专题09 菱形的重难点题型汇编（八大题型）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（浙教版）

专题09 菱形的重难点题型汇编（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用菱形的性质求角度】 【题型2：利用菱形的性质求线段长度】 【题型3：利用等面积法求面积】 【题型4：添加条件对菱形的判定】 【题型5：菱形的判定-证明题】 【题型6：菱形的性质与判定综合】 【题型7：求菱形中最小值问题】 【题型8：菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1：利用菱形的性质求角度】 1．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识是解题的关键．如图所示，连接，根据菱形的性质可得，可得是等边三角形，可算出，根据，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，    ∵衣帽架是由三个全等的菱形构成的，间的距离调节到， ∴， ∵菱形的边长， ∴， ∴是等边三角形，则， ∵四边形是菱形， ∴， 故选：B． 2．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了菱形的性质，解题关键是根据菱形和三角形内角和的性质得出角之间的关系．根据菱形的性质求出，求出，根据，计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．如图，在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，等腰三角形的性质，根据菱形的性质求出，再由等腰三角形的“等边对等角”即可解答． 【详解】解：∵在菱形中，平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C 4．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．本题直接利用菱形的性质对角线平分角以及邻角互补进行角度的计算即可． 【详解】解：四边形是菱形， , , , ． 故答案为：． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是 ． 【答案】 【分析】根据菱形，得到，，于是，结合，得，于是，结合，计算的大小即可． 本题考查了菱形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6．如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线，上，若，，则 ． 【答案】/20度 【分析】本题考查平行线的性质，菱形的性质，过点作，则，得，由菱形的性质可知，则，进而可知． 【详解】解：过点作，则， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，则， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型2：利用菱形的性质求线段长度】 7．如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A．7 B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接，     四边形是菱形， ，，， 在中， ， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 8．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ）      A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键． 由菱形的性质和勾股定理求出，再由菱形的面积求出即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，，，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴菱形的面积，即：， ∴； 故选：B． 9．如图，菱形的对角线，交于点，，过点作于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，含30度的直角三角形性质，熟练掌握相关性质是解题关键．根据菱形的性质得，根据，得，得，利用勾股定理即可求出最后结果． 【详解】解：∵菱形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 10．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A．4.8 B．3.2 C．2.5 D．2.4 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、根据面积等式求线段长度等知识，先求出菱形的面积，再利用勾股定理求出的长，利用菱形面积为面积的两倍求出即可． 【详解】解：四边形是菱形，， 于点 故选：A． 11．菱形的面积为，对角线的长为，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理，熟记菱形面积等于两条对角线长的乘积的一半是解题的关键． 由菱形面积公式和勾股定理即可得出结论． 【详解】解：根据题意，作图，如下： ∵四边形是菱形，对角线的长为， ，，， ∴菱形的面积， 即， ， ， ， 故答案为：5． 12．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接，点，点分别为的中点，连接．若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质和勾股定理，解题关键是根据中位线的性质得出，求出的最小值即可． 【详解】解：连接，在菱形ABCD中，， ∵点，点分别为的中点， ∴， 当时，最小，此时 ∴，， 所以的最小值为， 故答案为：． 13．如图，在菱形中，，点，分别是边，上一点，若． (1)求证：； (2)若菱边长为4，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）连接，证明，得出； （2）证明是等边三角形，过点A作于点M，由勾股定理求出可得出答案． 【详解】（1）证明：连接， 在菱形中，， ∴，， ∴与是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， 过点A作于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的周长为． 【题型3：利用等面积法求面积】 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角坐标系，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识．先根据求出，，利用勾股定理求出，根据菱形的性质可得，进而求出，根据，即可求解． 【详解】解：令，则，令，则， 解得：， ，， ，， ， 四边形是菱形， ， ， ， 故选：B． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了菱形的对角线互相平分的性质，求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半是解题的关键．根据菱形的对角线互相平分可得，再根据两直线平行，内错角相等可得，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答． 【详解】解：、是菱形的对角线， ， ， ， 在和中， ， ， 的面积的面积， 阴影部分的面积菱形的面积， 对角线、的长度分别为和， 菱形的面积， 阴影部分面积的和． 故答案为：12． 16．如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，含30度直角三角形的性质，勾股定理；连接交于点O，由菱形的性质及勾股定理求得，从而求得，由菱形面积即可求解． 【详解】解：连接交于点O，如图， ∵在菱形中，， ∴，，，， ∴， 由勾股定理得：，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角度数，正方形变为菱形，若，且菱形的面积为24，则正方形的面积为 ．      【答案】48 【分析】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质以及含角的直角三角形的性质等知识，证出正方形的面积=2菱形的面积是解题的关键． 根据，，得出，由正方形的性质得正方形的面积，再由菱形的性质和含角的直角三角形的性质得菱形的面积，则正方形的面积=2菱形的面积，即可求解． 【详解】解：过点作交于点，    ∵，， ， ， ， ∵四边形是正方形， ∴正方形的面积=， ∵四边形为菱形， ∴，菱形的面积， ∵， ， ∴菱形的面积， ∴正方形的面积=2菱形的面积． 故答案为：． 18．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、全等三角形性质，解二元一次方程组等知识，先由菱形性质得到四个直角三角形全等，再由图2列出方程组，求出值后，由菱形面积与三角形面积关系，求出三角形面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 在菱形中，对角线交于点，则，，，， 四个直角三角形全等， 设，，且， 由图2左图可知，， 由图2右图可知，， 联立，解得， ， 故答案为：． 19．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)32 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 【题型4：添加条件对菱形的判定】 20．在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形成为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 【答案】B 【分析】此题重点考查菱形的判定，根据菱形的判定方法和矩形的判定对各个选项逐一判断即可． 【详解】解：A．，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，则是菱形； B．，根据对角线相等的平行四边形是矩形，则是矩形； C．因为平分，所以，又，所以，所以，所以，则是菱形； D．，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则是菱形； 故选：B． 21．菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质．根据菱形的性质得到是线段的垂直平分线，结合四个选项，逐一判断即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 添加，不能判定， ∴不能得到四边形为菱形，故选项A错误，符合题意； ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，， 添加， ∴， ∴， ∴， ∴能得到四边形为菱形，故选项B正确，不符合题意； 添加， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项C正确，不符合题意； 添加， 又∵，， ∴能得到四边形为菱形，故选项D正确，不符合题意； 故选：A． 22．如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了菱形的判定．熟记判定定理是解此题的关键． 根据菱形的判定定理，即可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴A、添加，能判定是菱形，故不符合题意； B、添加，则是矩形，不能判定是菱形；选项符合题意； C、添加，能判定是菱形；故不符合题意； D、添加，能判定是菱形；选项不符合题意． 故选：B． 23．如图，中，D为上一点，，．增加下列哪个条件能判定四边形为菱形的是（   ） A．点D在的平分线上 B． C． D．点D为的中点 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键．先证四边形是平行四边形，然后逐一判断即可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， 如图，连接， ∴三角形和三角形的面积相等， ∴当点D在的平分线上，点D到的距离相等， ∴， ∴平行四边形是菱形； B，C，D不能得平行四边形是菱形． 故选：A． 24．在下列条件中，能够判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． 根据菱形的判定即可判断． 【详解】解：∵平行四边形是菱形， ∵， ∴平行四边形是菱形， 故选：C． 【题型5：菱形的判定-证明题】 25．如图，已知矩形，点B是的中点，．求证：四边形是菱形． 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由平行线的性质得，再证明，结合对角线互相平分的四边形是平行四边形，结合对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵点B是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是菱形． 26．如图，已知，点在上，点在上． (1)请用尺规作图作出的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，求证四边形是菱形． 【答案】(1)见解析． (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查尺规作图和菱形的证明，掌握菱形的判定条件，以及如何将复杂作图拆解成基本作图是解题的关键． （1）根据尺规作图的基本步骤，首先以和为圆心，以大于一半的长度为半径画弧，两弧交于两点，连接这两点即为的垂直平分线．这条线与和的交点分别为和． （2）根据线段垂直平分线的性质和平行四边形的性质证明，可得，可得四边形是平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是萎形即可完成证明． 【详解】（1）如图，直线即为所求． （2）证明：连结，如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 27．已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，平行四边形及菱形的判定；先判定四边形是平行四边形，再利用平分与平行可得，即可证明四边形是菱形． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 28．如图，是矩形的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分． (1)用尺规作图法在图中画出折痕，使折痕与，，分别交于点E，O，F，并连接，． (2)求证：四边形是菱形； 【答案】(1)图见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图、矩形与折叠问题、三角形全等的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握尺规作图和菱形的判定是解题关键． （1）利用尺规作图作的线段垂直平分线，与，，分别交于点，并连接，即可得； （2）先根据折叠的性质可得，，，再证出，根据全等三角形的性质可得，则，然后根据菱形的判定即可得证． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： ． （2）证明：由折叠的性质得：垂直平分， ∴，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【题型7 求菱形中最小值问题】 29．如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称-最短问题、菱形的性质等知识，作于，交于，连接、，首先证明与重合，因为、关于对称，所以当与重合时，的值最小，由此求出即可解决问题．解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明是的高，学会利用对称解决最短问题． 【详解】解：如图，作于，交于，连接、． ∵已知菱形的周长为16，面积为， ∴，， ∴， 在中，， ∵， ∴与重合， ∵四边形是菱形， ∴垂直平分， ∴、关于对称， ∴当与重合时，的值最小，最小值为， 故选：B． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A．8 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点．连接，作于点H，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，由，求得，再证明四边形是矩形，则，因为，所以，则的最小值为4.8． 【详解】解：连接，作于点H，    ∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、 等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，连接，利用三角形中位线定理，可知，当时，最小，求出最小值即可求出． 【详解】解：过A作于K， 在菱形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，负值舍去， ∵G、H分别为、的中点， ∴， ∵垂线段最短， ∴当F和K重合时，最小，也最小， ∴的最小值为， 故选：D． 32．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，如图所示，取中点E，连接，先证明是等边三角形，得到，再证明，得到，则当三点共线，且时最小，即此时最小，由垂线段最短可知最小值即为线段的长，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，取中点E，连接，    ∵菱形中，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点P为线段的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时最小，即此时最小， ∴由垂线段最短可知最小值即为线段的长， 在中，由勾股定理得， ∴的最小值为， 故选：C． 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由菱形，，可得，，证明，则，如图，作于，作于，则，，可知当三点共线且时，最小为，由，可得，由勾股定理求，进而可得的最小值． 【详解】解：∵菱形，， ∴，，， ∵，，， ∴， ∴， 如图，作于，作于， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小为， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理是解题的关键． 34．（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 【答案】A 【分析】先证明，四边形是菱形，如图，连接，，而点G是的中点，可得为菱形对角线的交点，，当时，最小，再利用等面积法求解最小值即可． 【详解】解：∵，， ∴是矩形， ∴， ∵，， ∴四边形是菱形， 如图，连接，，而点G是的中点，    ∴为菱形对角线的交点，， ∴当时，最小， ∵即矩形的面积为12，， ∴，， ∴， ∴， 由菱形的性质可得：， ∴， ∴，即的最小值为1． 故选A 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，矩形的性质与判定，菱形的判定与性质，垂线段最短的含义，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 35．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短，连接，由菱形的性质得出，，，由勾股定理得出，证明四边形为矩形，得出，即当最小时，的值最小，由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小，再由等面积法计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为菱形，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴当最小时，的值最小， 由垂线段最短可得，当时，此时的值最小，的值最小， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，点为菱形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形正方形平行四边形菱形 B．平行四边形矩形平行四边形菱形 C．平行四边形正方形矩形菱形 D．平行四边形矩形正方形菱形 【答案】B 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定与性质，根据运动状态画出图形，再结合特殊四边形的判定方法可得答案． 【详解】解：如图，连接，，    ∵为菱形的对称中心， ∴，， ∴，而， ∴， ∴，而， ∴四边形为平行四边形； 如图，当时， ∴平行四边形为矩形； 如图，    点继续运动， 同理可得：四边形为平行四边形； 如图，当重合，重合，    ∴四边形为菱形； 故选B． 37．（23-24八年级下·河北·期中）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】分两种情形求解即可：①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3秒；②如图1中，当OP=PQ时，想办法构建方程即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD，AO=CO，BC//AD， ∵， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形，∠BAO=∠DAO=30°， ∴BO=AB=3， ∴CO=AO=， 设点Q的运动速度为x单位/秒，由题意得 ， 解得x=， 经检验x=符合题意． ①当点Q与点O重合时，PQ=OP，此时t=3÷=3秒； ②如图1中，当OP=PQ时，作PH⊥OA于H，则QH=OH． 在Rt△APH中，PA=t，∠PAH=30°， ∴PH=t， ∴AH=t， ∴OH=3-t， ∵QH=（t-3）， ∴（t-3）=3-t， 解得t=， 综上所述，当t=3秒或秒时，OP=PQ． 故选A． 【点睛】本题考查菱形的性质、含30°角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，以及勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 38．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 【答案】A 【分析】用菱形的性质进行计算或证明时,一般是根据菱形的性质,将有关的边、角的求解问题,转化到边上,再利用相等等条件求解,从而解决问题.本题中易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值． 【详解】∵直角△ABC中，∠C=90°−∠A=30° ∵CD=4t，AE=2t， 又∵在直角△CDF中，∠C=30°， ∴DF=CD=2t， ∵DF⊥BC ∴∠CFD=90° ∵∠B=90° ∴∠B=∠CFD ∴DF∥AB， 由(1)得：DF=AE=2t， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当AD=AE时，四边形AEFD是菱形， 即120−4t=2t， 解得：t=20， 即当t=20时，四边形AEFD是菱形； 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质，延长至点M，使，连接，易证，即可推出是等边三角形，列出方程即可解决问题． 【详解】解：如图，延长至点M，使，连接． ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． 又∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵，， ∴． ∵． ∴． 故选：D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 菱形的重难点题型汇编（八大题型） 重难点题型归纳 【题型1：利用菱形的性质求角度】 【题型2：利用菱形的性质求线段长度】 【题型3：利用等面积法求面积】 【题型4：添加条件对菱形的判定】 【题型5：菱形的判定-证明题】 【题型6：菱形的性质与判定综合】 【题型7：求菱形中最小值问题】 【题型8：菱形中动点问题-分类讨论】 【题型1：利用菱形的性质求角度】 1．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节间的距离．若间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．如图，菱形的对角线相交于点O，过点O作于F，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，，，则（   ） A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，对角线相交与点O，若，则 ． 5．如图，在菱形中，对角线与相交于点，，垂足为，若，则的大小是 ． 6．如图，直线，菱形的两个顶点A，C分别在直线，上，若，，则 ． 【题型2：利用菱形的性质求线段长度】 7．如图，四边形是菱形，对角线，交于点，是边的中点，过点作，，点，为垂足，若，，则的长为（　　） A．7 B．10 C． D．5 8．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ）      A． B． C． D．6 9．如图，菱形的对角线，交于点，，过点作于点，若，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D． 10．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（    ） A．4.8 B．3.2 C．2.5 D．2.4 11．菱形的面积为，对角线的长为，则的长为 ． 12．如图，在菱形中，分别是边上的动点，连接，点，点分别为的中点，连接．若，则的最小值为 ． 13．如图，在菱形中，，点，分别是边，上一点，若． (1)求证：； (2)若菱边长为4，，求的周长． 【题型3：利用等面积法求面积】 14．如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，分别在轴正半轴和负半轴上，顶点在轴正半轴上，直线的表达式为 ，连接，则的面积为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在菱形中，对角线，相交于点O，且它们的长度分别为和，过点O的直线分别交、于点E、F，则阴影部分面积的和为 ． 16．如图，在菱形中，，对角线，则菱形的面积为 ． 17．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变正方形的内角度数，正方形变为菱形，若，且菱形的面积为24，则正方形的面积为 ．      18．把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方形，则图1中菱形的面积是 ． 19．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【题型4：添加条件对菱形的判定】 20．在下列条件中选取一个条件，不能使平行四边形成为菱形的是（   ） A． B． C．平分 D． 21．菱形的对角线与相交于点O，E，F是所在直线上的两个不同的点，位于点O的两侧，则下列条件中，不能得到四边形为菱形的是（   ） A． B． C． D． 22．如图，在中，，为两条对角线．添加下列一个条件，仍不能判定是菱形，这个条件是（   ） A． B． C． D． 23．如图，中，D为上一点，，．增加下列哪个条件能判定四边形为菱形的是（   ） A．点D在的平分线上 B． C． D．点D为的中点 24．在下列条件中，能够判定平行四边形是菱形的是（   ） A． B． C． D． 【题型5：菱形的判定-证明题】 25．如图，已知矩形，点B是的中点，．求证：四边形是菱形． 26．如图，已知，点在上，点在上． (1)请用尺规作图作出的垂直平分线，交于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)连结，求证四边形是菱形． 27．已知：如图，是的角平分线，过点D分别作，，求证：四边形是菱形． 28．如图，是矩形的对角线，将矩形折叠，使点C与点A重合，此时，折痕垂直平分． (1)用尺规作图法在图中画出折痕，使折痕与，，分别交于点E，O，F，并连接，． (2)求证：四边形是菱形； 【题型7 求菱形中最小值问题】 29．如图，已知菱形的周长为16，面积为，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 30．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，菱形的对角线相交于点O，点P为边上一动点（不与点A，B重合），于点E，于点F，，，则的最小值为（　　） A．8 B．6 C． D． 31．（23-24八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 32．（23-24八年级下·四川德阳·期中）如图，菱形中，，，点P为线段的中点，Q，K分别为线段上的任意一点，则的最小值为（    ）    A． B． C． D．2 33．（23-24八年级下·山东临沂·期中）如图，已知菱形的边长为，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 34．（2023·四川德阳·中考真题）如图，的面积为12，，与交于点O．分别过点C，D作，的平行线相交于点F，点G是的中点，点P是四边形边上的动点，则的最小值是（    ）    A．1 B． C． D．3 35．（23-24八年级下·山东威海·期末）如图，菱形的对角线交于点，．点是边上的动点，过点作，垂足为点，，垂足为点，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D．3 【题型8 菱形中动点问题-分类讨论】 36．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，点为菱形的对称中心，点从点出发沿向点运动，移动到点停止，延长交于点，则四边形形状的变化依次为（    ）    A．平行四边形正方形平行四边形菱形 B．平行四边形矩形平行四边形菱形 C．平行四边形正方形矩形菱形 D．平行四边形矩形正方形菱形 37．（23-24八年级下·河北·期中）如图，在菱形中，，．动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿方向向点运动，同时，动点从点出发沿方向向点运动，它们同时到达目的地，则运动到（    ）秒时． A．3或 B．3 C． D．5 38．（23-24八年级下·河北唐山·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=120cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．当四边形AEFD是菱形时，t的值为（     ） A．20秒 B．18秒 C．12    秒 D．6秒 39．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，在菱形中，，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，同时，点Q从点C出发，以的速度沿向点B运动，设点P的运动时间为，当为等边三角形时，t的值为（　　） A．1 B．1.3 C．1.5 D．2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$