专题03 三角函数（8题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年高一数学下学期期末真题分类汇编（云南专用）

专题03 三角函数 题型概览 题型01扇形中的计算问题 题型02同角公式的应用 题型03诱导公式的应用 题型04三角函数的图象和性质 题型05和差倍半的三角函数 题型06三角恒等变换与函数性质 题型07已知三角函数值求角 题型08新定义问题 优选提升题 ( 题型01 ) 扇形中的计算问题 1．（23-24高一下·云南·期末）已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . ( 题型02 ) 同角公式的应用 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南大理·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南·期末）（1）求的值； （2）已知，求的值． ( 题型03 ) 诱导公式的应用 1．（23-24高一下·云南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·云南·期末）已知，则 . 4．（23-24高一下·云南·期末）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 4．（23-24高一下·云南·期末）已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求. ( 题型04 ) 三角函数的图象和性质 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南玉溪·期末）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 3．（23-24高一下·云南·期末）将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则φ的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南·期末）函数，其部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（23-24高一下·云南大理·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 7．（多选）（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 8．（多选）（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递减 C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的取值范围为 9．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 10．（23-24高一下·云南·期末）已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的值域． ( 题型0 5 ) 和差倍半的三角函数 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）若，则等于 A． B． C．0 D． 3．（23-24高一下·云南·期末）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知，，则（    ） A． B． C．7 D． 5．（23-24高一下·云南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·云南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一下·云南·期末）已知锐角满足，，则 . 8．（23-24高一下·云南·期末）已知，则 . 9．（23-24高一下·云南·期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． ( 题型0 6 ) 三角恒等变换与函数性质 1．（23-24高一下·云南·期末）若函数为偶函数，则的取值为 A．0 B． C． D．π 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 3．（23-24高一下·云南·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点中心对称，给出下列三个结论： ①； ②函数在上单调递减； ③将的图象向左平移个单位可得到的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ ( 题型0 7 ) 已知三角函数值求角 1．（23-24高一下·云南·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·云南·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. ( 题型0 8 ) 新定义问题 1.（多选）（23-24高一下·云南·期末）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高一下·云南·期末）已知函数. (1)求的值； (2)在△ABC中，若，求的最大值. 2．（23-24高一下·云南·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调递增区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 3．（23-24高一下·云南·期末）设函数. (1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (2)求在上的最值. 4．（23-24高一下·云南普洱·期末）对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，且与具有关系，求的像. 5．（23-24高一下·云南·期末）用下面两个条件中的一个补全如下函数： __________，回答相关问题. 条件①：；条件②：. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的对称轴方程. 注：如果两个条件都作答，则按第一个条件计分. 6．（23-24高一下·云南·期末）函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 7．（23-24高一下·云南·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. 8．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围. 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 三角函数 题型概览 题型01扇形中的计算问题 题型02同角公式的应用 题型03诱导公式的应用 题型04三角函数的图象和性质 题型05和差倍半的三角函数 题型06三角恒等变换与函数性质 题型07已知三角函数值求角 题型08新定义问题 优选提升题 ( 题型01 ) 扇形中的计算问题 1．（23-24高一下·云南·期末）已知扇形圆心角所对的弧长，则该扇形面积为 . 【答案】 【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算、扇形弧长公式与面积公式的应用 【分析】根据弧长公式以及扇形面积公式即可求解. 【详解】由弧长公式可得，所以扇形面积为， 故答案为： ( 题型02 ) 同角公式的应用 1．（23-24高一下·云南玉溪·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】已知弦（切）求切（弦） 【分析】根据同角三角函数的基本关系计算可得. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 2．（23-24高一下·云南大理·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】首先求出，再根据平方关系及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为，显然，所以， 所以 . 故选：C 3．（23-24高一下·云南·期末）（1）求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】（1）利用平方关系和诱导公式求解； （2）利用三角函数的齐次式求解. 【详解】.（1）依题意. （2）依题意，. ( 题型03 ) 诱导公式的应用 1．（23-24高一下·云南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六、诱导公式二、三、四 【分析】多次利用诱导公式，将所求式化简，再代入条件求值即得. 【详解】由. 故选：B. 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六 【分析】利用诱导公式可得答案. 【详解】因为， 所以. 故选：B. 3．（23-24高一下·云南·期末）已知，则 . 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、诱导公式五、六、诱导公式二、三、四 【分析】根据条件，利用诱导公式，即可求出结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 4．（23-24高一下·云南·期末）已知角以x轴的非负半轴为始边，为终边上一点. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】（1）根据角的终边上点的坐标得到，，然后计算即可； （2）利用诱导公式化简原式得到，然后根据角的终边上点的坐标求即可. 【详解】（1）因为角的终边上有点， 所以， ， 所以. （2） . 4．（23-24高一下·云南·期末）已知. （1）化简； （2）若是第三象限角，且，求. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式 【解析】（1）利用正弦、余弦及正切的诱导公式将每一个式子进行化简，然后约分可得； （2）由可得的值，再根据属于第三象限可求出的值，代入（1）中的结果即可得出答案. 【详解】解：（1）由题意得. 故. （2）因为， 所以. 又为第三象限角， 所以， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数诱导公式的运用，难度一般,解答时牢记口诀：“奇变偶不变，符号看限”. ( 题型04 ) 三角函数的图象和性质 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）将函数图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式 【分析】根据三角函数的变换规则判断即可. 【详解】将函数图象上所有点的横坐标变为原来的得到． 故选：B 2．（23-24高一下·云南玉溪·期末）要得到的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、描述正（余）弦型函数图象的变换过程 【分析】根据图象的平移结合诱导公式分析判断. 【详解】对于选项A：可得，不合题意，故A错误； 对于选项B：可得，不合题意，故B错误； 对于选项C：可得，符合题意，故C正确； 对于选项D：可得，不合题意，故D错误； 故选：C. 3．（23-24高一下·云南·期末）将函数（）的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若，则φ的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】结合三角函数的图象变换求三角函数的性质 【分析】利用伸缩变换得到，，所以或，得到φ的最小值是． 【详解】由题意得，则， 所以或者，， 则或者，，因为，所以φ的最小值是． 故选：A． 4．（23-24高一下·云南·期末）函数，其部分图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据最值可得，最小正周期可得，分析可知为的最大值点，进而可得，即可得结果. 【详解】设的最小正周期为， 由题意可知：，，即， 且，则， 可得， 由图象可知：为的最大值点， 则，解得， 且，可知，所以. 故选：B. 5．（23-24高一下·云南·期末）已知函数的部分图象如图所示，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】根据题意，结合函数的图象，以及正弦函数的性质，求得的值，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，所以，可得， 所以函数， 又由，可得， 因为，可得只有时满足题意，可得， 又因为，可得，所以. 故选：C. 6．（多选）（23-24高一下·云南大理·期末）设函数，则下列结论正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．的一个零点为 D．的最大值为1 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据的性质逐一判断即可. 【详解】，故A正确； ，所以不是对称轴，故B错误； ，所以是的一个零点，故C正确； 因为振幅，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 7．（多选）（23-24高一下·云南昆明·期末）函数，，，则下列说法正确的是（    ） A．，使得为单调函数 B．，使得有三个零点 C．，使得有最大值 D．，使得的值域为 【答案】AC 【知识点】求cosx型三角函数的单调性、求cosx(型)函数的值域、求cosx（型）函数的最值 【分析】根据题意得，区间长度为.对于，采用赋值法验证即可；对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于，当时，可得有最大值，即可判断；对于，根据，得，解三角函数不等式即可判断. 【详解】，，. 对于，不防令，则，此时单调递减，故正确； 对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为， 而，故不存在使上述区间长度为，故错误； 对于，当时，取得最大值，，使得有最大值，故正确； 对于，由，得， ， 又，故不存在，使得的值域为，故错误. 故选：. 8．（多选）（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．在上单调递减 C．直线是图象的一条对称轴 D．在上的取值范围为 【答案】BCD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】根据图象求出、、可判断A；求出范围，根据正弦函数的单调性可判断B；求出可判断C；求出的范围可得的范围可得答案. 【详解】对于A，由图可得的最小正周期为， 则，解得， 将代人中，得， 则，解得． 因为，所以，则，故A错误． 对于B，由，得， 因为，所以在上单调递减，故B正确． 对于C，因为， 所以直线是图象的一条对称轴，故C正确． 对于D,由，得， 所以， ， 所以的取值范围为，故D正确． 故选：BCD. 9．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知函数在上恰有2个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、辅助角公式 【分析】化简得到，求得的范围后，根据零点个数可构造不等式组求得结果. 【详解】由题意可得． 由，得． 因为在上恰有2个零点， 所以，解得． 故答案为： 10．（23-24高一下·云南·期末）已知函数的最小正周期为，其中． (1)求的值； (2)当时，求函数的单调区间； (3)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2)函数的单调减区间为，单调增区间为 (3) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用求得. （2）根据三角函数单调区间的求法，求得在区间上的单调区间. （3）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域. 【详解】（1）由函数的最小正周期为，，所以，可得， （2）由（1）可知， 当，有，， 当，可得， 故当时，函数的单调减区间为，单调增区间为． （3）当，有，， 可得， 有， 故函数在区间上的值域为． ( 题型0 5 ) 和差倍半的三角函数 1．（23-24高一下·云南楚雄·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和与差的余弦公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】由，得， 则，即． 故选：C. 2．（23-24高一下·云南·期末）若，则等于 A． B． C．0 D． 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【详解】. 故选：C. 3．（23-24高一下·云南·期末）若角的终边过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二倍角的余弦公式、正、余弦齐次式的计算、由终边或终边上的点求三角函数值 【分析】根据任意角三角函数值的定义可得，利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】由题意可知：， 所以. 故选：B. 4．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知，，则（    ） A． B． C．7 D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用平方关系求出可得，再由两角和的正切展开式化简可得的答案. 【详解】因为，， 所以，， 则. 故选：D. 5．（23-24高一下·云南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用换元法，结合诱导公式、二倍角公式等知识求得正确答案. 【详解】设，则 . 故选：A 6．（23-24高一下·云南·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二倍角的余弦公式、诱导公式五、六、已知弦（切）求切（弦） 【分析】由二倍角公式求得，再由平方关系求得，然后用诱导公式及商数关系求解． 【详解】由已知， ，， ， ， 所以. 故选：A． 7．（23-24高一下·云南·期末）已知锐角满足，，则 . 【答案】/ 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】利用同角三角函数关系可求得，代入两角和差余弦公式即可. 【详解】均为锐角，，， . 故答案为：. 8．（23-24高一下·云南·期末）已知，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】由二倍角的正切公式可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一下·云南·期末）已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2）. 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】（1）由已知条件和同角三角函数求得，再运用正弦、余弦的二倍角公式可得答案； （2）根据（1）的结论和正弦的和角公式可求得答案. 【详解】解：（1）因为，所以， 所以， ．   （2）． ( 题型0 6 ) 三角恒等变换与函数性质 1．（23-24高一下·云南·期末）若函数为偶函数，则的取值为 A．0 B． C． D．π 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【解析】根据函数为偶函数有，化简得对任意恒成立，所以有，结合可得出答案. 【详解】解：因为函数为偶函数，则 所以 等价于对任意恒成立，所以， 所以， ，所以常数的取值为. 故选：B. 2．（23-24高一下·云南昆明·期末）若函数的图像过点，则下列说法正确的是（   ） A．点是的一个对称中心 B．点的一条对称轴 C．的最小正周期是 D．函数的值域为 【答案】D 【知识点】求cosx(型)函数的值域、求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】先结合诱导公式及二倍角公式进行化简，然后结合余弦函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，所以，因为， 所以，则， 由于，结合余弦函数的图象与性质可得为的对称中心，故A，B不正确； 由，可得的最小正周期是，故C不正确； 根据余弦函数的性质可得：，则函数的值域为，故D正确； 故选：D 3．（23-24高一下·云南·期末）已知函数的最小正周期为，且的图象关于点中心对称，给出下列三个结论： ①； ②函数在上单调递减； ③将的图象向左平移个单位可得到的图象． 其中所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由题意先求出，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案. 【详解】因为函数的周期为，所以， 又图象对称中心为，即， 则，有， 由，所以，故， 此时，结论①正确； 当时，，函数单调递减，结论②正确； 将的图象向左平移个单位可得图象对应的函数为， 因为，所以结论③正确． 故选：D. ( 题型0 7 ) 已知三角函数值求角 1．（23-24高一下·云南·期末）已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用正弦函数的和差公式与三角函数的商数关系得到关于的方程组，进而结合三角函数的正负情况求得的取值范围，再次利用正弦函数的和差公式求得的值，由此得到的值. 【详解】因为，所以， 又因为，即，则，故， 联立，解得， 因为，，所以， 又，，所以，， 所以，，则， 因为， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·云南·期末）已知，，. (1)求的值； (2)若，且，求的值. 【答案】(1)； (2). 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】（1）利用二倍角公式和平方关系构造齐次式，然后弦化切求出，再结合求出的范围即可得解； （2）利用平方关系求出，然后可得，利用和差公式求出，结合角的范围即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，所以， 由得， 即，解得或， 因为，所以. （2）由（1）可知，，， 因为，且，所以， 所以，所以， 又，，所以， 所以. ( 题型0 8 ) 新定义问题 1.（多选）（23-24高一下·云南·期末）如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生成函数”.下列函数中，与构成“互为生成函数”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】三角恒等变换的化简问题、辅助角公式、上下平移变换及解析式特征、相位变换及解析式特征 【分析】由三角恒等变换，化简函数的解析式，再根据三角函数的平移变换规律，得出结论. 【详解】，由， 则将的图象向左平移个单位长度后，即可与的图象重合； 由， 则图象无法经过平移与的图象重合； 由， 则将的图象向左平移个单位长度后，再向下平移1个单位长度后， 即可与的图象重合； 由，则的图象无法经过平移与的图象重合. 故A，C中的函数与“互为生成函数”. 故选：AC． 1．（23-24高一下·云南·期末）已知函数. (1)求的值； (2)在△ABC中，若，求的最大值. 【答案】(1)1 (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用诱导公式、倍角公式与辅助角公式将函数解析式化简，再可求的值即可； （2）由A，B为三角形的内角，，可求得，从而，展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得的最大值. 【详解】（1）∵ ， ∴. （2）由题意可知，， 而可得：，即， ∴， ∵，∴，， ∴的最大值为. 2．（23-24高一下·云南·期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期及的单调递增区间； (2)将的图象先向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象，当时，求的值域. 【答案】(1)，单调递增区间为，； (2) 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求图象变化前（后）的解析式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的正弦函数的单调性与最小正周期求解； （2）先求出的解析式，再利用整体法求出的值域． 【详解】（1）函数 ， 所以函数的最小正周期为， 令，求得， 可得函数的增区间为，． （2）由于， 根据题意，， 当时，， 则，所以, 所以的值域为. 3．（23-24高一下·云南·期末）设函数. (1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标； (2)求在上的最值. 【答案】(1)；； (2)，. 【知识点】求cosx（型）函数的最值、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用三角函数的性质求得答案； （2）利用函数的单调性求出最值． 【详解】（1）因为， 令，解得， 所以的对称轴方程为， 令，得， 可得函数图象的对称中心的坐标为； （2）因为，所以， 令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，，，故. 4．（23-24高一下·云南普洱·期末）对于分别定义在上的函数以及实数，若任取，存在，使得，则称函数与具有关系.其中称为的像. (1)若，判断与是否具有关系，并说明理由； (2)若，且与具有关系，求的像. 【答案】(1)与不具有关系，理由见解析 (2) 【知识点】函数新定义、求cosx(型)函数的值域、求含sinx(型)函数的值域和最值、特殊角的三角函数值 【分析】（1）根据具有关系的定义及三角函数的值域判断即可； （2）根据具有关系及三角函数的性质计算即可. 【详解】（1）的值域为， 当时，由得， 因为的值域为， 故不存在，使， 即与不具有关系. （2），由， 得， 即，所以或， 得或， 又，得，所以的像为. 5．（23-24高一下·云南·期末）用下面两个条件中的一个补全如下函数： __________，回答相关问题. 条件①：；条件②：. (1)求函数的最小正周期及单调递减区间； (2)将函数图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的对称轴方程. 注：如果两个条件都作答，则按第一个条件计分. 【答案】(1)，； (2). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、三角恒等变换的化简问题、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】（1）选条件①，利用诱导公式、二倍角的正弦及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解；选条件②，利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）求出函数，再利用正弦函数的对称性求解即可. 【详解】（1）选条件①，， 所以函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. 选条件②，， 所以函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的单调递减区间是. （2）由（1）知，， 由，得 所以函数的对称轴方程为. 6．（23-24高一下·云南·期末）函数的部分图象如图所示，该图象与轴交于点，与轴交于点为最高点，的面积为． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】（1）根据三角形的面积求得，进而求得，利用点求得，从而求得的解析式. （2）先求得在区间的取值范围，根据绝对值不等式的解法化简不等式，根据恒成立问题以及对数不等式等知识求得正确答案. 【详解】（1）由题意可知：的面积，可得， 所以周期，则， 由，得，又，于是， 所以； （2）由，则，得， 即．由，得， 即在上恒成立， 亦即， 因为， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【点睛】方法点睛：利用函数图象与性质求得三角函数的解析式，其中往往是通过周期，用来进行求解，往往通过函数图象上一个点的坐标来进行求解.求解不等式恒成立问题可转化为函数的最值来进行求解. 7．（23-24高一下·云南·期末）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. (1)类比正弦函数的二倍角公式，请写出双曲正弦函数的一个正确的结论:_____________.（只写出即可，不要求证明）； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)若，试比较与的大小关系，并证明你的结论. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数新定义、辅助角公式、判断指数函数的单调性 【分析】（1）利用双曲正、余弦函数的定义，结合指数运算即可得解. （2）根据给定条件，列出不等式，分离参数构造函数并求出最值即得. （3）作差，结合指数函数单调性及正余弦函数的性质推理判断即可. 【详解】（1）. （2）依题意，，不等式， 函数在上单调递增，，令， 显然函数在上单调递减，在上单调递增，， 又，于是，， 因此，，显然函数在上单调递减， 当时，，从而， 所以实数的取值范围是. （3），. 依题意，， ， 当时，，，即， 于是，而，因此， 当时，，则，， 即，而，因此， 于是，，所以. 【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，①若，总有成立，则；②若，总有成立，则；③若，使得成立，则；④若，使得成立，则. 8．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求的单调递减区间； (3)若时，函数有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【知识点】求sinx型三角函数的单调性、由图象确定正（余）弦型函数解析式、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据函数图象先确定的值，再由和，解得，最后将点代入得，，解得，即； （2）由得，，再结合的单调性即可求解； （3）由得，，作出函数在上的图象，函数在上有两个零点，可以转化为与在上有两个交点，结合图象即可求解. 【详解】（1）由图可得，，解得， 又因为，所以， 因为的图象经过，所以， 所以，即， 又因为，所以， 故的解析式为：. （2）当时，， 因为在和单调递减， 由，得， 由，得， 所以的单调递减区间是和. （3）当时，， 因为在和上单调递增，在上单调递减， 由，得， 由，得， 由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的图象如图所示， 因为函数在上有两个零点， 所以与在上有两个交点， 所以， 所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用函数图象求出函数的解析式，结合正弦函数的单调性，求解单调区间，以及将零点个数问题转化为两个函数图象的交点问题，利用数形结合来求解. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$