期末复习-选择题填空题解答题压轴训练-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（青岛版）

期末复习-选择题填空题解答题压轴训练 一、单选题 1．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第2个数是第30个数，据此求解即可得． 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第2个数是， 故选：D． 2．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质和绝对值的性质． 先根据数轴推出，进而得到，据此可得，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 故答案为：B． 3．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了由一元一次不等式组解集的情况求参数的取值范围，先求出不等式组的解集，进而根据解集的情况解答即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组解集中每一个值均不在的范围中， ∴或， 解得或， 故选：． 4．小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用．①根据速度=路程÷时间计算即可；②根据题意计算即可；③根据速度=路程÷时间求出从书店到家的速度，从而计算从书店到家的速度是学校到书店速度的倍数即可；④根据题意列关于t的方程并求解即可． 【详解】解：学校到书店速度为（千米/分钟）， ∴①正确，符合题意； ， ∴②正确，符合题意； 从书店到家的速度为（千米/分钟）， ， ∴从书店到家的速度是学校到书店速度的倍， ∴③不正确，不符合题意； 当小明离家的路程为0.8千米时，得， 解得， ∴经18分钟后小明离家的路程为0.8千米， ∴④正确，符合题意． 综上，正确的有3个，分别是①②④． 故选：C． 5．关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰有4个整数解， ∴整数解是2，1，0，， ∴ ∴． 故选：B． 6．如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定及性质，解题的关键是掌握平行四边形的面积被对角线角等分． 【详解】解：如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，， 四边形，四边形为平行四边形， ， ， ，， ，， ， 故选：B． 7．若不等式组的解集只含有一个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次不等式组及不等式组的解的情况求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的方法步骤是解决问题的关键． 根据一元一次不等式组的解法及不等式组只有一个整数解的条件得出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：， 由①得，； 由②得，， ∴， ∵解集只含有一个整数解， ∴， 解得：， 故选：B． 8．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，其中在上连接，则（    ）． A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质和勾股定理，根据折叠得出，由勾股定理求得长，进而求得长，设，在中利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：矩形中，，由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得，， 故选：A． 9．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】利用一次函数的性质对①②进行判断；利用两直线的交点的横坐标为3可对③进行判断；利用两直线的位置关系对④进行判断． 本题考查了一次函数图象的性质以及一次函数与与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数图象的性质及数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限， ∴，， 所以①正确； ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴， 所以②错误； ∵当时，， ∴关于x的方程的解为， 所以③正确； ∵当，直线在直线的下方， ∴时，． 所以④错误． 故答案为：C． 10．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】此题主要考查了二元一次方程组与一次函数的关系，关键是掌握两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解． 首先利用得到点P坐标，再根据两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为：， 故选：B． 11．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及规律型中图形的变化类，利用一次函数图象上点的坐标特征求出两直线与x轴交点间的距离是解题的关键． 先求出两个函数与轴的交点坐标，从而求出的值，分别代入，求出、值，将其相加即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：， ∴直线与轴的交点坐标为， 同理，可得出：直线与轴的交点坐标为 ， ∴两直线与轴交点间的距离 ． 联立直线成方程组， 得：， 解得：， ∴直线的交点坐标为． ∵， ∴当时，， 当时，； 当时，； 当时，； ， 故选D． 12．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理列式进行计算即可． 【详解】解：丈尺， 设水深尺，则芦苇长尺， 根据勾股定理得：， 解得， 芦苇的长度为， 故选D． 13．如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　） A．5 B． C．7 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称确定最短路线问题，勾股定理，作点P关于的对称点，连接，根据对称性以及结合题意得到，，利用勾股定理求出的长，从而得出结果 【详解】解：如图，作点P关于的对称点，连接， 则的长即为的最小值， ， ， ， 则的最小值为5， 故选：A 14．公元3世纪，我国数学家赵爽在周髀算经中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为10，且．则小正方形的面积为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理、完全平方公式，观察图形可知，利用已知和大正方形的面积为10，可得，进而求出答案．利用数形结合的思想是关键． 【详解】解：， ， 大正方形的面积为10，直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为， ， ， 小正方形的面积为． 故选：B． 15．如图，在周长为24的菱形中，，，若为对角线上的一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，平行四边形的判定与性质，在上取一点，使，连接，，即可证明得到，则，当在上时，最小，再证明，得到四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：在上取一点，使，连接，， ∵周长为24的菱形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当在上时，最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 16．如图是一个内壁长、宽、高的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题关键是将长方体展开，用勾股定理求出壁虎所走的最短距离．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将点A和点B所在的面展开，则为长方形，连接，分类探讨壁虎爬到蚊子处的距离，找到最短距离即可． 【详解】 解：如图，展开前面与上面， ∵A是长的四等分点，B是宽的三等分点，长、宽、高， ∴，，， ∴． 如图展开前面与左边，过作于， ∵，， 则； 其余的展开方式要展开三个面，更长， ∵， ∴则最短距离为． 故选：C． 17．如图，已知，和分别是以的斜边、直角边和为边的等边三角形，则，，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形面积公式，当等边三角形边长为时，则其面积公式为，熟悉掌握公式是解题的关键． 利用等边三角形面积公式和勾股定理解答即可． 【详解】解：由题意可得：， ，， ∵在中， ∴所有项可得：， ∴， 故选：B． 18．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键．求出，根据翻折的性质可得，再根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半求出，然后求出，再根据翻折的性质求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，判断①；进而根据判断②；求出，，然后求出，判断③；求出，然后得到是等边三角形，故④正确． 【详解】解：， ， 由翻折的性质得，， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②错误； 由翻折可知， ， ，， ，故③错误； 由翻折的性质，， ， ， ， 是等边三角形，故④正确； 综上所述，结论正确的是①④． 故选：D． 二、填空题 19．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力． 将杯子侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图： 将杯子侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，当点、、在同一条直线上时，最短， 则此时为蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离，即的长度， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处的最短距离为， 故答案为：． 20．如图，矩形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，……，依此类推，如果矩形的面积为，则平行四边形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，三角形的面积，矩形的性质等知识点，此题的关键是能根据求出的结果得出规律，注意：等底等高的三角形的面积相等． 由矩形的性质得出，由平行四边形的性质得出，从而可得，同理平行四边形的面积是，平行四边形的面积是，根据规律即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴同理平行四边形的面积是，平行四边形的面积是， 平行四边形的面积是， ∴平行四边形的面积是， ∴平行四边形的面积是， 故答案为：． 21．如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，点M在边上，且，点N是上的动点，连接，点E是的中点，连接，当时，线段的长为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 连接，由正方形性质得，由点E是的中点，可得 ，进而可得，由此可证明，继而得，证明，则，， 然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形为正方形，且边长为6， ∴， ∵点E是的中点， ∴是斜边上的中线， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 22．如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题主要考查了平移的性质，直角梯形的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键．根据平移的性质可得，再根据列式计算即可得解． 【详解】解： ， ， 梯形沿直线的方向平移到梯形的位置， ， ， ， 故答案为：． 23．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，掌握判定方法及性质是解题的关键． 延长交于点，可求，进行分类讨论，画图可得在各个不同位置时，所旋转的度数，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，    ，， ， ， ， ①如图，    当时，， 此时旋转的度数为， ()； ②如图    当时，， ， 此时旋转的度数为， ()； 综上所述：或． 故答案为或． 24．如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理，全等三角形的判定及性质，由已知及正方形的性质可求，证明后可得，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半可得结果． 【详解】解：∵正方形，， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵N为的中点， ∴， 故答案为：5． 25．如图所示，将周长为13的沿直角边所在直线向右平移个单位，得到．则有下列结论：①且；②且；③和的周长和为13；④；⑤若，则边扫过的图形的面积为6，以上结论正确的有 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质即可判断结论①②③；利用平移可得，根据，，即可判断结论④；根据边扫过的图形的面积等于，即可判断结论⑤．解题的关键是掌握平移的性质：平移前后图形的形状大小都不变，对应边平行且相等，对应点的连线平行（或共线）且相等． 【详解】解：∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴且；且；， 故结论①②正确； ∵将沿一条直角边所在的直线向右平移个单位到位置， ∴，， ∴和的周长和为：， 故结论③正确； ∵， 又∵，， ∴， 故结论④错误； 根据平移可知，， 则边扫过的图形的面积为： ， 即边扫过的图形的面积为， 故结论⑤错误； 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 26．如图，在菱形中，，，P是边上的一点，E、F分别是、的中点，那么线段长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，先根据菱形的性质得到是等边三角形，求出长，再根据三角形的中位线定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵是菱形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 又∵E、F分别是、的中点， ∴， 故答案为：． 27．如图，在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 秒时，为直角三角形． 【答案】6或 【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的判定和性质，平行线的性质，分两种情况：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 当时，过点P作于点E，如图所示： ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 在中，根据勾股定理得：， 在中，根据勾股定理得：， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴此时点Q运动的时间为：（秒）； 综上分析可知：t为6秒或秒时，为直角三角形． 故答案为：6或． 三、解答题 28．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点同时从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)当运动时，判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)若，且点的运动速度不变，要使四边形为正方形，则点的运动速度是______； (3)当时，需运动多少时间？ 【答案】(1)四边形为平行四边形，证明见解析 (2) (3)6或7 【分析】本题考查了平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）根据题意得到，根据平行四边形的判定定理得出结论； （2）根据正方形的定义得，由列方程求解即可； （3）由存在两种情况：一种是四边形是平行四边形；一种是四边形是等腰梯形，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：四边形为平行四边形，理由如下： 当时， ∵， ∴； 又， ∴， 又, ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为正方形， ∴, ∴, ∴； ∴点的运动速度为 故答案为：； （3）解：根据题意得：，，则， 若要，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时，即， ∴， 解得：， ②当四边形为等腰梯形时， 即 ∴， 解得：， 即当或时，． 29．实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． （1）根据题意补全证明过程即可； （2）根据（1）的结论即可求解； （3）如图4，构造正方形，点B为正方形对角线的交点，可得，即得，由即可根据（1）的结论求解． 【详解】（1）证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又， ， 又， 且， ∴， ∴， ∴， 即正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一； （2）解：由（1）的结论可得，， 故答案为：9； （3）解：如图④，构造正方形，点B为正方形对角线的交点， 则， ， ∵， ∴， 由（1）可得，． 30．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 【答案】初步应用： ； ； 探究迁移：是等边三角形，理由见解析； 扩展应用：的长为． 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 初步应用：根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； 如图2，证明，得，，进而可得结论； 探究迁移：根据已知条件得到根据全等三角形的判定定理即可得到结论； 扩展应用：如图4，过作于，的延长线于，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，即可得到结论． 【详解】解： 直线，直线， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：； 如图所示，过作轴于，过作轴于， ， ， ， ， ， ，， 点的坐标为， ，， ∴，， 故答案为：； 探究迁移： 解：是等边三角形，理由如下： ， ， ， 在和中，， ， ，， 是等边三角形； 扩展应用： 解：如图4，过作于，的延长线于， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，， ，， 同理，，， ， ， ， ， 的长为． 31．【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析， （2） （3），理由见解析 【分析】（1）利用正方形的性质可得，，，进而可得，利用等式的性质可得，利用即可证得，进而可得，于是可得； （2）由三角形的面积公式可得，由（1）可得：，由经过适当变形可得，进而可求出面积的最大值； （3）利用菱形的性质可得，，，进而可证得是等边三角形，于是可得，，利用三角形的中位线定理可证得且，利用平行线的性质可得，进而可得，，利用即可证得，进而可得，于是可得． 【详解】（1）证明：正方形的对角线，交于点， ，，， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：四边形是正方形， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， 面积的最大值是； （3）解：，理由如下： 如图，取的中点，连接， ， 四边形为的菱形， ，，， 是等边三角形， ，， ，， 且， ，， ，， ，，且， ， ， 即：， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式，不等式的性质，完全平方公式，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，两直线平行同位角相等等知识点，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质以及添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 32．【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、，其他条件不变． （1）若，则四边形的周长为________． （2）若，且，则四边形的面积为________． 【答案】教材原题：证明见解析；应用：（）；（） 【分析】教材原题：运用三角形中位线定理和等腰三角形性质即可证得结论； 应用：（）运用三角形中位线定理可得，，再由，可得，即可得出答案； （）同理（）得，得出四边形是菱形，再证得，得出四边形是正方形，进而即可求解． 【详解】解：教材原题：如图① ， ∵分别是的中点， ∴分别是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∴； 应用：（）如图②， ∵分别是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形PMQN的周长为， 故答案为：； （）如图③ ∵分别是的中点， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴菱形是正方形， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，平行线的性质，菱形判定，正方形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 33．如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． (1)试说明； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)当点O运动到中点时，四边形是矩形，证明见解析 (3)是直角三角形，且时，能使四边形是正方形，证明见解析 【分析】本题考查了矩形的判定，正方形的判定，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握特殊四边形的判定定理是解题关键． （1）根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，，进而得到，，即可证明结论； （2）根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可证明； （3）由（2）可知，当点O运动到中点时，四边形是矩形，若，则是等腰直角三角形，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：， ，， 平分，平分， ，， ，， ，， ； （2）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，证明如下： 点是中点， ， 由（1）可知，， 四边形是平行四边形，且， ， 四边形是矩形； （3）解：是直角三角形，且时，能使四边形是正方形，证明如下： 由（2）可知，当点O运动到中点时，四边形是矩形， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是正方形． 34．实践与探究 【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作大小的角呢？ 【实践操作】如图 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到，如图1． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段、，如图2． 第三步：折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，则可得到，如图3． 【问题解决】 (1)在图3中，求的度数，并证明； (2)在图2中，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)，证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的性质及折叠，菱形的判定． （1）先根据折叠的性质推出在中，，进而得，，再由折叠的性质得，； （2）由折叠重合可得：，，，结合（1）的结论推出，进而得，即可得出结论． 【详解】（1）解：由折叠重合可得：，且， 在中，， ， ∵， 则：， 由折叠重合可得：， 则：； （2）解：四边形是菱形，理由如下： 由折叠重合可得：，，， 由（1）可得：， 在中，， 又∵， ， ， 又∵，， ， 四边形是菱形． 35．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）利用证明即可； （2）延长至F，且使，连接、，利用证明，得出，由为的中位线得，利用平行线的性质即可证明； （3）过点B作交于Q，利用证明，推出，，即可证明是等腰直角三角形，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：延长至F，且使，连接、，如图1所示： 则， ∵四边形是正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴N为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：过点B作交于Q，如图2所示： 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， 由角的互余关系得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质、平行线的性质、三角中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，第3问有一定难度，正确作辅助线，证明是等腰直角三角形是解题的关键． 36．如图1，在正方形中，点在上，点在上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)在线段上截取点使得，连结并延长，交于点． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②证明见解析； 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据正方形的性质以及，证明，即可得证； （2）①根据题意补全图形，即可求解； ②；连接，根据全等三角形的性质可得，进而得出，设，可得是的垂直平分线，则，根据三线合一可得，进而得出，，根据等腰三角形的性质以及三角形的外角的性质和三角形的内角和定理得出，进而证明，得出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴ 又∵， ∴ ∴ ， ∴； （2）解：①如图， ②； 证明：如图，连接 ∵四边形是正方形， ∴，， ∵ ∴，， 设 ∵，，则， ∴是的垂直平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴． 37．如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据四边形、是正方形，得出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可证明； （2）在上截取，连接，根据是中点，得出，再结合四边形、是正方形，得出，证明，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （3）延长至，使，连接，连接延长交于点，证明，再证出，即可得出、是等腰直角三角形，证出，过C作于点L，证明，证出，根据，即可解答； 【详解】（1）解：连接，，如图所示： ∵四边形、是正方形， ， ， ∵是中点， ， 即； （2）证明：在上截取，连接，如图所示： ∵是中点， ， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ， ， ， ， ， 即； （3）解：延长至，使，连接，连接，并延长交于点， ∵是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵四边形、是正方形， ． ， ，     ， ， ， ， ， ∴、是等腰直角三角形， ， 过C作于点L， 是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，正确作出辅助线． 38．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 【答案】活动一：见解析 活动二：详见解析 活动三： 【分析】活动一：证明，得出，，结合题意得出，再证明四边形为平行四边形，即可得解； 活动二：由中位线定理可得，，，， 结合，得出，即可得证； 活动三：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接，由题意可得，，，证明，得出，，证明是中垂线，得出，求出的长即可得解． 【详解】活动一 ：解：∵是的中点， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴，； 活动二：解：∵是的中点，是的中点， ∴，， ∵是的中点，是的中点， ∴，， ， ， 活动三：解：过点向上作的平行线，连接，延长，过作延长线的垂线，垂足为，连接， ∵是的中点，， ∴，，， ∴， ∴，， ， ∴是中垂线， ， ， ∴，， ∵，， ∴，， ， ∴，． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 39．综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 【答案】(1)，证明见解析 (2)不变，证明见解析 (3)的度数为或 【分析】（1）由正方形的性质得到，平分，又，，得到四边形是矩形，因此，根据角平分线的性质可得； （2）过点作于点，作于点．由正方形得到，平分，因此四边形是矩形，．进而有，从而，进而证得，得证； （3）分情况讨论：过点作于点，作，交的延长线于点，证得，得到，根据角平分线的判定得到平分；连接，过点作于点，过点作交延长线于点，，矩形是正方形，即可作答． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ，平分， ，， ， 四边形是矩形， ； （2）解：的结论不变，理由如下： 过点作于点，作于点， ， 四边形是正方形， ，平分， 四边形是矩形，， ， ， ， 即， ， ； （3）解：过点作于点，作，交的延长线于点， 则， 由（2）有，且四边形是矩形， 四边形是正方形， ，， 在四边形中，， 即， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 平分， 四边形是正方形， ， ， ， 的度数为； 如图，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， 四边形是矩形， 又， ， ， ， 又，， ， ， 矩形是正方形， 是对角线， ， 的度数为或． 【点睛】本题是正方形综合题，考查正方形的判定及性质，角平分线的判定，全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确作出辅助线，综合运用相关知识． 40．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）证明为等腰直角三角形，根据三线合一，即可得出结论； （2）证明，即可得出结论； （3）连接，证明，得到，证明垂直平分，得到，根据，等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点G为中点， ∴，； 故答案为：，； （2）∵正方形，矩形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3），理由如下： 连接， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，由（2）知：， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． 41．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②或或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质，两点间距离公式，等腰三角形的定义以及性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出的坐标，对称性求出点坐标，待定系数法求出的函数解析式即可； （2）①设，则：、，过点B作于点D，利用，进行求解即可； （3）先由两点间距离公式求出，然后分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：对于， 由得：， ∴， 由得：，解得， ∴， ∵点C与点A关于y轴对称 ∴， 设直线的函数解析式为，则， 解得． ∴直线的函数解析式为； （2）解：①设， 则、 如图1，过点B作于点D， ∴，， ∴， 解得， 或 ∴或； ②∵， ∴， 当时，则或； 当时，如图： 设，则， ∴在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴此时点M与点C重合， ∴， 综上所述：是等腰三角形时，点M的坐标为或或或． 42．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由 取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 43．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接． (1)请写出的解析式和B、C点坐标． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出的面积； ②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式． 【答案】(1)； (2)①；②或 【分析】（1）根据新定义可得的解析式 ，在中，求出当时的函数值，在中，求出当时的自变量的值，即可求出点B和点C的坐标； （2）先求出；设直线与y轴交于H，则，根据计算求解即可； （3）当点M在点E的上方时，证明，得到，即可求解；当在点E下方时，则直线和关于对称，则的表达式为，即可求解． 【详解】（1）解；由新定义知，的解析式 ， 在中，当时，， 在中，当时，， ∴； （2）解：①联立，解得， ∴； 设直线与y轴交于H，则， ∴， ∴； ②设直线交y轴于点K， 当点M在点E的上方时， 过点K作交的延长线于点N，过点N作y轴的平行线， 过点K作x轴的平行线交于G，延长交于点H， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴，即轴， ∴，即， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，设点， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，即且， 解得：，， ∴， 由点D、N的坐标得，直线的表达式为：， ∴此时点M的坐标为， 当在E下方时， 则直线和关于对称，则， ∴， ∴同理可得的表达式为： 综上所述，直线的解析式为或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到三角形全等、新定义、面积的计算，分类求解是解题的关键． 44．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 【答案】(1)，或，或， (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键在于构造“一线三等角”的全等． （1）先求出，即，然后分三种情况讨论，利用“一线三等角”的全等进行求解即可； （2）先求出，则，过点作轴于点H，同上可证明：，，再由即可求解； （3）当时，，则可求，过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N，可得，同上可证明：，即可得到，再由待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：当， ∴，即， ①当，记直线交y轴于点D，如图： ∵直线与轴垂直， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； ②，过点F作轴于点D，如图： 同理可证明：， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 当，记直线交y轴于点D，过点A作直线的垂线，垂足为点H，如图： 同理可证明：， ∴， ∴， ∴， ∴，， 将代入得，， 解得：； 综上所述：，或，或，； （2）解：当，， 解得：， ∴， ∴， 过点作轴于点H， 同上可证明：， ∴， ∴； （3）解：当时，， 令，则， 解得， ∴， 过点B作交直线于点P，过点作轴的垂线，分别过点A，P作垂线的垂线，垂足为点M，N， ∵，， ∴， ∴， 同上可证明：， ∴， ∴， 设直线表达式为：， 代入，得：, 解得：， ∴直线表达式为． 45．随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 【答案】(1)； (2)共有11种进货方案； (3)见解析 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用．根据题意列出方程和不等式组是解题的关键． （1）根据“购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元”列出方程并解答； （2）设购进甲种运动鞋双，表示出乙种运动鞋双，然后根据总利润列出一元一次不等式，求出不等式组的解集后，再根据鞋的双数是正整数解答； （3）设总利润为，根据总利润等于两种鞋的利润之和列式整理，然后根据一次函数的增减性分情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得； （2）解：设购进甲种运动鞋x双，则乙种运动鞋双， 根据题意得： 解不等式①得， 解不等式②得， 所以，不等式组的解集是: ∵x是正整数，， ∴共有11种进货方案； （3）解：设总利润为W，则 ， ①当时，，W随x的增大而增大， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋105双，购进乙种运动鞋95双； ②当时，，，（2）中所有方案获利都一样； ③当时，，W随x的增大而减小， 所以，当时，W有最大值， 即此时应购进甲种运动鞋95双，购进乙种运动鞋105双． 46．南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 【答案】(1)120 (2) (3)当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 【分析】本题主要考查一次函数的应用，读懂题意、正确列出函数解析式以及分类讨论思想成为解题的关键． （1）由图直接列式计算即可求得甲种绿植每平米的种植费； （2）直接运用待定系数法求解即可； （2）设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米，根据实际意义可以确定x的范围，结合种植总费用w（元）与种植面积之间的函数关系可以分类讨论，从而得到最少费用即可． 【详解】（1）解：当时，甲种绿植的种植费用为每平方米元． 故答案为：120． （2）解：当时，设， 根据题意得：，解得： ∴， ∴当时，与之间的函数解析式． （3）解：设种植总费用为w元，甲种花卉种植为x平方米，则乙种花卉种植平方米， 由题意可得：， 解得不等式组的解集为． 设种植总费用为w元． 当时，． ∵， ∴w随x的增大而增大． ∴当时，． 当时，． ∵， ∴当甲种绿植的种植面积150平方米，乙种绿植的种植面积为450平方米时，总费用最少为元． 47．小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； (2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 【答案】(1) (2)加热的时间为分钟 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解即可； （2）先求出水在加热过程中与的函数关系式，再根据题意可得油温比水温高，据此建立方程，解方程后求出此时的水温，若水温不超过，则解方程所得的结果即为加热时间，若超过，则此时油温为，据此求出加热时间即可． 【详解】（1）解：设菜籽油在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； （2）解：设水在加热过程中与的函数关系式为， 把，代入中得：， ∴， ∴菜籽油在加热过程中与的函数关系式为； 由题意得，， 解得， ∵当时，，即此时水温为，不符合实际， ∴只有当水温为时，油和水继续加热， ∴， 解得， ∴加热的时间为分钟． 48．如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计）．如图2是哥哥和元元两人距学校的距离（米）与时间（分）之间的函数关系． (1)请直接写出哥哥与元元两人的速度（米/分）． (2)根据图象信息，请求出与的值． (3)求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米． 【答案】(1)360米/分，72米/分 (2)， (3)分钟或分钟 【分析】本题考查函数图象，一元一次方程的应用，看懂运动图象是解题的关键． （1）根据图中数据找出对应的路程与时间，即可求出速度； （2）由哥哥速度不变可知哥哥从学校到家与从家再返回学校所用时间相等，由此可得m的值，n时哥哥追上弟弟，根据路程、时间、速度关系可求得n的值； （3）分哥哥到家前、哥哥到家后两种情况，根据路程、时间、速度关系列方程求解． 【详解】（1）解：由图可知，哥哥的速度为：（米/分）， 弟弟的速度为：（米/分）， （2）解：由题意知，， ， 解得； （3）解：设经过x分钟后，哥哥与元元恰好相距648米， 分两种情况： 哥哥到家前：， 解得； 哥哥到家后：， 解得； 即经过分钟或分钟后，哥哥与元元恰好相距648米． 49．【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．     【答案】（1）见解析；（2）的长的最小值为8；（3） 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． （1）对于，当时，，当时，，即可求解； （2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解； （3）由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解． 【详解】（1）证明：对于， 当时，，当时，， 即点、的坐标分别为：、， ， 为直角， 是等腰直角三角形； （2）解：如图，当时，最小， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 即的长的最小值为8； （3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点， ， 为等腰直角三角形，， 同（2）中原理可得，， ， 四边形为矩形， ， 当时，， ，即， 设， ，， 根据，， 可得， 解得：，即点， 设直线的解析式为 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为． 50．中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元／套） 25 ________ ________ 零售价（元／套） 30 25 35 (1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； (2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少干130套时，求的最大值． 【答案】(1)乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元 (2)当时的值最大， 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，掌握二元一次方程组的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）分别设乙，丙每套的批发价为未知数，列二元一次方程组并求解即可； （2）求出第一次的销售额及第二次乙，丙每套的批发价，设第二次购进甲套，购进乙，丙各套，根据题意写出和的数量关系式并用含的代数式把表示出来，写出关于的函数关系式，根据一次函数的增减性和的取值范围，确定当取何值时的值最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：乙每套的批发价为元，丙每套的批发价为元． 根据题意，得， 解得， ∴乙每套的批发价为 15 元，丙每套的批发价为 20 元． （2）解：第一次的销售额为（元）， 第二次乙每套的批发价为（元）， 第二次丙每套的批发价为（元 ）， 设第二次购进甲套，购进乙，丙各套， 根据题意，得， 经整理，得， ∴， ∴， ∵， ∴随的减小而增大， ∵为非负整数， ∴且为 6 的整数倍， ∴当时的值最大，． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末复习-选择题填空题解答题压轴训练 一、单选题 1．将一组数，2，，，，，…，，…，按以下方式进行排列：则第八行左起第2个数是（   ） 第一行         第二行       2            第三行               …… A． B． C． D． 2．如图，实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A．a B．b C． D． 3．关于的不等式组的解集中每一个值均不在的范围中，则的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．小明放学后从学校骑车回家，途经书店，在书店购物花费5分钟，他离家的路程（千米）与所经过的时间（分）关系如图．有下列结论： ①学校到书店速度为0.15千米／分钟；②的值为15； ③从书店到家的速度是学校到书店速度的2倍；④经18分钟后小明离家的路程为0.8千米． 其中，正确结论的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．关于的不等式组恰有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如图，点P在平行四边形的对角线上，过点P作，．已知，，，则四边形的面积是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．若不等式组的解集只含有一个整数解，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．如图，矩形中，，将矩形沿折叠，使顶点落在上的点处，其中在上连接，则（    ）． A． B． C． D．1 9．已知一次函数与的图象如图所示，有下列结论：① ； ② ； ③关于x的方程的解为； ④当时，其中正确的结论有（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 10．如图，直线与直线相交于点，则关于x，y的方程组的解为（　　） A． B． C． D．无法确定 11．已知直线和直线，其中k为不小于2的自然数．当，3，4，…，2025时，设直线，与x轴围成的三角形的面积分别为，，，…，，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 12．《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 13．如图，正方形中，，点为线段上一点，且，点为上的任意一点，则的最小值为（　　） A．5 B． C．7 D．4 14．公元3世纪，我国数学家赵爽在周髀算经中巧妙地运用如图所示的“弦图”来证明勾股定理，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为，短直角边长为，大正方形面积为10，且．则小正方形的面积为（  ） A．3 B．4 C．5 D．6 15．如图，在周长为24的菱形中，，，若为对角线上的一动点，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 16．如图是一个内壁长、宽、高的长方体仓库，在其内壁的（长的四等分）处有一只壁虎，（宽的三等分）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短路程为（   ） A． B． C． D． 17．如图，已知，和分别是以的斜边、直角边和为边的等边三角形，则，，满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 18．如图，在矩形中，点，分别在边，上，且将矩形沿直线折叠，使点恰好落在边上的点处，连接交于点现有下列结论：；；；是等边三角形．其中正确的有(   ) A． B． C． D． 二、填空题 19．如图圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁A，离杯口上沿与蜜蜂相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 ． 20．如图，矩形的对角线交于点O，以，为邻边作平行四边形，对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，……，依此类推，如果矩形的面积为，则平行四边形的面积为 ． 21．如图，在正方形中，，点O是对角线与的交点，点M在边上，且，点N是上的动点，连接，点E是的中点，连接，当时，线段的长为 ． 22．如图，将直角梯形沿直线的方向平移到梯形的位置，其中，，交于点．若，，，则图中阴影部分的面积为 ． 23．如图，直线，一副三角板按如图1摆放，其中，，．保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒2°的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为t秒，且，则经过 秒边与直角边平行． 24．如图，在正方形中，E，F分别为，边上的点，与交于点M，N为的中点，连接，若，，，则的长度为 ． 25．如图所示，将周长为13的沿直角边所在直线向右平移个单位，得到．则有下列结论：①且；②且；③和的周长和为13；④；⑤若，则边扫过的图形的面积为6，以上结论正确的有 ．（填序号） 26．如图，在菱形中，，，P是边上的一点，E、F分别是、的中点，那么线段长为 ． 27．如图，在四边形中，，，，，．点P是线段上一点，，点Q从点C出发，以的速度向点D运动，到达D点后运动立即停止，则t为 秒时，为直角三角形． 三、解答题 28．如图，在四边形中，，，，，点从点出发，以的速度向点运动；点同时从点出发，以的速度向点运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)当运动时，判断此时四边形的形状，并说明理由； (2)若，且点的运动速度不变，要使四边形为正方形，则点的运动速度是______； (3)当时，需运动多少时间？ 29．实践与探究 【问题情境】 数学课活动课上，老师提出了一个问题：图①是教材中我研究过的图形，正方形的对角线相交于点O，点O又是另一个正万形的一个顶点，如果两个正方形的边长相等．那么正方形绕点O无论怎样旋转，两个正方形重叠部分的面积总等于一个正方形面积的四分之一．理由如下： 证明：如图②，分别作，于点E、F， ， 又，， 又，且， 【初步感知】 （1）请你补全以上证明过程； （2）我们知道正方形是中心对称图形，受图①启发，成功小组画出了图③，直线、经过正方形的对称中心O，直线m分别与、交于点E、F，直线n分别与、交于点G、H，且若正方形的面积是36，求四边形的面积（请写出详细过程）． 【深入探究】 （3）受图③的启发，探究组思考把图④中的四边形转化为图③正方形中的一部分，从而求出图④中四边形的面积．现若，，，求四边形的面积． 30．某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在中，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，易得结论：． 【初步应用】 如图1，若，则_______； 如图2，，点的坐标为，则点的坐标为_______． 【探究迁移】 如图3，若在四边形中，，点是边上一点，且．若，请你判断的形状，并说明理由． 【扩展应用】 请你运用这个知识来解决问题：如图4，过的边向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点，若，求的长． 31．【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 32．【教材原题】如图①，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：． 【应用】如图②，连结图①中的，并取中点，连结、，其他条件不变． （1）若，则四边形的周长为________． （2）若，且，则四边形的面积为________． 33．如图，中，点O为边上的一个动点，过点O作直线，设交的外角平分线于点F，交内角平分线于E． (1)试说明； (2)当点O运动到何处时，四边形是矩形，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下猜想满足什么条件能使四边形是正方形，并证明你的结论． 34．实践与探究 【问题提出】如果我们身边没有量角器和三角板，如何作大小的角呢？ 【实践操作】如图 第一步：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开，得到，如图1． 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕．折痕与折痕相交于点P．连接线段、，如图2． 第三步：折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕，则可得到，如图3． 【问题解决】 (1)在图3中，求的度数，并证明； (2)在图2中，判断四边形的形状，并说明理由． 35．如图1，已知正方形中，E为延长线上一点，且，M、N分别为、的中点，连接交于O，交于H点． (1)求证：； (2)求证：； (3)过A作于P点，连接，则的值． 36．如图1，在正方形中，点在上，点在上，且，垂足为点． (1)求证：； (2)在线段上截取点使得，连结并延长，交于点． ①依题意补全图2； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 37．如图，正方形、正方形，连接，取的中点H，连接、． (1)【尝试探究】如图1，当点D落在上时，则______； (2)【深入探究】如图2，将正方形绕着点C旋转至点F落在的延长线上．求证：； (3)【拓展应用】如图3，继续将正方形绕着点C旋转，连接交于点P，连接，若点P为的中点，的面积为2，则线段的长为______． 38．【三角形中位线定理】：如图1，是的中位线，则， 【活动一】：证明定理：添加辅助线：如图1，在中，延长（、分别是、的中点）到点，使得，连接，请你补充完整证明过程． 【活动二】：应用定理：如图2，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点，求证：． 【活动三】深入定理：如图3，在四边形中，，，为的中点，、别为边上的点，若，，，求的长． 39．综合与实践课上，者师让同学们以“正方形”为主题开展数学活动．将直角的顶点E放在正方形的对角线上（点E不与A、C重合），其中直角边与交于点F，直角边与交于点G． (1)发现：如图①，当与垂直时，判断与的数量关系，并证明． (2)探究：如图②，当与不垂直时，请判断与之间的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请给出证明； (3)拓展：当与不垂直时，以为邻边构造矩形，连接，请直接写出的度数． 40．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究． 如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H． (1)问题探究： 如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； (2)问题解决： 如图②，连接，求证：； (3)拓展延伸： 如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由． 41．如图1，已知函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C与点A关于y轴对称． (1)求直线的函数解析式； (2)设点M是x轴上的一个动点，如图2，过点M作y轴的平行线，交直线于点P，交直线于点Q． ①若的面积为，求点P的坐标； ②连接，如图，若是等腰三角形，直接写出点M的坐标． 42．如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 43．定义：一次函数（且）和一次函数为“逆反函数”，如和为“逆反函数”．如图1，的图象分别交x轴、y轴于点A、B，其“逆反函数”交x轴于点C，连接． (1)请写出的解析式和B、C点坐标． (2)一次函数图象上一点又是它的“逆反函数”图象上的点， ①求出的面积； ②如图2，过点D作y轴的垂线段，垂足为E，M为y轴上的一点，且，求出直线的解析式． 44．【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D．过B作于点E，则． 【迁移应用】如图2，直线的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点． (1)当直线上存在一点F，且点F在第一象限，使得为等腰直角三角形，请直接写出点F的坐标及相应的k的值； (2)点H为第一象限内的一点，且，，连接，求的面积（用含有k的代数式来表示）； (3)如图3，当时，直线l经过点A，与y轴负半轴交于点C，且，求直线l的表达式． 45．随着全民健身意识的增强和体育产业的高质量发展，运动鞋市场的需求日益增长．某运动品牌专卖店为了抓住这一市场机遇，准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如表．已知购进60双甲种运动鞋与50双乙种运动鞋共需10000元． 甲 乙 进价/（元/双） m 售价/（元/双） 240 160 (1)求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋每双优惠a（）元出售，乙种运动鞋价格不变，该专卖店要想获得最大利润应当如何进货？ 46．南宁素有“中国绿城”“天下民歌眷恋的地方”等美誉，获“联合国人居奖”．为进一步建设宜居南宁，某部门准备在民歌广场种植甲、乙两种绿植．经调查，甲种绿植的种植费用（元）与种植面积（平方米）之间的函数关系如图所示，乙种绿植的种植费用为每平方米80元． (1)当时，甲种绿植的种植费用为每平方米________元； (2)请求出当时，与之间的函数解析式； (3)已知甲、乙两种绿植的种植面积共600平方米，若甲种绿植的种植面积不少于150平方米，且不超过乙种绿植种植面积的2倍．应怎样分配甲、乙两种绿植的种植面积，才能使总费用最少？总费用最少为多少元？ 47．小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油和一勺水，油温比水温升高的快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． (1)求菜籽油在加热过程中与的函数关系式； (2)在实验过程中，某一时刻两温度计的示数相差，求加热的时间． 48．如图1，学校在元元家和书店之间，哥哥到学校接元元去参加书店的读书分享会．哥哥到学校时发现入场券落在家里了，于是哥哥从学校匀速骑车去家里拿入场券（同时元元从学校匀速步行前往书店），到家后停留了一段时间，之后再以原速前往书店．哥哥追上元元后载上他仍以原速一同前往书店（停车载人时间忽略不计）．如图2是哥哥和元元两人距学校的距离（米）与时间（分）之间的函数关系． (1)请直接写出哥哥与元元两人的速度（米/分）． (2)根据图象信息，请求出与的值． (3)求出经过多少时间后，哥哥与元元恰好相距648米． 49．【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．     50．中考临近，校门口文具店生意火爆，文具店老板小张从批发商处了解到甲、乙、丙三种文具套装的部分价格如表： 价格 甲 乙 丙 批发价（元／套） 25 ________ ________ 零售价（元／套） 30 25 35 (1)已知小张第一次批发购进乙260套，丙200套，共花费7900元，且乙每套的批发价比丙低5元，求乙、丙每套的批发价； (2)在（1）的条件下，由于销量好，第一次购进的文具套装全部售完，小张用第一次的销售额全部用于第二次批发购进甲、乙、丙三种文具套装，且购进乙、丙套装的数量相等，但乙的批发价每套比原来提高，丙的批发价每套比原来下降．设第二次销售完这三种文具套装所得利润为元，当甲的数量不少干130套时，求的最大值． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $$