期末专题06 概率与统计综合（7大题型51题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题06 概率与统计综合（7大题型51题） 题型概览 题型01 样本数字特征 题型02 正态分布 题型03 古典概率、独立事件概率的乘法公式 题型04 条件概率与全概率 题型05 随机变量及其分布 题型06 统计案例 题型07 与数列结合 ( 题型01 ) 样本数字特征 1．(23-24高二下·湖南张家界·期末)样本数据的中位数是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 【答案】A 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】直接由中位数的定义即可得解. 【详解】将从小到大排列为：，这9个数的中位数为5. 故选：A. 2．(23-24高二下·湖南郴州·期末)若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 【答案】A 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】根据第六十百分位数，结合二项式通项公式进行求解即可. 【详解】因为n为一组从小到大排列的数的第六十百分位数，， 所以， 二项式的通项公式为， 令，所以常数项为， 故选：A 3．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）下列说法中， 正确的是（    ） A．数据的第百分位数为 B．已知随机变量服从正态分布，；则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则 D．若样本数据的方差为，则数据的方差为4 【答案】BC 【分析】利用第百分位数的性质判断A，利用正态分布的性质判断B，利用回归方程的性质判断C，利用数据方差的性质判断D即可. 【详解】对于A，我们首先按顺序排列数据，得到， 而第百分位数即为中位数，所以该数为，故A错误， 对于B，因为随机变量服从正态分布，， 所以，， 故，得到，故B正确， 对于C，因为，所以， 将代入中，得到，解得，故C正确， 对于D，因为样本数据的方差为， 所以数据的方差为，故D错误. 故选：BC 4．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为3，极差为4 【答案】B 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】举出相应反例计算可得A、C、D错误，借助反证法及方差计算公式可得B. 【详解】对于A，数据为：时，满足中位数为3，众数为2， 但不满足每位选手的失分不超过6分，故A错误； 对于B，假设有一位同学失7分，则方差，与方差为1矛盾， 假设不成立，故B正确； 对于C，数据为：1，2，2，2，2，时，满足平均数为3，众数为2， 但是不满足每位选手失分不超过6分，故C错误； 对于D，数据为：，满足中位数为3，极差为4， 但最大值超过6分，故D错误. 故选：B. ( 题型02 ) 正态分布 5．(23-24高二下·湖南·期末)已知随机变量，且，则（    ） A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性即可求解. 【详解】根据正态曲线的对称性可得, 故选：C 6．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)若随机变量服从正态分布，且，则 . 【答案】0.34/ 【来源】湖南省长沙市第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据正态曲线的性质可得，即可求解. 【详解】服从正态分布， 则. 故答案为：0.34. 7．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)（多选）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】随机变量X服从正态分布， 所以正态分布的对称轴为 ， 根据对称性可知：，得，A正确，B错误； 则，C错误，D正确. 故选：AD 8．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）设，这两个正态曲线如图所示.则（    ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由已知图象可得与，与的大小关系，然后利用正态分布的性质逐一分析各选项即可得解. 【详解】因为，两曲线分别关于和对称， 所以由图可知，，所以A错误； 因为X的分布曲线“高瘦”，Y的分布曲线“矮胖”，所以 ，所以B正确； 由正态分布在区间上的概率的几何意义，有， C错误； ，D正确. 故选：BD 9．(23-24高二下·湖南浏阳·期末)某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（   ） A．246 B．252 C．286 D．293 【答案】D 【来源】湖南省浏阳市2023-2024学年高二下学期期末质量监测数学试卷 【分析】根据正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以，， 所以 ， 又， 所以被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为个. 故选：D 10．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是 分． 【答案】75 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】利用正态分布的性质结合题意求解. 【详解】设考试成绩为随机变量，则， 所以， 因为按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级， 所以等级和等级一共占， 所以等级的最低分为75分. 故答案为：75 11．(23-24高二下·湖南·期末)2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64. (1)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列； (3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 附：若随机变量T服从正态分布，则，，. 【答案】(1)10∶04 (2)分布列见解析 (3)819 【分析】（1）利用平均数公式求解； （2）易知在10:00前通过的车辆数为，则X的可能的取值为0，1，2，3，4，分别求得其概率，列出分布列； （3）由（1）得，求得，进而得到，从而9:46~10:40之间通过的车辆数求解. 【详解】（1）解：这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为： ，即10∶04； （2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组中在20，60这一区间内的车辆数， 即， 所以X的可能的取值为0，1，2，3，4. 所以，，， ，. 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P （3）由（1）得， 所以， 估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在46，100通过的车辆数， 由，得 ， 所以估计在之间通过的车辆数为. 12．(23-24高二下·湖南·期末)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则，，. 【答案】(1)20；平均数为376 (2)奖金约为95700元 【分析】（1）利用频数之和等于样本总数易得值，利用与频数分布表有关的平均数公式计算即得； （2）由题意，结合（1）的结果易得的值，根据“级群”， “特级群”的范围，利用正态分布曲线的对称性，求出对应的概率，再计算出需准备的奖金即可. 【详解】（1）由题意得，，解得. 则这100个购物群销售脐橙总量的平均数为. （2）由题意，则， 故 ， 故“级群”约有个； ， 故“特级群”约有个； 则依题意，需要资金为元，即该脐橙基地大约需要准备95700元. ( 题型03 ) 古典概率、独立事件概率的乘法公式 13．(23-24高二下·湖南·期末)从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 . 【答案】 【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：从2，3，4，5四个数中任取两个数，所有可能结果有、、、、、共个结果； 满足两个数相差为2的有、共个结果； 所以两个数相差为2的概率； 故答案为： 14．(23-24高二下·湖南张家界·期末)袋子中装有6个质地､大小均相同的球，其中有3个红球､2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为 . 【答案】 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】写出基本事件，结合古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】设3个红球分别为：，2个绿球分别为：，一个蓝球为：， 则从袋子中随机一次取出2个球，样本空间为： ，共15个基本事件； 事件“取出的2个球颜色不同”包含的基本事件有： ，共11个基本事件； 故所求概率为：. 故答案为：. 15．(23-24高二下·湖南·期末)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案. 【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法， 若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中， 则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况， 则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为. 故选：B 16．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 【答案】ACD 【分析】对A：借助独立事件乘法公式计算即可得；对B：借助相互独立事件定义，分别计算出、、后，验证是否满足即可得，C、D同理. 【详解】对A：，故A正确； 对B：，， 则，故与不相互独立，故B错误； 对C：，， 则，故与相互独立，故C正确； 对D：， 则，故与相互独立，故D正确； 故选：ACD. 17．(23-24高二下·湖南张家界·期末)甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示： 甲击中的环数 乙击中的环数 (1)求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差； (2)用甲､乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲､乙每次射击相互独立，求甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率. 【答案】(1)， (2) 【来源】湖南省张家界市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】（1）根据平均数与方差的公式直接求解； （2）根据频率可分别估计甲乙两人第十次击中环数，再根据独立事件乘法公式及互斥事件的加法公式可得解. 【详解】（1）由已知， ； （2）由已知估计得甲第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，； 乙第十次射击击中环数可能为，，，，且概率分别为，，，； 又甲前九次击中总环数为环，乙前九次击中总环数为环， 所以若甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等， 则第十次射击甲击中的环数需比乙少环， 概率. ( 题型04 ) 条件概率与全概率 18．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】法1：借助全概率公式求解；法2：根据概率计算出样本容量，然后利用古典概型计算出概率． 【详解】法1：令“玩手机超过1h的学生”，“玩手机不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人近视”， 则，且互斥； 依题意，，； 由全概率公式； 即； ； 法2：设该校有100名学生，整理得到如下列联表： 学生100人 玩手机时间 合计 超1h 不超1h 近视 10 30 40 不近视 10 50 60 合计 20 80 100 依题意有：. 故选：B． 19．(23-24高二下·湖南·期末)某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（    ） A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32 【答案】C 【分析】由全概率公式计算即可得. 【详解】由题意，选到非碳酸饮料的概率为. 故选：C. 20．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起.已知甲､乙两个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为 . 【答案】 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】由题意设出相关事件，利用全概率公式计算即得. 【详解】设从中任取一件产品“由甲工厂生产”记为事件”，由乙工厂生产“记为事件， 从中任取一件产品，“取得的产品为次品”记为事件， 则. 由全概率公式， . 故答案为：. 21．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】求出和，再利用条件概率的公式求解. 【详解】由于我们不考虑两次取球的顺序，故可以视为从该箱子中一次性随机取出两个球. 从而，， 故. 故选：D 22．(23-24高二下·湖南·期末)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用和事件的概率公式和条件概率公式可得. 【详解】因为，，则， 又，即， 所以，故B错误； ，，∴， ∴，故A错误； ，，∴，故C正确. 因为， ，∴，∴， ∴，故D错误. 故选：C. 23．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据条件概率公式求出，再由概率加法公式求出. 【详解】因为，，所以，故A正确，B错误； 又且， 所以，故C正确，D错误. 故选：AC 24．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)（多选）湖南张家界是级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6．设“第一天去玻璃栈道”；“第二天去玻璃栈道”；“第一天去凤凰古城”；“第二天去凤凰古城”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据题干得到，，，，利用全概率公式计算各选项. 【详解】由题干可知，，A正确，B错误； ，，所以， ， C、D正确； 故选：ACD. 25．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.    (1)求在魏公村下车的人数的分布列及期望； (2)已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】（1）根据题意可知每个人在魏公村下车的概率均为，的可能取值为，，求出分布列和数学期望； （2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车，求出,进而得到. 【详解】（1）的可能取值为， 由题意知每个人在魏公村下车的概率均为，且相互不影响，所以，， 0 1 2 3 4 5 . （2）设事件：贾同学比李同学先下车；事件：贾同学在魏公村下车，且李同学在北京大学站下车， 则，， 所以. 26．(23-24高二下·湖南·期末)某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． (1)求甲的累计得分的分布列和期望； (2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）由题意知：甲、乙每次答对与否互不影响，利用独立事件的概率公式求出相应概率，从而得到的分布列及期望； （2）根据题目发现该问考查条件概率，利用条件概率公式进行求解，或者利用条件概率的本质特征，样本空间缩小，进行求解. 【详解】（1）由题意知：甲累计得分的可能取值有：， 所以， ， ， ， ， ， 的分布列为： 0 30 40 60 70 100 . （2）法一：根据题意得：得分不低于70分即可获奖， 由（1）知：甲获奖的概率为， 乙获奖的概率为：， 乙只得70分的概率为：， 所以甲、乙两人同时获奖的概率为：， 甲、乙均获奖且甲累计得分比乙高的概率为：， 所以，在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率为：. 法二：已知得分不低于70分才可获奖，即甲、乙的得分应为70或100，共计4种情况，其中，甲比乙高的情况，只有甲获得100分，乙获得70分时一种情况，故概率为：. 27．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测. (1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望； (2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【来源】湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题 【分析】（1）根据条件知，利用二项分布列及期望公式，即可求出结果； （2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品， 则，，，，再利用全概率公式，即可求出结果. 【详解】（1）由题知，， 所以的分布列为， . （2）记事件：生产的产品为合格品，事件：智能自动检测为合格品， 则，，，， 所以一件产品进入人工抽查检测环节的概率为. 28．(23-24高二下·湖南·期末)现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. (1)求； (2)若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式计算即得. （2）由（1）的结论，利用全概率公式列式计算求得，进而求得结果. 【详解】（1）,,, （2）， . 该球是甲工厂生产的概率为. 29．(23-24高二下·湖南·期末)一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个． (1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布； (2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求出的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列作答. （2）根据给定条件，利用条件概率公式计算作答. 【详解】（1）可能的取值为0，1，2，3， ，，，， 概率分布列为： 0 1 2 3 （2）设“从袋子中任取两个小球，其中一个小球是黑球”为事件，“另一个小球也是黑球”为事件， 则，      由条件概率公式可得， 所以从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，另一个小球也是黑球的概率为. 30．(23-24高二下·湖南·期末)甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P； (2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”，则，，利用条件概率可得，求解即可； （2）X可能的取值为0，1，2，计算可求得分布列，进而计算可求数学期望； （3）设甲的积分为，乙的积分为，由已知可得甲晋级时n必为偶数，令，当n为奇数时，，计算可得，可得结论. 【详解】（1）记“第i次答题时为甲”，“甲积1分”， 则，，，，， ， 则，解得； （2）由题意可知当n=2时，X可能的取值为0，1，2，则由（1）可知 ， ， ， X的分布列为： X 0 1 2 P 随机变量X的数学期望为. （3）由答题总次数为n时甲晋级，不妨设此时甲的积分为，乙的积分为， 则，且，所以甲晋级时n必为偶数，令 当n为奇数时，， 则 又∵时，随着m的增大而增大， ∴. 31．(23-24高二下·湖南·期末)为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为． (1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率； (2)求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用互斥事件的概率公式与条件概率的乘法公式即可得解； （2）利用全概率公式求解. 【详解】（1）用，分别表示第一次、第二次借阅“期刊杂志”，用，表示第一次、第二次借阅“文献书籍”. 则，，，,. 记两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”为事件，则 . （2）设第二次借阅“文献书籍”为事件，则： . 32．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，. (1)若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率. (2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？ 【答案】(1) (2)选 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】（1）根据题意，由全概率公式即可得到结果； （2）当时，X为甲答对题目的数量，则，求出概率，当时，分情况分析，求出概率，再比较大小. 【详解】（1）设所选的题目为天文、航天、数字科技相关知识的题目分别为事件，，， 所选的题目回答正确为事件B， 则 ， 所以该同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为； （2）当时，X为甲答对题目的数量，则， 故当时，甲获奖励的概率， 当时，甲获奖励的情况可以分为如下情况： ①前10题答对题目的数量大于等于6， ②前10题答对题目的数量等于5，且最后2题至少答对1题， ③前10题答对题目的数量等于4，且最后2题全部答对， 故当时，甲获奖励的概率 ， ，即， 所以甲应选. ( 题型0 5 ) 随机变量及其分布 33．(23-24高二下·湖南·期末)已知随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入二项分布的方差公式，即可求解. 【详解】由随机变量服从二项分布，可得. 故选：D. 34．(23-24高二下·湖南·期末)已知随机变量满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量线性运算的方差规律，直接求解即可． 【详解】根据随机变量线性运算的方差结论，得到，则． 故选：B. 35．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 0 1 2 0.36 A．0.68 B．0.6 C．0.2976 D．3.88 【答案】A 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据概率和为1，求出，再利用期望的定义求解即可． 【详解】由概率之和为1，得，解得，或（舍）， ，， ． 故选：A． 36．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格： 项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子 志愿者人数 30 60 50 40 20 若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为 . 【答案】/ 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】首先计算出样本中澧水船工号子的人数，再判断服从超几何分布，根据超几何分布的概率公式求出概率分布，再求期望. 【详解】由题意得样本中澧水船工号子的人数为，所以可取，并且服从超几何分布， ，，， 所以. 故答案为： 37．(23-24高二下·湖南·期末)某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】B 【分析】根据正态分布的性质求出，即可得到，再根据二项分布的方差公式计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 则，所以. 故选：B 38．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)（多选）下列说法正确的有（    ） A．的展开式的第4项的系数是280 B．对于随机变量，若，则 C．已知随机变量，若，则 D．一组数据的第60百分位数为14.5 【答案】ABD 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】对于A，利用二项式的通项公式计算即得；对于B，利用随机变量数学期望的性质即得；对于C，利用正态分布曲线的对称性计算可得；对于D，利用百分位数的定义计算即得. 【详解】对于A，的展开式的第4项为，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因，， 由可知， 由正态曲线对称性，， 故，故C错误； 对于D，由，这组数据的第60百分位数为，故D正确. 故选：ABD. 39．(23-24高二下·湖南衡阳衡阳县·期末)（多选）下列命题正确的是（    ） A．数据的分位数为11 B．已知变量的线性回归方程，且，则 C．已知随机变量最大，则的取值为3 D．已知随机变量，则 【答案】BD 【来源】湖南省衡阳市衡阳县2023-2024学年高二创新实验班下学期7月期末质量检测数学试题 【分析】对于A，利用百分位数得定义即可求得；对于B，因线性回归方程必经过样本中心点，代入即可求得；对于C，作商，对结果进行分类讨论，从而完成，的大小比较，分析即得；对于D，根据正态分布曲线的对称性易求出即可判断. 【详解】对于A，因为，所以这组数据的分位数为14，故A错误； 对于，因过点，则有，解得，故B正确； 对于由，其中. 由此时， 递增； 此时，； 此时递减， 故， 即最大时，的取值为 3 或 4，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. ( 题型0 6 ) 统计案例 40．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)（多选）下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．经验回归方程相对于点的残差为 C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为，，则 【答案】ABD 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】由统计相关知识定义以及二项分布的均值公式即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A项，两个变量的相关系数为，越小， 与之间的相关性越弱， 故A正确 ； 对于 B，残差=观测值减去预测值=，故B正确； 对于，在回归分析中， 越接近于1 ， 模型的拟合效果越好， ∴为 0.98 的模型比为 0.89 的模型拟合的更好，故 C错误； 对于， 某人在10次答题中， 答对题数为， 则数学期望 ， 故D正确． 故选：ABD. 41．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5 B．当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有 C．若随机变量X服从正态分布，若，则 D．已知一系列样本点（，2，3，…，n）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 【答案】BC 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】根据中位数概念判断A，根据条件概率公式及相互独立事件判断B，根据正态分布的对称性判断C，根据残差概念判断D. 【详解】对A，数据由小到大排列为，其中位数为，故A错误； 对B，当时，，即，所以事件A与B相互独立，故B正确； 对C，随机变量X服从正态分布，且，所以，由正态分布的对称性知，，故C正确； 对D，由可知，与的残差分别为，， 所以由可得，故D错误. 故选：BC 42．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)（多选）根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据： x 1 2 3 4 5 6 y（单位：万人） 1523 1465 1202 1062 956 902 已知，由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则（    ） A． B．这6年出生人口数的下四分位数为1465 C．样本相关系数 D．样本点的残差为55 【答案】AC 【来源】湖南省岳阳市2023-2024学年高二下学期教学质量监测数学试题 【分析】对A，回归直线过样本中心点；对B，注意百分位数的计算方法；对C，相关系数与回归直线的斜率正负相同；对D，残差为观测值减去预测值. 【详解】对A，，所以，A正确； 对B，，所以下四分位数是把数据从小到大排列的第二个数956，B错误； 对C，相关系数和的正负相同，C正确； 对D，时，，对应残差为，D错误. 故选：AC. 43．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1： 表1 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 73 54 127 不优秀 61 212 273 合计 134 266 400 表2 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 6 14 不优秀 6 26 合计 40 (1)根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表． ①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率； ②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率． (2)从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （，） 【答案】(1)① ；② (2)答案见解析 【来源】湖南省娄底市涟源市2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）①古典概型概率求解②条件概率公式求解； （2）求出值，与比较判断即可. 【详解】（1）记事件“选到同学数学成绩优秀”，记事件“选到同学语文成绩优秀”， 则与相互独立，①，②． （2）表2整理如下： 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 8 6 14 不优秀 6 20 26 合计 14 26 40 零假设：数学成绩与语文成绩无关联，根据表2中的数据可得： - 依据的独立性检验，我们可以推断不成立； 即认为数学成绩与语文成绩有关联，该推断犯错误的概率不超过． 44．(23-24高二下·湖南·期末)为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 【答案】(1)选择模型② (2)；10人 【分析】（1）根据残差图即可求解； （2）根据最小二乘法求解线性回归方程，即可换元得非线性回归方程，代入即可求解预测值. 【详解】（1）选择模型②，理由如下： 由于模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄， 所以模型②的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，所以选模型②比较合适； （2）根据模型②，令与可用线性回归来拟合，有， 则， 所以， 则关于的经验回归方程为． 所以关于的经验回归方程为， 由题意，，解得，又为整数，所以， 所以，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少为10人． 45．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 (1)①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， (2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 【答案】(1)①列联表见解析；②可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关 (2)分布列见解析， 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】（1）①根据题干数据完善列联表；②计算出卡方，即可判断； （2）首先高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率，依题意可得， 根据二项分布的概率公式求出分布列，再由二项分布的期望公式求出期望. 【详解】（1）①依题意可得列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 80 40 120 女生 40 60 100 合计 120 100 220 ②零假设为跳绳比赛成绩优秀与性别独立， 由列联表可得， 依据小概率值的独立性检验，可以认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关， 该结论犯错误的概率不超过. （2）高二跳绳比赛成绩优秀的学生中女生的概率为， 则，所以的可能取值为、、、， 则， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 46．(23-24高二下·湖南·期末)无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域. (1)消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关： 晴天 雨天 命中 45 30 不命中 5 20 附：其中 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 (2)某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望； （ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）分布列见解析，（ii） 【分析】（1）根据已知数据得到列联表，求出，即可判断； （2）（i）由二项分布概率公式求概率即可得分布列，再由二项分布期望公式可得；（ii）根据互斥事件的概率公式求解可得 【详解】（1）零假设消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候无关 晴天 雨天 合计 命中 45 30 75 不命中 5 20 25 合计 50 50 100 因为， 根据小概率值α=0.001的独立性检验，零假设不成立，消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候有关. （2）（i）起火点被无人机击中次数X的所有可能取值为 ， . X的分布列如下： X 0 1 2 3 P . （ii）击中一次被扑灭的概率为 击中两次被火扑灭的概率为 击中三次被火扑灭的概率为 所求概率. 47．(23-24高二下·湖南·期末)春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 10 30 流感暴发后 30 合计 70 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． (2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0．05 0．01 0．001 3．841 6．635 10．828 【答案】(1)表格见解析，有影响 (2) 【分析】（1）根据题意完成列联表，计算，再与临界值比较即可；（2）利用条件概率公式求解. 【详解】（1）零假设为：流感暴发与请假的同学中发烧的人数之间相互独立． 完成列联表如下所示． 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 10 20 30 流感暴发后 30 10 40 合计 40 30 70 根据列联表中的数据，经计算得 ． 所以我们推断不成立，即可以认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． （2）设事件表示请假的同学为女生，事件表示需要输液治疗， ，， 则． 所以这名同学是女生的概率为． 48．(23-24高二下·湖南·期末)为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只） 药物 疾病 未患病 患病 合计 未服用 服用 合计 (1)依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性； (2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望． 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)认为药物对预防疾病有效果 (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）提出零假设为药物对预防疾病无效果，根据列联表计算出的值，结合临界值表可得出结论； （2）利用全概率公式计算出药物的治愈率，分析可知，利用二项分布列可得出随机变量的分布列，进而可得出的值. 【详解】（1）解：零假设为药物对预防疾病无效果， 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为药物对预防疾病有效果． （2）解：设A表示药物的治愈率，表示对未服用过药物，表示服用过药物， 由题意可得，， 且，， ， 药物的治愈率， 则，所以， ，， ， 所以，随机变量的分布列如下表所示： X 0 1 2 3 P ． 49．(23-24高二下·湖南·期末)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人. (1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 北方游客 合计 (2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出. （i）求经过次传递后球回到甲的概率； （ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望. 参考公式：，其中； 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)列联表见解析，无关 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用已知条件，完成列联表，利用独立性检验公式求解判断即可； （2）（i）设经过次传递后回到甲的概率为，求出关系式，得到通项公式；（ii）方法一：设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，，设前次传递中球传到甲的次数为，利用公式求期望即可.方法二：设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布，，利用公式求期望即可. 【详解】（1）将所给数据进行整理，得到如下列联表： 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 200 100 300 北方游客 80 120 200 合计 280 220 500 零假设：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联． 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001 （2）（i）设经过次传递后回到甲的概率为， ，， 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以. （ii）（方法一） 设第次传递时甲接到球的次数为，则服从两点分布，， 设前次传递中球传到甲的次数为， ， 因为，所以. （方法二） 设第次传递时，乙接到球的概率和次数分别为与，则服从两点分布， ，由题可知，， 又，所以，所以是首项为，公比为的等比数列， ，， ， 故. 【点睛】关键点点睛：本题第2问（ii）的解决关键是，根据题意得到的关系，利用构造法分析出是首项为，公比为的等比数列，由此得解. ( 题型0 7 ) 与数列结合 50．(23-24高二下·湖南郴州·期末)材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为. 材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限： 根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量. (1)证明：； (2)求随机变量的数学期望； (3)求随机变量的方差. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】（1）依题意可得，根据等比数列求和公式求出，再取极限即可； （2）设，利用错位相减法求出，再取极限即可； （3）依题意可得 ，再利用错位相减法求出，即可得解. 【详解】（1）可知，且， 所以， 则. （2）设 ， 所以， 两式相减的， 所以， 则随机变量的数学期望； （3）因为 ， 而， ， 两式相减： ， 从而， 那么. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解题干所给两个材料，根据所给材料结合数列的相关知识计算. 51．(23-24高二下·湖南·期末)某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为. (1)若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望； (2)假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求. 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得分布列并求得数学期望. （2）根据已知条件列出递推关系，利用构造等比数列、累加法等知识求得. 【详解】（1）的可能取值为，则：， 则的分布列为 2 3 4 故. （2）当时，得分累计分，即在得到分后再得1分，或在得到分后再得2分， 所以， 则. 因为，所以， 所以为等比数列，且首项为，公比为， 则 ， 则，故当时，. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题06 概率与统计综合（7大题型51题） 题型概览 题型01 样本数字特征 题型02 正态分布 题型03 古典概率、独立事件概率的乘法公式 题型04 条件概率与全概率 题型05 随机变量及其分布 题型06 统计案例 题型07 与数列结合 ( 题型01 ) 样本数字特征 1．(23-24高二下·湖南张家界·期末)样本数据的中位数是（    ） A．5 B．5.5 C．6 D．7 2．(23-24高二下·湖南郴州·期末)若为一组数的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数项是（   ） A．28 B．56 C．36 D．40 3．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）下列说法中， 正确的是（    ） A．数据的第百分位数为 B．已知随机变量服从正态分布，；则 C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程，若，则 D．若样本数据的方差为，则数据的方差为4 4．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)某学校开展“国学知识竞赛”，共有“诗经组”，“论语组”，“春秋组”，“礼记组”4个小组参赛，每组10位选手，若该组每位选手的失分不超过6分，该组获得“优秀”称号，则根据每组选手的失分情况，下列小组一定获得“优秀”称号的是（    ） A．诗经组中位数为3，众数为2 B．论语组平均数为3，方差为1 C．春秋组平均数为3，众数为2 D．礼记组中位数为3，极差为4 ( 题型02 ) 正态分布 5．(23-24高二下·湖南·期末)已知随机变量，且，则（    ） A．0.7 B．0.3 C．0.2 D．0.1 6．(23-24高二下·湖南长沙第一中学·期末)若随机变量服从正态分布，且，则 . 7．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)（多选）已知随机变量X服从正态分布，且，则（    ） A． B． C． D． 8．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）设，这两个正态曲线如图所示.则（    ）    A． B． C． D． 9．(23-24高二下·湖南浏阳·期末)某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，从这一批篮球中随机抽检300个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（   ） A．246 B．252 C．286 D．293 10．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)某市高二数学统考，假设考试成绩服从正态分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例将成绩从高到低划分为，，，四个等级，则等级的最低分是 分． 11．(23-24高二下·湖南·期末)2020年国庆节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”.某路桥公司为掌握国庆节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作、9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：10点04分，记作时刻64. (1)估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列； (3)根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.假如4日全天共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 附：若随机变量T服从正态分布，则，，. X 0 1 2 3 4 P 12．(23-24高二下·湖南·期末)随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情况如下： 脐橙数量/盒 购物群数量/个 12 18 32 18 (1)求实数的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数； (2)假设所有购物群销售脐橙的数量，其中为（1）中的平均数，.若该脐橙基地参与销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在（单位：盒）内的群为“级群”，销售数量小于256盒的购物群为“级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元，每个“级群”奖励100，对“级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？（群的个数按四舍五入取整数） 附：若，则，，. ( 题型03 ) 古典概率、独立事件概率的乘法公式 13．(23-24高二下·湖南·期末)从2，3，4，5四个数中任取两个数，则两个数相差为2的概率是 . 14．(23-24高二下·湖南张家界·期末)袋子中装有6个质地､大小均相同的球，其中有3个红球､2个绿球和1个蓝球，若从袋子中随机一次取出2个球，则取出的2个球颜色不同的概率为 . 15．(23-24高二下·湖南·期末)有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（    ） A． B． C． D． 16．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用表示第一次取到的小球的标号，用表示第二次取到的小球的标号，记事件：为偶数，：为偶数，C：，则（    ） A． B．与相互独立 C．与相互独立 D．与相互独立 17．(23-24高二下·湖南张家界·期末)甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，每人要射击十次，他们前九次射击击中的环数如下表所示： 甲击中的环数 乙击中的环数 (1)求甲前九次射击击中的环数的平均数和方差； (2)用甲､乙前九次射击击中环数的频率分布估计各自第十次射击击中环数的概率分布，且甲､乙每次射击相互独立，求甲､乙两人十次射击击中的环数之和相等的概率. ( 题型04 ) 条件概率与全概率 18．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)长时间玩手机可能影响视力．据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1h，这些人的近视率约为50%．现从每天玩手机不超过1h的学生中任意调查一名学生，则他近视的概率（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·湖南·期末)某饮料厂生产两种型号的饮料，已知这两种饮料的生产比例分别为，且这两种饮料中的碳酸饮料的比例分别为，若从该厂生产的饮料中任选一瓶，则选到非碳酸饮料的概率约为（    ） A．0.12 B．0.20 C．0.44 D．0.32 20．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)有甲､乙两个工厂生产同一型号的产品，甲厂生产的次品率为，乙厂生产的次品率为，生产出来的产品混放在一起.已知甲､乙两个工厂生产的产品数分别占总数的，从中任取一件产品，则取得的产品为次品的概率为 . 21．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)从装有3个白球、5个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，A表示事件“两次取出的球颜色相同”，B表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（    ） A． B． C． D． 22．(23-24高二下·湖南·期末)设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（    ） A． B． C． D． 23．(23-24高二下·湖南·期末)（多选）设、是一个随机试验中的两个事件，若，，，则下列选项一定正确的是（   ） A． B． C． D． 24．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)（多选）湖南张家界是级景区，有许多好看的景点．李先生和张先生预选该景区的玻璃栈道和凤凰古城游玩．李先生和张先生第一天去玻璃栈道和凤凰古城游玩的概率分别为0.3和0.7，如果他们第一天去玻璃栈道，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.7；如果第一天去凤凰古城，那么第二天去玻璃栈道的概率为0.6．设“第一天去玻璃栈道”；“第二天去玻璃栈道”；“第一天去凤凰古城”；“第二天去凤凰古城”，则（    ） A． B． C． D． 25．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)北京地铁四号线被誉为“学霸地铁”，因为它贯穿了几所国内特别有名的高校，某校5名高中生利用暑假假期去北京游学，他们在动物园站开始乘坐4号线，以下几个站：国家图书馆，魏公村，人民大学，中关村，北京大学为他们的可能参观点，由于时间安排和个人喜好不同，他们各自行动，每人选一个自己最喜欢的景点，每个人在北京大学站下车的概率为，在其他站下车的概率均为，且不走回头路，在圆明园站汇合，每个人在各个车站下车互不影响.    (1)求在魏公村下车的人数的分布列及期望； (2)已知贾同学比李同学先下车，求贾同学在魏公村下车且李同学在北京大学站下车的概率. 26．(23-24高二下·湖南·期末)某学校举办数学建模知识竞赛，每位参赛者要答3道题，第一题分值为40分，第二、三题分值均为30分，若答对，则获得题目对应分值，若答错，则得0分，参赛者累计得分不低于70分即可获奖．已知甲答对第一、二、三题的概率均为，乙答对第一、二、三题的概率分别为，，，且甲、乙每次答对与否互不影响． (1)求甲的累计得分的分布列和期望； (2)在甲、乙两人均获奖的条件下，求甲的累计得分比乙高的概率． 27．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)某企业使用新技术生产某种产品，该产品在出厂前要经历生产和检测两道工序，生产工序的次品率为.检测工序包括智能自动检测和人工抽查检测，智能自动检测为合格品则进入流水线并由人工抽查检测. (1)从经过生产工序但未经检测工序的产品中随机抽取件进行检测，求这件产品中的次品数的分布列和数学期望； (2)若智能自动检测的准确率为，求一件产品进入人工抽查检测环节的概率. 28．(23-24高二下·湖南·期末)现有10个球，其中5个球由甲工厂生产，3个球由乙工厂生产，2个球由丙工厂生产.这三个工厂生产该类产品的合格率依次是，，.现从这10个球中任取1个球，设事件为“取得的球是合格品”，事件分别表示“取得的球是甲、乙、丙三个工厂生产的”. (1)求； (2)若取出的球是合格品，求该球是甲工厂生产的概率. 29．(23-24高二下·湖南·期末)一只口袋中装有形状、大小都相同的10个小球，其中有红球1个，黑球4个，白球5个． (1)从中1次随机摸出3个球，记白球的个数为X，求随机变量X的概率分布； (2)从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是黑球，求另一个小球也是黑球的概率. 30．(23-24高二下·湖南·期末)甲乙两人参加知识竞赛活动，比赛规则如下：两人轮流随机抽题作答，答对积1分且对方不得分，答错不得分且对方积1分，然后换对方抽题作答，直到有领先2分者晋级，比赛结束.已知甲答对题目的概率为，乙答对题目的概率为P，答对与否相互独立，抽签决定首次答题方，已知两次答题后甲乙两人各积1分的概率为.记甲乙两人的答题总次数为. (1)求P； (2)当时，求甲得分X的分布列及数学期望； (3)若答题的总次数为n时，甲晋级的概率为，证明：. 31．(23-24高二下·湖南·期末)为建设“书香校园”，学校图书馆对所有学生开放图书借阅，可借阅的图书分为“期刊杂志”与“文献书籍”两类，已知该校小明同学的图书借阅规律如下：第一次随机选择一类图书借阅，若前一次选择借阅“期刊杂志”，则下次也选择借阅“期刊杂志”的概率为，若前一次选择借阅“文献书籍”，则下次选择借阅“期刊杂志”的概率为． (1)求小明同学在两次借阅过程中恰有一次借阅“期刊杂志”的概率； (2)求小明同学在两次借阅过程中，第二次借阅的是“文献书籍”的概率． 32．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)某校为激发学生对天文、航天、数字科技三类知识的兴趣，举行了一次知识竞赛（三类题目知识题量占比分别为，，）.甲回答这三类问题中每道题的正确率分别为，，. (1)若甲在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率. (2)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可以获得奖励.若以获得奖励的概率为依据，甲在和之中选其一，则应选择哪个？ ( 题型0 5 ) 随机变量及其分布 33．(23-24高二下·湖南·期末)已知随机变量服从二项分布，则（    ） A． B． C． D． 34．(23-24高二下·湖南·期末)已知随机变量满足，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 35．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则的值为（    ） 0 1 2 0.36 A．0.68 B．0.6 C．0.2976 D．3.88 36．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)3月19日，习总书记在湖南省常德市考察调研期间来到河街，了解历史文化街区修复利用等情况，这片历史文化街区汇聚了常德高腔、常德丝弦、桃源刺绣、安乡木雕、澧水船工号子等品类繁多的非遗项目.现为了更好的宣传河街文化，某部门召集了200名志愿者，根据报名情况得到如下表格： 项目 常德高腔 常德丝弦 桃源刺绣 安乡木雕 澧水船工号子 志愿者人数 30 60 50 40 20 若从这200名志愿者中按照比例分配的分层随机抽样方法抽取20人进行培训，再从这20人中随机选取3人聘为宣传大使，记X为这3人中来自澧水船工号子的人数，则X的数学期望为 . 37．(23-24高二下·湖南·期末)某企业生产线上生产的产品的某项指标，且. 现从该生产线上随机抽取个产品，记表示的产品个数，则（    ） A．7 B．9 C．11 D．13 38．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)（多选）下列说法正确的有（    ） A．的展开式的第4项的系数是280 B．对于随机变量，若，则 C．已知随机变量，若，则 D．一组数据的第60百分位数为14.5 39．(23-24高二下·湖南衡阳衡阳县·期末)（多选）下列命题正确的是（    ） A．数据的分位数为11 B．已知变量的线性回归方程，且，则 C．已知随机变量最大，则的取值为3 D．已知随机变量，则 ( 题型0 6 ) 统计案例 40．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)（多选）下列关于概率统计说法中正确的是（    ） A．两个变量，的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱 B．经验回归方程相对于点的残差为 C．在回归分析中，为0.89的模型比为0.98的模型拟合得更好 D．某人解答10个问题，答对题数为，，则 41．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)（多选）下列说法正确的是（    ） A．数据2，7，4，5，16，1，21，11的中位数为5 B．当时，当且仅当事件A与B相互独立时，有 C．若随机变量X服从正态分布，若，则 D．已知一系列样本点（，2，3，…，n）的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 42．(23-24高二下·湖南岳阳·期末)（多选）根据国家统计局统计，我国2018-2023年的出生人口数（单位：万人）分别为：1523，1465，1202，1062，956，902，将年份减去2017记为x，出生人口数记为y，得到以下数据： x 1 2 3 4 5 6 y（单位：万人） 1523 1465 1202 1062 956 902 已知，由最小二乘法求得关于的经验回归方程为，则（    ） A． B．这6年出生人口数的下四分位数为1465 C．样本相关系数 D．样本点的残差为55 43．(23-24高二下·湖南娄底涟源·期末)某学校高二年级有400名学生，将数学和语文期中考试成绩的数据整理如表1： 表1 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 73 54 127 不优秀 61 212 273 合计 134 266 400 表2 数学成绩 语文成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 6 14 不优秀 6 26 合计 40 (1)根据表1数据，从400名学生中随机选择一人做代表． ①求选到的同学数学成绩优秀且语文成绩优秀的概率； ②在选到的同学数学成绩优秀的条件下，求选到的同学语文成绩优秀的概率． (2)从400名学生中获取了容量为40的简单随机样本，样本数据整理如表2，请填写完整表2数据，并根据表2数据，依据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？ （，） 44．(23-24高二下·湖南·期末)为了适应市场需求，同时兼顾企业盈利的预期，某科技公司决定增加一定数量的研发人员，经过调研，得到年收益增量（单位：亿元）与研发人员增量（人）的10组数据．现用模型①，②分别进行拟合，由此得到相应的经验回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图． 根据收集到的数据，计算得到下表数据，其中. 7.5 2.25 82.50 4.50 12.14 2.88 (1)根据残差图，判断应选择哪个模型；（无需说明理由） (2)根据（1）中所选模型，求出关于的经验回归方程；并用该模型预测，要使年收益增量超过8亿元，研发人员增量至少多少人？（精确到1） 45．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)树人中学为了落实教育部颁布的“五项管理”，举办高二学生跳绳比赛，学校根据男女生比例从男生中随机抽取120人，女生中随机抽取100人，进行成绩统计分析，其中成绩在160分以上为优秀，根据样本统计数据分别制作了男生、女生成绩频数分布表： 男生成绩： 分数段 频数 8 12 20 55 25 女生成绩： 分数段 频数 5 15 10 30 35 5 (1)①根据上述数据完成下列列联表： 优秀 非优秀 合计 男生 女生 合计 ②依据小概率值的独立性检验，能否认为跳绳比赛成绩优秀与性别有关？ 参考公式：，， (2)以样本中的频率作为概率，从高二跳绳比赛成绩优秀的学生中随机抽取3人参加全市中学生跳绳比赛.设3人中女生人数为随机变量，求的分布列与数学期望. 46．(23-24高二下·湖南·期末)无人机已广泛用于森林消防、抢险救灾、环境监测等领域. (1)消防员甲操纵某一品牌的无人机在不同的气候中进行了投弹试验，结果见下表，根据小概率值的独立性检验，分析消防员甲操纵该无人机的投弹命中率跟气候是否有关： 晴天 雨天 命中 45 30 不命中 5 20 附：其中 0.15 0.10 0.05 0.010 0.001 2.072 2.706 3.841 6.635 10.828 (2)某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员乙操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为，击中目标两次起火点被扑灭的概率为，击中目标三次起火点必定被扑灭. （i）求起火点被无人机击中次数X的分布列及数学期望； （ii）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率. 47．(23-24高二下·湖南·期末)春夏之交因昼夜温差大，细菌、病毒等活跃，是流感高发季节．某校高二年级某组团统计了流感暴发前的半个月与流感暴发后的半个月的学生请假情况，得到如下数据： 因发烧请假 非发烧请假 合计 流感暴发前 10 30 流感暴发后 30 合计 70 (1)完成列联表，并依据的独立性检验，判断能否认为流感暴发对请假的同学中发烧的人数有影响． (2)后经过了解，在全校因发烧请假的同学中男生占比为，且的因发烧请假的男生需要输液治疗，的因发烧请假的女生需要输液治疗．学校随机选择一名因发烧请假在医院输液的同学进行慰问，求这名同学是女生的概率． 附：． 0．05 0．01 0．001 3．841 6．635 10．828 48．(23-24高二下·湖南·期末)为考察药物对预防疾病以及药物对治疗疾病的效果，科研团队进行了大量动物对照试验．根据个简单随机样本的数据，得到如下列联表：（单位：只） 药物 疾病 未患病 患病 合计 未服用 服用 合计 (1)依据的独立性检验，分析药物对预防疾病的有效性； (2)用频率估计概率，现从患病的动物中用随机抽样的方法每次选取只，用药物进行治疗．已知药物的治愈率如下：对未服用过药物的动物治愈率为，对服用过药物的动物治愈率为．若共选取次，每次选取的结果是相互独立的．记选取的只动物中被治愈的动物个数为，求的分布列和数学期望． 附：，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 49．(23-24高二下·湖南·期末)短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度，为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的500名游客调查得知，南方游客有300人，因收看短视频而来的280名游客中南方游客有200人. (1)依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视颍有关联：单位：人 游客 短视频 合计 收看 未看 南方游客 北方游客 合计 (2)为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款5人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余4人之一，现有甲、乙等5人参加此游戏，球首先由甲传出. （i）求经过次传递后球回到甲的概率； （ii）记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望. 参考公式：，其中； 附表： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 ( 题型0 7 ) 与数列结合 50．(23-24高二下·湖南郴州·期末)材料一：在伯努利试验中，记每次试验中事件发生的概率为，试验进行到事件第一次发生时停止，此时所进行的试验次数为，其分布列为，我们称服从几何分布，记为. 材料二：求无穷数列的所有项的和，如求，没有办法把所有项真的加完，可以先求数列前项和，再求时的极限： 根据以上材料，我们重复抛掷一颗均匀的骰子，直到第一次出现“6点”时停止.设停止时抛掷骰子的次数为随机变量. (1)证明：； (2)求随机变量的数学期望； (3)求随机变量的方差. 51．(23-24高二下·湖南·期末)某中学的风筝兴趣小组决定举行一次盲盒风筝比赛，比赛采取得分制度评选优胜者，可选择的风筝为硬翅风筝､软翅风筝､串式风筝､板式风筝､立体风筝，共有5种风筝，将风筝装入盲盒中摸取风筝，每位参赛选手摸取硬翅风筝或软翅风筝均得1分并放飞风筝，摸取串式风筝､板式风筝､立体风筝均得2分并放飞风筝，每次摸取风筝的结果相互独立，且每次只能摸取1只风筝，每位选手每次摸取硬翅风筝或软翅风筝的概率为，摸取其余3种风筝的概率为. (1)若选手甲连续摸了2次盲盒，其总得分为分，求的分布列与期望； (2)假设选手乙可持续摸取盲盒，即摸取盲盒的次数可以为中的任意一个数，记乙累计得分的概率为，当时，求. / 学科网（北京）股份有限公司 $$