专题01 平面向量及其应用（十二大题型+思维导图+知识清单+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

专题01 平面向量及其应用 【人教A版（2019）】 【知识清单1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 4．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【题型1 平面向量的概念】 【例1】（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【变式1.1】（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【变式1.2】（24-25高一下·河南开封·阶段练习）下列说法中，正确的序号是 ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【变式1.3】（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【知识清单2 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 2．向量的减法运算 (1)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 3．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 4．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【变式2.1】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【变式2.2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 【变式2.3】（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【知识清单3 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (2)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 【题型3 平面向量的数量积】 【例3】（24-25高一下·福建宁德·期中）已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．6 C． D．3 【变式3.1】（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【变式3.2】（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示). 【变式3.3】（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 【知识清单4 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型4 向量共线的判断与求参】 【例4】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．6 C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）设是平面内的一组基底，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【题型5 平面向量基本定理及其应用】 【例5】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题： 甲：                    乙： 丙：                    丁： 如果只有一个是假命题，则该命题为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【知识清单5 平面向量的坐标表示】 1．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【题型6 平面向量线性运算的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知向量，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【变式7-2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 【变式7-3】（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【知识清单6 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：. ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型8 向量的夹角、模长问题】 【例8】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式8.1】（23-24高一下·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【变式8.2】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【变式8.3】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【题型9 向量的平行、垂直问题】 【例9】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知向量，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【变式9-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【变式9-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【题型10 向量线性运算的几何应用】 【例10】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【变式10-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式10-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【题型11 向量与几何最值（范围）问题】 【例11】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（    ）    A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 【变式11-2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【变式11-3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【知识清单7 向量在物理中的应用】 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可 负，也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型12 向量在物理中的应用】 【例12】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取） A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【变式12.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【变式12.2】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 . 【变式12.3】（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 2．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·北京延庆·期中）若，，且，则x的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 5．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（    ） （参考数据：取重力加速度大小为m/s2，） A．55 B．61 C．66 D．71 8．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·广西来宾·期末）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 10．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 11．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 三、填空题 12．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 13．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 14．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 16．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，． (1)求和； (2)求向量与向量的夹角． 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示，； (2)若，，求的最小值. 18．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 19．（23-24高一下·浙江台州·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量及其应用 【人教A版（2019）】 【知识清单1 向量的概念】 1．向量的概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量. (2)数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量． 2．向量的表示法 (1)有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度． (2)向量的表示方法： ①字母表示法：如等. ②几何表示法：以A为始点，B为终点作有向线段（注意始点一定要写在终点的前面）．如果用 一条有向线段表示向量，通常我们就说向量. 3．向量的有关概念 (1)向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). (2)零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的． (3)单位向量：长度等于1个单位的向量. (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 4．向量的共线或平行 方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量).规定:与任一向量共线. 【题型1 平面向量的概念】 【例1】（24-25高一下·陕西·期中）以下说法中，正确的是（   ） A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量 B．零向量的长度为0，没有方向 C．单位向量都是共线向量 D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 【解题思路】根据向量、共线向量、零向量、单位向量的概念逐一判断． 【解答过程】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错； 对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错， 对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错； 对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小， 而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确； 故选：D． 【变式1.1】（24-25高一下·浙江·期中）给出下列命题，正确的是（    ） A．的充要条件是且 B．若，则它们的起点和终点均相同 C．若存在实数，使得，则 D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形 【解题思路】由，可得且向量与同向，可判定A错误；相等向量的起点和终点不一定相同，可判定B错误；根据向量的共线定理，可得判定C正确；根据可能在同一条直线上，可判定D错误. 【解答过程】对于A中，由，可得且向量与同向， 所以的必要不充分条件是且，所以A错误； 对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误； 对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确； 对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误. 故选：C. 【变式1.2】（24-25高一下·河南开封·阶段练习）下列说法中，正确的序号是 ①③ ． ①零向量都相等； ②任一向量与它的平行向量不相等； ③若四边形是平行四边形，则； ④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同． 【解题思路】根据向量、零向量及共线向量的定义逐一分析即可判断. 【解答过程】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确； 对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等， 所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误； 对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等， 所以，故③正确； 对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同， 所以④错误. 故答案为：①③. 【变式1.3】（24-25高一下·广西南宁·开学考试）某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.    (1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米） (2)求向量的模. 【解题思路】（1）根据给定条件，作出图形. （2）借助几何图形，利用勾股定理求出模长. 【解答过程】（1）作出向量，如图：    （2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米， 所以（米）. 【知识清单2 平面向量的线性运算】 1．向量的加法运算 (1)向量加法的定义及两个重要法则 定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 向量 加法 的三 角形 法则 前提 已知非零向量，在平面内任取一点A. 作法 作，连接AC. 结论 向量叫做与的和，记作，即. 图形 向量 加法 的平 行四 边形 法则 前提 已知两个不共线的向量，在平面内任取一点O. 作法 作，以OA,OB为邻边作四边形OACB. 结论 以O为起点的向量就是向量与的和，即. 图形 规定 对于零向量与任一向量，我们规定. 2．向量的减法运算 (1)向量减法的定义： 向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减 法. (3)向量减法的三角形法则 如图，已知向量，在平面内任取一点O，作，，则.即 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 3．向量的数乘运算 (1)向量的数乘的定义 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与 方向规定如下： ①； ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反. (2)向量的数乘的运算律 设为实数，那么①；②；③. 特别地，我们有，. (3)向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有. 4．向量共线定理 (1)向量共线定理 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. (2)向量共线定理的应用——求参 一般地，解决向量共线求参问题，可用两个不共线向量(如)表示向量，设， 化成关于的方程，由于不共线，则解方程组即可. 【题型2 平面向量的线性运算】 【例2】（24-25高一下·江苏徐州·期中）已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C．4 D．5 【解题思路】先求出，再由三点共线，可得，解方程即可得出答案. 【解答过程】因为， 所以， 因为三点共线，必存在一个实数，使得， 所以，而不共线， 所以，解得：. 故选：B. 【变式2.1】（24-25高一下·广西南宁·阶段练习）已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用共线向量定理的推理及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【解答过程】依题意，，则，又， 于是，，则， 因此， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最小值. 故选：C.    【变式2.2】（24-25高一下·浙江·期中）已知，为两个不共线的向量，，，则 （用，表示） 【解题思路】根据向量线性运算法则计算即可求. 【解答过程】由题意，，， 所以. 故答案为：. 【变式2.3】（24-25高一下·重庆·阶段练习）设，是两个不共线的向量，已知，，. (1)求证：A，B，D三点共线； (2)若，且，求实数的值. 【解题思路】（1）由平面向量的线性表示与共线定理，证明、共线，得出A，B，D三点共线； （2）由平面向量的共线定理列方程求出的值. 【解答过程】（1）由，，， 所以， 所以， 所以、共线，且有公共点B， 所以A，B，D三点共线. （2）由，且， 所以， 即， 所以，所以， 所以实数的值为9. 【知识清单3 向量的数量积】 1．向量的数量积 (1)向量的夹角 已知两个非零向量，如图所示，O是平面上的任意一点，作，，则∠AOB= 叫做向量与的夹角，也常用表示. (2)两个向量数量积的定义 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 规定：零向量与任一向量的数量积为0，即. 2．向量数量积的性质和运算律 (1)向量数量积的性质 设是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 ①. ②. ③当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或. ④，当且仅当向量共线，即时，等号成立. ⑤. (2)向量数量积的运算律 由向量数量积的定义，可以发现下列运算律成立： 对于向量和实数，有 ①交换律：； ②数乘结合律：； ③分配律：. 【题型3 平面向量的数量积】 【例3】（24-25高一下·福建宁德·期中）已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（   ） A． B．6 C． D．3 【解题思路】根据投影向量公式及已知条件可得，化简可计算出的值. 【解答过程】根据公式可知向量在向量上的投影向量为 所以，得. 故选：A. 【变式3.1】（24-25高一下·河南·阶段练习）如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（   ） A． B．2 C． D．1 【解题思路】根据平面向量共线定理求出，再由平面向量的线性运算和数量积的定义求解即可. 【解答过程】因为，分别为，的中点，所以，， 有，所以， 分别过作，则， 所以，在直角三角形中，易得， 设， 因为D，O，F三点共线，所以，即， 故， ， 故选：D. 【变式3.2】（24-25高一下·上海·期中）已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示). 【解题思路】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【解答过程】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 【变式3.3】（24-25高一下·福建莆田·阶段练习）如图，在边长为2的菱形中.    (1)求； (2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值. 【解题思路】（1）根据菱形的几何性质，结合向量的加法以及数量积的运算律，可得答案； （2）根据菱形的几何性质以及相似三角形的判定与性质，结合向量的线性运算与数量积的运算律，利用二次函数的性质，可得答案. 【解答过程】（1）在菱形中，易知，， 所以 . （2）在菱形中，，易知 ， 由，则，即， 所以 ， 故，所以当时，取得最小值为. 【知识清单4 平面向量基本定理】 1．平面向量基本定理 (1)平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 ，使.若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. (2)定理的实质 由平面向量基本定理知，可将任一向量在给出基底的条件下进行分解——平面内的任一向量都可以用平面内任意不共线的两个向量线性表示，这就是平面向量基本定理的实质. 2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路 用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的. 【题型4 向量共线的判断与求参】 【例4】（23-24高一下·江苏苏州·期中）设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量平行得到方程，求出答案. 【解答过程】向量与向量共线， 设，故，解得. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（   ） A． B．6 C． D． 【解题思路】根据向量共线定理和平面向量基本定理得到方程组，求解即可. 【解答过程】∵与是共线向量， ∴存在实数，使得，即， 已知是两个不共线的向量， 则有，解得. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高一下·江苏南通·阶段练习）在中，为上一点，且，则实数值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用，将用表示，替换，再结合三点共线，即可求出的值. 【解答过程】 ， 因此， 因为三点共线，所以，， 故选：B. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）设是平面内的一组基底，，则（    ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【解题思路】根据向量共线定理设出方程，若方程无解，则三点不共线，从而得到ABD错误，C正确. 【解答过程】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误； B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误； C选项，， ， 故，故三点共线，C正确； D选项，， 设，则，无解，故三点不共线，D错误. 故选：C. 【题型5 平面向量基本定理及其应用】 【例5】（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用表示，结合平面向量基本定理得到方程组，求解后代入即可求得. 【解答过程】设，， 所以， 又，所以， 因为， 所以， 所以，解得， 所以， 故选：B. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意可得，即可得到，再根据平面向量共线定理的推论得到，解得即可. 【解答过程】因为，所以，即， 又，所以， 因为点是线段上一点，即、、三点共线， 所以，解得. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏淮安·期中）如图，在矩形中，若，则等于（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用向量加法的平行四边形法则，结合数乘向量求解即得 【解答过程】在矩形中，， 则. 故选：A. 【变式5-3】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题： 甲：                    乙： 丙：                    丁： 如果只有一个是假命题，则该命题为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解题思路】 首先由甲命题为真命题开始，由点是的中点，结合平面向量基本定理的推论，结合三点共线的向量表示，即可判断. 【解答过程】若甲为真命题，，则点为的中点， 由可得，， 因为三点共线，故可得， 即， 由三点共线，可得， 所以，得，即， 所以，故乙为真命题；故，可知命题丙为真命题； 由共线，故可设， 即, 因为三点共线，故可设， 所以，得， 即，故命题丁为假命题. 综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题. 故选：D. 【知识清单5 平面向量的坐标表示】 1．平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 ，即.同理得. 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示 由，可得，则，即. 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2．平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量，等价于，，所以 .又，，，所以. 这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. (2)平面向量长度（模）的坐标表示 若，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为，，那么， . 3．平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设，，其中.我们知道，共线的充要条件是存在实数，使.如果 用坐标表示，可写为，即，消去，得.这就是说，向量 共线的充要条件是. ②三点共线的坐标表示 若，，三点共线，则有，从而，即， 或由得到， 或由得到. 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. (2)夹角的坐标表示 设都是非零向量，，，是与的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示可得. (3)垂直的坐标表示 设，，则. 即两个向量垂直的充要条件是它们相应坐标乘积的和为0. 【题型6 平面向量线性运算的坐标表示】 【例6】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由向量减法坐标表示可得答案. 【解答过程】因，则. 故选：A. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知向量，点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】由平面向量的坐标表示即可得出点的坐标. 【解答过程】设点，由向量的坐标表示可知，， 所以，解得，即点的坐标为. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高三上·江苏南京·期中）已知向量，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量的线性运算及向量相等列方程求参即可. 【解答过程】向量， 若，则, 所以， 可得,即得. 故选：B. 【变式6-3】（23-24高一下·四川成都·期中）已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或   【解题思路】根据向量的计算直接可得解. 【解答过程】由已知，， 则， 点是线段靠近的三等分点， 则， 且， 则， 即， 故选：B. 【题型7 平面向量数量积的坐标表示】 【例7】（24-25高一下·江苏徐州·阶段练习）设，则等于（    ） A． B． C． D．1 【解题思路】根据平面向量坐标运算和数量积的坐标表示求解可得. 【解答过程】因为， 所以， 所以. 故选：B. 【变式7-1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（   ） A．3 B．1 C．2 D．4 【解题思路】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可. 【解答过程】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系， ，，设， 因为，所以，解得，所以， 又，所以，所以，， 所以． 故选：C． 【变式7-2】（24-25高三上·江苏苏州·开学考试）已知向量，则（    ） A． B． C．2 D．4 【解题思路】将转化为，利用向量数量积的坐标表示即可得解. 【解答过程】因为， 所以， 故． 故选：B. 【变式7-3】（24-25高一下·福建厦门·阶段练习）是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（    ） A．2 B．4 C．5 D．6 【解题思路】 建立坐标系，求出点的坐标，利用向量数量积的坐标公式进行求解即可． 【解答过程】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，    则，设，，， 则， 因为，则， 则， 故当，时取得最大值为5． 故选：C. 【知识清单6 平面几何中的向量方法】 1．平面几何中的向量方法 (1)用向量研究平面几何问题的思想 向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性.因此，用向量解决平面几何问题，就是将 几何的证明问题转化为向量的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作. (2)向量在平面几何中常见的应用 ①证明线段平行或点共线问题，以及相似问题，常用向量共线定理：. ②证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：. ③求夹角问题，利用夹角公式：. ④求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：或 . (3)向量法解决平面几何问题的“三步曲” 第一步，转化：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； 第二步，运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； 第三步，翻译：把运算结果“翻译”成几何关系. 【题型8 向量的夹角、模长问题】 【例8】（2025·四川南充·三模）在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解. 【解答过程】解：建立如图直角坐标系，则, 得, 所以， 故选：D. 【变式8.1】（23-24高一下·云南·期中）中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（    ） A． B．3 C． D． 【解题思路】过作交于，作交于，由向量加法的平行四边形法则和向量的基本定理得，，从而得，即可求得，最后把平方可求得． 【解答过程】如图，过作交于，作交于， 则，又， 所以，， 所以，即， 又是的平分线，所以，而，所以， ， ， 所以， 故选：C． 【变式8.2】（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 . 【解题思路】依题意建立平面直角坐标系，分别求出两向量的坐标，计算两向量的夹角，即可得出结果． 【解答过程】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，    因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点， 设，则，，，， 则， 而等于与所成的角． 所以． 故答案为：. 【变式8.3】（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解题思路】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系，由于就是的夹角，从而利用向量夹角的坐标表示即可求解； （2）根据向量的共线表示联立方程组可求解，分点在上、点在上，结合向量垂直的坐标表示即可求解. 【解答过程】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．    的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【题型9 向量的平行、垂直问题】 【例9】（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知平面向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用共线向量的坐标表示求解即得. 【解答过程】向量，，由，得， 所以. 故选：D. 【变式9-1】（24-25高三上·江苏南京·阶段练习）已知向量，则（    ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的必要条件 【解题思路】由向量共线的坐标表示与向量垂直的坐标表示求出的值，逐项判断即可. 【解答过程】因为， 若，则，解得， 故“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故A错误； 所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故D错误； 若，则，解得或， 所以“”是“”的充分条件，故B正确； “”是“”的充分不必要条件，故C错误； 故选：B. 【变式9-2】（23-24高一下·江苏苏州·期中）已知向量，，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【解题思路】（1）根据向量垂直的坐标关系即可求解， （2）根据平行满足的坐标关系即可求解. 【解答过程】（1）因为，．所以， 因为，且， 所以，得． （2）因为，，， 所以，且． 所以，得． 【变式9-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知向量． (1)当且时，求； (2)当，求向量与的夹角． 【解题思路】（1）由向量的坐标运算法则先求出和的坐标，再由条件可得，求出x的值，再求的坐标，得出其模长. （2）由向量的坐标运算法则先求出的坐标，由，求出x的值，然后由向量的夹角公式可得答案. 【解答过程】（1）因为向量 则，， 又因为，则， 可得，解得或， 且，则，则，， 所以. （2）由，则， 由，可得，解得，即， 可得，，， 则， 且，所以向量与的夹角. 【题型10 向量线性运算的几何应用】 【例10】（23-24高一下·山西·阶段练习）如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（    ） A． B． C． D．15 【解题思路】先确定的位置，接着由进行转化，利用共线定理得，再利用基本不等式“1”的妙用即可求解. 【解答过程】由题可设， 则由题意得， 因为、、三点共线，故， 所以， 所以， 又、、三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故选：B. 【变式10-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：    甲：；乙：； 丙：；丁：； 若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【解题思路】结合三角形重心性质及向量线性运算进行合情推理即可判断. 【解答过程】若，则点是的重心，则有， 所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确， 由丁：知，点不是边的中点，所以甲说法错误. 故选：A. 【变式10-2】（24-25高一·全国·随堂练习）如图，点D是中BC边的中点，，.    (1)试用，表示； (2)若点G是的重心，能否用，表示？ (3)若点G是的重心，求. 【解题思路】（1）利用三角形法则整理化简即可； （2）利用三角形重心性质及向量的线性运算化简计算即可； （3）利用三角形重心性质及三角形法则化简计算即可. 【解答过程】（1）因为点D是中BC边的中点，且，， 所以； （2）因为点G是的重心， 所以 . （3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以， 又，所以，所以. 【变式10-3】（23-24高一·上海·课堂例题）如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：． 【解题思路】根据向量加法的法则及向量数乘的几何意义证明即可． 【解答过程】证明：因为分别为的中点， 所以， 所以， 所以． 【题型11 向量与几何最值（范围）问题】 【例11】（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【解答过程】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B. 【变式11-1】（23-24高三上·上海浦东新·开学考试）“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（    ）    A．为定值 B．的取值范围是 C．当时，为定值 D．的最大值为16 【解题思路】过作直径，利用向量加减几何意义得判断A；若为中点，连接，应用向量线性运算的几何意义及数量积的运算律、圆的性质得，进而求范围判断B；根据垂直关系及、数量积得运算律化简判断C；若为中点，连接，圆的性质易得，应用基本不等式及求最值，注意取值条件判断D. 【解答过程】如图，过作直径， 由题意， 所以 为定值，A对； 若为中点，连接，则 ， 由题意，则，B错； 若，故， 则， 又，则，同理可得，故，C对； 因为，则当弦均与重合时，此时有最大值，为16，故D正确.    故选：B. 【变式11-2】（23-24高一下·浙江宁波·期中）已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）. (1)求的最小值； (2)设线段与的交点为，求的最小值. 【解题思路】（1）以点为原点建立直角坐标系，利用向量数量积的坐标公式求得结果； （2）根据三角形相似得出，再求出的坐标，利用向量数量积的坐标公式求得结果. 【解答过程】（1）设，如图建立直角坐标系： ， 当时，有最小值，最小值为0； （2）由图可得： 则 ， 当且仅当即时取等号， 的最小值为. 【变式11-3】（23-24高一下·江苏苏州·期中）在锐角中，，点为的外心. (1)若，求的最大值； (2)若， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【解题思路】（1）由推出，即，由推出，两边平方得到，根据不等式知识，结合，可得； （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，根据平行四边形法则可证结论成立； （ii）延长至，使得，以为邻边作矩形，延长至，使得，将转化为，结合图形可求出结果. 【解答过程】（1）因为，所以， 因为点为的外心，所以，即，， 因为，所以， 所以， 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即， 得，得或. 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知， 所以应舍去，所以， 所以的最大值为. （2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，如图：    因为，所以， 因为，且，所以， 所以，， 所以 ， 所以， 所以. （ii）延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且， 延长至，使得，则，如图：    所以， 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为， 因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得， 所以， 当时， ， 当时， ， 所以，即的取值范围是. 【知识清单7 向量在物理中的应用】 1．力学问题的向量处理方法 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的量.用向量知识解决力的问题，往往是把向量平移到同一作用点上. 2．速度、位移问题的向量处理方法 速度、加速度与位移的合成和分解，实质就是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 3．向量与功、动量 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积. (1)力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，即.功是一个实数，它可正，可 负，也可为零. (2)动量涉及物体的质量m，物体运动的速度，因此动量的计算是向量的数乘运算. 【题型12 向量在物理中的应用】 【例12】（24-25高一下·陕西咸阳·期中）如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（   ） （重力加速度取） A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N 【解题思路】设每根绳子上的拉力大小为，根据平衡条件列式求解即可． 【解答过程】设每根绳子上的拉力大小为， 则根据平衡条件可得，, 解得． 所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N． 故选：D. 【变式12.1】（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（    ） A．船头方向与水流方向垂直 B． C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟 【解题思路】先根据航程最短的条件确定船头方向，再利用向量关系求、合速度以及渡河时间. 【解答过程】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误. 设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得. 已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误. 由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得. 将，代入，可得，C选项正确. 河宽米千米，合速度，可得. 将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误. 故选：C. 【变式12.2】（24-25高一下·山东菏泽·阶段练习）一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 16 . 【解题思路】利用向量运算法则得到，，从而利用向量数量积公式计算答案. 【解答过程】由题意得：， ， 则合力对该质点所做的功为. 故答案为：16. 【变式12.3】（24-25高一下·四川成都·期中）一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动. (1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离； (2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间. 【解题思路】（1）求出船的实际航行方向与正北方向的夹角正切即可求得答案. （2）利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及航行时间. 【解答过程】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则， 由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为， 于是， 所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）. （2）由（1）知，，，， 由船需要准确到达正北方向的B点，得， 则，解得， 而，于是，， ，， 所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时. 一、单选题 1．（24-25高一下·全国·课后作业）下列各量中是向量的为（    ） A．海拔 B．压强 C．重力 D．温度 【解题思路】利用向量的定义判断即可． 【解答过程】向量是既有大小，又有方向的量， 因为海拔，压强，温度只有大小，没有方向，重力既有大小，又有方向， 所以重力是向量， 故选：C． 2．（2024高二下·湖北·学业考试）如图，平行四边形中，是边上的一点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据向量线性运算化简求解即可. 【解答过程】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误. 故选：B. 3．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）如图，在中，是边的中点，是上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】设，根据图形由向量的加法法则运算即可； 【解答过程】设， 因为是边的中点，所以， 所以， ， 又， 所以，解得， 故选：B. 4．（23-24高一下·北京延庆·期中）若，，且，则x的值为（    ） A．1 B． C．或0 D．或1 【解题思路】由向量垂直可以得到数量积为0，进而列出方程求解. 【解答过程】由题设， 由题，得，解得或. 故选：C. 5．（23-24高一下·河南·期中）在四边形中，与交于点，且，则 （   ） A． B．四边形是梯形 C．四边形是菱形 D．四边形是矩形 【解题思路】由题意，根据相等向量的概念和向量的模，结合矩形的判定定理即可求解. 【解答过程】由， 知四边形的对角线相互平分且相等， 所以四边形为矩形. 故选：D. 6．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）向量，满足，，向量与的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由条件根据数量积的定义求，再结合数量积的运算律求. 【解答过程】因为，，向量与的夹角为， 所以， 所以. 故选：A. 7．（23-24高一下·江苏宿迁·期中）加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分．某学生做引体向上运动，处于如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为，每只胳膊的拉力大小均为350N，则该学生的体重（单位：kg）约为（    ） （参考数据：取重力加速度大小为m/s2，） A．55 B．61 C．66 D．71 【解题思路】用向量表示两只胳膊的拉力的大小和方向，它们的合力与体重相等，求出，再化为千克即可得． 【解答过程】如图，，， 作平行四边形，则是菱形，， ， 所以， 因此该学生体重为（kg）. 故选：B． 8．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由投影向量的定义得到当在上时，取得最大值，进而得到答案. 【解答过程】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值， 延长交的延长线于点， 的最大值为， 其中正八边形的外角为，故， 故，， 故， 所以最大值为. 故选：B. 二、多选题 9．（23-24高一下·广西来宾·期末）关于非零向量，，下列命题中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【解题思路】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC. 10．（23-24高一下·山东青岛·期末）已知向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A．若则 B．最大值为3 C．若，则 D．若，则向量在向量上的投影向量坐标为 【解题思路】对于A,验证数量积是否为0即可判断；对于B，求模先求平方，再开方即可求解；对于C,移项之后在平方求解即可；对于D,在向量上的投影向量为,据此求解即可. 【解答过程】对于A,因为，所以与不垂直，故A错误； 对于B,因为，所以， 所以 当共线时，有最大值为1，所以，故B正确； 对于C,因为，所以，即， 所以，所以，解得，故C错误； 对于D,因为，所以，即， 所以在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：BD. 11．（23-24高一下·江苏扬州·期中）在平行四边形中，是的中点，则（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【解题思路】根据题意，作出图形，选择基向量，求出的值.对于A，只需利用平面向量基本定理分解即得；对于B，由A结论，利用向量的模长公式计算即得；对于C，将与分别用表示，计算数量积即得；对于D，利用投影向量定义理解计算即得. 【解答过程】 如图，设则 对于A项，故A项正确； 对于B项，由A项可得，，两边取平方， ，则，故B项错误； 对于C项，因，， 则 故C项正确； 对于D项，在上的投影向量为故D项错误. 故选：AC. 三、填空题 12．（23-24高一下·广西玉林·期中）已知向量，且，则 ． 【解题思路】应用向量数量积的运算律求向量的模即可. 【解答过程】由题意，所以． 故答案为：. 13．（23-24高一下·重庆·阶段练习）若向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ． 【解题思路】两向量的夹角为钝角，等价于两向量的数量积小于零且两向量不反向共线，由此可求参数的取值范围. 【解答过程】因为向量，的夹角为钝角， 所以且不反向共线， 由 ； 由 ； 所以，的夹角为钝角，可得的取值范围是：. 故答案为：. 14．（23-24高一下·江苏泰州·阶段练习）如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点M，N，满足，，（，），若，则的值为 ． 【解题思路】用向量表示，再利用点M，O，N共线列式计算作答. 【解答过程】因平行四边形的对角线相交于点，则， 而，于是得， 又点M，O，N共线， 因此，，即，又，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高一下·全国·课后作业）如图，为正方形对角线的交点，四边形，都是正方形.在图中所示的向量中： (1)分别写出与，相等的向量； (2)写出与的相反向量； (3)写出与模相等的向量. 【解题思路】（1）根据相等向量的定义直接求解即可； （2）根据相反向量的定义直接求解即可； （3）根据模相等向量的定义求解即可. 【解答过程】（1）由题意，． （2）由题意，与的相反向量为：，． （3）由题意，与模相等的向量为：，，，，，，． 16．（23-24高一下·四川成都·阶段练习）已知向量与的夹角为，且，． (1)求和； (2)求向量与向量的夹角． 【解题思路】（1）先求出，再结合模长关系代入求解即可得出答案. （2）设向量与向量的夹角，由向量的夹角公式结合数量积的运算律求解即可. 【解答过程】（1）因为向量与的夹角为，且，， 则． 所以． （2）设向量与向量的夹角， 可得， 且，则，所以向量与向量的夹角为． 17．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）如图，在中，AD是BC边上的中线.M为BD的中点，G是AD上一点，且，直线EF过点G，交AB于点E，交AC于点F. (1)试用和表示，； (2)若，，求的最小值. 【解题思路】（1）根据平面向量的线性运算计算即可； （2）先将用表示，再根据E，F，G三点共线，可得的关系，再根据基本不等式即可得解. 【解答过程】（1）由题意，为的中点，所以， 又为的中点，所以； ，即， ； 故，. （2）由，，， 得，， 所以 ， 因为E，F，G三点共线，则 ， 则， 当且仅当，即，时取等号所以的最小值3. 18．（23-24高一下·山东枣庄·期中）如图，在中，，，，点在线段上，且． (1)求的长； (2)求． 【解题思路】（1）用、表示，再根据、的长度和夹角可求出结果； （2）根据夹角公式可求出结果. 【解答过程】（1）设，， 则． ．故． （2）因为 ． 所以. 19．（23-24高一下·浙江台州·期中）在直角梯形中，已知，，，，，动点、分别在线段和上，和交于点，且，，． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)求的取值范围． 【解题思路】(1)在直角梯形ABCD中，根据几何关系求出∠ABC和BC长度，当AE⊥BC时，求出BE长度，从而可得； (2)设，，以为基底用两种形式表示出，从而可得关于x、y的方程组，解方程组可得； (3)以为基底表示出、，从而表示出，求出的范围即可求出的范围． 【解答过程】（1）在直角梯形中，易得，， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， 故； （2） ， 当时，， 设，， 则， ， ∵不共线，∴，解得，即； （3）∵，， ∴， ＝， 由题意知，， ∴当时，取到最小值＝， 当时，取到最大值， ∴的取值范围是． 第 1 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $$