数学试题-【名校面对面】2025年河南省三甲名校高三校内自测卷（八）（Word版）

河南省三甲名校25年校内自测卷（八）（ssyzx-8） 数学试题 一、选择题：本题共8个小题，每题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．“”是“”的 A．充分必要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．复平面内，若复数满足，则所对应的点的集合构成的图形是 A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线. 3．已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为 A． B． C． D． 4．记为等差数列的前项和，若，，则 A． B． C． D． 5．将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像，若对满足的，有，则 A． B． C． D． 6．将编号为1，2，3，4，5的5个球放到3个不同的盒子中，每个球只能放到1个盒子中，每个盒子至少放入1个球，则编号为1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为 A． B． C． D． 7．已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率 A． B． C．2 D． 8．当时，关于的不等式恒成立，则的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9．一组成对样本数据的散点位于一条直线附近，它的样本相关系数（其中），由最小二乘法求得经验回归方程（其中），则 A．若，则 B．若，则成对数据的样本相关系数等于 C．若，则成对数据的样本相关系数大于 D．若，则成对数据的经验回归方程 10．函数的图像可能是 A． B．C． D． 11．某教授于1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将11描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列，则（    ） A．若，则从开始出现数字2； B．若，则的最后一个数字均为； C．可能既是等差数列又是等比数列； D．若，则均不包含数字4. 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分。 12．已知函数，若，，且，则的最小值是 ． 13．设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的方程为 . 14．祖暅是我国古代的伟大科学家，他在5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所示. 利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线C的方程为，将C围绕y轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为 . 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，. （1）证明：； （2）若，求. 16．已知函数 (1)若，求函数在处的切线方程； (2)求证：当时，有且仅有一个零点. 17.如图1，平面四边形为“箏型”，其中，将平面沿着翻折得到三棱锥（如图2），为的中点． (1)证明：平面平面； (2)如图2，若，，求平面与平面的夹角的正弦值． 18．在平面直角坐标系中，顶点在原点的抛物线经过点. (1)求抛物线的方程； (2)若抛物线不经过第二象限，且经过点的直线交抛物线于，，两点（），过作轴的垂线交线段于点. ①当经过抛物线的焦点时，求直线的方程； ②求点A到直线的距离的最大值. 19．某生态公园有两条散步路线，分别记为路线和路线.公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和.已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为. (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为. （i）请写出与的递推关系； （ii）设，求证：. 数学试题 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省三甲名校25年校内自测卷（八）（ssyzx-8） 数学答案 一 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B D C A D ABD ABC 题号 11 答案 BCD 二 填空题 12．4； 13． ； 14． 三 解答题 15．（1）设的外接圆半径为R，由正弦定理， 得，……………………………………………………….2分 因为，所以，即． 又因为，所以．………………………………………………………5分 （2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理 因为，如图，在中，，① 在中，．②……………………………………………………….7分 由①②得，整理得． 又因为，所以，解得或，……………10分 当时，（舍去）．……………………….11分 当时，． 所以．……………………………………………………………….13分 16．（ 15分）（1）若，则，………2分 所以，函数在处的切线方程为；……..5分 （2）的定义域为，……………….6分 当时有且仅有一个零点4：………………………… 8分 当时，，函数递增，由，知存在唯一零点；…………………………………………………………………………10分 当时，令得， 当时，函数递增： 当时，函数递减； 当时，函数递增：…………………………………….12分 当时，，所以，函数无零点； 因为当时递减，当时递增， 且，所以存在唯一零点…………14分 综上所述，当时，有且仅有一个零点…………………………………..15分 17. （15分）（1），，为的中点， ，， 平面，平面， 平面． 又平面， 平面平面．…………………………………………………………6分 （2） 如图，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴､轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系． 取中点，连接，，． 由（1）可知平面，平面，， 又平面，平面，故平面． ，，为的中点，． 又，为的中点，．…………………………..8分 则，，，，，， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以． 设平面的一个法向量， 则，令，则，所以. …………………………………………………………………………………13分 设平面与平面的夹角为， 则，…………………………………… 14分 所以.所以，平面与平面的夹角的正弦值是． 15分 18．（1）若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 若抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线的方程为， 且抛物线过点，所以，解得； 综上所述：抛物线的方程为或…………………………..4分 （2）因为抛物线不经过第二象限，由（1）可知，抛物线的方程为，    且,， ①当经过抛物线的焦点时，令，得， 在中，令，得， 又因为，则，可得直线， 由，解得或，即， 所以直线，即；………………………….9分 ②设，，， 由，消去整理得， 所以，，，…………………..11分 且，即， 则，…………………………………12分 令，得 ， 所以直线经过定点，…………………………………….16分 所以当，即点A以直线的距离取得最大值，为…..17分 19．（17分）（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 依题意，，，， 则由全概率公式，得居民第二天选择路线散步的概率；……………….3分 记第二天选择路线散步的人数为，则，……………………4分 则，， ，， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望．………………………………………….7分 （2）（i）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 所以………………………………10分 （ii）由（i）知，则，而， 于是数列是首项为，公比为的等比数列， 因此，即， ， …………………………13分 当时，，而， 所以；……………………………………………………14分 当时，，而， 所以， 所以……………………………………………….17分 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $$