果保 留π） ４．（传统文化）古人认为“天圆地方”，《周礼· 春官·大宗伯》记载“以玉作六器，以礼天地 四方”，长江流域良渚文化，创制美玉，尤以 琮（如图①）、璧最为经典．如图②是“琮”的 横截面的示意图，其“外方”是一个边长为 １０ｃｍ的正方形ＡＢＣＤ，内圆⊙Ｏ的圆心与正 方形的中心重合，正方形的四个角上各有一 个腰长为４ｃｍ的等腰直角三角形，⊙Ｏ与 其斜边相切，则⊙Ｏ的半径为　　　ｃｍ． 第４题图 ５．如图，扇形 ＡＯＢ的圆心角是直角，半径为 槡３３，Ｃ为 ＯＡ边上一点，将△ＢＯＣ沿 ＢＣ边 折叠，圆心Ｏ恰好落在 ) ＡＢ上的点Ｄ处，则阴 影部分的面积为　　　　． 第５题图 　　　 第６题图 ６．（２０２４信阳市九上期末）如图，正方形ＡＢＣＤ 的边长为４ｃｍ，以点Ａ为圆心，ＡＤ长为半径 画弧，交 ＡＣ于点 Ｅ，得到扇形 ＤＡＥ．若扇形 ＤＡＥ正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆 锥的全面积是　　　　　　ｃｍ２． 三、解答题 （猜押第２０题） ７．（９分）（２０２４南阳市九下开学考节取）如图， 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以 ＡＢ为直径的⊙Ｏ 与ＢＣ交于点Ｄ，连接ＡＤ． （１）求证：ＢＤ＝ＣＤ； （２）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧 ) ＢＤ的 中点Ｅ．（不写作法，保留作图痕迹） 第７题图                                                                  ２９ 乾卷加练·河南数学 数 学 ８．（９分）（２０２４周口市九下开学考）如图，ＡＢ 是⊙Ｏ的直径，ＡＢ＝１２，弦ＡＣ＝６，∠ＡＣＢ的 平分线交⊙Ｏ于点Ｄ，过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＢ交 ＣＡ的延长线于点Ｅ，连接ＡＤ，ＢＤ． （１）由 ＡＢ，ＢＤ， ) ＡＤ围成的阴影部分的面积 是　　　　； （２）求线段ＤＥ的长． 第８题图 ９．（９分）（２０２４驻马店市一模）不倒翁是一种 受人喜爱的儿童玩具，小华在手工课上用一 球形物体做了一个戴帽子的不倒翁（如 图①），图②是该不倒翁的一种视图（设圆心 为Ｏ）．已知帽子的边缘 ＰＡ，ＰＢ分别与⊙Ｏ 相切于点Ａ，Ｂ，连接ＰＯ并延长，交 ＡＢ于点 Ｎ，交⊙Ｏ于点Ｍ，过点Ａ作⊙Ｏ的直径ＡＣ， 连接ＢＣ．请补全图形，并解答下列问题： （１）若ＰＢ＝ＡＣ，求证：ＡＢ＝２ＢＣ； （２）在（１）的条件下，若帽子的边缘 ＰＡ＝ ８ｃｍ，求不倒翁的高度ＰＭ． 　　 第９                                                                       题图 ３９ 乾卷加练·河南数学 数 学 １０．（９分）（２０２４商丘市九上期末）如图，在 △ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，以 ＡＢ为直径作⊙Ｏ交 ＢＣ于点 Ｄ．过点 Ｄ作 ＥＦ⊥ＡＣ，垂足为 Ｅ， 且交ＡＢ的延长线于点Ｆ． （１）求证：ＥＦ是⊙Ｏ的切线； （２）ＡＣ边与⊙Ｏ交于点Ｇ，填空： ①当∠Ａ的度数为　　　　时，四边形 ＡＯＤＧ为菱形； ②在①的条件下，若 ＡＢ＝８，则 ) ＢＤ的长 为　　　． 第１０题图 （猜押第２２题） １１．（１０分）【材料】在学习完《切线的性质与判 定》后，晏老师布置一题：“已知：如图，⊙Ｏ 及⊙Ｏ外一点 Ｐ．求作：直线 ＰＱ，使 ＰＱ与 ⊙Ｏ相切于点Ｑ．李蕾同学经过探索，给出 了如下的一种作图方法： 第１１题图 ①连接 ＯＰ，分别以 Ｏ，Ｐ为圆心，以大于 １ ２ＯＰ的长为半径作弧，两弧分别交于 Ａ，Ｂ 两点（Ａ，Ｂ分别位于直线ＯＰ的上下两侧）； ②作直线ＡＢ，ＡＢ交ＯＰ于点Ｃ； ③以点 Ｃ为圆心，ＣＯ长为半径作⊙Ｃ，⊙Ｃ 交⊙Ｏ于点Ｑ（点Ｑ位于直线ＯＰ的上侧）； ④作直线ＰＱ，ＰＱ交ＡＢ于点Ｄ，则直线ＰＱ 即为所求． 【问题】 （１）请按照步骤完成作图，并准确标注字母 （尺规作图，保留作图痕迹）； （２）若⊙Ｏ的半径为２，ＯＰ＝６，依据作图痕 迹求ＯＤ的长； （３）除题中所给作法，你还能想到其他方法 吗？并证明                                                                       ． ４９ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 即 ｘ＋１ ２ ＝１，解得ｘ＝１，即此时 ＣＦ＝１ｃｍ；②当 ＤＦ＝ＥＦ时， 如解图②，∴ＤＦ＝ＥＦ＝（ｘ＋１）ｃｍ，∵在Ｒｔ△ＤＣＦ中，ＤＦ２＝ ＣＦ２＋ＤＣ２，∴（１＋ｘ）２＝ｘ２＋１２，解得 ｘ＝０，此时点 Ｄ，Ｅ重 合，不符合题意，此种情况舍去；③当ＤＥ＝ＥＦ＝（１＋ｘ）ｃｍ 时，延长 ＡＤ交 ＥＦ于点 Ｍ，如解图③，同上可证四边形 ＤＣＦＭ是矩形，∴ＤＣ＝ＦＭ，ＣＦ＝ＤＭ，∵ＢＦ＝ＥＦ，ＢＣ＝ＣＤ＝ ＦＭ，∴ＣＦ＝ＥＭ＝ｘｃｍ，∴ＤＭ＝ＥＭ＝ｘｃｍ，在 Ｒｔ△ＤＭＥ中， ＤＥ 槡＝２ＤＭ 槡＝２ＥＭ，∴１＋ｘ 槡＝２ｘ，解得ｘ 槡＝２＋１，此时ＣＦ＝ （槡２＋１）ｃｍ．综上所述，ＣＦ的长为１ｃｍ或（槡２＋１）ｃｍ． １０．解：（１）槡２；【解法提示】∵四边形 ＡＢＣＤ和四边形 ＡＥＦＧ均 为正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ，ＡＥ＝ＥＦ，∠Ｂ＝∠ＡＥＦ＝９０°，设 ＡＢ＝ ＢＣ＝ａ，ＡＥ＝ＥＦ＝ｂ，则ＡＣ 槡＝２ａ，ＡＦ 槡＝２ｂ，ＥＢ＝ａ－ｂ，∴ＦＣ ＝ＡＣ－ＡＦ 槡＝２ａ 槡－２ｂ 槡＝２（ａ－ｂ），∴ ＦＣ ＥＢ＝ 槡２（ａ－ｂ） ａ－ｂ 槡＝２． （２）ＦＣＥＢ的值保持不变． 理由：∵四边形ＡＢＣＤ与四边形ＡＥＦＧ均是正方形， ∴∠ＥＡＦ＝∠ＢＡＣ＝４５°，ＦＡＡＥ＝ ＡＣ ＡＢ 槡＝２， ∴∠ＥＡＦ＋∠ＣＡＥ＝∠ＢＡＣ＋∠ＣＡＥ，即∠ＣＡＦ＝∠ＢＡＥ， ∴△ＣＡＦ∽△ＢＡＥ，∴ＦＣＥＢ＝ ＡＣ ＡＢ＝ ＦＡ ＡＥ 槡＝２； （３）正方形ＡＥＦＧ的边长为３，正方形ＡＢＣＤ的边长为 槡３５． 【解法提示】同（２）可得△ＣＡＦ∽△ＢＡＥ，∴ＦＣＥＢ 槡＝２，∠ＡＦＣ＝ ∠ＡＥＢ，∵ＦＣＥＢ 槡＝ ２，ＢＥ 槡＝３ ２，∴ＦＣ 槡 槡＝３ ２× ２＝６， ∵∠ＡＥＧ＝４５°，∴∠ＡＥＢ＝１３５°，∴∠ＡＦＣ＝１３５°，∴∠ＣＦＨ ＝４５°，∵∠ＡＣＨ＝４５°，∴∠ＣＦＨ＝∠ＡＣＨ，又∵∠ＣＨＦ＝ ∠ＡＨＣ，∴△ＣＨＦ∽△ＡＨＣ，∴ＦＨＣＨ＝ ＣＨ ＡＨ＝ ＣＦ ＡＣ，设 ＡＤ＝ＣＤ＝ ａ，则ＡＣ 槡＝２ａ，∵ ＦＨ ＣＨ＝ ＣＦ ＡＣ，∴ 槡２２ ＣＨ＝槡 ６ ２ａ ，∴ＣＨ＝２３ａ，∴ＤＨ ＝ＣＤ－ＣＨ＝ａ－２３ａ＝ １ ３ａ，∴ＡＨ＝ ＡＤ ２＋ＤＨ槡 ２ ＝ ａ２＋（１３ａ）槡 ２＝槡１０３ ａ，∵ ＦＨ ＣＨ＝ ＣＨ ＡＨ，∴ 槡２２ ２ ３ａ ＝ ２ ３ａ 槡１０ ３ ａ ，解得 ａ１ 槡＝３５，ａ２＝０（舍去），∴ＡＤ＝ＣＤ 槡＝３５，ＡＨ＝槡 １０ ３ 槡×３５ 槡＝５２，∴ＡＦ＝ＡＨ－ＦＨ 槡 槡 槡＝５ ２－２ ２＝３ ２，∵∠ＡＥＦ＝ ９０°，∴ＡＥ２＋ＥＦ２＝２ＡＥ２＝ＡＦ２，∴２ＡＥ２＝（ 槡３２） ２，∴ＡＥ＝３ （负值已舍去），∴正方形 ＡＥＦＧ的边长为３，正方形 ＡＢＣＤ 的边长为 槡３５． 加练１０　圆 １．Ａ　２．Ｄ ３．５４π　【解析】如解图，连接ＡＣ，取ＡＣ中点Ｏ，连接ＯＢ，ＯＥ，设 ＡＤ交ＢＣ于点Ｆ，∵∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＡＣ是半圆Ｏ的直径，∵ＡＣ ＝ ３２＋４槡 ２＝５，∴半圆Ｏ的半径是 ５２，∵△ＡＢＦ是等腰直角三 角形，∴∠ＢＡＥ＝４５°，∴∠ＢＯＥ＝９０°，∴ ) ＢＥ的长为 ９０π×５２ １８０ ＝ ５ ４π． 第３题解图 　　　　 第４题解图 ４． 槡３２　【解析】如解图，设ＡＣ与ＥＦ交于点Ｍ，∵△ＡＥＦ是等 腰直角三角形，∴∠ＡＥＦ＝４５°，∵四边形 ＡＢＣＤ是正方形， ∴∠ＣＡＥ＝４５°，∴△ＡＭＥ是等腰直角三角形，∴ＡＭ２＋ＥＭ２ ＝ＡＥ２，即２ＡＭ２＝４２，解得 ＡＭ 槡＝２ ２（负值已舍去），∵四边 形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ＝１０ｃｍ，∠Ｂ＝９０°，∴ＡＣ＝ ＡＢ２＋ＢＣ槡 ２ 槡＝１０２，∴ＡＯ＝ＯＣ＝ １ ２ＡＣ 槡＝５ ２，∴ＯＭ＝ＡＯ －ＡＭ 槡＝３２，即⊙Ｏ的半径为 槡３２． ５．２７π４ 槡－９３　【解析】如解图，连接ＯＤ，则ＯＤ＝ＯＢ 槡＝３３，由 折叠得 ＯＢ＝ＤＢ，∠ＯＢＣ＝∠ＤＢＣ，∴ ＯＤ＝ＯＢ＝ＤＢ， ∴△ＯＤＢ是等边三角形，∴∠ＯＢＤ＝６０°，∴∠ＯＢＣ＝∠ＤＢＣ ＝３０°，∵∠ＡＯＢ＝９０°，∴ＯＣ＝ＯＢ·ｔａｎ∠ＯＢＣ 槡＝３３×槡 ３ ３＝ ３，∴Ｓ△ＯＢＣ ＝Ｓ△ＤＢＣ ＝ １ ２ 槡×３×３ ３＝ 槡９３ ２，∵Ｓ扇形ＡＯＢ ＝ ９０π·（槡３３） ２ ３６０ ＝ ２７π ４，∴Ｓ阴影 ＝Ｓ扇形ＡＯＢ－Ｓ△ＯＢＣ－Ｓ△ＤＢＣ＝ ２７π ４ 槡－９３． 第５题解图 　　 第７题解图 ６．９π４ ７．（１）证明：∵ＡＢ是⊙Ｏ的直径， ∴∠ＢＤＡ＝９０°，∴ＡＤ⊥ＢＣ． ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴ＢＤ＝ＣＤ； （２）解：如解图，点Ｅ即是劣弧 ) ＢＤ的中点． ８．解：（１）９π＋１８； （２）如解图，连接ＯＤ，过点Ａ作ＡＦ⊥ＤＥ于点Ｆ，易得ＤＥ为 ⊙Ｏ的切线． ∵ＡＢ∥ＤＥ， ∴∠ＡＯＤ＝∠ＯＤＦ＝９０°＝∠ＡＦＤ， ∴四边形ＡＯＤＦ为矩形                                                                       ， ６３ 乾卷加练答案及解析·河南数学 数 学 第８题解图 又∵ＯＡ＝ＯＤ，∴四边形 ＡＯＤＦ为正 方形． ∴ＤＦ＝ＡＦ＝ＯＤ＝６． ∵ ＡＢ是 ⊙Ｏ 的 直 径，∴ ∠ＡＣＢ ＝９０°， 又∵ＡＣ＝６，ＡＢ＝１２， ∴∠ＣＢＡ＝３０°．∴∠ＣＡＢ＝６０°． ∵ＡＢ∥ＤＥ，∴∠Ｅ＝∠ＣＡＢ＝６０°． ∵ＡＦ＝６，∠ＡＦＥ＝９０°， ∴ＥＦ＝ＡＦｔａｎＥ＝ ６ ｔａｎ６０° 槡＝２３． ∴ＤＥ＝ＥＦ＋ＤＦ 槡＝２３＋６． ９．（１）证明：补全图形并连接ＯＢ，如解图， 　第９题解图 ∵ＰＡ，ＰＢ分别与⊙Ｏ相切于点Ａ，Ｂ， ∴∠ＰＡＯ＝９０°，ＰＡ＝ＰＢ＝ＡＣ， ∴∠ＰＡＮ＋∠ＢＡＣ＝９０°， 又∵ＯＡ＝ＯＢ，∴ＰＯ垂直平分ＡＢ， ∴∠ＰＮＡ＝９０°，ＡＢ＝２ＡＮ， ∵ＡＣ是⊙Ｏ的直径，∴∠ＡＢＣ＝９０°， ∴∠ＢＡＣ＋∠Ｃ＝９０°， ∴∠ＰＡＮ＝∠Ｃ， 又∵∠ＰＮＡ＝∠ＡＢＣ＝９０°，ＰＡ＝ＡＣ， ∴△ＰＡＮ≌△ＡＣＢ（ＡＡＳ），∴ＡＮ＝ＢＣ， ∵ＡＢ＝２ＡＮ，∴ＡＢ＝２ＢＣ； （２）解：∵∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＢ＝２ＢＣ， ∴ｔａｎＣ＝ＡＢＢＣ＝２， ∵∠ＡＮＯ＝∠ＡＢＣ＝９０°，∴ＰＯ∥ＢＣ， ∴∠ＰＯＡ＝∠Ｃ， ∴ｔａｎ∠ＰＯＡ＝ｔａｎＣ＝２， 在Ｒｔ△ＰＡＯ中，ｔａｎ∠ＰＯＡ＝ＰＡＡＯ＝２，∴ＡＯ＝４， ∴ＰＯ＝ ＡＰ２＋ＯＡ槡 ２ 槡＝４５， ∴ＰＭ＝ＰＯ＋ＯＭ＝ＰＯ＋ＯＡ 槡＝４５＋４，即不倒翁的高度 ＰＭ 为（槡４５＋４）ｃｍ． １０．（１）证明：连接ＯＤ，如解图①， 图① 　　 图② 第１０题解图 ∵ＯＢ＝ＯＤ，∴∠ＯＢＤ＝∠ＯＤＢ， ∵ＡＢ＝ＡＣ，∴∠ＯＢＤ＝∠Ｃ， ∴∠ＯＤＢ＝∠Ｃ，∴ＯＤ∥ＡＣ， ∵ＥＦ⊥ＡＣ，∴ＥＦ⊥ＯＤ， ∵ＯＤ是⊙Ｏ的半径， ∴ＥＦ为⊙Ｏ的切线； （２）解：①６０°；【解法提示】连接 ＯＤ，ＯＧ，ＤＧ，如解图②， ∵ＯＡ＝ＯＤ，∴当四边形 ＡＯＤＧ为平行四边形时，四边形 ＡＯＤＧ是菱形，由（１）知，ＯＤ∥ＡＣ，∴当ＯＤ＝ＡＧ时，四边形 ＡＯＤＧ为平行四边形，此时 ＯＧ＝ＯＡ＝ＡＧ，∴△ＡＯＧ为等边 三角形，∴∠Ａ＝６０°． ②４π３．【解法提示】由①知∠ＯＡＧ＝６０°，∵ＯＤ∥ＡＣ，∴ ∠ＢＯＤ＝６０°，∵ＡＢ＝８，∴⊙Ｏ的半径为 ４，∴ ) ＢＤ的长为 ６０π×４ １８０ ＝ ４π ３． １１．解：（１）按照步骤完成作图如解图①； 第１１题解图① （２）如解图①，连接 ＯＱ， ＯＤ，则∠ＯＱＰ＝９０°， ∵ＯＱ＝２，ＯＰ＝６， ∴在 Ｒｔ△ＯＰＱ中，ＰＱ＝ ＯＰ２－ＯＱ槡 ２ 槡＝４２， 由作图知ＡＢ为ＯＰ的垂直 平分线，∴ＯＤ＝ＰＤ， 设 ＱＤ＝ｘ，则 ＯＤ＝ＰＤ＝ 槡４２－ｘ， 在Ｒｔ△ＯＱＤ中，ＯＤ２＝ＯＱ２＋ＱＤ２， ∴（槡４２－ｘ） ２＝２２＋ｘ２，解得ｘ＝ 槡７２４， ∴ＯＤ 槡＝４２－ 槡 ７２ ４ ＝ 槡９２ ４； （３）如解图②，①连接ＯＰ，交⊙Ｏ于点 Ｍ，过点 Ｍ作 ＯＰ的 垂线ＭＮ； 第１１题解图② ②以点 Ｏ为圆心，ＯＰ长 为半径作弧，交直线 ＭＮ 于点Ｂ； ③连接 ＯＢ，交 ⊙Ｏ于 点Ｑ； ④作直线ＰＱ，则直线 ＰＱ 是⊙Ｏ的切线． 由作法可得，ＭＮ⊥ＯＰ， ＯＰ＝ＯＢ， ∴∠ＯＭＢ＝９０°， 在△ＯＱＰ和△ＯＭＢ中， ＯＱ＝ＯＭ， ∠Ｏ＝∠Ｏ， ＯＰ＝ＯＢ { ， ∴△ＯＱＰ≌△ＯＭＢ（ＳＡＳ）， ∴∠ＯＱＰ＝∠ＯＭＢ＝９０°，∴ＯＱ⊥ＰＱ， ∵ＯＱ是⊙Ｏ的半径， ∴直线ＰＱ是⊙Ｏ的切线                                                                       ． ７３