江苏省徐州市第三中学2024-2025学年高二暑期数学夏令营练习04 直线的一般式方程

徐州三中23级高二暑期夏令营练习04 直线的一般式方程 一、选择题 1．直线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.120° D.150° 2．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数a的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或或 3．下列命题正确的个数是( ) ①经过定点的直线都可以用方程表示 ②直线l过点，倾斜角为90°，则其方程为 ③在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 ④直线必过定点 A.1 B.2 C.3 D.4 4．如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 5．下列直线中，倾斜角最大的是( ) A. B. C. D. 6．已知直线恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是( ) A. B. C. D. 7．已知倾斜角为θ的直线l与直线x+y-3=0的夹角为30°,则θ的值为(　　) A.30°或150°　　　　B.120°或0° C.90°或30°　　　　D.60°或0° 8．下列说法错误的是　(　　) A.平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示 B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 二、多项选择题 9．下列说法正确的有( ) A.直线的斜率越大，则倾斜角越大 B.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线 C.若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为135° D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 10．已知直线，动直线，则下列结论正确的是( ) A.不存在k，使得的倾斜角为90° B.对任意的k，直线恒过定点 C.对任意的k，与都不重合 D.对任意的k，与都有公共点 11.已知曲线C:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,则下列说法正确的是(　　) A.∃λ∈R,曲线C为一个点 B.∀λ∈R,曲线C为一条直线 C.∃λ∈R,曲线C为直线x+y=0 D.∀λ∈R,曲线C恒过点(-2,2) 12.已知直线l过点P(3,2),且与l1:x+3y-9=0、x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则(　　) A.直线l的方程为x-3y+3=0 B.直线l与直线l1的倾斜角互补 C.直线l在y轴上的截距为2 D.这样的直线l有两条 三、填空题 13．若两直线与为同一条直线，则实数a的值为________. 14．直线l过点，且横截距为纵截距的两倍，则直线l的一般式方程是 . 15.已知直线和,且,则经过,两点的直线l的一般式方程为　　　　　　　　.  16．已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为　　　　.  四、解答题 17．已知△ABC位于第一象限,且A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°. (1)求边AB所在直线的方程;(2)求直线AC与直线BC的一般式方程. 18．已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0). (1)写出直线PQ的方程(用含t的式子表示); (2)如图,在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 徐州三中23级高二暑期夏令营练习04 直线的一般式方程 参考答案及解析 一、选择题 1．直线的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.120° D.150° 1．答案：B 解析：由直线，则该直线的斜率，设直线的倾斜角为，则，解得. 故选：B. 2．已知直线和以，为端点的线段相交，则实数a的取值范围是( ) A. B. C.或 D.或或 2．答案：C 解析：直线，即，其恒过定点， 根据题意，作图如下： 数形结合可知，当直线过点N时，其斜率取得最小值， 当直线过点M时，其斜率取得最大值1， 故，解得. 故选：. 3．下列命题正确的个数是( ) ①经过定点的直线都可以用方程表示 ②直线l过点，倾斜角为90°，则其方程为 ③在坐标轴上截距相等的直线都可以用方程来表示 ④直线必过定点 A.1 B.2 C.3 D.4 3．答案：B 解析：当直线过点且与x轴垂直时，直线方程不能用表示，故①错误； 直线l过点，倾斜角为90°，则直线方程可表示为，故②正确； 在坐标轴上截距相等的直线可能过原点，所以不一定能用表示，故③错误； 直线可化为，故恒过定点，故④正确. 故选：B. 4．如果AB>0且BC<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(　　) A.第一象限　　　　B.第二象限 C.第三象限　　　　D.第四象限 4．C　由AB>0且BC<0,可得A,B同号,B,C异号,所以A,C异号, 令x=0,得y=->0,令y=0,得x=->0, 所以直线Ax+By+C=0不经过第三象限. 故选C. 5．下列直线中，倾斜角最大的是( ) A. B. C. D. 5．答案：A 解析：由于直线的斜率为-1，故它的倾斜角为， 由于直线的斜率为，，故它的倾斜角大于， 由于直线的斜率不存在，故它的倾斜角为， 由于直线的斜率为1，故它的倾斜角为， 故倾斜角最大的为直线， 故选：A. 6．已知直线恒过定点Q，Q点在直线l上，则l的方程可以是( ) A. B. C. D. 6．答案：B 解析：由题意知可化为， 则直线恒过定点，验证选项得直线l的方程可以为. 故选：B. 7．已知倾斜角为θ的直线l与直线x+y-3=0的夹角为30°,则θ的值为(　　) A.30°或150°　　　　B.120°或0° C.90°或30°　　　　D.60°或0° 7．B　直线x+y-3=0可化为y=-,设其倾斜角为φ,0°≤φ<180°, 则斜率k=tan φ=-,故φ=150°, 又两直线的夹角为30°,所以θ=0°或θ=120°. 故选B. 8．下列说法错误的是　(　　) A.平面上任意一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示 B.当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示的直线过原点 C.当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0表示的直线与x轴平行 D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 8.D　每一条直线都有倾斜角α,当α≠90°时,直线的斜率k存在,其方程可写成y=kx+b,变形为kx-y+b=0,此时A=k,B=-1,C=b;当α=90°时,直线的斜率不存在,其方程可写成x=x1,此时A=1,B=0,C=-x1,显然A,B不同时为0,A中说法正确. 当C=0时,方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)即为Ax+By=0,显然有A·0+B·0=0,即直线过原点,B中说法正确. 当A=0,B≠0,C≠0时,方程Ax+By+C=0可化为y=-,它表示的直线与x轴平行,C中说法正确. 易知D中说法错误. 故选D. 二、多项选择题 9．下列说法正确的有( ) A.直线的斜率越大，则倾斜角越大 B.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的任何直线 C.若直线l的一个方向向量为，则直线l的倾斜角为135° D.任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化 9．答案：BC 解析：选项A，当时，对应倾斜角，当时，对应倾斜角，错误； 选项B，由于两点式中，故垂直于x轴和y轴的直线不能用两点式表示，其他直线都能选取两个点，满足，可用两点式表示，正确； 选项C，方向向量可化简为，故斜率，故对应倾斜角，正确； 选项D，直线斜率不存在，不能转化为斜截式，错误. 故选：BC. 10．已知直线，动直线，则下列结论正确的是( ) A.不存在k，使得的倾斜角为90° B.对任意的k，直线恒过定点 C.对任意的k，与都不重合 D.对任意的k，与都有公共点 10．答案：BD 解析：对A，当时，，符合倾斜角为90°，故A错误； 对B，，解可得，故过定点，故B正确； 对C，当时，，显然与重合，故C错误； 对D，过定点，而也在上，故对任意的k，与都有公共点，故D正确； 故选：BD. 11.已知曲线C:3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,则下列说法正确的是(　　) A.∃λ∈R,曲线C为一个点 B.∀λ∈R,曲线C为一条直线 C.∃λ∈R,曲线C为直线x+y=0 D.∀λ∈R,曲线C恒过点(-2,2) 11.BCD　由3x+4y-2+λ(2x+y+2)=0,可得(3+2λ)x+(4+λ)y-2+2λ=0, 因为3+2λ与4+λ不会同时为0,所以∀λ∈R,曲线C为一条直线,故A错误,B正确; 当λ=1时,曲线C:3x+4y-2+2x+y+2=0,即x+y=0,故C正确; 由即曲线C恒过点(-2,2),故D正确. 故选BCD. 12.已知直线l过点P(3,2),且与l1:x+3y-9=0、x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,则(　　) A.直线l的方程为x-3y+3=0 B.直线l与直线l1的倾斜角互补 C.直线l在y轴上的截距为2 D.这样的直线l有两条 12.AB　因为直线l与l1及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形,所以直线l与l1的倾斜角互补,故B正确; 由直线l1的斜率为-,知直线l的斜率为,因为直线l过点P(3,2),所以直线l的方程为y-2=(x-3),即x-3y+3=0,故A正确; 将x=0代入x-3y+3=0,得y=1,所以直线l在y轴上的截距为1,故C错误; 过点P(3,2)且斜率为的直线只有一条,故D错误. 故选AB. 三、填空题 13．若两直线与为同一条直线，则实数a的值为________. 13．答案：0 解析：因为两直线与为同一条直线，所以，所以. 故答案为：0. 14．直线l过点，且横截距为纵截距的两倍，则直线l的一般式方程是 . 14．答案：或 解析：当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为， 又直线过点， 所以，解得， 所以直线方程为，即； 当横截距与纵截距都不为0时，可设直线方程为， 由题意可得，解得， 所以直线方程为，即； 综上可知所求直线方程为或， 故答案为：或. 15.已知直线和,且,则经过,两点的直线l的一般式方程为　　　　　　　　.  15.答案　3x+4y-1=0 解析　由3x1+4y1=1,3x2+4y2=1, 得点A(x1,y1)在直线3x+4y-1=0上, 点B(x2,y2)在直线3x+4y-1=0上, 即A,B都在直线3x+4y-1=0上, 因为两点确定一条直线,所以由A(x1,y1),B(x2,y2)确定的直线即为3x+4y-1=0. 16．已知直线l的倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍,且l经过点P(3,2),则直线l的方程为　　　　.  16.答案　8x-15y+6=0 解析　设直线l的倾斜角为θ,直线x-4y+3=0的倾斜角为α,则θ=2α,且tan α=, 所以tan θ=tan 2α=,又l经过点P(3,2),所以直线l的方程为y-2=(x-3),即8x-15y+6=0. 四、解答题 17．已知△ABC位于第一象限,且A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°. (1)求边AB所在直线的方程;(2)求直线AC与直线BC的一般式方程. 17．解析　(1)因为A(1,1),B(5,1),所以AB∥x轴, 所以边AB所在直线的方程为y=1. (2)因为∠A=60°,所以kAC=tan 60°=, 所以直线AC的方程为y-1=(x-1),即=0, 因为∠B=45°,所以kBC=tan 135°=-1, 所以直线BC的方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0. 18．已知t∈(0,5],由t确定两个点P(t,t),Q(10-t,0). (1)写出直线PQ的方程(用含t的式子表示); (2)如图,在△OPQ内作内接正方形ABCD,顶点A,B在边OQ上,顶点C在边PQ上.若OA=a,当正方形ABCD的面积最大时,求a,t的值. 18．解析　(1)令t=10-t,得t=5,此时直线PQ的方程为x=5, 当t≠5时,直线PQ的方程为y-t=(x-t), 即tx+(10-2t)y+t2-10t=0. (2)由P(t,t)和四边形ABCD为正方形可知OA=AD=AB, 则A(a,0),B(2a,0),C(2a,a), 因为点C(2a,a)在直线PQ上, 所以2at+(10-2t)a+t2-10t=0, 所以a=,0<t≤5, 要使正方形ABCD的面积最大,只需a的值最大, 易知当t=5时,amax=,此时正方形ABCD的面积最大. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$