期末专题03 导数小题综合（6大题型33题）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学下学期期末真题分类汇编

期末专题03 导数小题综合（6大题型33题） 题型概览 题型01 导数的定义及基本计算 题型02 切线问题 题型03 极值与最值 题型04 恒成立问题 题型05 构造函数利用导数比较指对幂函数值的大小关系及解不等式 题型06 导数多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 导数的定义及基本计算 1．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．(23-24高二下·湖南·期末)某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为 m/s. 4．(23-24高二下·湖南·期末)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 切线问题 5．(23-24高二下·湖南·期末)曲线与直线平行的切线方程为 . 6．(23-24高二下·湖南株洲炎陵县·期末)已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 7．(23-24高二下·湖南·期末)已知曲线与曲线关于直线对称，则与两曲线均相切的直线的方程为 . 8．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 ( 题型03 ) 极值与最值 9．(23-24高二下·湖南·期末)若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 10．(23-24高二下·湖南·期末)若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 11．(23-24高二下·湖南·期末)若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， ( 题型04 ) 恒成立问题 13．(23-24高二下·湖南·期末)已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 14．(23-24高二下·湖南·期末)已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数 对任意 成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 ( 题型0 5 ) 构造函数利用导数比较指对幂函数值的大小关系及解不等式 16．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 17．(23-24高二下·湖南·期末)已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（    ） A． B． C． D． 18．(23-24高二下·湖南·期末)设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 19．(23-24高二下·湖南·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 20．(23-24高二下·湖南·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 21．(23-24高二下·湖南·期末)若，，，则（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 ) 导数多选题（多考点综合） 22．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则（    ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点 23．(23-24高二下·湖南·期末)已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（    ） A． B． C．的最大值为 D．方程无实数解 24．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知函数下列说法正确的是（    ） A．的单调减区间是 B．是函数的一个极值点 C．只有一个零点 D．对任意的恒成立时，取值范围为 25．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有一个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 26．(23-24高二下·湖南·期末)已知定义域为R的函数不恒为零，满足等式，则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上单调递增 C．是偶函数 D．函数有两个极值点 27．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数的极小值为，极大值为 C．若时， ，则t的最大值为2 D．若方程有两个实根，则 28．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，其中实数，，且，则（    ） A．当时，没有极值点 B．当有且仅有3个零点时， C．当时，为奇函数 D．当时，过点作曲线的切线有且只有1条 29．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)在锐角中，依次为三个内角的对边，已知，求的取值范围为 . 30．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)（多选）已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D． 31．(23-24高二下·湖南·期末)已知，.设p：，q：，则p是q的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 32．(23-24高二下·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）设函数，则下列选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．当时，的最小值为 C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是 D．函数的图象关于点对称 33．(23-24高二下·湖南郴州·期末)设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末专题03 导数小题综合（6大题型33题） 题型概览 题型01 导数的定义及基本计算 题型02 切线问题 题型03 极值与最值 题型04 恒成立问题 题型05 构造函数利用导数比较指对幂函数值的大小关系及解不等式 题型06 导数多选题（多考点综合） 优选提升题 ( 题型01 ) 导数的定义及基本计算 1．(23-24高二下·湖南·期末)已知，则（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出导数，再代入求值即可． 【详解】由，则，所以． 故选：C． 2．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】其中为常数，求出函数的导函数，代入求解，从而可以求解. 【详解】由于函数，则其导函数为：， 代入，可得：，解得：，所以， 所以. 故选：D 3．(23-24高二下·湖南·期末)某小球可以看作一个质点，其相对于地面的高度（单位：m）与时间（单位：s）存在函数关系，则该小球在时的瞬时速度为 m/s. 【答案】 【分析】根据题意，求得，得到的值，即可求解. 【详解】由函数，可得，则， 所以该小球在时的瞬时速度为. 故答案为：. 4．(23-24高二下·湖南·期末)一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离与时间之间的函数关系式为，则时，此木块在水平方向的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的几何意义知瞬时速度为该时刻处的导数值. 【详解】因为，所以时，此木块在水平方向的瞬时速度为. 故选：A ( 题型02 ) 切线问题 5．(23-24高二下·湖南·期末)曲线与直线平行的切线方程为 . 【答案】 【分析】对求导，建立方程求出切点，由此即可得解. 【详解】，，由题意令，解得， 而，所以所求直线方程为，即. 故答案为：. 6．(23-24高二下·湖南株洲炎陵县·期末)已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线．则a的值是 【答案】3 【来源】湖南省株洲市炎陵县2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题 【分析】求出在点处的切线方程为，设该切线与切于点，求导得到，求出，从而得到方程，求出答案. 【详解】由题意知，，，， 则在点处的切线方程为， 即，设该切线与切于点， 其中，则，解得， 将代入切线方程，得， 则，解得； 故答案为：3 7．(23-24高二下·湖南·期末)已知曲线与曲线关于直线对称，则与两曲线均相切的直线的方程为 . 【答案】 【分析】先利用对称性求得曲线，再利用导数的几何意义列式求得切点坐标，从而得解. 【详解】设曲线上任一点的坐标为，满足， 则该点关于直线的对称点为，得，整理可得， 设曲线上的切点为，曲线上的切点为， 又的导函数为的导函数为， 则，两式整理得， 所以，即，解得，所以. 所以曲线与曲线的公切线的公切点为， 则切线的斜率为1，故与两曲线均相切的直线的方程为. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为： （1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：； （2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为． 8．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)已知曲线在点处的切线与圆相切，该圆的半径为（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】求出曲线在点处的切线方程，利用直线与圆相切的几何关系即可求出圆的半径． 【详解】由，得， 故切线的斜率， 所以曲线在点处的切线方程为. 又因为与圆相切， 所以的半径，解得或， 所以圆的半径为或. 故选：C ( 题型03 ) 极值与最值 9．(23-24高二下·湖南·期末)若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 10．(23-24高二下·湖南·期末)若函数在区间上存在最值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】借助导数研究函数单调性即可得其在何处取得最值，即可得解. 【详解】， 则当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 即在处取得最值，则有， 解得. 故选：C. 11．(23-24高二下·湖南·期末)若函数在上存在极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，分析可知原题意等价于与在内有交点，进而可得结果. 【详解】因为，则， 令，可得， 原题意等价于与在内有交点， 且当时，；当时，； 则，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 12．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)关于函数，下列结论中错误的是（    ） A．定义域为 B．在上单调递增 C．当时， D．当时， 【答案】C 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】根据函数表达式有意义的条件即可判断A；求导，令导函数等于0求解，讨论即可判断B；利用特殊情况时，，来说明不成立即可判断；把代入解析式，利用导函数研究最值即可判断． 【详解】A．有意义时真数大于0，故定义域为，故A正确，不符合题意； B．，故， 令，即，解得， 当时，，故在上单调递增，正确，不符合题意； C．当时，例如时，，当，显然， 故错误，符合题意； D．当时，，令，即，解得， 当时，则，故在上单调递减， 当时，则，故在上单调递增， 当时，函数取到极小值，也是最小值，，故正确，不符合题意； 故选：C． ( 题型04 ) 恒成立问题 13．(23-24高二下·湖南·期末)已知不等式恒成立，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意，将不等式化为，令，利用导数即可得出 ，令，利用导数即可求解. 【详解】由可得，即恒成立， 令， 则不等式可化为：， 令，则， 所以，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增. 所以， 故要使恒成立，只需，即，即， 令，所以， 令，则， 所以时，，在上单调递增，且当时，， 时，，在上单调递减，且当时，， 所以， 故. 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件，.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 14．(23-24高二下·湖南·期末)已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【详解】根据 可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，， 当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 15．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数 对任意 成立，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】由导数探讨恒成立的不等式并建立的不等式，再构造函数，利用导数求出最小值即得. 【详解】函数，求导得，依题意，， 当时，恒有，函数单调递增，当时，， 而函数在上单调递增，函数值集合为， 因此存在，当时，，不符合题意，则有， 当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 即有，于是， 则，令，求导得， 当时，，当时，， 即函数在上递减，在上递增，因此， 所以的最小值为2. 故选：D 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题. ( 题型0 5 ) 构造函数利用导数比较指对幂函数值的大小关系及解不等式 16．(23-24高二下·湖南邵阳邵东·期末)已知奇函数及其导函数的定义域均为，当时，.若，，则的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省邵阳市邵东市2023-2024学年高二下学期7月期末联考数学试题 【分析】构造函数，可知该函数为偶函数且在区间上为增函数，可得出，由此可得出大小关系. 【详解】根据题意，设， 若为奇函数，则，则函数为偶函数. . 又当时，，则函数在上为减函数， 故在上为增函数. 则，且，则有； 故选D. 17．(23-24高二下·湖南·期末)已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，且，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析不等式，构造新函数求导后得出单调性，即可得出结论 【详解】由可得，， 设，， 则， 故函数在上单调递增，所以， 即， 所以. 故选：A 18．(23-24高二下·湖南·期末)设是定义在上的奇函数，且，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当时，令，求导后结合已知可得在上单调递减，再由可得到时，，当时，，再利用为奇函数，可求出结果. 【详解】当时，令，则， 所以在上单调递减， 因为，所以， 于是当时，，即； 当时，，即. 又为上的奇函数， 所以当时，，当时，， 又， 所以的解集为. 故选：A. 19．(23-24高二下·湖南·期末)设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断与，与的大小，然后构造函数，通过研究得出与的大小，选出答案. 【详解】设，则， 当时，，即在上单调递减， 故，故，所以， 所以，即； 因为，所以，即； 构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，即. 故选：B. 20．(23-24高二下·湖南·期末)设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数研究单调性，即可比较，，由，可比较，，从而得到答案 【详解】构造函数，所以，即在上单调递增， 所以，即，即，所以， 又因为，所以，则， 故选：B 21．(23-24高二下·湖南·期末)若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数运算结合对数函数单调性可得，并与比较大小，再构造函数，可得，即可与c比较大小作答. 【详解】依题意，， 令函数，求导得， 函数在上单调递减，，即当时，， ， ，即，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. ( 题型0 6 ) 导数多选题（多考点综合） 22．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则（    ） A． B．有两个极值点 C．点是曲线的对称中心 D．有两个零点 【答案】ABC 【分析】求导后令，分析单调性并求出极值，即可判断ABD，利用函数对称性的定义可判断C。 【详解】，故A正确； 令，解得，当或时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数在处取得极小值，在取得极大值， 即，， 只有一个零点，故B正确D错误； ，所以关于对称，故C正确。 故选：ABC 23．(23-24高二下·湖南·期末)已知正实数满足（是自然对数的底数，），则（    ） A． B． C．的最大值为 D．方程无实数解 【答案】ACD 【分析】对于A：由已知可得，代入原方程可判断A；于B：由已知可得，代入原方程可判断B；令，求导，可判断其单调性，进而可求其最大值与值域，可判断CD. 【详解】对于A：由，可得，将代入原方程， 可得，故A正确； 对于B：若，可得，将代入原方程， 得，则，而右边恒大于0，则等式不成立，故B错误； 对于C：令， 则，令，可得， 当时，，所以单调递增，即， 当时，，所以单调递减，即， 所以当时，， 在区间上的值域为，故C正确； 对于D：由上可知在区间上的值域为， 所以无实数解，故D正确. 故选：ACD. 24．(23-24高二下·湖南益阳安化县·期末)已知函数下列说法正确的是（    ） A．的单调减区间是 B．是函数的一个极值点 C．只有一个零点 D．对任意的恒成立时，取值范围为 【答案】BCD 【来源】湖南省益阳市安化县2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题 【分析】求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间与极值点，从而判断A、B；求出函数的零点从而判断C，根据判断D. 【详解】因为的定义域为，且， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以在处取得极小值即最小值，所以，故A错误，B正确； 又当时，当时，，所以只有一个零点，故C正确； 若对任意的恒成立，则， 即取值范围为，故D正确. 故选：BCD 25．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．有一个零点 C．点是曲线的对称中心 D．直线是曲线的切线 【答案】ABC 【分析】利用导数研究函数的单调性，结合极值点的概念、零点的存在性定理即可判断AB；根据奇函数图象关于原点对称和函数图象的平移变换即可判断C；根据导数的几何意义即可判断D. 【详解】A：， 令得或，令得， 所以在，上单调递增，上单调递减， 所以时取得极值，故A正确； B：因为，，， 所以函数只在上有一个零点，即函数只有一个零点，故B正确； C：令，该函数的定义域为，， 则是奇函数，是的对称中心，将的图象向上移动一个单位得到的图象， 所以点是曲线的对称中心，故C正确； D：令，可得，又， 当切点为时，切线方程为， 当切点为时，切线方程为，故D错误. 故选：ABC. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用导数研究函数的性质和函数图象的平移变换，其中选项C，构造函数，奇函数图象关于原点对称推出的对称性是解决本题的关键. 26．(23-24高二下·湖南·期末)已知定义域为R的函数不恒为零，满足等式，则下列说法正确的是（    ） A． B．在定义域上单调递增 C．是偶函数 D．函数有两个极值点 【答案】AD 【分析】令可判断A；令，结合和单调性可推出，得到矛盾，进而可判断B；假设是偶函数，根据已知推导可得，可判断C；令，求导后消去，整理得，即可判断D. 【详解】对于A，令得，即，A正确； 对于B，若在定义域上单调递增，当时，， 令，得， 即，与在定义域上单调递增矛盾，故B错误； 对于C，若是偶函数，则，且， 因为，所以， 所以，即，得或， 又，所以恒成立，矛盾，故C错误； 对于D，当时，， 记， 则 所以， 令解得或， 因为不恒为零，所以在两边异号， 所以为的极值点，所以函数有两个极值点，D正确. 故选：AD 【点睛】关键点睛：本题难点在于D选项，关键在于求导后利用已知消去，然后可判断极值点. 27．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数存在三个不同的零点 B．函数的极小值为，极大值为 C．若时， ，则t的最大值为2 D．若方程有两个实根，则 【答案】BCD 【分析】解方程求出零点判断A；利用导数求出函数的极值判断B；求出函数单调区间，数形结合判断CD. 【详解】对于A，由，得，解得，函数只有两个零点，A错误； 对于B，函数定义域为R，求导得， 当或时，，当时，， 函数的极小值为，极大值为，B正确； 对于C，函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，单调递减，值域为，而， 则，函数在上的值域为， 当时，恒成立，函数在上的值域为， 因此存在，使得，如图，    由当时，，得，则的最大值为2，C正确； 对于D，方程有两个实根等价于的图象与直线有两个交点，如图，    观察图象知：当时，直线与的图象有两个交点， 因此方程有两个实根时，，D正确. 故选：BCD 【点睛】易错点睛：关键是首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，要注意是函数的单调递减区间，且恒成立，图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项就容易判断错了． 28．(23-24高二下·湖南·期末)已知函数，其中实数，，且，则（    ） A．当时，没有极值点 B．当有且仅有3个零点时， C．当时，为奇函数 D．当时，过点作曲线的切线有且只有1条 【答案】BCD 【分析】对A，直接代入求导即可得到其极值点；对B，求导得到的单调性，再根据其零点个数得到不等式组，解出即可；对C，代入，化简即可；对D，设切点，求出切线方程，代入，再转化得，转化为直线与的交点个数问题. 【详解】对A，当时，， 则，当时，， 当或时，， 所以分别是函数的极大值点和极小值点，选项A错误； 对B，当时，， 当，，当或时，， 即在上单调递减，在和上单调递增. 当有且仅有3个零点时，且得， 得，故B正确； 对C，当时，， ， 设，定义域为，且， 所以为奇函数，选项C正确； 对D，，不在曲线上. 设过点的曲线切线的切点为，， 过点的曲线切线的方程为， 又点在的切线上，有， 即，设，， 当或时，单调递减， 当时，单调递增， 则，， ，根据图象知与只有一个交点，选项D正确. 故选；BCD. 【点睛】关键点点睛：本题D选项的关键是设出切点坐标，写出切线方程，将代入切线方程得，最后转化为直线与函数的交点个数问题. 29．(23-24高二下·湖南部分学校·期末)在锐角中，依次为三个内角的对边，已知，求的取值范围为 . 【答案】 【来源】湖南省部分学校2023-2024学年高二下学期期末联考数学试题 【分析】由锐角三角形可得，由余弦定理可得，令，法一：利用导数可求的取值范围.法二：令，利用二次函数可求的取值范围. 【详解】由三角形为锐角三角形可得，又， 所以， 同理：，所以， 所以， 将看作常数，上式可以看作关于的函数，故只需求分母的取值范围， 令， 解法一：，当单调递增， 当单调递减；当， 又， 代入.故答案为. 解法二：令， 令，则， 因为，当时，取最大值， 当或时，取，所以， 即，代入. 故答案为：. 30．(23-24高二下·湖南湘西州·期末)（多选）已知函数恰好有三个零点，分别为，，，且，则下列说法正确的是（    ） A． B．，，成等差数列 C．，，成等比数列 D． 【答案】ACD 【来源】湖南省湘西州2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷 【分析】将函数的零点问题转化为方程的解的问题，即问题转化为直线与曲线和交于三个点，且三个点的横坐标依次为，，，且，利用导数研究两个函数的单调性和最值，从而逐项判断. 【详解】根据题意，， 即或，所以或， 即问题转化为直线与曲线和交于三个点， 且三个点的横坐标依次为，，，且， 对于，得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 当时，函数取得最大值， 对于，得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 当时，函数取得最大值， 如图，作出函数与的图象， 由，可得，由，可得， 又，且在上单调递增， 又，所以，即，A正确； ，且在上单调递减， 又，所以，即， 故，则C正确，B错误； 因为，所以， 则，则D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 31．(23-24高二下·湖南·期末)已知，.设p：，q：，则p是q的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】B 【分析】根据题意，利用导数确定函数的单调区间，分别化简条件p与条件q，结合充要条件的定义加以判断，即可得到本题的答案. 【详解】对于p：，两边取以e为底的对数得， 由于，所以 则设，， 所以在区间上，单调递增， 在区间上，单调递减， 所以由，即， 若或，则，若不在的同一单调区间，则. 对于，q：，即， 设，， 所以在上单调递增，故等价于. 根据以上的分析，可知：由p不能推出q成立，由q可以推出p成立. 所以条件p是条件q的必要且不充分条件. 故选：B. 32．(23-24高二下·湖南长沙长郡中学·期末)（多选）设函数，则下列选项正确的是（    ） A．为奇函数 B．当时，的最小值为 C．若函数有四个零点，则实数的取值范围是 D．函数的图象关于点对称 【答案】BD 【来源】湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题 【分析】根据奇函数的定义即可根据和的关系求解A，求导，根据导数求解函数的单调性，即可求解B，由单调性结合函数的图形即可判断C，根据利用对称性的定义即可求解D. 【详解】对于，故A错误； 对于B，当时， 故当，在上递减， 当在上递增， 的最小值为，故B正确； 对于C，当时，由B知，的最小值为， 且时，时，； 当时， 当在上递增， 当，故在上递减， 且时，时，， 画出图象，知不可能有4个零点，故C错误； 对于D， 令， 的定义域为，则， 是奇函数，图象关于原点对称，关于点对称，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： （1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； （2）求导数，得单调区间和极值点； （3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 33．(23-24高二下·湖南郴州·期末)设函数在上存在导数，有，在上，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】湖南省郴州市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测数学试题 【分析】通过构造函数，利用的奇偶性和条件得到在上单调递减，再将变形得到，即可求出结果. 【详解】因为，所以，得到， 因为，所以，令， 所以， 因为，所以，所以为奇函数； ，当时，单调递减，因此在上单调递减； ，， 所以 ， 因为，所以 即，所以， 由于在上单调递减，所以，解之得. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是构造了函数，从而分析得的性质，由此得解. / 学科网（北京）股份有限公司 $$