23.4 概率的计算举例（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪教版）

23.4 概率的计算举例 题型一 根据概率公式计算概率 1．从“我命由我不由天”这句话中随机选取一个汉字，选取“我”字的概率是（   ） A． B． C． D． 2．在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第四象限的概率是（   ） A． B． C． D． 4．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于3的概率是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一个正方体的表面涂上颜色，按棱四等分点把这个正方体切割成等大小正方体后，将这些小正方体装在一个不透明的袋子中，摇匀后从中任意摸出一个小正方体，则下列说法正确的是（   ） A．摸出的小正方体一面涂色的与没有面涂色的概率相同 B．摸出的小正方体一面涂色的与三面涂色的概率相同 C．摸出的小正方体两面涂色的与三面涂色的概率相同 D．摸出的小正方体一面涂色的与两面涂色的概率相同 6．骰子是中国古代民间娱乐用来投掷的博具．相传是三国时魏国曹植所造．近年来，除了普通骰子，还出现了“正四面体骰子”，如图，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．投掷一次该骰子，则奇数的面朝下的概率是 ． 7．有8张卡片，上面分别写着数，，，，，，，．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是 ． 8．动车组列车的普通坐席位置通常用五个字母表示，其中代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为 ． 题型二 根据概率做判断 1．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 2．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由． 4．从一副去掉大、小王的扑克牌中任意选取若干张设计一个翻牌游戏，使它同时满足下列两个条件： （1）翻到“2”与“3”的可能性相同： （2）翻到“黑桃”的可能性比翻到“红桃”的可能性大． 5．口袋里只有个球，除颜色外都相同，其中有个红球、个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值； (2)如果摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，分别求和的可能值． 题型三 已知概率求数量 1．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 2．在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 3．在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有 个． 4．一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． 5．小明和小颖一起做游戏．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜． (1)分别求出双方获胜的概率，并判断这个游戏对双方是否公平吗？ (2)增加___________个白球（红球个数不变），可以使得任意摸出一个球是白球的概率为． 6．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种树苗成活的频率稳定在_______，成活的概率估计值为______________； (2)该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗成活_______万棵． 7．一个不透明的布袋里装有16个球，其中6个红球，10个白球，它们除颜色外其余都相同． (1)求摸出1个球是白球的概率； (2)现再将n个白球放入布袋，再取出相同数目的红球搅匀后，若摸出1个球是白球的概率为，求n的值． 题型四 几何概率 1．如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，飞镖游戏板由个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 3．转动转盘，指针停在甲区域和乙区域的概率分别为P（甲）和P（乙），则下列关系正确的是（   ） A．P（甲）P（乙） B．P（甲）P（乙） C．P（甲）P（乙） D．无法比较P（甲）和P（乙）的大小 4．一个转盘上有红色、蓝色两种颜色，转动200次转盘，则指针指向红色区域的概率为（    ） A． B． C．1 D．不确定 5．如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是 ． 6．如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 7．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 8．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率 ． 题型五 列举法求概率 1．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（   ） A． B． C． D． 2．A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（    ） A． B． C． D． 3．现有4条线段，长度依次是3，6，9，11，从中任选三条，能组成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 4．我们把十位上数字比百位和个位上数字都小的三位数称为“V”型数，如856，325等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”型数的概率为（    ） A． B． C． D． 5．从“红、绿、蓝、黄”四种颜色中任选三种，其中选中的三种颜色恰好为光的三原色的概率为（   ） A． B． C． D． 6．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 7．在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（   ） A． B． C． D． 8．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． (1)从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 题型六 列表法或树状图法求概率 1．在一不透明的袋中装有标记数字1，2，3，4的小球各一个，随机一次取出2个小球，则取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的概率是（   ） A． B． C． D． 2．中国古代有许多数学著作，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中随机选择2部作为校本课程“数学文化”方面的学习内容，则恰好选中《九章算术》和《四元玉鉴》的概率为（    ） A． B． C． D． 3．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则这两个数的积不是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 4．“三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是 5．有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ． 6．一只不透明的袋子中装有2块白色橡皮、1块黑色橡皮，这些橡皮除颜色外都相同，搅匀后，甲、乙两名同学分别从中任意摸出1块橡皮，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率． 7．某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． (1)在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． (2)已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 8．中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进A型号分拣机器人2台，B型号分拣机器人3台． (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为 ； (2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率． 题型七 游戏的公平性 1．4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． 如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由． 2．4张相同的卡片上分别写有数字0，1，，2，将卡片的背面朝上．小明和小丽玩抽卡片游戏，规则为：将卡片洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数时，小明获胜；否则，小丽获胜．两人设计的游戏规则公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 3．只有一张电影票，小明和小亮想通过抽取扑克牌的方式来决定谁去看电影．现有一副扑克牌，请你设计三种对小明和小亮均公平的抽签方案． 4．小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）． 5．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样． (1)随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； (2)小明和小英一起做游戏，小明从盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小明获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 6．（1）小阳、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色不同外其余都相同），得到红球为“看”，得到白球为“不看”，小阳先摸，另一球留给小刚，这个游戏对双方是 （填“公平”或“不公平”）的． （2）小敏所在的班级中有位同学的身高是5m，这是 事件． 7．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． (1)求小明摸到球面数字为5的概率； (2)你认为这种方法公平吗？请说明理由． 8．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次） (1)如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为______； (2)如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是______； (3)如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 题型八 求某件事的频率 1．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 2．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 3．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 4．学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 5．2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 6．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 7．某人在做掷硬币试验，投掷次，正面朝上有次，若正面朝上的频率，随着次数的增加，的值接近 ． 8．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 题型九 由频率估计概率 1．一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 2．某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干草莓进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表： 草莓总质量斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量斤 3.12 7.7 15.2 30 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.150 0.150 根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为（结果保留两位小数）（    ） A．0.15 B．0.14 C．0.13 D．0.12 3．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01） 4．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币 ” 的实验数据： 实验者 德. 摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 掷币次数 6140 4040 10000 36000 出现“正面朝上” 的次数 3109 2048 4979 18031 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为 （精确到) ． 5．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 6．某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． (1)求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球的数量． 7．2025年4月12日，湖南师大附中将迎来120周年校庆，为迎接校庆，学校设计了特别纪念品，并准备设置一种抽奖游戏，其规则如下：凡参与游戏的师生从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个校庆纪念品．据估计参与这种游戏的师生约有2500人，学校一共为参与该游戏的师生准备了校庆纪念品1500个． (1)求参与该游戏可免费得到校庆纪念品的频率； (2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 8．下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 (1)上表中的__________，__________； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 题型十 概率的应用题 1．“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 2．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 3．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 5．一只不透明的袋中装有1个白球和3个红球，每个球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到球的颜色吗？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率较大？ (3)为了估计摸到白球的概率，小明采用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同（提示：在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数）． 6．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 7．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 8．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 1．电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解答．明明直接做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题；慧慧不做电脑推送的第一道题，简单思考后点击第二题，发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三题．则下列判断正确的是（   ） A．明明做到容易题的概率大 B．慧慧做到容易题的概率大 C．他俩做到容易题的概率一样大 D．他俩至少有1人做到容易题的概率为 2．斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 3．一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 4．2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 5．某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 (1)该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； (2)学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 6．某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）． (2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问： ①这批花卉成活的棵数约为多少？ ②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？ 7．某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 8．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛： (1)请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： ①记为点：随机地从，，，，这十个数中选取两个数，和为； ②记为点：将个人分成两组，一定有个人分在一组； ③记为点：从装有个红球、个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； ④记为点：如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． (2)一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同．从口袋中取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，的值是多少？ 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 23.4 概率的计算举例 题型一 根据概率公式计算概率 1．从“我命由我不由天”这句话中随机选取一个汉字，选取“我”字的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在“我命由我不由天”这7个字中，“我”字有2个， ∴从这句话中随机选取一个汉字，选取“我”的概率是， 故选：B． 2．在一个不透明的袋子里有3个白球和1个红球，除颜色外全部相同，从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵袋子里有3个白球和1个红球，共有4个球， ∴从中任意摸出一个球，摸到白球的概率是． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中有五个点，分别是，，，，，从中任选一个点恰好在第四象限的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，，， ∴第四象限的点为，， ∴从中任选一个点恰好在第四象限的概率是， 故选：． 4．如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动时，指针指向大于等于3的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，所有等可能的结果有6种，指针指向大于等于3的可能结果有4种，则指针指向大于等于3的概率为； 故选：B． 5．如图，一个正方体的表面涂上颜色，按棱四等分点把这个正方体切割成等大小正方体后，将这些小正方体装在一个不透明的袋子中，摇匀后从中任意摸出一个小正方体，则下列说法正确的是（   ） A．摸出的小正方体一面涂色的与没有面涂色的概率相同 B．摸出的小正方体一面涂色的与三面涂色的概率相同 C．摸出的小正方体两面涂色的与三面涂色的概率相同 D．摸出的小正方体一面涂色的与两面涂色的概率相同 【答案】D 【详解】∵已知正方体按棱四等分点切割， ∴切成的小正方体总个数为个． ∴三面涂色的小正方体：位于正方体的顶点处，正方体有个顶点，所以三面涂色的小正方体有个． 两面涂色的小正方体：在每条棱除顶点外的位置，每条棱上有个，正方体有12条棱，则两面涂色的小正方体个数为个． 一面涂色的小正方体：在每个面除棱外的位置，每个面上有个，正方体有个面，所以一面涂色的小正方体个数为个 ． 没有面涂色的小正方体：在正方体内部，个数为个 ． 摸出三面涂色小正方体的概率． 摸出两面涂色小正方体的概率． 摸出一面涂色小正方体的概率． 摸出没有面涂色小正方体的概率． ∴摸出的小正方体一面涂色的与两面涂色的概率相同，三面涂色的与没有面涂色的概率相同， 故选：D． 6．骰子是中国古代民间娱乐用来投掷的博具．相传是三国时魏国曹植所造．近年来，除了普通骰子，还出现了“正四面体骰子”，如图，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．投掷一次该骰子，则奇数的面朝下的概率是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，共有4种等可能的结果，其中奇数的面朝下的结果有2种， 故概率是； 故答案为：． 7．有8张卡片，上面分别写着数，，，，，，，．从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是 ． 【答案】/ 【详解】解：因为共有8张卡片，从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的结果有：2，4，6，8四种可能； 所以从中随机抽取1张，该卡片上的数是2的整数倍的概率是； 故答案为：． 8．动车组列车的普通坐席位置通常用五个字母表示，其中代表靠窗坐席，小莲随机购买了一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为 ． 【答案】/0.4 【详解】解：由题意知，共有5种等可能的结果，其中坐席是靠窗位置的结果有2种， ∴随机购买一张动车组列车的普通坐席车票，坐席是靠窗位置的概率为． 故答案为：． 题型二 根据概率做判断 1．一个不透明的箱子中放有红、黄、黑三种颜色的小球，这些小球除颜色外都相同．三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出1个小球，摸出后放回，摸出黑色小球的人赢（可以所有人都赢）．这个游戏是（   ） A．对所有人都公平 B．先摸者赢的可能性大 C．后摸者赢的可能性大 D．无法判断是否公平 【答案】A 【详解】解：∵一个箱子中放有红、黄、黑三种小球，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每种球的概率均相等， ∴这个游戏是公平的． 故选：A． 2．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球； ②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球． 综上所述，至少需要天平的次数是2． 故选：C． 3．甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着100个红球、40个黑球和5个白球．三种球除了颜色以外没有任何区别．两袋中的球都已经各自搅匀，从袋中任取1个球，如果你想取出一个黑球，选哪个袋成功的机会大呢？请说明理由． 【答案】乙袋，见解析 【详解】解：从乙袋中取出一个球是黑球的机会大． 原因如下：从甲袋中取出一个球是黑球的概率是； 从乙袋中取出一个球是黑球的概率是． ∵， ∴从乙袋中取出一个球是黑球的机会大． 4．从一副去掉大、小王的扑克牌中任意选取若干张设计一个翻牌游戏，使它同时满足下列两个条件： （1）翻到“2”与“3”的可能性相同： （2）翻到“黑桃”的可能性比翻到“红桃”的可能性大． 【答案】把一副去掉大、小王的扑克牌中再去掉“红桃8”和“红桃9”即可（答案不唯一） 【详解】解：由题意得，翻到“2”与“3”的可能性相同说明2与3的数量相同， 翻到“黑桃”的可能性比翻到“红桃”的可能性大说明“黑桃”的张数比“红桃”的多， 所以把一副去掉大、小王的扑克牌中再去掉“红桃8”和“红桃9”即可．（答案不唯一） 5．口袋里只有个球，除颜色外都相同，其中有个红球、个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球： (1)如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值； (2)如果摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，分别求和的可能值． 【答案】(1) (2)，或，或，或， 【详解】（1）解：∵摸到红球与摸到白球的可能性相等，且， ∴； （2）∵摸到红球的可能性大于摸到白球的可能性，且， ∴， 则，或，或，或，． 题型三 已知概率求数量 1．在一个不透明的袋子中，装有3个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】B 【详解】解：由题意可得， 黑球的个数为： ， 故选：B． 2．在一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其它完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，那么估计盒子中红球的个数为（   ） A．21 B．24 C．27 D．30 【答案】A 【详解】解：根据题意得两种球的总数为（个）， 则红球的个数为（个）， 故选：A． 3．在一个不透明的箱子中装有除颜色外其他都相同的6个白球和一些红球，现搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中．在200次摸球后统计发现，摸到白球的次数是60次，那么袋中的红球约有 个． 【答案】14 【详解】解：由题意可得，袋中约有红球： （个）， 故答案为：14． 4．一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同．若从中随机摸出1个球是红球的概率为0.25，则m的值为 ． 【答案】5 【详解】由题意可得，布袋中球的总数为：（个）， 所以 故答案为：5． 5．小明和小颖一起做游戏．在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外都相同）的袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到白球小颖获胜． (1)分别求出双方获胜的概率，并判断这个游戏对双方是否公平吗？ (2)增加___________个白球（红球个数不变），可以使得任意摸出一个球是白球的概率为． 【答案】(1)这个游戏对双方不公平 (2) 【详解】（1）解：这个游戏不公平． 摸到红球的概率为：，摸到白球的概率为：； 理由如下：因为， 因此这个游戏对双方不公平． （2）解：设增加个白球（红球个数不变），可以使得任意摸出一个球是白球的概率为， 解得：， 经检验是原方程的解 故答案为：． 6．某地区林业局要考察一种树苗移植的成活率，对该地区这种树苗移植成活情况进行调查统计，并绘制了如图所示的统计图．根据统计图提供的信息解决下列问题： (1)这种树苗成活的频率稳定在_______，成活的概率估计值为______________； (2)该地区已经移植这种树苗5万棵，估计这种树苗成活_______万棵． 【答案】(1)0.9，0.9 (2)4.5 【详解】（1）解：由图可得， 这种树苗成活的频率稳定在0.9，成活的概率估计值为0.9， 故答案为：0.9，0.9； （2）解：（万棵）， 估计这种树苗成活4.5万棵， 故答案为：4.5． 7．一个不透明的布袋里装有16个球，其中6个红球，10个白球，它们除颜色外其余都相同． (1)求摸出1个球是白球的概率； (2)现再将n个白球放入布袋，再取出相同数目的红球搅匀后，若摸出1个球是白球的概率为，求n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵不透明的布袋里装有16个球，其中6个红球，10个白球， ∴摸出1个球是白球的概率； （2）解：由题意得：， 解得：． 题型四 几何概率 1．如图，在由4个边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，若随机向此正方形网格中投针，则落在内部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形面积， 三角形的面积 ， 则落在内部的概率是． 故选：C． 2．如图，飞镖游戏板由个全等的小正方形组成，任意向飞镖游戏板投掷飞镖一次，则飞镖击中阴影部分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：飞镖游戏板由个全等的小正方形， 其中阴影小正方形有个， 飞镖击中阴影部分的概率是． 故选：C． 3．转动转盘，指针停在甲区域和乙区域的概率分别为P（甲）和P（乙），则下列关系正确的是（   ） A．P（甲）P（乙） B．P（甲）P（乙） C．P（甲）P（乙） D．无法比较P（甲）和P（乙）的大小 【答案】B 【详解】解：由图可知，甲区域占该圆总面积的，则甲区域占该圆总面积的， 因此指针停在甲区域和乙区域的概率分别为和， 所以P（甲）P（乙）， 故选：B． 4．一个转盘上有红色、蓝色两种颜色，转动200次转盘，则指针指向红色区域的概率为（    ） A． B． C．1 D．不确定 【答案】D 【详解】解：因红色区域面积未知，故指针指向红色区域的概率也未知． 故选D． 5．如果小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停留在某块方砖上，则它最终停留在阴影区域的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵两个阴影都是长为3，宽为2的矩形，地板是边长为的正方形，小球自由滚动，随机停留在某块方砖上的机会均等， ∴小球最终停留在阴影区域的概率是． 故答案为：． 6．如图，大正方形游戏板是由个全等的直角三角形和个小正方形（图中阴影部分）拼成的“弦图”，已知直角三角形的两条直角边的长度分别为，．假设飞镖击中游戏板中的每一处是等可能的，任意投掷飞镖一次（击中阴影部分边界或没有击中游戏板，则重投一次），飞镖击中阴影部分的概率是 ． 【答案】 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边的长度分别为，， ∴大正方形的边长的平方， ∴大正方形的面积， ∵阴影部分正方形的边长， ∴阴影部分正方形的面积， ∴飞镖击中阴影部分的概率， 故答案为：． 7．二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ． 【答案】70 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在0.7左右， ∴点落在黑色阴影的概率为0.7， ∴黑色阴影的面积占整个面积的0.7， ∵二维码打印在面积为的正方形纸片上， ∴黑色阴影的面积为， 故答案为：70． 8．在如图所示的图形中随机撒一把豆子，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在区域C中”记作事件W，估计事件W的概率 ． 【答案】 【详解】解：由图可知区域C的面积为， 最大的圆的面积为， ∴“豆子落在C中” 的概率． 故答案为：． 题型五 列举法求概率 1．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“惊蛰”“夏至”“秋分”“冬至”四张邮票中的两张送给小乐．小明将这四张邮票背面朝上放在桌上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取两张，则小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意得： 小乐随机抽取两张邮票的情况有：（惊蛰、夏至），（惊蛰、秋分），（惊蛰、冬至），（夏至、秋分），（夏至、冬至），（秋分、冬至）共6种可能，其中抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票就1种可能，所以小乐恰好抽到“惊蛰”和“冬至”两张邮票的概率是； 故选A． 2．A，B，C，D四名小朋友围坐在一张圆桌旁玩游戏，A先坐在如图所示的座位上，其他三人随机坐在其余的三个空位置上，则C不坐在B的对面的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意可知，从A开始，逆时针排列所有可能的结果如下：，，，，，，其中C不坐在B的对面的结果有4种，分别为，，，， ∴C不坐在B的对面的概率为． 故选D 3．现有4条线段，长度依次是3，6，9，11，从中任选三条，能组成三角形的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从长度分别为3，6，9，11的四条线段中任选三条有如下四种情况： 3，6，9；3，6，11；3，9，11；6，9，11， 能组成三角形的有3，9，11和6，9，11这两组， ∴能组成三角形的概率是， 故选：B． 4．我们把十位上数字比百位和个位上数字都小的三位数称为“V”型数，如856，325等．那么从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，则该数是“V”型数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解∶ 由2，3，4这三个数字组成的无重复数字为234，243，324，342，432，423六个，而“V”数有2个， 故从2，3，4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一个数，该数是“V”型数的概率为， 故选∶D． 5．从“红、绿、蓝、黄”四种颜色中任选三种，其中选中的三种颜色恰好为光的三原色的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：共有四种选法，分别是（红，绿，蓝）（红，绿，黄），（红，蓝，黄），（绿，蓝，黄），其中只有（红，绿，蓝）是光的三原色， 故选中的三种颜色恰好为光的三原色的概率为， 故选：C． 6．如图，是化学元素周期表中原子序数为1~5的元素，从中随机选取两种元素，则这两种元素恰好都是金属元素的概率为（   ）（注：锂和铍为金属元素） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得： 从这5种元素中任取两种元素的可能性有：（氢，氦），（氢，锂），（氢，铍），（氢，硼），（氦，锂），（氦，铍），（氦，硼），（锂，铍），（锂，硼），（铍，硼），其中两种元素都为金属元素的只有一种，故抽取到两种元素都为金属元素的概率为； 故选C． 7．在的中分别填上“”和“”，则该式能构成完全平方式的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：在的中分别填上“”和“”，则所有可能的结果共有种，即： ，，，， 该式能构成完全平方式的结果共有种，即： ，， （该式能构成完全平方式）， 故选：． 8．从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上． (1)从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ； (2)从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是． 故答案为： （2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同． 所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种， 所以抽出的两张牌数字相同的概率为． 题型六 列表法或树状图法求概率 1．在一不透明的袋中装有标记数字1，2，3，4的小球各一个，随机一次取出2个小球，则取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 1 4 3 2 1 一共有12种等可能出现的结果，取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的情况有4种， 故取出2个小球上的数字之差的绝对值等于2的概率为， 故选：C． 2．中国古代有许多数学著作，《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中随机选择2部作为校本课程“数学文化”方面的学习内容，则恰好选中《九章算术》和《四元玉鉴》的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：将四部文献《周髀算经》《九章算术》《测圆海镜》《四元玉鉴》分别记为，根据题意可以画出如下的树状图： 由树状图可以看出，所有可能的结果有 12 种，并且这 12 种结果出现的可能性相等， 其中恰好选中《九章算术》和《四元玉鉴》的情况有 2 种， ∴恰好选中《九章算术》和《四元玉鉴》的概率是， 故选：D． 3．让图中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则这两个数的积不是偶数的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：列表如下： 1 2 3 4 1 1，1 2，1 3，1 4，1 2 1，2 2，2 3，2 4，2 3 1，3 2，3 3，3 4，3 4 1，4 2，4 3，4 4，4 所有等可能的情况有16种，其中两个数的积的情况不是偶数有4种， ∴这两个数的积不是偶数的概率为． 故选：A． 4．“三孩”政策出台后，某家庭积极响应政府号召，已生育三个小孩（生男生女机会均等，且与顺序无关）．则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是 【答案】 【详解】画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能结果，则这三个小孩中至少有一个女孩的有7种结果， ∴则这三个小孩中至少有一个女孩的概率是 故答案为：． 5．有四张完全一样且正面分别写有汉字“中”“考”“必”“胜”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是 ． 【答案】 【详解】解：树状图如图所示，    由上可得，一共有16种等可能性，其中抽取的两张卡片上的汉字相同的有4种可能性， 所以抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为． 故答案为：． 6．一只不透明的袋子中装有2块白色橡皮、1块黑色橡皮，这些橡皮除颜色外都相同，搅匀后，甲、乙两名同学分别从中任意摸出1块橡皮，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率． 【答案】 【详解】解：根据题意画树状图如下， 由树状图可知共有种等可能的结果，其中甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的结果有种， 甲、乙两名同学恰好摸到不同颜色橡皮的概率为． 7．某学校为扎实推进劳动教育，根据学生参与劳动的情况设置了劳动积分．该学校随机抽取了50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人． (1)在这50名学生中，随机选取1名学生，其中等级是A的概率为 ． (2)已知A等级中有两名男同学和两名女同学，该学校要从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用画树状图法或列表法，求恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：根据题意，在50名学生的劳动积分进行收集、整理，并评定等级，等级A的学生有4人， 则随机选取1名学生，其中等级是A的概率为． （2）解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知共有12种等可能的结果，其中恰好选取的是1名男同学和1名女同学的结果有8种， 恰好选取的是1名男同学和1名女同学的概率为． 8．中国快递越来越“科技范儿”，某快递公司为了让快递“跑”得更快，新购进A型号分拣机器人2台，B型号分拣机器人3台． (1)随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为 ； (2)随机抽取两台机器人分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的分拣机器人恰好是同一型号分拣机器人的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵共台机器人，B型号分拣机器人3台 ∴随机抽取一台机器人分拣快递，则抽取到B型号分拣机器人的概率为， 故答案为：． （2）列表如下： 共有20种等可能的结果，其中同一型号机器人的结果有8种， ∴抽取到同一型号机器人的概率为 题型七 游戏的公平性 1．4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． 如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由． 【答案】公平，理由见详解 【详解】解：此游戏规则公平，根据题意列表如下： 1 2 3 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 0 1 共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为正数的情况占6种，非正数的情况占6种， 甲获胜的概率为，乙获胜的概率为， 则此游戏规则公平． 2．4张相同的卡片上分别写有数字0，1，，2，将卡片的背面朝上．小明和小丽玩抽卡片游戏，规则为：将卡片洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来；再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来．当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为正数时，小明获胜；否则，小丽获胜．两人设计的游戏规则公平吗？请用画树状图或列表的方法说明理由． 【答案】游戏规则公平，见详解 【详解】解：游戏规则公平，理由如下： 依题意，画树状图 由树状图可知：共有12种等可能的结果，两个数的差为正数的情况有6种， ∴，， 即小明获胜、小丽获胜的概率都是． ∴游戏规则公平． 3．只有一张电影票，小明和小亮想通过抽取扑克牌的方式来决定谁去看电影．现有一副扑克牌，请你设计三种对小明和小亮均公平的抽签方案． 【答案】见解析 【详解】解：第一种：取 1 到 10 的扑克牌，抽到奇数小明去，抽到偶数小刚去； 则小明去与小亮去的概率都是； 第二种：取整副没有大小王的扑克牌，抽到红色牌小明去，抽到黑色牌小刚去； 则小明去与小亮去的概率都是． 第三种：取1到10各一张扑克牌，抽到1到5的数小明去，否则小亮去；则小明去与小亮去的概率都是． 4．小慧和小颖玩掷骰子游戏，投掷同一个质地均匀且六个面分别刻有1到6点数的正方体骰子．每人各投掷一次，若两次点数之和小于7，则小慧胜；否则小颖胜．此游戏是否公平？请说明理由（用树状图或列表的方法解答）． 【答案】不公平，理由见解析 【详解】解：不公平，理由如下： 列表得两次所得点数之情况： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 一共有36种等可能的结果，点数之和小于7的一共15种情况， 则和小于7的概率， 和大于或等于7的概率， 小慧和小颖胜的概率不相等， 故这个游戏对双方不公平． 5．一个不透明的盒子中装有3个白色乒乓球，2个黄色乒乓球，5个红色乒乓球，这些乒乓球除颜色外形状和大小完全一样． (1)随机摸球20次，其中摸出红球8次，则这20次摸球中，摸出红球的频率是_________； (2)小明和小英一起做游戏，小明从盒子中任意摸一个乒乓球，如果摸到红球，小明获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？ 【答案】(1) (2)这个游戏对双方公平，理由见解析 【详解】（1）解：， ∴摸出红球的频率是； （2）解：这个游戏对双方公平，理由如下： ∵盒子中一共有个球，其中红球有5个，且每个球被摸到的概率相同， ∴摸到红球的概率为，摸到非红球的概率为， ∴摸到红球和摸到非红球的概率相同， ∴小明和小英获胜的概率相同， ∴这个游戏对双方公平． 6．（1）小阳、小刚用摸球游戏决定谁去看电影，袋中有1个红球和1个白球（除颜色不同外其余都相同），得到红球为“看”，得到白球为“不看”，小阳先摸，另一球留给小刚，这个游戏对双方是 （填“公平”或“不公平”）的． （2）小敏所在的班级中有位同学的身高是5m，这是 事件． 【答案】 公平 不可能 【详解】解：（1）∵袋中有两个球，除颜色不同外其余都相同， ∴每个人摸到红球的概率都是相等的， ∴游戏对双方是公平的； （2）这是不可能发生的事，所以是不可能事件． 故答案为：公平，不可能． 7．2025年春节期间电影《哪吒2：魔童闹海》火热上映，现有一张《哪吒2》电影票，小明和小颖都想获得，小明为他们出了一个主意：从印有数字2，3，4，5，6，5，7，8的8个小球（除数字外都相同）中任意摸出一个，若球面上数字比5大，则小颖得到电影票；否则，小明得到电影票． (1)求小明摸到球面数字为5的概率； (2)你认为这种方法公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这种方法不公平，理由见解析 【详解】（1）解：∵一共有8个小球，其中球面数字为5的小球有2个，且每个小球被摸到的概率相同， ∴小明摸到球面数字为5的概率为； （2）解：这种方法不公平，理由如下： 由题意得，小颖得到电影票的概率为， 小明得到电影票的概率为， ∵， ∴这种方法不公平． 8．如图，一个均匀的转盘被平均分成8等份，分别标有“1，2，3，4，5，6，7，8”这8个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．游戏规则如下：甲、乙两个人参与游戏，甲转动转盘，乙猜数，若猜的数与转盘转出的数相符，则乙获胜；若结果不相符，则甲获胜．（若指针恰好指在分割线上，那么重转一次） (1)如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为______； (2)如果乙猜是“3的倍数”，则甲获胜的概率是______； (3)如果乙猜是“偶数”，这个游戏对双方公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)这个游戏对双方公平，理由见解析 【详解】（1）如果乙猜是“数4”，则乙获胜的概率为， 故答案为：； （2）如果乙猜是“3的倍数”，则乙获胜的概率是， 则甲获胜的概率为， 故答案为：； （3）在这8个数中，偶数有4个， 则乙获胜的概率为，甲获胜的概率为， ∴这个游戏对双方公平． 题型八 求某件事的频率 1．某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【详解】解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 2．调查某班 名同学的跳高成绩时，在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ，则达到或超过 米的数出现的频率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在收集到的数据中，不足 米的数出现的频率是 ， 则达到或超过 米的数出现的频率是： 故选B． 3．在掷一枚骰子次的试验中，“偶数朝上”的频数为，则“偶数朝上”的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意得： ， “偶数朝上”的频率为， 故选：C． 4．学习了用频率估计概率一节后，小聪随机抛掷一枚质地均匀的骰子，随着抛掷次数的增多，落下后，“朝上的一面的点数是6”的频率最可能接近（    ） A． B． C． D． 【答案】B 由骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，利用频率公式直接求解即可求得答案． 【详解】骰子的六个面上分别刻有1到6的点数， 掷得朝上一面的点数是6的频率为：， 故选：B． 5．2023年6月28日，十四届全国人大常委会第三次会议决定：将8月15日设立为全国生态日．第一个生态日的活动主题是“绿水青山就是金山银山”．在划线部分的这句话中，“山”出现的频率是 ． 【答案】 根据频率公式计算即可求解． 【详解】解：“绿水青山就是金山银山”共有10个字，其中“山”出现了3次， ∴“山”出现的频率是， 故答案为： ． 6．已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【详解】解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 7．某人在做掷硬币试验，投掷次，正面朝上有次，若正面朝上的频率，随着次数的增加，的值接近 ． 【答案】/0.5 【详解】解：随着次数的增加，的值接近． 故答案为：． 8．数据观念某种绿豆在相同条件下发芽情况的试验结果如下表所示．根据表中数据我们发现当参与试验的这种绿豆的粒数很大时，它的发芽率会在一个常数 （结果精确到）附近摆动，即这种绿豆的发芽率具有 ． 每批粒数 500 1000 2000 3000 发芽的粒数 463 930 1862 2793 发芽率 【答案】 稳定性 【详解】解：观察表格发现，随着试验次数的增多，绿豆发芽的频率逐渐稳定到（结果精确到）左右， ∴绿豆的发芽率具有稳定性． 故答案为：，稳定性． 题型九 由频率估计概率 1．一个不透明的袋子中装有2个黑球和n个红球，这些球除颜色外其他都相同．课外兴趣小组做摸球试验：每次摸出一个球，记录下颜色后再放回，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率在0.8附近摆动，则n的值最可能是（   ） A．8 B．6 C．5 D．2 【答案】A 【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在， ， 解得：，经检验是方程的解， 即n的值最可能是． 故选：A． 2．某大型生鲜超市购进一批草莓，在运输、储存过程中部分草莓损坏（不能出售），超市工作人员从所有草莓中随机抽取了若干草莓进行“草莓损坏率”统计，并把获得的数据记录如下表： 草莓总质量斤 20 50 100 200 500 损坏草莓质量斤 3.12 7.7 15.2 30 75 草莓损坏的频率 0.156 0.154 0.152 0.150 0.150 根据表中数据可以估计，这批草莓的损坏率为（结果保留两位小数）（    ） A．0.15 B．0.14 C．0.13 D．0.12 【答案】A 【详解】解：由数据记录表可知，草莓损坏的频率稳定在0.15附近， 故选：A． 3．粮安天下，种子为基．高发芽率的种子能够确保作物生长的初始阶段有足够的健康植株，从而提高作物的产量和质量．某学习小组做某种农作物种子发芽率的实验，整理的实验数据如表： 种子数 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000 发芽数 94 186 278 464 927 1856 2787 4650 种子发芽率 0.9400 0.9300 0.9267 0.9280 0.9270 0.9280 0.9290 0.9300 由此估计这种农作物种子的发芽率为 ．（结果精确到0.01） 【答案】0.93 【详解】解：观察表格可知，随着试验次数的增加，种子发芽率逐渐稳定在0.93附近， ∴可估计这种农作物种子的发芽率为0.93， 故答案为：0.93． 4．一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的论证，下表是几位科学家“掷硬币 ” 的实验数据： 实验者 德. 摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 掷币次数 6140 4040 10000 36000 出现“正面朝上” 的次数 3109 2048 4979 18031 频率 0.506 0.507 0.498 0.501 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为 （精确到) ． 【答案】 【详解】解：根据题意，估计硬币出现“正面朝上 ”的概率为， 故答案为： ． 5．现对一批衬衣进行抽检，统计合格衬衣的件数，得到合格衬衣的频数表如下： 抽取件数（件） 50 100 150 200 500 800 1000 合格数 48 95 141 190 480 760 950 合格率 (1)求，的值； (2)估计任抽一件衬衣是合格品的概率． 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：根据题意，； ． 答：的值为，的值为． （2）抽取件数为1000时，合格的频率趋近于0.95， 估计任抽一件衬衣是合格品的概率为0.95． 6．某公园有一种游戏，规则是：在一只装有6个红球和若干个白球（每个球除颜色外均相同）的袋中，随机摸出1个球，摸到红球可得到1个玩具奖品，否则得不到奖品．已知参加这种游戏活动的共4000人（每人1次），公园发放的玩具为1000个． (1)求参加1次这种游戏活动得到玩具的频率； (2)请你估计袋中白球的数量． 【答案】(1) (2)18 【详解】（1）解：参加一次这种游戏活动得到玩具奖品的频率为． （2）设袋中白球为个， 则摸到红球的概率， ， 解得：，经检验是方程的解． 故白球接近18个． 7．2025年4月12日，湖南师大附中将迎来120周年校庆，为迎接校庆，学校设计了特别纪念品，并准备设置一种抽奖游戏，其规则如下：凡参与游戏的师生从一个装有12个红球和若干个白球（每个球除颜色外，其他都相同）的不透明纸箱中，随机摸出一个球，摸到红球就可免费得到一个校庆纪念品．据估计参与这种游戏的师生约有2500人，学校一共为参与该游戏的师生准备了校庆纪念品1500个． (1)求参与该游戏可免费得到校庆纪念品的频率； (2)请你估计纸箱中白球的数量接近多少？ 【答案】(1) (2)8个 【详解】（1）解：由题意，得：； 答：参与该游戏可免费得到校庆纪念品的频率为； （2）由（1）可知，摸到红球的概率为， ∴白球的数量（个）； 答：估计纸箱中白球的数量接近8个． 8．下表是某校生物兴趣小组在相同的试验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据： 试验的种子粒数n 100 200 500 1000 2000 5000 发芽的粒数m 94 a 473 954 1906 4745 发芽频率 0.940 0.955 0.946 b 0.953 0.949 (1)上表中的__________，__________； (2)任取一粒这种植物种子，它能发芽的既率的估计值是__________（精确到0.01）； (3)若该校劳动基地需要这种植物幼苗9500棵，试估算需要准备多少粒种子进行发芽培育． 【答案】(1)191；0.954 (2)0.95 (3)10000粒 【详解】（1）解：； ； 故答案为：191；0.954 （2）由表格可知：它能发芽的既率的估计值是0.95； （3）粒； 答：估算需要准备10000粒种子进行发芽培育． 题型十 概率的应用题 1．“交通文明，让长沙与我一起白头偕老”．自长沙开展“文明城市创建”以来，我市学生更加自觉遵守交通规则．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个路口，该路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到红灯的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵他在路口遇到绿灯的概率为，遇到黄灯的概率为， ∴他遇到绿灯的概率是：． 故选：C． 2．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 3．如图，转盘被划分成六个相同大小的扇形，并分别标上这六个数字转动转盘，当转盘停止后，观察指针停在哪个扇形区域，四位同学发表了下列见解： 甲：如果指针前三次都停在了3号区域，那么下次就一定不会停在3号区域； 乙：只要指针连续转6次，一定会有一次停在6号区域； 丙：指针停在奇数号区域的可能性与停在偶数号区域的可能性一样； 丁：只要在转动前默默想好让指针停在6号区域，指针停在6号区域的可能性就会加大． 其中，见解正确的为（    ）． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【详解】解：甲：如果指针前三次都停在了3号扇形，下次也有可能停在3号，故见解错误； 乙：只要指针连续转六次，不一定会有一次停在6号扇形，故见解错误； 丙：指针停在奇数号扇形的概率与停在偶数号扇形的概率相等，故见解正确； 丁：运气好的时候，只要在转动前默默想好让指针停在6号扇形，指针停在6号扇形的可能性都一样大，故见解错误． 综上所述，正确的见解只有丙． 故选：C． 4．有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【答案】1500元 【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为， 每摸一次平均收益为：， ∴元， ∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元． 5．一只不透明的袋中装有1个白球和3个红球，每个球除颜色外其他都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球． (1)能事先确定摸到球的颜色吗？ (2)你认为摸到哪种颜色的球的概率较大？ (3)为了估计摸到白球的概率，小明采用转盘来代替摸球做试验．如图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上红、白两种颜色，转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同（提示：在转盘上用文字注明颜色和扇形圆心角的度数）． 【答案】(1)不能 (2)红球 (3)见解析 【详解】（1）解：摸到球的颜色有两种可能性，故不能确定摸到球的颜色； （2）解：∵不透明的袋中装有1个白球和3个红球， ∴摸到白球的概率为，摸到红球的概率为， ∴摸到红球的概率较大； （3）解：如图所示： 白色区域占比， ∴指针落在白色区域的概率与摸到白球的概率相同． 6．某超市为吸引顾客设置如下的翻奖牌，奖品有纸巾、牙刷、太阳伞，进店消费可翻一次牌．翻奖牌的正面、背面如图所示．已知翻奖牌正面除数字外其他完全相同．请解决下面的问题： (1)翻一次牌翻到“纸巾”的概率是__________； (2)翻一次牌获得奖品的概率是_________； (3)请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后翻到“纸巾”的概率是，翻到“谢谢参与”的概率是，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【详解】（1）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； （2）解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； （3）解：设计九张牌中九张牌中有4张写着纸巾，2个谢谢参与，其他为牙刷、太阳伞，如图所示： 7．某体育馆有A，B两个入口，每个入口有3个通道可同时通行，C，D，E三个出口，其中C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，每个通道在规定时间内可通行100人，规定：观众进馆时须持票任意从两个入口进入，出馆时只可任意从三个出口离开．甲、乙、丙三名观众分别从两个入口中随机选择一个入口进入． (1)求甲从A口进入，C口离开的概率； (2)求甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率． (3)学校有七、八、九三个年级的学生进场观看比赛，七年级80人，八年级150人，九年级160人，比赛结束后，为了能够在规定时间内使所有同学都能有序离开，请你合理安排七、八、九三个年级的学生从C、D、E三个出口（每个年级的学生走同一个出口）离开（安排一种即可），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)七年级走E出口，八九年级走C、D出口，理由见解析 【详解】（1）解：（1）画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中甲从A口进入，C口离开的结果有1种，    ∴甲从A口进入，C口离开的概率为； （2）画树状图如下：共有8种等可能的结果，其中甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的结果有2种，    ∴甲、乙、丙三名观众选择同一入口进馆的概率为． （3）七年级走E出口，八九年级走C、D出口． 理由：因为七年级80人，八年级150人，九年级160人，又因为C、D出口有2个通道，E出口只有一个通道，且每个通道在规定时间内可通行100人，所以按七年级走E出口，八九年级走C、D出口方案，能够在规定时间内使所有同学都能有序离开． 8．某市林业局积极响应习总书记“青山绿水就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图．    请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在___________附近，估计成活概率为___________．（精确到0.1） (2)该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵树； ②根据市政规划共需要成活90000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①18000棵，②80000棵 【详解】（1）由图可知，这种花卉成活的频率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9，0.9； （2）①（棵） 答：这种花卉成活率约18000棵． ②方法一：（棵） 答：估计还要移植80000棵． 方法二：（棵） 答：估计还要移植80000棵． 1．电脑上随机推送难、中、易三道数学题（三题不同时呈现），要求做题人选其中的一题解答．明明直接做电脑推荐的第一道题，不再点击第二、三题；慧慧不做电脑推送的第一道题，简单思考后点击第二题，发现第二题比第一题容易，就做第二题，否则点击第三题并做第三题．则下列判断正确的是（   ） A．明明做到容易题的概率大 B．慧慧做到容易题的概率大 C．他俩做到容易题的概率一样大 D．他俩至少有1人做到容易题的概率为 【答案】B 【详解】解：∵三道题的推送顺序的结果为：（难、中、易），（难、易、中），（中、难、易），（中、易、难），（易、难、中），（易、中、难）， ∴明明做到容易题有2种结果，慧慧做到容易题的结果有3种 ∴明明做到容易题的概率，慧慧做到容易题的概率； ∵明明和慧慧两人中，至少有一人做到容易题的结果有5种， ∴他俩至少有1人做到容易题的概率． 故选B． 2．斗兽棋是一种传统棋类，双方各有八枚棋子，从大到小的顺序为象、狮、虎、豹、狼、狗、猫、鼠，较大的战胜较小的．在一次对局中，甲手中还剩有的棋子为狮、虎、狼、猫，乙手中还剩有的棋子为象、豹、狗、鼠，若双方将手中棋子的背面向上，随机从自己的棋子中抽取一个进行比较，则甲获胜的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能出现的结果，其中甲获胜的结果有种， ∴甲获胜的概率为， 故选：D． 3．一次访谈活动，主办方邀请9名学生参加活动，在场地安排了9把椅子（每个方格代表一把椅子，横为排，竖为列）按图示方式摆放，其中圆点表示已经有学生入座的椅子如果有五名学生入座（剩余座位分别记为A，B，C，D），又有甲、乙两名同学随机入座，请用树状图或列表法求甲和乙坐在同一横排且相邻的概率． 【答案】 【详解】解：根据题意，列表如下： A B C D A B，A C，A D，A B A，B C，B D，B C A，C B，C D，C D A，D B，D C，D 一共有12种等可能的结果，其中甲和乙坐在同一横排且相邻的共有4种等可能的结果， ∴甲和乙坐在同一横排且相邻的概率是． 4．2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”，双巳合璧，事事如意，这是乙巳蛇年与如意之间吉祥曼妙的创意链接，饱含喜庆美好的家国祝福，更彰显着中华民族精神根脉生生不息的时代力量，现将如图所示分别印有“巳”“ 巳”“如”“意”的四张卡片装在一个不透明的盒子中，这些卡片除字外其余均相同． (1)若从盒子中随机摸出一张卡片，则摸出的这张卡片上印有“意”的概率为___________； (2)若从盒子中随机摸出一张卡片，记下这张卡片上印有的字后放回摇匀，再从盒子中随机摸出一张卡片，请你用列表法或画树状图法，求摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中卡片上是“意”的结果有1种， ∴从盒子中随机抽取一张卡片，卡片上是“意”的概率为． （2）解：根据题意，画树状图，得 由树状图可知，共有16种结果，每种结果出现的可能性都相等，其中摸出的这两张卡片上印有“巳”和“如”的结果有2种， ∴摸出的这两张卡片上分别印有“巳”和“如”的概率． 5．某校课外学习小组做换球试验，一只不透明袋子中装有12个白球和若干个红球，这些球除颜色外部相同，将球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得数据如下： 摸球的次数 200 300 400 1000 1600 2000 摸到白球的频数 144 186 260 668 1064 1332 摸到白球的频率 0.720 0.620 0.650 0.668 0.665 0.666 (1)该学习小组发现，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在一个常数附近摆动，这个常数是（精确到0.01） ，由此估出红球有 个； (2)学校开设劳动选修课，可以选择的劳动课程有：烹饪、手工、插花等十余门.小明和小刚两名同学都想选择烹饪课，但是名额只剩一个，他们决定在（1）中的小球中选出2个白球和1个红球放入一只不透明袋子中，由小明从中随机摸出1个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，若两次都是白球则小明去上烹饪课；否则小刚去上烹饪课.请用树状图或表格列出小明摸球所有可能出现的结果，并求出小明上烹饪课的概率. 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：由表格可知，当试验次数足够大时，摸到白球的频率在附近摆动， 这个常数是． 设红球有个， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， 估出红球有个． 故答案为：；． （2）解：根据题意列表如下： 白 白 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） 红 （红，白） （红，白） （红，红） 共有种等可能的结果，其中两次都是白球的结果有种， ∴小明上烹饪课的概率为． 6．某市林业局为了解某种花卉的移植成活率，对本市这种花卉的移植情况进行了调查统计，并绘制了统计图（如图）．请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： (1)这种花卉成活的频率稳定在_________附近，估计成活概率为_________（精确到）． (2)已知该林业局已经移植这种花卉20000棵，问： ①这批花卉成活的棵数约为多少？ ②如果根据市政规划，这种花卉需要成活90000棵才能满足需求，那么估计还需要移植多少棵？ 【答案】(1)0.9，0.9 (2)①18000棵  ②80000棵 【详解】（1）解：由图可知，这种花卉成活的频率稳定在附近，估计成活概率为． 故答案为：； （2）解：①（棵）， 答：这种花卉成活率约18000棵． ②（棵）， 答：估计还要移植80000棵． 7．某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【答案】(1)0.8，91 (2)0.85，0.90 (3)乙运动员更合适，见解析 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.8，91； （2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90， 故答案为：0.85，0.90； （3）解：乙运动员更合适， 理由：， ∴乙运动员更合适． 8．概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛： (1)请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）： ①记为点：随机地从，，，，这十个数中选取两个数，和为； ②记为点：将个人分成两组，一定有个人分在一组； ③记为点：从装有个红球、个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）； ④记为点：如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内． (2)一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同．从口袋中取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，的值是多少？ 【答案】(1)见解析； (2)． 【详解】（1）解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解； ②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解； ③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为； ④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为．然后依次标在图中即可． 如图所示： （2）解：由题意，口袋中有个白球和个红球，共有个球，能说明共个球即可 从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是， 解得． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$