2025年普通高等学校招生考试前沿押题卷第3套数学试题

2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1.已知集合M={x|x>2x},MUN=《xIx<1或x>2},则集合N不可能为 A.{x|x<1} B.{x|-2<x<1} C.{x|0<x<1 D.{x|x<1或x>3 2。设：=（子-），则在复平面内云对应的点的坐标为 A.(-3,-4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(3,4) 3.已知a,=2入命题p:V1<2.a,}是递减数列，则7p为 A.H入≥2，{a.}是递增数列 B.V入<2，{a.}不是递减数列 C.了入<2，{a.}是递增数列 D.3λ<2，{a.}不是递减数列 4.在△ABC中，点M,N分别在边BC,AC(异于端点)上，且BM·NA=MC·CN.若MN=AAB+ 子.则A A-昌 c- 5.血氧饱和度是呼吸循环功能的重要生理参数.人体的血氧饱和度的正常范围是95%~100%，当血氧饱和 1 5 度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用对数模型：t一不S描述给氧时 间t(单位：小时)随血氧饱和度S的变化规律，其中S。为初始血氧饱和度，K为参数.已知S。=75%,血 氧饱和度达到80%时，给氧时间为0.5小时，则再过1小时，血氧饱和度大约达到 A.85% B.88% C.91% D.96% 6.某高校选派了3名男教师和2名女教师去A,B,C3所学校进行宜讲，要求每所学校至少安排1人，且恰 有1所学校既有男教师又有女教师，则不同的安排方案共有 A.54种 B.72种 C.90种 D.108种 7.如图，点M在圆锥SO的母线SA上，OM绕轴SO旋转一周将该圆锥分成上、下两 部分，记它们的体积分别为V,V若长-，OM⊥SA,则该圆锥的侧面展开图的圆 心角为 A. 2元 C.π D.√2π 1/6页 y2 、8.已知椭圆C,十1(a>b>≥0)的右焦点为F,直线y=3b】 2b与C交于A,B两点，若△ABF的内切圆 的直径不大于C的半焦距，则C的离心率的取值范围是 [2) 3 c.(02 D.) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对 的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知数据x1x2x3是互不相等的偶数，则 A.x1一1，x一1，x3一1，x1+1,x2十1，x3十1的平均数等于x1x2,x8x1x2,x8的平均数 B.x1一1，x2一1，xa一1，x1十1，x2十1，x3十1的中位数等于x1,x2,x,x1,x2,x8的中位数 C.x1一1，x2一1，xs一1，x1十1，x2十1，x十1的极差不大于x1,x2x3x1,x2x3的极差 D.x1一1，xg一1，x3一1，x1十1，x2十1，xs十1的标准差不大于x1,x2,x3,x1,x2,x3的标准差 10.已知圆C:(x-cos0)+(y-sin0)2=1,则 A.直线xcos0+ysin0=0与圆C总相切 B.圆x2+y=4与圆C总相切 C.圆x2十y2=1与圆C的公共弦的弦长为定值v2 D.两坐标轴被圆C所截得的弦长之和的最大值为2√2 11.已知函数f(,x)的定义域为R,f(x)f(y+2)=f(x-y)十f(2-x)f(y),且f(.x)不恒为0，则 A.f(2)=0 B.f(x)是奇函数 C.f(4)>f(6) D.f(x)是周期函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知直线2x一y+b=0与曲线y=x+ln(ax)相切，则E的值为 13.已知x:是函数f)-2n(ar十p）-1w>0,9<0)的两个零点，若11一：l=石，且将fx)的图 象向左平移。个单位长度后恰好过坐标原点，则的最大值为 14.记各项均为正数的数列{am}的前n项和为S。,数列 的前n项和为T。,若a1=2a2, 8-台= 且入<T,<2入十恒成立，则实数入的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，D为BC边的中点，AC=√2. I)若AB=3,求n<BAD sin∠CAD的值； (2)若AD=√3，求cosB的最小值. 2/6页 16.(15分) 如图，在三棱台ABC-A,B,C,中，AC⊥BC,BC,⊥平面ACC1A1,AC=BC=2,CC1=BB,=1. (1)证明：平面BCC1B1⊥平面ABC: (2)求直线AB与平面A,BC1所成角的正弦值， 3/6页 17.(15分) 体育课上，为帮助同学们更好地掌握正确的投篮姿势和技巧，老师特意安排了一次定点投篮趣味练习， 规定：每人投篮三次，在A处最多投两次，每投进一球得3分，未投进得0分：在B处最多投两次，每投进一 球得2分，未投进得0分.每次投篮，若未投进或此处两次投篮机会都用完，则更换投篮地点，直到三次投篮 机会都用完，投篮结束.已知学生甲在A处投篮每次投进的概率为号·在B处投篮每次投进的概率为？，且每 次是否投中相互独立. (1)若学生甲先在A处投，求学生甲第三次投篮在B处投的概率： (2)为使投篮的总得分数学期望最大，学生甲应先在A处投？还是先在B处投？并说明理由. 4/6页 18.(17分) 已知双曲线C:无=1（口>6>0）的右焦点为F(2,0),渐近线的夹角为60的 (1)求C的方程； (2)过点F的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点，P为x轴上的动点，过点P作OA的平行线， 交1于点M,交直线OB于点Q,证明：当Q为PM的中点时，点M在一定直线上，并求出该直线方程 5/6页 19.(17分) 已知函数f(x)=cosx(1一sinx). (1)求f(x)在区间（一π，x)上的单调区间： （②)若方程/)=h二名如2：-2有两个不相等的实数根红.证明1，< 6/6页2025普通高等学校招生考试前沿押题卷 数学（三） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 选择题答案速查 题号 2 3 6 7 8 9 10 11 答案 A D B C C D B AB ABD BCD 、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每 【答案】B 小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 【解析】因为BM·NA=MC·CN,即 BM CN 求的。 MC NA,所 1.已知集合M={x|x2>2x),MUN={x|x<1或 CN AC .设BM=xBC,0<x<1,则CN= x>2},则集合N不可能为 BC A.{x|x<1} B.{x|-2<x<1} xCA,所以MN=AN-AM=CN-CA-AB C.{xl0<x<1} D.{x|x<1或x>3} BM=x CA-CA-AB-z BC-AC-x AC-AB- 【答案】C x(AC-AB)=(x-1)AB+(1-2x)AC.MN= 【解析】M={x|x>2x}={xx<0或x>2}, 当N={x|x<1}时，MUN=(x|x<1或x>2}; x-1=λ， λ= 当N={x|-2<x<1}时，MUN={x|x<1或 AA店+号AC,所以 2解得 1-2x= x>2):当N={x|0<x<1}时，MUN={x|x<0 3, x=61 或0<x<1或x>2}:当N={x|x<1或x>3} 5,血氧饱和度是呼吸循环功能的重要生理参数.人体的 时，MUN={x|x<1或x>2},所以集合N不可能 血氧饱和度的正常范围是95%一100%，当血氧饱和 为{x|0<x<1}. 度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的 2设-（层-1，则在复平面内，z对应的点的坐 1 某段时间内，可以用对数模型：2一京血。描述给氧时 标为 间t(单位：小时)随血氧饱和度S的变化规律，其 A.(-3,-4) B.(-3,4) 中S。为初始血氧饱和度，K为参数.已知S。=75%, C.(3,-4) D.(3,4) 血氧饱和度达到80%时，给氧时间为0.5小时，则再 【答案】A 过1小时，血氧饱和度大约达到 【解标】为=（-1）-（停-1）=1+ A.85% B.88% C.91% D.96% 【答案】C 2i)2=一3十4i,所以元=一3一4i,所以在复平面内， 【解析】设再过1小时，血氧饱和度达到x%,由题意 对应的，点的坐标为（一3，一4）。 1 1 80 x 80 3.已知a,=2m一，命题p:入<2，{a.}是递减数列， 知 3 1 x 所以n希若=31n行，即x=75× 则中为 2=1血 A.Hλ≥2，{am}是递增数列 8013803 162163 B.HA<2,{a.}不是递减数列 (77=80×15=45≈91. C.3入<2，{a.}是递增数列 6.某高校选派了3名男教师和2名女教师去A,B,C3 D.3入<2，{a.}不是递减数列 所学校进行宣讲，要求每所学校至少安排1人，且恰 【答案】D 有1所学校既有男教师又有女教师，则不同的安排方 【解析】因为全称量词命题的否定是存在量词命题， 案共有 所以一p为“了入<2，{a。}不是递减数列” A.54种 B.72种 C.90种 D.108种 4.在△ABC中，点M,N分别在边BC,AC(异于端点) 【答案】C 上，且BM·NA=MC:CN,若=AA店+子AC 【解析】若恰有1所学校安排3人，则这3人为2男1 女或1男2女，安排方案有CCCA+CCA号= 则入= 54种；若恰有1所学校安排1人，则安排方案有 A- B.- c.-3 CCCC=36种，所以不同的安排方案共有54+ 36=90(种). ·14· 7.如图，点M在圆锥SO的母线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每 SA上，OM绕轴S0旋转一周 小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选 将该圆锥分成上、下两部分，记 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 它们的体积分别为V,V.若 9. 已知数据x1,x2,xa是互不相等的偶数，则 V:_1 =3,OM⊥SA,则该圆锥的 A,x1-1,x2一1，x8-1,x1十1，x2十1，x3十1的平 均数等于x1,x2,x,x1,x,xg的平均数 侧面展开图的圆心角为 B.x1-1,x2-1,x3-1,x1+1,x2十1，x4+1的中位 A受 数等于x1,x,x,x1,x2,x的中位数 C.x1一1，x2-1,x:-1,x1+1,x2十1，xg十1的极 C.π D.√2π 差不大于x1,x,x1x1,x2,x3的极差 【答案】D D.x1-1,x-1,xa-1,x1+1,x2+1,x1十1的标 【解析】如图，过点M作MH⊥SO于点H,由题意 准差不大于x1,x红x1,x1,xg,xg的标准差 得了：MH,S0 1 【答案】AB 以M=1 1 3π·0A2·S0 OA ,所以M 【解析】不妨设x1<x2<x3.将x1一1，x:一1，x3一 1,x1+1,x2十1，x十1从小到大排序为x1一1，x1十 是SA的中点.因为OM⊥SA,所以SO=OA.设该圆 1,x2-1,x2十1，x3-1,x3十1，将x1,x2,x8,x1,x2, 雏的侧面展开图的圆心角为日，则2π·OA=SA· x从小到大排序为x1,x1,x2,x2,x,x4,因为 6=√2OA·6,解得0=√2π x1-1+x:-1+x-1+x1+1+x:十1十xs+1- 6 x1十x十x十x1十x十1，故A正确；因为x1一1， H--- 6 x1十1，x2-1,x2十1，x-1,x1十1的中位数为x2, 0 x1,x1,xx2x,x3的中位数为x,故B正确；因为 8.已知箱圆C:号+=1a>6>0)的右焦点为F,直 4y2 x1一1，x:一1，xg一1，x1+1,x2十1，xs十1的极差为 x8一x1十2，x1,xg,xx1,x2,x3的极差为x一x1, 线y-与C交于A,B两点若△ABP的内切园 故C错误；不妨设x1=2,x2-4,x1=6,则可得x1一 1,x1十1，x2-1,x2+1,xa-1,xg+1与x1,x1,x2 的直径不大于C的半焦距，则C的离心率的取值范 x2,xg,x3的平均致都是4，所以x1一1，x1十1，x2一 围是 1,x:十1，x一1，x3+1的方差为 A(0,] B[合 (1-4)2+(3-4)2+(3-4)2+(5-402+(5-4)2+(7-402 c.] D 3’x1,x1,x2,x2,x3,x:的方差为 【答案】B 【解析】设C的左焦点为F',由对称性知|AF|十 2x2-4+2X4-0+2x6==号，故 6 |BF=AF+1AF'1=2a.将y=号 6代入之 D错误. 10.已知圆C:(x-cos8)2+(y-sin8)2=1,则 前-1，得x=土号，所以1AB1=a,设△ABP的内初 A.直线xcos0十ysin0=0与圆C总相切 B.圆x2十y2=4与圆C总相切 国的丰径为r,剥S=号API+1BF1+1ABD: C.圆x2+y2=1与圆C的公共弦的弦长为定值√2 D.两坐标轴被圆C所截得的弦长之和的最大值 =AB1,6f以a=a 乞b,解得2r= 为2W2 【答案】ABD 3b,设C的焦距为2c,由△ABF的内切圃的直径不 【解析】因为圆C的國心到直线xcos0+ysin0=0 大于C的半焦距，得 的距离d= b≤c,即b≤5c,即a2-c2≤ cos0+sin0=1,故A正确；圆x2十 √cos8+sin0 3c,所以 则=≥又e<1,所以C的 1 y2=4与圆C的圆心距为√cos0+sin'6=1=2- q7>- 1,故B正确；因为圆x2十y2=1与圆C的半径均为 心率的取位花国是合，小 1,且国心距为1，所以公共孩长为2-（厂 ·15- √3，故C错误：图为圆C:(x一cos0)2+(y 以u=4,f(x)=2sin(4x+9)-1,f(x+6）- sin8)2=1,所以令y=0,得x=0或x=2cos0;令 x=0,得y=0或y=2sin8,所以两坐标轴被圆C 2snz+行+p）一1.因为将fx)的图象向左平 所截得的弦长之和为2(|cos0|+|sin0|).因 为2(|cos812+|sin012)≥(cos8|+|sin01)2,所 老管个单住长度后拾好过坐标原点，所以2sn+ 以cos8|+|sinf|≤2，即2(|cos al+|sin9|) 22,当且仅当eos0l=1sin0=气时，等号成立， -1=0,即m(管+)=名：所以号+p 故D正确」 吾+2，∈Z或行+g-晋+2x,∈Z.解得 11.已知函数f(x)的定义域为R,f(x)f(y+2)= f(x一y)+f(2-x)f(y),且f(x)不恒为0，则 甲=-营+2x,通∈Z或p=音+2张x,e∈Z又p< A.f(2)=0 B.f(x)是奇函数 C.f(4)>f(6) D.f(x)是周期函数 0,所以甲的最大值为一受 【答案】BCD 14.记各项均为正数的数列{a.}的前n项和为S.,数列 【解析】令x=y=0,得f(0)f(2)=f(0)十f(2)f(0), 所以f(0)=0;令y=0,得f(x)f(2)=f(x),所以 Sw+1_a"=1, 侵}的前u项和为T若a:=2a: 2 f(2)=1,故A错误；令x=0,得f(一y)十f(y)= 1 0,故B正确：令x=y=2,得f(2)·f(4)=0,所以 且入<T.<2以十2恒成立，则实数入的取值范 f(4)=0.令x=2,y=4,得f(2)f(6)= 围是 f(-2)=一f(2),所以f(6)=一1，故C正确；令 x=2,得f(2)f(y+2)=f(2-y)十f(0)f(y),所 【答案】[-i6) 11 以f(y+2)=f(2-y)=-f(y-2),则f(y+ 【解析】由-=1，得2S1=aa1十2a1 4)=-f(y),f(y+8)=-f(y+4)=f(y),所以 an+1 2 f(x)的周期为8，故D正确. 所以2Sm+2=am+1am+2十2am+2,两式相减得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 2am+2=aH+1at+2一anan+1十2am+2一2at+1,即 12.已知直线2x-y+b=0与曲线y=x十ln(ax)相 aa-1(am+2-am-2)=0.又am>0,所以an+2一 切，则号的值为 am=2.又2S2=2a1十2a:=a1a2十2a2,解得a2=2, 所以a1=4,Sm=a1十a2+a:+…十am=(a1十 【答案) a:+…+aa-1)+(a2+a4+…十aa)=4n十 【解析】设切点为(xy),因为y=1十上，所以 nn,-D×2+2m+m2D×2=2m+4n= 2 +1=2, aa+0,所以-ad百-日-)】 1 yo=zo+In(axo) 所以20=1， In a=1+6, 则a=e1+b= 所以工=-号+ 24 +-+…十 2xo-y。十b=0, 1 e·e,所以E= +)=+ a e 13.已知x1,x2是函数f(x)=2sin(ax+9)一1（ω>0， 中)=号-（市十）国为T.是递增数 <0)的两个零点，若x1一x=石，且将f(x) 列，所以日≤T.<音又A<工.<2以十号恒成立，所 的图象向左平移看个单位长度后恰好过坐标原点， 以A<日，且2以+号>号解得-<<号 则p的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说 【答案】一 明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 【解析】f(x)=2sin(wx十9)一1=0等价于 在△ABC中，D为BC边的中点，AC=√2」 snax十p）=合因为-：lm=石，w>0,所以 (I)若AB=3,求in∠BAD 1a1+g）-(ox十p。=ol,-z=要所 `sin∠CAD的值， (2)若AD=√5，求cosB的最小值， ·16· 解：(1)法一：由D为BC边的中点，得△ABD和 又AC⊥BC,BC:∩BC=B,BC,BC1C平 △ACD的面积相等. (2分) 面BCC1B1, 因为AC=√2，AB=√5， 所以AC⊥平面BCC:B:. (4分) ADsin∠BAD-2 ADsin∠CAD. 所以3 因为ACC平面ABC, (4分》 所以平面BCC:B1⊥平面ABC. (6分) 又AD>0,所以in∠BAD-巨6 (2)解：因为BC1⊥平面ACC1A1,CC,C平面 sin∠CAD33 (5分) ACC1A1,所以BC1⊥CC, 法二：在△ABD和△ACD中，分别由正弦定理，得 又在梯形BCC1B1中，BC∥B1C1,BC=2,CC:= AB BD AC CD sin∠ADB sin∠BAD'sin∠ADC sin∠CAD' BB=1,所以∠C,CB= (2分) 如图，过点C1作C1H⊥BC于点H, 所以5sin∠BAD=BDsin∠ADB,CDsin∠ADC= 1 则CH=2BC=1. W2sin∠CAD 又BD=CD,sin∠ADB=sin∠ADC, 又由(1)知平面BCC,B1⊥平面ABC,平面 所以√3sin∠BAD=√2sin∠CAD, BCC:B1∩平面ABC=BC,C1HC平面BCC1B1, (4分) 所以in∠BAD-2_6 所以C,H⊥平面ABC. (8分) sin∠CAD5=3 (5分) 又AC⊥BC,所以以C为坐标原点，CA,CB所在直 线分别为x轴、y轴，过点C且与C1H平行的直线为之 (2)设△ABC的内角∠BAC,B,C的对边分别 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 为a,b,c, 又AC=BC=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0), 则B-E,BD=CD-分 B0,20.c029》 因为AD=√3，所以在△ABD和△ACD中，由余弦 +-4+ -(2) 则Ci-(2.0,0).G=2ci=1,00.Ci- 4 定理，得 =0, 2gx号 25×g (o号-9）=(-220 3 (10分) 化简得a2-2c2=一8. (8分) 设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z), 在△ABC中，由余弦定理，得 n·CA:=0, x=0, cos B a2+c2-(W2)2 4a2+4c2-8 则 = 即33 2ac Bac n·C1B=0, (2y-2=0, 4a+4c2+a2-2c2_5a2+2c22/10ac-1 Bac ≥ 令y=1,则x=0,之=5， 8ac 8ac 4, 所以平面A1BC1的一个法向量为n=(0,1,W5). (10分) (12分) 所以cosB≥ ,当且仅当5a=√2c, 设直线AB与平面A:BC1所成的角为6， 即a=√2，c=√5时，等号成立， 则si血g=1cos(n,A店)1=ln·A亩 InABI 所以c0sB的最小值为四 4 (13分) 2 2 16.(15分) √/1+(3)2×√/(-2)+2 41 如图，在三棱台ABC A1B1C1中，AC⊥BC,BC1⊥平 所以直线AB与平面A:BC,所成角的正弦值为 4 ACC1A1,AC=BC=2,CC1= (15分) BB1=1. (1)证明：平面BCC1B:⊥平面ABC: (2)求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值. (1)证明：图为BC1⊥平面ACC1A1,ACC平 面ACC1A1, 所以BC1⊥AC. (2分) ·17 17.(15分) 体育课上，为帮助同学们更好地掌握正确的投篮姿 势和技巧，老师特意安排了一次定点投篮趣味练习，规 定：每人投篮三次，在A处最多投两次，每投进一球得 P==x×号- 3分，未投进得0分；在B处最多投两次，每投进一球 P=60=×号×号- 得2分，未投进得0分，每次投篮，若未投进或此处两次 投篮机会都用完，则更换投篮地点，直到三次投篮机会 p=m-x×号- 都用完，投篮结束.已知学生甲在A处投篮每次投进的 1 1 3 概率为号，在B处投篮每次投进的概率为子，且每次是 所以Em=0X福+2×号+3X品+4×是+5x +6x+x-品 1 否投中相互独立. (14分) (1)若学生甲先在A处投，求学生甲第三次投篮在 因为E(X)>E(Y), B处投的概率： 所以学生甲应先在A处投篮. (15分) (2)为使投篮的总得分数学期望最大，学生甲应先 18.(17分) 在A处投？还是先在B处投？并说明理由 解：(1)记“学生甲第三次投篮在B处投”为事件M, 已知风曲线C:层-茶=1a>6>0)的右焦点为 则M包含学生甲第一次在A处投篮且投进和学生甲第 F(2,0),渐近线的夹角为60° 一次在A处投篮且未投进，第二次在B处投篮且投进， (1)求C的方程； 所以Pm=号+-号)×- (2)过点F的直线1与C交于A,B两点，O为坐标 原点，P为x轴上的动点，过点P作OA的平行线，交1 即学生甲第三次授篮在B处投的概率为2 (5分) 于点M,交直线OB于点Q,证明：当Q为PM的中点 (2)学生甲应先在A处投篮，理由如下： 时，点M在一定直线上，并求出该直线方程， fe=2, 若学生甲先在A处授，记X为学生甲三次投篮的 总得分，则X的所有可能取值为0,2,3,4,5,6,8， (1)解：设C的焦距为2c,由题意得 - 11、11 3 P(X=0)= 3×X3=36 a2+b2=c2, 1.3..11 (3分) P(X=2)=3×4X4=16, 解得=3， (5分) px=-x×号+号x× b=1, 49 1、333 所以C的方程为？y-1】 (6分) P(X=4)=3×4X4=6' (2)证明：由题意设l:x=1y十2，A(x1,y1）, 2131 P(X=5)=5×方X4-6 B(x2,y2),P(t,0), [x=my+2, 22、11 P(X=6)=3×3X4=9 联立x 3y2=1, 得(m2-3)y2+4my+1=0, 22、31 P(X=8)=3×3×=3: 则m2一3≠0，△=16m2-4(m2-3）=12m2十 所以Ex0=0X品+2x品+3x号+4x是+5X 12>0, 1 16 4m 1 所以m2≠3，y1十y2=一 m2-3 君+6x+8x-号 143 m2-3y1y= (10分) 且y1+y2+4my1y:=0. (8分) 若学生甲先在B处投，记Y为学生甲三次投篮的总 得分，则Y的所有可能取值为0,2,3,4,5,6,7， 因为PM∥OA,所以直线PM的方程为x=) 1.11 ,直线OB的方程为y=兰x x2 P(Y=2)= 113,3、1 Z= y+t, 8 联立 12、11 PY=3)=×行×3=8 y= 一x+ ·18· tyy2 得。王2my+2y1=my十2y 所以g(x)>g()>0, tyiy: 2(y1-y2) 故gx)在区同（受，十0）上无车点。 (8分) - 联立 当0<<受时，令Ax)-2+sinx-是 x=my十2， 得yM= 2-t)y_2-t)y ,xM-m（2-2+2 则hx)=casz+>0, x1-myi 2 (10分) 所以h(x)在区间(0，)上单调递增。 当Q为PM的中点时，yM=2yQ 所以头所以号” 又A(号）<0，（经）>0 2 y1-y2 解得1=201-2 所以存在x∈(0,2)使得h(x)=0,且当x∈ y1+y2 (13分) (0,x)时，h(x)<0,即g'(x)<0,g(x)单调递减；当 2(y1-y:)1 所以xM=y(2一) my1 2- x(x)时，h(x)>0,即g(x)>0,gx)单调递增， +2= y1+y2 2 2myy2+2= 2 2myy2+2=2 故x1∈0x:∈(） y1+y2 -4my1y: g(x1)=2x1-cos x1-In x1-2=0, 所以点M在定直线x=上， (17分) g(x2)=2x2-cosx2-lnx2-2=0, 两式相减，整理得 19.(17分) 2(x:x1)-(In x:-In z1)=cos x2-cosx1<0, 已知函数f(x)=cosx(1一sinx). (1)求f(x)在区间（一元，x)上的单调区间； e1 (2)若方程f(x)=ln 1云一2in2x-2有两个不相 要柜：<甲强<受 (11分) 等的实数报，<，).证明：1<号 下面证√x1x2< x2-x1 (1)解：由f(x)=cosx(1-sinx),得f'(x)= In x:-In x1 ,即证lnx2一lnx1< 2sin'z-sin x-1=(2sin x+1)(sin x-1), (2分) x?一x 层-层 ,只需证1n< (13分) 所以当x(-,-管）时fx)<0,fx)单调 √x1x2 递减； 令2=t,则t>1. 当x(-晋-晋)时，f✉>0，f)单调递境： 令s)=n-+左，则（)=片29 当x(一若时，f(x)≤0，f)单调递减， 1 2F-t-1=_6-1)2 21 ≤0，所以s(t)单调递减. 2t 2t 所以f(x)在区间（一π，π）上的单调递减区间是 又s(1)=0, (一一）（音）单调运增区间是(-警一》 所以当t>1时，s(t)<0,即当t>1时，lnt< (6分) i- （②证明：方程f)=h兰-方血2z-2有两个 不相等的实数根x1,x2,等价于方程2x一cosx 所以<层- lnx一2=0有两个不相等的实数根x1,x 4g(x)=2x-cos x-In x-2, x2一x1一成立。 即1x<n:-1n (15分) 1 则g'(x)=2+sinx一元 又<所以原< 当x>时，g(x)>0,则g红)单调递增， 即x1x<4 (17分) ·19·