数学试题-【名校面对面】2025年河南省三甲名校高三校内自测卷（八）

数学试题 第 1 页 共 4 页 河南省三甲名校25年校内自测卷（八）（ssyzx-8） 数学试题 一、选择题：本题共 8 个小题，每题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1．“ 1 1x   ”是“ 2 1x  ”的 A．充分必要条件 B．充分但不必要条件 C．必要但不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．复平面内，若复数 z满足 1 iz z   ，则 z所对应的点 Z的集合构成的图形是 A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线. 3．已知两个非零向量 ,a b  满足 a b a b      ，则向量2a b  在向量 a  上的投影向量为 A． b  B． b  C． 2a D． 2a  4．记 nS 为等差数列 na 的前 n项和，若 3 7 10a a  ， 5 9 65a a  ，则 n S n  A．14 n B． 4n C．12 n D． 2n 5．将函数 ( ) sin 2f x x 的图像向右平移 (0 ) 2    个单位后得到函数 ( )g x 的图像，若对满足 1 2( ) ( ) 2f x g x  的 1 2,x x ，有 1 2 min 3 x x   ，则  A． 5 12  B． 3  C． 4  D． 6  6．将编号为 1，2，3，4，5的 5个球放到 3个不同的盒子中，每个球只能放到 1个盒子中， 每个盒子至少放入 1个球，则编号为 1，2，3的球所放盒子各不相同的概率为 A． 5 18 B． 6 25 C． 9 25 D． 8 9 7．已知 1 2,F F 分别是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的左、右焦点，P是左支上一点，且 1 2PFF 的 面积为 2b ，若 1 2PFF 的内切圆与 y轴相切，则双曲线的离心率 e  A． 3 1 B． 3 C．2 D． 3 2 8．当 1x时，关于 x的不等式 ln lne e ln 1ax a ax x x     恒成立，则 a的取值范围是 A．  e, B．  1, C．  e, D． 1 ,e      数学试题 第 2 页 共 4 页 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得 6 分，有选错的得 0 分，部分选对的得部分分。 9．一组成对样本数据       *1 1 2 2, , , , , 10,n nx y x y x y n n N 的散点位于一条直线附近，它的样 本相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            （其中 1 1 1 1, n n i i i i x x y y n n     ），由最小二乘法求得经 验回归方程 ˆˆ ˆy bx a  （其中      1 2 1 ˆ n i i i n i i x x y y b x x         ），则 A．若 0r  ，则 0b  B．若  2 1,2, ,i iz y i n    ，则成对数据  ,i ix z 的样本相关系数 1r 等于 r C．若  2 1,2, ,i iz y i n   ，则成对数据  ,i ix z 的样本相关系数 2r 大于 r D．若  2 1,2, ,i iz y i n   ，则成对数据  ,i ix z 的经验回归方程 ˆ ˆˆ 2 2z bx a  10．函数  2 1 exy kx  的图像可能是 A． B． C． D． 11．某教授于 1986年发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”（Lookandsaysequence），该 数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”.例如：取第一项为 1，将其外观描述为“1个 1”，则第二项为 11；将 11描述为“2个 1”，则第三项为 21；将 21描述为“1个 2，1个 1”，则 第四项为 1211；将 1211描述为“1个 1，1个 2，2个 1”，则第五项为111221,，这样每次从 左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项.则对于外观数列  na ，则（ ） A．若 1 3a  ，则从 4a 开始出现数字 2； B．若  1 1,2,3, ,9a k k   ，则  *Nna n 的最后一个数字均为 k； C． na 可能既是等差数列又是等比数列； D．若 1 123a  ，则  *Nna n 均不包含数字 4. 数学试题 第 3 页 共 4 页 三、填空题：本题共 3 题，每小题 5 分，共 15 分。 12．已知函数   e e 2sinx xf x x   ，若 0m  ， 0n  ，且      2 2 0f m f n f   ，则 1 2 m n  的 最小值是 ． 13．设 1 2,F F 分别是椭圆 2 2 2 1(0 1) yE x b b    ： 的左、右焦点，过点 1F 的直线交椭圆 于 ,A B两点，若 1 1 23 ,AF BF AF x  轴，则椭圆 的方程为 . 14．祖暅是我国古代的伟大科学家，他在 5世纪末提出：“幂势即同，则积不容异”，意思是： 夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意一个平面所截，若截面面积 都相等，则这两个几何体的体积相等.这就是著名的祖暅原理，祖暅原理常用来由已知几何体的 体积推导未知几何体的体积，例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积，其示意图如图一所 示. 利用此方法，可以计算如下抛物体的体积：在平面直角坐标系中，设抛物线 C 的方程为  21 1 1y x x     ，将 C 围绕 y 轴旋转，得到的旋转体称为抛物体.利用祖暅原理它可用一个 直三棱柱求解，如图二，由此可计算得该抛物体的体积为 . 四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记 ABCV 是内角A， B，C的对边分别为 a，b， c .已知 2b ac ，点D在边 AC上， sin sinBD ABC a C  . （1）证明： BD b ； （2）若 2AD DC ，求 cos ABC . 16．已知函数   21 2 ln 2 f x x x a x   (1)若 1a  ，求函数  f x 在 1x  处的切线方程； (2)求证：当 0a  时，  f x 有且仅有一个零点. 数学试题 第 4 页 共 4 页 17.如图 1，平面四边形 PBAC为“箏型”，其中 ,PB PC AB AC  ，将平面 PBC 沿着 BC翻折得 到三棱锥P ABC （如图 2），D为 BC的中点． (1)证明：平面 PAD 平面 PBC ； (2)如图 2，若 , 2AB AC AB  ， 3 2 2 PA PD  ， 求平面 PAB与平面 PAC的夹角的正弦值． 18．在平面直角坐标系 xOy中，顶点在原点O的抛物线 E经过点  9,6A . (1)求抛物线 E的方程； (2)若抛物线 E不经过第二象限，且经过点  0,3B 的直线 l交抛物线 E于M ， N ，两点 （ BM BN ），过M 作 x轴的垂线交线段OA于点 P . ①当MP经过抛物线 E的焦点 F 时，求直线 NP的方程； ②求点 A 到直线 NP的距离的最大值. 19．某生态公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线 B .公园附近的居民经常来此散步，经 过一段时间的统计发现，前一天选择路线A的居民第二天选择路线A和路线 B的概率均为 1 2 ； 前一天选择路线 B的居民第二天选择路线A和路线 B的概率分别为 3 4 和 1 4 .已知居民第一天选 择路线A的概率为 1 3 ，选择路线 B的概率为 2 3 . (1)若有 4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线A散步的人数为Y，求Y的分布列及 期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第 n天选择路线A的概率为 nP . （i）请写出 1nP  与 *)(nP nN 的递推关系； （ii）设 16 4 15 9n n M P    ，求证： *1 2 2 3 1 )1 ( 4 4 n n MM Mn n n M M M        N . 河南省三甲名校25年校内自测卷（八)(SSyZX--8) 数学答案 一选择题 题号 2 6 6 7 ⊙ 9 10 答案 8 B C B D D ABD ABC 题号 11 答案 BCD 二填空题 12.4: 13. 14. 三解答题 15.(1)设△ABC的外接圆半径为R,由正弦定理， 得sn∠ABC= 2R,inc= .2分 2R 因为BDsin∠ABC=asin C,所以BD, 6 R'即BDb=ac. 2R=a. C 又因为b2=ac,所以BD=b, 5分 (2)方法一】【最优解】：两次应用余弦定理 因为AD=2DC,如图，在△ABC中，cosC=+-C, 2ab ,① 2b b 3 a+白-6 在△BCD中，cOSC= b ② 7分 2a 3 由0@得d+8-2=3r+令-谷，整理得2r-号6+c2=0, 3 又因为B=c,所以6d2-1lac+3c2=0,解得a=号或a=多 2 10分 当a=写6=e=写时，a+b=+cc《会去. 11分 3 33 答案第1页，共6页 +c23 当a=3cb=ac三2时'ow<B℃、} 27 2 2.3 12 2 7 所以cos∠ABC= 12 13分 16（15分))若a=1.则/)=号2+h,)=-2+ …2分 所以了0=01四=-号函数/)在x1处的切线方程为y= 5分 (2)国的定义域为(0+m)f()=x-2+--2x+a 6分 当a=0时fx)=，-2x,f)有且仅有一个零点4：8分 当a≥1时，f(x)≥0，函数f(x)递增，由f)0f(4)=an4)0,知f(x)存在唯一零点 e(14): 10分 当0<a<1时，令f'(x)=0得x=1-V1-a,x2=1+V1-a,0<x<1<x2, 当xe(0,x)时f(x)>0,函数f(x)递增： 当xe(5,x)时'(x)<0,函数f(x)递减： 当x∈(x2,+∞)时f'(x)>0,函数f(x)递增： 12分 当xe(0时，号2x<Qdx≤0，所以f<0,函数了)无季点： 因为当x∈(L,x)时f(x)递减，当x∈(x,+o)时f(x)递增， 且f(x)<f(1)(0,f(4)=dn40,所以f(x)存在唯一零点x∈(14)14分 综上所述，当a≥0时，f(x)有且仅有一个零点. 15分 17.(15分)(1)PB=PC,AB=AC,D为BC的中点， PD⊥BC,AD⊥BC, PD⌒AD=D,PDC平面PAD,ADC平面PAD, .BC⊥平面PAD. 又：BCC平面PBC, 平面PAD1平面PBC.6分 (2) 答案第2页，共6页 B 图2 如图，以点A为坐标原点，分别以AB,AC所在直线为x轴、y轴，过点A且与平面ABC垂直 的直线为：轴，建立空间直角坐标系， 取AD中点E,连接PE,:PA=PD,PE⊥AD 由(1)可知BC⊥平面PAD,PEC平面PAD,.BC⊥PE, 又AD⌒BC=D,ADC平面ABC,BCC平面ABC,故PE⊥平面ABC. AB⊥AC,AB=AC=2,D为BC的中点，AD=√5 又PA=PD=号2，B为AD的中点，六PB=2.8分 00).G0.c(2).) 所似亚=2Q0.亚-2c(020. 设平面PAB的一个法向量为=(：，，二)： 元AB=24=0 则 令2=-1，则x=0y=4,所以4=(0,4，-1) 丽-各各+=0 设平面PAC的一个法向量=（化，，三2）， AC=2y:=0 令5：=-1，则x2=4,2=0,所以=(4,0.-1) 4亚=芳+片+2与=0 22 13分 设平面PAB与平面PAC的夹角为O, 则cos0= os(,》 17 11111n191111111111 14分 所以sm6=12 .所以，平面PAB与平面PAC的夹角的正弦值是2,5 15分 17 17 18.(1)若抛物线E的焦点在y轴上时，可设抛物线E的方程为x2=y, 答案第3页，共6页 且抛物线过点A(9,6),所以81=6m,解得m= 27 2: 若抛物线E的焦点在x轴上时，可设抛物线E的方程为y2=心， 且抛物线过点A(9,6),所以36=9n,解得n=4: 综上所述：抛物线五的方程为-头或)广=4杯4分 (2)因为抛物线E不经过第二象限，由(1)可知，抛物线E的方程为y2=4x, v2=4 且F1,0),0A:y=3x, 2 ①当P经过抛物线因的焦点F时，令x=1,得P号引】 在y2=4x中，令x=1,得y=2, 又因为BM<BW,则M(L,2),可得直线1：y=-x+3, y2=4x x=1x=9 由 少=x+3'解得 =-6'即N(9-6, =2或 2 ..9分 ®设1：x=m0-引.存小N存 x=m(y-3) 由 y2=4x ,消去x整理得y2-4y+12m=0, 所以△=16(m2-3m）)>0,+为=4m,2=12m,11分 且Ps号即P行x哈 1 则NP:y-=1,21(4 12分 答案第4页，共6页 令x=0,得，-3片+6 树-++，0-y 36 2 -明 -明 24m2-12y+6my-y,)24m2-6m+y）24m-64m0, y-yi 好- 片- 所以直线P经过定点D0 3 16分 所以当P14,即点A以直线P的距离取得最大值，为1D-5 17分 2 19.(17分)(1)记附近居民第i(i=1,2)天选择路线A,B分别为事件A,B, 依愿意，PA0-}Pa)-子P4A=PaA)-之，P4B)-子PaB)- 则由全概率公式，得居民第二天选择路线A散步的概率 r-4-4a-5号号号 3分 记第二天选择路线A散步的人数为Y,则Y~B(4,), …4分 则Pw=0=白京Pr=)=c4号品 r-c9令m》-c令}品 Pw=0=-品 则Y的分布列为： 0 5 8 8 32 16 81 81 27 81 81 故Y的数学期望E()=4×2_8 33 7分 (2)(①当第n天选择路线A时，第+1天选择路线A的概率P,=P: 当第”天选择路线B时，第n+1天选择路线A的概率P,=3Q-P)， 4 1 3 所以P=号2+0-2)24P+0u∈Nl0分 4 号P+ueN.则-}2-孕，而R背 1 (i)由(i)知P4=- 3 4 于是数列多是首碳为月片音公比为-的等北数引 答案第5页，共6页 16 M,=5P- -4=4°-4， …13分 当22时， 4=4-4=4-4本-41 M,4"-444-)44-4,而M=0 +++ 所以4，*4， M1414分 当n22时，M=4-4-4 3；片是觉0月 M141-441-4=441-4>44 0总数号号分号中导宁 14… …17分 答案第6页，共6页