专题02 解三角形（十大题型+思维导图+知识清单+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（人教A版2019选择性必修第一册）

专题02 解三角形 【人教A版（2019）】 【知识清单1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，a=b，a=c，b=c； ②======； ③a:b:c=::； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，内角的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】直接利用余弦定理解三角形即可. 【解答过程】， 所以. 故选：D. 【变式1-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理求解即可. 【解答过程】因为，, 在中，. 故选：B. 【变式1-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理计算可得. 【解答过程】由余弦定理可得， 又，所以. 故选：C. 【变式1-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A． B．19 C． D．7 【解题思路】由余弦定理计算可得 【解答过程】由余弦定理得， 所以 ．因为， 所以． 故选：D. 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【解题思路】利用同角的三角函数的基本关系可求得，利用正弦定理可求解. 【解答过程】由，可得，又， 所以，解得， 又因为，，所以，所以， 由正弦定理可得，所以，解得. 故选：A. 【变式2-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据正弦定理即可求解. 【解答过程】解：由正弦定理可得，，， ，， 或， 故选：D. 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则b=（    ） A．2 B． C． D． 【解题思路】首先求出，再由正弦定理计算可得. 【解答过程】因为，，所以， 由正弦定理，即，解得. 故选：C. 【变式2-3】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理即可求解. 【解答过程】由正弦定理可得， 故选：C. 【知识清单2 三角形解的个数问题】 1．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【题型3 三角形解的个数问题】 【例3】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【解题思路】由正弦定理可得，根据条件求得的值，根据与的大小判断角的大小，从而判断三角形的解的个数． 【解答过程】由正弦定理可得，若A成立，，，，有， ∴，∴，故三角形有唯一解． 若B成立，，，，有，∴，又， 故，故三角形无解． 若C成立，，，，有 ，∴，又， 故，故可以是锐角，也可以是钝角，故三角形有两个解． 若D 成立，，，，有，∴，由于，故为锐角，故三角形有唯一解． 故选：C． 【变式3-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出到距离，然后根据题意结合图形求解即可. 【解答过程】因为在中，，， 所以到距离， 因为有且只有一个， 所以由图可知或， 即实数的取值范围是. 故选：D. 【变式3-2】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【解题思路】先求出，再由正弦定理求出角B即可得解. 【解答过程】由题，所以， 又，所以， 所以且由正弦定理， 所以由得或，故三角形解的个数为2. 故选：C. 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理用表示，再借助的范围求解即得. 【解答过程】在中，由正弦定理得，则， 由满足条件，的有两个，得，且，即， 因此，所以. 故选：A. 【知识清单3 判定三角形形状的途径】 1．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【题型4 正、余弦定理判定三角形形状】 【例4】（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【解题思路】利用正弦定理化边为角，逆用和角公式即得结论. 【解答过程】由，利用正弦定理，， 即，因，则或（不合题意舍去）， 故△ABC一定是等腰三角形. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【解题思路】应用正弦边角关系及二倍角正弦公式有，结合三角形内角的性质得或，即可得答案. 【解答过程】由已知及正弦边角关系有，则， 三角形中，则或， 所以三角形为等腰三角形或直角三角形. 故选：C. 【变式4-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【解题思路】利用余弦定理将等式整理得到，对或分类讨论即可判断． 【解答过程】由， 由余弦定理得， 化简得， 当时，即，则为直角三角形； 当时，得，则为等腰三角形； 综上：为等腰或直角三角形，故D正确． 故选：D． 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【解题思路】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【解答过程】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D. 【知识清单4 解三角形】 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型5 三角形面积公式的应用】 【例5】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】先由结合余弦定理求出，再由余弦定理得，进而由两边平方得，再由三角形面积公式即可得解. 【解答过程】因为， 所以由余弦定理得， 整理得，故， 又，所以， 所以由得即，    又由题， 所以 ， 即，故， 所以的面积为. 故选：C. 【变式5-1】（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 【解题思路】首先利用三角函数恒等变换化简条件等式，再根据最值，确定三角形内角的关系，再根据余弦定理以及三角形面积公式，即可求解. 【解答过程】由题意可知，， 即， 则， 即，其中，， 其中和的最大值为1，只有当，时，等号成立， ，， 设，由， 则，所以的面积为. 故选：B. 【变式5-2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求的值，即可求解的值，由正弦定理结合已知等式可得可求的值，进而利用三角形的面积公式即可求解. 【解答过程】由及正弦定理得， 所以，又， 所以， 又由正弦定理，即， 所以， 所以， 所以， 即， 解得或（，舍）， 所以的面积. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高一下·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．6 【解题思路】由题意，根据余弦定理可得，结合基本不等式和可得，即可求解. 【解答过程】因为，由余弦定理可得， 则，则， 又，所以，则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为． 故选：B． 【题型6 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【解题思路】（1）由正弦定理知，，，结合条件可得结论； （2）由余弦定理可求得，进而利用（1）的结论可求. 【解答过程】（1）由正弦定理知，在中，， 在中，， 由，， 所以， 所以； （2）在中，由余弦定理可得， 所以，由（1）可得，所以， 因为是边上的中线，所以， 所以. 【变式6-1】（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【解题思路】（1）根据正弦定理结合已知条件得出，对角的范围进行分类讨论，再利用正弦函数的单调性即可得出结果； （2）根据余弦函数在上单调递减，得，利用余弦定理转化为边的关系即可得出结果. 【解答过程】（1）由正弦定理知，，若，则，即． （ⅰ）若A，，则由在单调递增，得． （ⅱ）若，，则，此时， 由在单调递增，得，显然不成立，舍去． （ⅲ）若，，必有成立. 综上，在中，若，则. （2）由在上单调递减，若，则， 由余弦定理得，，则， 所以， 即， 即， 而，，所以． 所以在中，若，则. 【变式6-2】（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【解题思路】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解； （2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解. 【解答过程】（1） 根据正弦定理，由 ， 即. 是锐角三角形， ，， 因此有 （2）是锐角三角形，，而， 由正弦定理，得， 则， 而 所以， 因此的取值范围为. 【变式6-3】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【解题思路】（1）应用正弦定理得、，根据已知有，将左侧化简整理为，即可证结论； （2）由及余弦定理得到，结合求得，最后应用余弦定理求即可. 【解答过程】（1）   在中，由正弦定理得，则， 在中，由正弦定理得，则， 因为，所以， 而 ． 所以，即． （2）由，得，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由，， 即，整理得，， 在中，由余弦定理得 ， ∴，故，即， 所以. 【题型7 求三角形边长或周长的最值或范围】 【例7】（23-24高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【解答过程】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形ABC，所以，即，解得. . 令，因为，所以， 则在单调递减， 所以. 故选：C. 【变式7-1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】方法一：设的外接圆半径为R，根据正弦定理及已知可将题干等式化为，再结合两角和的正弦公式进行化简，结合可得，最后根据正弦定理以及三角恒等变换用B表示出的周长，根据三角函数的性质求解即可． 方法二：根据三角形三边关系排除即可． 【解答过程】方法一：设的外接圆半径为R， 则， 因为， 所以， 可得， 即， 可得， 因为，， 所以， 结合，可得， 又，所以， 可得， 则的周长为 ， 因为，所以， 则， 可得 故的周长的取值范围为 方法二：由，可知周长，排除ABD， 故选：C. 【变式7-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【解题思路】（1）根据数量积的坐标表示，利用正弦定理和余弦定理角化边可得； （2）利用正弦定理将表示为关于角的函数，根据二倍角公式化简，由正切函数的性质可得. 【解答过程】（1）因为， 所以 ， 利用正弦定理角化边得， 又， ，则， 又为锐角三角形，故. （2）由正弦定理得， ， 由于为锐角三角形，则， 又，解得， 所以 ， 而，即， ，故的取值范围为. 【变式7-3】（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【解题思路】（1）根据题意可得，再根据正弦定理可得，进而即可求得角A的大小； （2）先根据题意及正弦定理得到，，从而得到，再结合（1）得到B的取值范围，进而即可求得的周长的取值范围． 【解答过程】（1）由，则， 又由正弦定理得， 又因为，则， 所以，即， 又因为，所以． （2）由正弦定理有， 则，， 所以 ， 又，则，则，则， 所以， 故的周长的取值范围为． 【知识清单5 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8】（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【解题思路】根据已知条件，结合三角形的性质，正弦定理，余弦定理，即可求解. 【解答过程】在中，，， 则，， 在中，，，， 则， ， ， 在中，，， 则， . 故选：D. 【变式8-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）玉泉寺铁塔位于湖北省当阳县城西15公里的覆船山东麓玉泉寺门前，全称“如来舍利宝塔”，又称当阳铁塔.它始建于北宋嘉祐六年公元1061年，由玉泉寺僧务本禅师领工铸建，是我国最高、最重和保存最完整的铁塔.如图，某测绘小组为了测量玉泉寺铁塔的实际高度PO，选取了与塔底O在同一水平面内的3个测量基点A，B，三点共线，现测得米，米，在点A、点B测得塔顶P的仰角均为，在点C测得塔顶P的仰角为，则塔高参考数据：取，，，，，，（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【解题思路】由题意得求出，得是等腰三角形，取的中点得，理由勾股定理可得答案. 【解答过程】由题意得 ，， 所以是等腰三角形， 取的中点，连接，则，， 由勾股定理得， 所以，则， 解得，所以. 故选：C. 【变式8-2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【解题思路】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【解答过程】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以， 故选：C. 【变式8-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【解题思路】求出，再利用正弦定理得，最后根据三角函数定义即可得到答案. 【解答过程】根据题意，可得，， 在中，. 在中，，，所以， 在中，由正弦定理得，即， 即，解得， 在中，，，所以. 故选：A. 【题型9 解三角形的实际应用】 【例9】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【解题思路】根据题意画出示意图，利用余弦定理即可求解. 【解答过程】 如图，当台风中心向西北方向移动到达点时，的距离恰好150km，此时该城市所在地开始受到影响， 设小时后该城市所在地开始受到影响, 台风中心移动速度的大小为20km/h，所以km，由题意知，km, 又台风中心向西北方向移动，所以, 由余弦定理可得， 解得或（舍）， 则开始受到影响在之后. 故选：B. 【变式9-1】（23-24高二下·云南·期中）某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形，，（单位：百米），，，且拟在、两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪的面积最大时，（    ） A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 【解题思路】先求出，再由，结合三角形面积公式与三角恒等变换转化为三角函数的最值即可 【解答过程】 设， 在中，， 由，， 所以为等边三角形， 当时，草坪的面积最大，此时， 故选：C. 【变式9-2】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【解题思路】（1）根据含直角三角形的性质即可得到路程，再除以速度即可； （2）设t小时后恰与货船在C处相遇，在中利用余弦定理即可得到方程，解出即可. 【解答过程】（1）由题意知，在中，，，，则 于是，而加油船的速度为60海里/小时， 所以加油船从港口A到小岛B的航行时间为1小时； （2）由（1）知，加油船从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合， 为使航行的时间最少，加油船从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与货船在C处相遇， 在中，，，， 所以，而在中，，，， 由余弦定理可得， 即， 即，解得或，故． 即加油船驶离港口A后，最少经过3小时能和货船相遇． 【变式9-3】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【解题思路】（1）根据题意在由余弦定理可求出AC，再在中由正弦定理求DC即可. （2）根据已知条件、两个三角形和边角的联系建立需求量之间的等量关系，再由面积公式进行推算即可. 【解答过程】（1），则， 在中，，即， 在中，， 由正弦定理知；，即， 则千米. （2）设，则，在中：， 在中：， 则，得， 因为，故，当且仅当时等号成立， 故，故，故， 故，故， 所以 ， 当等号成立时，，， 此时，故此时为锐角三角形， 即圆心在的内部或边界， 所以. 【题型10 解三角形中的新定义问题】 【例10】（23-24高一下·四川成都·期末）定义：，在中，内角所对的边分别为，则满足的一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【解题思路】根据所给定义得到，由正弦定理将边化角，再由两角差的正弦公式得到，即可得解. 【解答过程】因为，所以，由正弦定理可得， 即， 又，，所以，所以，即， 所以为等腰三角形. 故选：A. 【变式10-1】（22-23高三下·广西防城港·阶段练习）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用余弦定理可求得，从而得到，结合凸四边形定义可求得的范围；利用正弦定理表示出，由角的范围可求得正弦值的取值范围，由此可得结果. 【解答过程】 在中，由余弦定理得：， 且，，，， ，， ，； 在中，由正弦定理得：，； 当时，，， 又， ，即的取值范围为. 故选：A. 【变式10-2】（23-24高一下·山东·阶段练习）定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）.已知中，，则此三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解题思路】利用给定的定义，结合正弦定理、二倍角的正弦公式化简判断即得. 【解答过程】在中，由，得， 则，由正弦定理得， 即， 而，因此， 又，于是， 所以是等腰三角形. 故选：A. 【变式10-3】（23-24高一下·福建三明·期中）设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（    ） A． B．18 C．16 D．9 【解题思路】由，利用向量数量积公式得，面积公式求得，由定义得，结合基本不等式求的最小值. 【解答过程】设中，角的对边分别为， ，由，得， ，若，则，， 有，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值是18. 故选：B. 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 【解题思路】利用余弦定理得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】依题意，设，则，又， 由余弦定理，得， 即，解得（负值舍去），即. 故选：D. 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 【解题思路】延长到点使，连接，根据可得面积等于的面积，利用余弦定理求出，再求出sin∠ACE，根据三角形面积公式即可求得答案． 【解答过程】如图所示， 延长到点使，连接， 又∵，∴(SAS)， ∴的面积等于的面积． 在中，由余弦定理得， 又，则， ∴． 故选：C． 3．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【解题思路】先利用二倍角公式化简，然后利用正余弦定理统一成边的形式，化简变形可得答案. 【解答过程】因为，所以， 所以， 所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以由余弦定理得， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以或， 所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形. 故选：D. 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知 ，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据正余弦定理可得，即可根据等面积法可得，利用余弦定理可得，由二倍角公式即可求解. 【解答过程】解：由正弦定理可得得，    由余弦定理可得， 由于所以， ， 由于，所以， 由于，， 由余弦定理可得， ， ，， ，， ， 故选：B. 5．（23-24高一下·江苏苏州·期中）苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（    ） A．350米 B．400米 C．450米 D．500米 【解题思路】根据正弦定理求得，利用直角三角形求得金融中心的高度. 【解答过程】在中，由正弦定理得：， 即， 又，所以， 所以金融中心的高度为 . 故选：C. 6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，化简得到，求得，得到，且，又由外接圆半径为，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解. 【解答过程】因为，由正弦定理的 又因为，可得， 所以， 即， 因为，可得，可得，即， 解得或（舍去）， 因为，所以，则， 又因为外接圆半径为，所以， 又由 ， 因为为锐角三角形，且，所以且， 解得，可得，所以， 所以. 故选：C. 7．（23-24高一下·江苏镇江·期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（    ） A．周长为 B．三个内角满足2C=A+B C．外接圆的直径为 D．内切圆的半径为 【解题思路】由题意设，结合已知面积公式求a、b、c，即知周长，再根据正余弦定理求△的、外接圆半径、内切圆的半径. 【解答过程】对于A，由题意，设， ∴，则， ∴，故，则周长为，A正确. 对于B，，，则，故，B正确. 对于C，∴，若外接圆半径为，则，C正确. 对于D，若内切圆半径为，则，即，D错误. 故选：D. 8．（23-24高一下·重庆·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】由，利用三角形面积公式与余弦定理，可得，再根据同角三角函数的平方关系可得，，然后利用正弦定理与三角恒等变换公式化简可得，结合条件可得取值范围，进而求得的取值范围. 【解答过程】在中，由余弦定理得，且的面积， 由，得，化简得， 又，，联立解得，， 所以， 为锐角三角形，有，，得， 则有，可得，所以. 故知：A. 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 【解题思路】对于A，解出可能的即可；对于B，求出可能的即可；对于C，给出反例即可；对于D，给出反例即可. 【解答过程】对于A，由余弦定理可知，即. 所以或，经验证和均满足条件，从而的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确； 对于B，由余弦定理可知，即，且经验证符合条件，从而的三边有唯一的取值情况，所以B正确； 对于C，若，则是直角三角形，但，所以C错误； 对于D，若，则不是等腰三角形，但此时由可知，故，所以D错误. 故选：AB. 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则b的取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 【解题思路】对于A，利用向量数量积的定义和三角形的面积公式化简可求出角，对于B，利用正弦定理求解判断，对于C，由正弦定理得，再由为锐角三角形，求出角，然后利用正弦函数的性质可求出b的取值范围，对于D，由题意得，两边平方化简，结合余弦定理和基本不等式可求得结果. 【解答过程】对于A，因为， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以A正确， 对于B，由正弦定理得，即，得， 因为，所以或， 所以有两解，所以B错误， 对于C，由正弦定理得，即，得， 因为为锐角三角形，所以， 所以，得， 所以，得， 所以，即b取值范围是，所以C正确， 对于D，因为D为BC边上的中点，所以， 所以 ， 由余弦定理得， 所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以 ，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以AD的最大值为，所以D正确. 故选：ACD. 11．（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 【解题思路】借助面积公式与余弦定理由题意可得，对A：借助三角恒等变换公式可将其化为正弦型函数，借助正弦型函数的单调性即可得；对B：借助向量数量积公式与基本不等式即可得；对C：借助正弦定理可将其化为与角有关的函数，结合角度范围即可得解；对D：借助等面积法及基本不等式计算即可得. 【解答过程】由题意知，整理得， 由余弦定理知，，，． 对A， ， ，，， 的取值范围为，故A正确； 对B，为边的中点，， 则， ，当且仅当时，等号成立， ，故B正确； 对于C，， 是锐角三角形，， ，，故C正确； 对于D，由题意得， 即， 整理得，即， ， 当且仅当时，等号成立，故D错误． 故选：ABC. 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为边的中点，，，，则边a的长为 . 【解题思路】在中，由余弦定理得，从而发现，利用勾股定理可解. 【解答过程】在中，，，， 由余弦定理得 ， 所以， 此时，即， 所以. 故答案为：. 13．（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 【解题思路】由正弦定理和余弦定理得到，再由外接圆半径，由基本不等式得到，由三角形面积公式求出答案. 【解答过程】在中， 由正弦定理得由余弦定理得 因为为的内角，则，所以 因为的外接圆的半径为由正弦定理得 所以由余弦定理得 即 因为所以当且仅当时取等号， 故的面积所以面积的最大值为 故答案为：. 14．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 【解题思路】根据二倍角公式可得，即，根据角的范围可得，，，故.由正弦定理、同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得 ，换元，结合对勾函数的性质即可求解. 【解答过程】由题意可得，故， 即， 因为,所以， 因为，所以或， 即或，即或. 若，则，则无意义，故. 又，所以，即. 因为，所以,，， 所以，解得，故. 由正弦定理可得 ， 令，则. 设， 由对勾函数的性质可得在上单调递增， 所以，即. 故答案为:. 四、解答题 15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 【解题思路】（1）由正弦定理和得到，进而利用同角三角函数关系得到答案； （2）由正弦定理得到，利用三角形面积公式得到答案. 【解答过程】（1）， 由正弦定理得，故， 因为，所以，故， 因为，所以， 故； （2）由（1）知，， 又，由正弦定理得， 即， 故， 所以， 故. 16．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 【解题思路】（1）根据题意结合正弦定理分析求解； （2）根据题意结合余弦定理分析求解； （3）根据题意利用基本不等式可得，代入面积公式运算求解. 【解答过程】（1）因为，由正弦定理可得， 因为，则，可得， 即，所以. （2）由（1）可知：， 由余弦定理可得：， 又因为，即， 可得，整理得，即， 所以为等边三角形. （3）由（2）可知：，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的面积的最大值为. 17．（23-24高一下·江苏南通·期末）已知的面积为9，点D在BC边上，． (1)若，， ①证明：； ②求AC； (2)若，求AD的最小值． 【解题思路】（1）①在中，由正弦定理可得，从而得证； ②在中，利用三角函数恒等变换可得所以，在中，由，可解问题； （2）由，两边平方的，再借助余弦定理和三角形面积公式，将上式表示为，化简利用基本不等式求最值. 【解答过程】（1）①因为，，所以， 在中，由正弦定理可得， 所以； ②设，则， 因为，所以， 设，因为，所以， 在中，， 由①知， 所以， 所以， 整理得，又因为，， 所以， 因为，所以， 在中，因为，， 所以，所以， 则， 所以； （2）记的内角为，所对边为， 因为， 所以， 所以， 在中，因为， 所以由余弦定理可得， 整理得， 因为，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以AD的最小值为4. 18．（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． (1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； (2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 【解题思路】（1）借助余弦定理与正弦定理，结合面积公式计算即可得； （2）借助表示出及后，结合辅助角公式与余弦定理计算即可得. 【解答过程】（1）由，，故， 由余弦定理可得， 即，由正弦定理可得， 即， 则， 故有， 故， ； （2）， ， 故， 则， 其中，，则当， 即时，草坪ABCD的面积最大， 此时， 即此时小路BD的长度为. 19．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 【解题思路】（1）选①：由正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式化简得到求解；选②先切化弦，再利用正弦定理得到求解；选③利用三角形面积公式和正弦定理得到，再利用余弦定理求解. （2）利用余弦定理和基本不等式即可解题； （3）由正弦定理得到，从而有 求解. 【解答过程】（1）若选①：由正弦定理得， 则， ， ， ． 若选②：，切化弦，得到， 则由正弦定理得，，即，， ， 若选③：， 则， 由正弦定理得， ， . （2）由余弦定理得，， 则，当且仅当“”时，取“＝”号，即． ，则，当且仅当“”时取得最大值． （3）由正弦定理得， 则， ，由于为锐角三角形， 则， . . 第 1 页 共 62 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 解三角形 【人教A版（2019）】 【知识清单1 余弦定理、正弦定理】 1．余弦定理 (1)余弦定理及其推论的表示 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 公式表述 a2=b2+c2-2bccosA，b2=a2+c2-2accosB，c2=a2+b2-2abcosC. 推论 2．正弦定理 (1)正弦定理的表示 在△ABC中，若角A,B,C对应的边分别是a,b,c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即==. (2)正弦定理的常见变形 在△ABC中，由正弦定理得===k(k>0)，则a=k，b=k，c=k，由此可 得正弦定理的下列变形： ①=，=，=，a=b，a=c，b=c； ②======； ③a:b:c=::； ④===2R，（R为△ABC外接圆的半径）. (3)三角形的边角关系 由正弦定理可推导出，在任意三角形中，有“大角对大边，小角对小边”的边角关系. 3．解三角形 (1)解三角形的概念 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. (2)余弦定理在解三角形中的应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题： ①已知两边及它们的夹角，求第三边和其他两个角； ③已知三边，求三角形的三个角. (3)正弦定理在解三角形中的应用 公式==反映了三角形的边角关系. 由正弦定理的推导过程知，该公式实际表示为：=，=，=.上述的 每一个等式都表示了三角形的两个角和它们的对边的关系.从方程角度来看，正弦定理其实描述的是三组方程，对于每一个方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用来解决两类解三角形的问题： ①已知两角和任意一边，求其他的边和角， ③已知两边和其中一边的对角，求其他的边和角. 【题型1 余弦定理解三角形】 【例1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，内角的对边分别为，已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·江苏南京·阶段练习）如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角，，的对边分别为，，， 若，则角（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角的对边分别是，已知，，，则（    ） A． B．19 C． D．7 【题型2 正弦定理解三角形】 【例2】（23-24高一下·江苏常州·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A．2 B． C．3 D． 【变式2-1】（23-24高一下·江苏南京·期中）在中，若，，，则等于（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（23-24高一下·江苏南京·阶段练习）在中，角，，所对的边分别为，，，若，则b=（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【知识清单2 三角形解的个数问题】 1．对三角形解的个数的研究 已知三角形的两角和任意一边，求其他的边和角，此时有唯一解，三角形被唯一确定. 已知三角形的两边和其中一边的对角，求其他的边和角，此时可能出现一解、两解或无解的情况，三 角形不能被唯一确定. (1)从代数的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，下面以已知 a,b和A，解三角形为例加以说明. 由正弦定理、正弦函数的有界性及三角形的性质可得： ①若B=>1，则满足条件的三角形的个数为0； ②若B==1，则满足条件的三角形的个数为1； ③若B=<1，则满足条件的三角形的个数为1或2. 显然由0<B=<1可得B有两个值，一个大于，一个小于，考虑到“大边对大角”、“三 角形内角和等于”等，此时需进行讨论. (2)从几何的角度分析“已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角”时三角形解的情况，以已知a,b和A，解三角形为例，用几何法探究如下： 图形 关系式 解的个数 A为锐角 ①a=bsin A； ②a≥b 一解 bsinA<a<b 两解 a<bsinA 无解 A为钝角或直角 a>b 一解 a≤b 无解 【题型3 三角形解的个数问题】 【例3】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在三角形ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式3-1】（23-24高一下·江苏宿迁·期中）如果满足，， 的有且只有一个，那么实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，若，，，则三角形解的个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．不确定 【变式3-3】（23-24高一下·江苏南通·期中）已知的内角，，所对的边分别为，，，若满足条件，的有两个，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【知识清单3 判定三角形形状的途径】 1．判定三角形形状的途径： (1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系； (2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【题型4 正、余弦定理判定三角形形状】 【例4】（24-25高一下·江苏·阶段练习）在中，角所对的边分别为，若，则一定是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰或直角三角形 【变式4-1】（24-25高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．等边三角形 【变式4-2】（23-24高一下·江苏镇江·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的形状是（    ）三角形 A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，若，且，那么一定是（    ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【知识清单4 解三角形】 1．三角形的面积公式 (1)常用的三角形的面积计算公式 ①(分别为边a,b,c上的高). ②将，，代入上式可得=ab=bc=ac，即三 角形的面积等于任意两边与它们夹角的正弦值乘积的一半. (2)三角形的其他面积公式 ①=r(a+b+c)= rl，其中r,l分别为△ABC的内切圆半径及△ABC的周长. ②=，=，=. 2．三角形中的最值（范围）问题的解题策略： (1)正、余弦定理是求解三角形的边长、周长或面积的最值（范围）问题的核心，要牢牢掌握并灵活运 用．解题时要结合正弦定理和余弦定理实现边角互化，再结合角的范围、辅助角公式、基本不等式等研究其最值（范围）． (2)“坐标法”也是解决三角形最值问题的一种重要方法.解题时，要充分利用题设条件中所提供的特殊边 角关系，建立合适的直角坐标系，正确求出关键点的坐标，将所要求的目标式表示出来并合理化简，再结合三角函数、基本不等式等知识求其最值． 【题型5 三角形面积公式的应用】 【例5】（23-24高一下·江苏扬州·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，D为的中点，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（23-24高一下·江苏泰州·期末）在中，，则的面积为（    ） A．4 B．8 C．24 D．32 【变式5-2】（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，角对应的边分别为，已知，，，且，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一下·江西·阶段练习）在中，内角的对边分别为，且，则面积的最大值为（   ） A． B． C． D．6 【题型6 证明三角形中的恒等式或不等式】 【例6】（23-24高一下·江苏连云港·期末）在中，AD是的角平分线，AE是边BC上的中线，点D、E在边BC上． (1)用正弦定理证明； (2)若，求DE的长． 【变式6-1】（2024·安徽·模拟预测）在中，A，B，C所对的边是a，b，c． (1)请用正弦定理证明：若，则； (2)请用余弦定理证明：若，则． 【变式6-2】（23-24高一下·安徽·期中）已知锐角分别为角的对边，若. (1)求证：； (2)求的取值范围. 【变式6-3】（23-24高三上·广东·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D是边上一点，，，，且． (1)若，证明：； (2)在（1）的条件下，且，求的值． 【题型7 求三角形边长或周长的最值或范围】 【例7】（23-24高一下·江苏徐州·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·江苏淮安·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高一下·江苏盐城·阶段练习）已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为，向量，，且. (1)求角C的值； (2)若，求的取值范围. 【变式7-3】（23-24高一下·广东湛江·阶段练习）已知A，B，C为的三内角，且其对边分别为a，b，c．若 且 ． (1)求角A的大小； (2)若，求的周长的取值范围． 【知识清单5 测量问题】 1．测量问题 (1)测量距离问题的基本类型和解决方案 当AB的长度不可直接测量时，求AB的距离有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 A,B间不可达也不可视 测得AC=b，BC=a，C的大小，则由余弦定理得 B, C与点A可视但不可达 测得BC=a，B，C的大小，则A=π-(B+ C)，由正弦定理得 C,D与点A,B均可视不可达 测得CD=a及∠BDC,∠ACD,∠BCD,∠ADC的度数.在△ACD中，用正弦定理求AC；在△BCD中，用正弦定理求BC；在△ABC中，用余弦定理求AB. (2)测量高度问题的基本类型和解决方案 当AB的高度不可直接测量时，求AB的高度有以下三种类型： 类型 简图 计算方法 底部 可达 测得BC=a，C的大小，AB=a·tan C. 底部不可达 点B与C,D共线 测得CD=a及∠ACB与∠ADB的度数. 先由正弦定理求出AC或AD,再解直角三角形得AB的值. 点B与C , D不共线 测得CD=a及∠BCD,∠BDC,∠ACB的度数. 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值. (3)测量角度问题 测量角度问题主要涉及光线(入射角、折射角)，海上、空中的追及与拦截，此时问题涉及方向角、方 位角等概念，若是观察建筑物、山峰等，则会涉及俯角、仰角等概念.解决此类问题的关键是根据题意、图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，然后解三角形即可. 【题型8 距离、高度、角度测量问题】 【例8】（23-24高一下·江苏扬州·期末）如图，为了测量河对岸两点之间的距离，在河岸这边找到在同一直线上的三点.从点测得，从点测得，从点测得.若测得（单位：百米），则两点的距离为（    ）百米. A． B． C． D．3 【变式8-1】（23-24高一下·江苏·阶段练习）玉泉寺铁塔位于湖北省当阳县城西15公里的覆船山东麓玉泉寺门前，全称“如来舍利宝塔”，又称当阳铁塔.它始建于北宋嘉祐六年公元1061年，由玉泉寺僧务本禅师领工铸建，是我国最高、最重和保存最完整的铁塔.如图，某测绘小组为了测量玉泉寺铁塔的实际高度PO，选取了与塔底O在同一水平面内的3个测量基点A，B，三点共线，现测得米，米，在点A、点B测得塔顶P的仰角均为，在点C测得塔顶P的仰角为，则塔高参考数据：取，，，，，，（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【变式8-2】（24-25高一·江苏·课后作业）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【变式8-3】（23-24高一下·江苏南京·期末）如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部和琉璃塔顶部的仰角分别为和，在处测得塔顶部的仰角为，则琉璃塔的高度约为（   ） A．78 B．74 C．64 D．52 【题型9 解三角形的实际应用】 【例9】（23-24高一下·江苏南京·期末）在某城市正东方向200km处有一台风中心，它正向西北方向移动，移动速度的大小为20km/h，距离台风中心 150km. 以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约几小时后该城市所在地开始受到影响.(参考数据： （    ） A．2 B．4.5 C．9.5 D．10 【变式9-1】（23-24高二下·云南·期中）某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形，，（单位：百米），，，且拟在、两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪的面积最大时，（    ） A．百米 B．百米 C．百米 D．百米 【变式9-2】（23-24高一下·湖南·期中）如图，一艘货轮从码头O出发沿北偏东30°的OD方向以20海里/小时的速度驶往目的地，出发后发现燃料不足，立即联系位于O正东方向120海里的A处的加油船在中途加油补充燃料，假设加油船与货轮同时出发，但加油船要先到小岛B处补给物资再赶往货轮处，已知小岛B在码头O北偏东60°方向，也在A北偏西30°方向上，加油船在B处补给物资需要1个小时，且加油船航行速度始终为60海里/小时． (1)求加油船到达小岛B所需的时间； (2)两艘船最少经过多少小时能相遇？ 【变式9-3】（23-24高一下·福建厦门·阶段练习）为改进城市旅游景观面貌､提高市民的生活幸福指数，城建部门拟在以水源为圆心的空地上，规划一个形状为四边形的动植物园．如图：四边形内接于圆为动物园区，为植物园区（为了方便植物园的浇水灌溉，水源必须在植物园区的内部或边界上）．又根据规划已知千米，千米． (1)若，且，求边的长？ (2)若千米，求该动植物园区面积的最大值？ 【题型10 解三角形中的新定义问题】 【例10】（23-24高一下·四川成都·期末）定义：，在中，内角所对的边分别为，则满足的一定是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【变式10-1】（22-23高三下·广西防城港·阶段练习）定义平面凸四边形为平面上每个内角度数都小于的四边形．已知在平面凸四边形中，，，，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一下·山东·阶段练习）定义平面向量的正弦积（其中为，的夹角）.已知中，，则此三角形一定是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【变式10-3】（23-24高一下·福建三明·期中）设是内一点，且，定义，其中分别是的面积，若，则的最小值是（    ） A． B．18 C．16 D．9 一、单选题 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）在中，已知，，，则（    ） A．1 B． C． D．3 2．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）在中，，，边上的中线，则的面积S为(    ) A． B． C． D． 3．（23-24高一下·江苏徐州·期中）在中，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 4．（23-24高一下·江苏南京·期中）在斜中，设角、、的对边分别为、、，已知 ，若是的角平分线，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·江苏苏州·期中）苏州国际金融中心为地处苏州工业园区湖东CBD核心区的一栋摩天大楼，曾获2020年度CTBUH全球高层建筑卓越奖.建筑整体采用“鲤鱼跳龙门”之“鱼”作为象征主题，以“鱼跃龙门”为设计理念，呈鲤鱼飞跃之势寓意繁荣昌盛，大楼面向金鸡湖，迎水展开，如鱼尾般曼妙的弧线，从水面沿裙房一直延伸至主塔楼，某测量爱好者在过国际金融中心底部（当作点Q）一直线上位于Q同侧两点A，B分别测得金融中心顶部点P的仰角依次为，，已知AB的长度为330米，则金融中心的高度约为（    ） A．350米 B．400米 C．450米 D．500米 6．（23-24高一下·江苏连云港·期中）已知锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且外接圆半径为，则△ABC周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·江苏镇江·期中）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了：已知三角形三边求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即：.即有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题错误的是（    ） A．周长为 B．三个内角满足2C=A+B C．外接圆的直径为 D．内切圆的半径为 8．（23-24高一下·重庆·期中）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高一下·江苏·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ） A．若，，，则符合条件的有两个 B．若，，，则符合条件的有且只有一个 C．若，则一定是锐角三角形 D．若，则一定是等腰三角形 10．（23-24高一下·江苏徐州·期中）中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则只有一解 C．若为锐角三角形，则b的取值范围是 D．若D为BC边上的中点，则AD的最大值为 11．（2024·河北邯郸·三模）已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（    ） A．的取值范围是 B．若为边的中点，且，则的面积的最大值为 C．若是锐角三角形，则的取值范围是 D．若角的平分线与边相交于点，且，则的最小值为10 三、填空题 12．（23-24高一下·江苏无锡·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 为边的中点，，，，则边a的长为 . 13．（23-24高一下·广西钦州·期中）在中，角所对的边分别为若且的外接圆的半径为则面积的最大值为 ． 14．（23-24高一下·江苏连云港·期中）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（23-24高一下·江苏无锡·阶段练习）已知△ABC的内角所对的边是且 (1)求； (2)若，求△ABC的面积. 16．（23-24高一下·上海·阶段练习）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若； (1)求B； (2)若，试判断的形状. (3)若，求的面积的最大值． 17．（23-24高一下·江苏南通·期末）已知的面积为9，点D在BC边上，． (1)若，， ①证明：； ②求AC； (2)若，求AD的最小值． 18．（23-24高一下·江苏·阶段练习）为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD，并修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），其中千米，千米，是以D为直角顶点的等腰直角三角形．设，． (1)当时，求：①小路AC的长度；②草坪ABCD的面积； (2)当草坪ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度． 19．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在以下三个条件中任选一个，补充到下面的问题中并作答. ①；②；③的面积为（如多选，则按选择的第一个记分） 问题：在中，角，，的对边分别为，，，且 . (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)在（2）的条件下，若为锐角三角形，求的取值范围. 第 1 页 共 29 页 学科网（北京）股份有限公司 $$